Apostila de Algebra Linear - Grupo PET EQ UFC

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
CENTRO DE TECNOLOGIA
PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL
APOSTILA DE Álgebra Linear
Realização:
Fortaleza, Fevereiro/2010
II Curso Pré-Engenharia
Apostila de Álgebra Linear
Sumário
1. Matrizes .......................................................................................................................................................... 3
1.1.
Operações com matrizes ............................................................................................................................. 4
1.2.
Operações elementares com linhas de uma matriz ...................................................................................... 5
1.3.
Questões ..................................................................................................................................................... 6
2. Determinantes ................................................................................................................................................ 7
2.1.
Regra de Chió .............................................................................................................................................. 8
2.2.
Teorema de Laplace .................................................................................................................................... 9
2.3.
Questões ....................................................................................................................................................10
3. Sistemas Lineares ...........................................................................................................................................11
3.1.
Método do escalonamento .........................................................................................................................11
3.2.
Regra de Cramer ........................................................................................................................................13
3.3.
Questões ....................................................................................................................................................13
4. Vetores ...........................................................................................................................................................14
4.1.
Adição de Vetores ......................................................................................................................................15
4.2.
Multiplicação por escalar ...........................................................................................................................15
4.3.
Questões ....................................................................................................................................................16
5. Operações com vetores ..................................................................................................................................16
5.1.
Módulo.......................................................................................................................................................16
5.2.
Produto escalar (ou produto interno) .........................................................................................................16
5.3.
Produto vetorial (ou produto externo)........................................................................................................17
5.4.
Questões ....................................................................................................................................................19
6. Espaços vetoriais ............................................................................................................................................19
6.1.
Questões ....................................................................................................................................................21
7. Subespaços vetoriais ......................................................................................................................................22
7.1.
Questões ....................................................................................................................................................24
8. Interseção, união e soma de subespaços ........................................................................................................25
8.1.
Interseção ..................................................................................................................................................25
8.2.
Soma ..........................................................................................................................................................26
8.3.
União .........................................................................................................................................................27
8.4.
Questões ....................................................................................................................................................27
9. Combinação linear ..........................................................................................................................................27
9.1.
Questões ....................................................................................................................................................28
10.
Subespaços gerados ...................................................................................................................................29
10.1. Questões ....................................................................................................................................................30
11.
Dependência e Independência Linear .........................................................................................................31
11.1. Questões ....................................................................................................................................................32
12.
Base de um espaço vetorial ........................................................................................................................33
12.1. Questões ....................................................................................................................................................36
13.
Dimensão ...................................................................................................................................................36
13.1. Questões ....................................................................................................................................................37
14.
Mudança de base .......................................................................................................................................38
14.1. A inversa da matriz de mudança de base ...................................................................................................39
14.2. Questões ....................................................................................................................................................40
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II Curso Pré-Engenharia
Apostila de Álgebra Linear
1. Matrizes
Sejam m e n inteiros positivos. Chama-se matriz m × n (sobre R) qualquer lista ordenada de m-n
números reais, dispostos em m linhas e n colunas. Os números que constituem uma matriz são chamados
de termos da matriz.
Uma matriz A, m × n, pode ser denotada como se segue:
A=
a11
⋮
am1
⋯ a1n
⋱
⋮
⋯ amn
Ou, simplesmente, A = (aij ), onde 1 < 𝑖 < 𝑚 e 1 < 𝑗 < 𝑛. Notamos que os índices i e j indicam a
posição que o termo ocupa na matriz. O termo aij está na i-ésima linha e na j-ésima coluna.
Seja A = (aij ) uma matriz n × n. Chama-se diagonal principal, ou simplesmente diagonal da matriz A,
a lista ordenada (a11 , a22 , . . . , ann ). Chama-se diagonal secundária da matriz A, a lista ordenada
(a1n , a2(n−1) , an1 ). A soma dos índices dos termos da diagonal secundária é sempre igual a n+1.

Igualdade de Matrizes:
Sendo A = (aij ), e B = (bij ), matrizes, A e B são iguais, se e somente se, aij = bij para quaisquer
valores de i e de j.

Tipos de Matrizes:
o Chama-se matriz linha toda matriz 1 × 𝑛, ou seja, toda matriz constituída de uma só linha.
o Chama-se matriz coluna toda matriz 𝑚 × 1, ou seja, toda matriz constituída de uma só
coluna.
o Chama-se matriz nula aquela cujos termos são todos nulos.
o Uma matriz 𝑚 × 𝑛 chama-se quadrada se 𝑚 = 𝑛.
o Uma matriz quadrada 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) chama-se triangular superior se todos os termos que ficam
abaixo da diagonal principal são iguais a zero, ou seja, 𝑎𝑖𝑗 = 0 sempre que 𝑖 > 𝑗.
o Uma matriz quadrada 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) chama-se triangular inferior se todos os termos que ficam
acima da diagonal principal são iguais a zero, ou seja, 𝑎𝑖𝑗 = 0 sempre que 𝑖 < 𝑗.
o Uma matriz quadrada 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) chama-se diagonal se todos os termos fora da diagonal
principal são iguais a zero, ou seja, 𝑎𝑖𝑗 = 0 sempre que 𝑖 ≠ 𝑗.
o Chama-se matriz identidade 𝑛 × 𝑛 a matriz diagonal 𝑛 × 𝑛 cujos termos da diagonal principal
são todos iguais a 1. Ela é denotada por 𝐼𝑛 ou simplesmente por I.
o Uma matriz quadrada 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) chama-se simétrica se 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 para quaisquer que sejam i
e j, isto é, se os termos simetricamente situados em relação à diagonal principal são iguais.
5 1 3
2 −1
o Exemplos:
, 1 0 2 , 𝐼𝑛 , toda matriz diagonal.
−1 0
3 2 1
o Uma matriz quadrada 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) chama-se anti-simétrica se 𝑎𝑖𝑗 = −𝑎𝑗𝑖 para quaisquer que
sejam i e j, ou seja, se os termos simetricamente situados em relação à diagonal principal são
números reais simétricos e os termos da diagonal são todos nulos.
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o
Exemplos:
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0 1
,
−1 0
0 4 8
4 0 −1 , matriz quadrada nula.
−8 1 0
1.1. Operações com matrizes

Adição de Matrizes:
Sejam A = (aij ), e B = (bij ) matrizes m × n. Definimos a soma das matrizes A e B como sendo a
matriz A + B = (cij ), em que cij = aij + bij . Ou seja, somar A com B consiste em somar termos
correspondentes.
Propriedades (1): Para quaisquer matrizes m × n, A = (aij ), B = (bij ) e C = (cij ), as seguintes
propriedades são válidas:
o
o
o
o
o
Associatividade: A + (B + C) = (A + B) + C;
Comutatividade: A + B = B + A;
Elemento neutro: A + O = A, onde O é a matriz m × n nula;
Matriz oposta: A + (-A) = O, onde −A = (aij ). Chamamos (–A) de matriz oposta de A;
Multiplicação de um escalar por uma matriz: Sejam x ∈ R e A = (aij ) uma matriz
m × n. Definimos o produto da matriz A pelo escalar x como x. A = (x. aij ). Isto é,
multiplicar x por A consiste em multiplicar x por todos os termos de A.
Propriedades (2): Para quaisquer que sejam as matrizes m × n, A = (aij ) e B = (bij ) e os números
reais x e y, valem as seguintes propriedades:
o
o
o
o

x.(A + B) = x.A + x.B (Distributiva para escalar)
(x + y).A = x.A + y.A (Distributiva para matrizes)
x.(y.A) = (xy).A (Associativa)
1.A = A (1 é o escalar que representa o elemento neutro dessa operação)
Multiplicação de Matrizes:
Seja A = (aij ) uma matriz m × n. Denotaremos por Ai a i-ésima linha de A e Aj a j-ésima coluna de A.
Isto é:
𝐴𝑖 = 𝑎𝑖1
𝑎𝑖2
… 𝑎𝑖𝑛 e 𝐴 𝑗 =
𝑎1𝑗
𝑎2𝑗
⋮
𝑎𝑚𝑗
Sejam A = (aij ) uma matriz m × n e B = (bjk ) uma matriz n × p. Definimos o produto da matriz A pela
matriz B como A. B = C = (cij ) = nj=1 aij bjk .
Observação 1: O produto A.B é uma matriz m × p;
Observação 2: O termo de A.B que se situa na i-ésima linha e na j-ésima coluna é Ai . B k .
Observação 3: Quando existe uma matriz A−1 tal que A. A−1 = I, dizemos que A é uma matriz
invertível, e chamamos A−1 de matriz inversa de A.
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
Propriedades:
o Se A é uma matriz m × n, então A. In = Im . A. Isso indica que a matriz identidade é o
elemento neutro para a multiplicação de matrizes.
o Se A é uma matriz m × n e B e C são matrizes n × p, então A(B + C) = AB + AC, ou
seja, a multiplicação se distribui à esquerda em relação à soma de matrizes.
o Para as mesmas matrizes A, B e C, temos (A + B) = BA + CA, ou seja, a multiplicação
se distribui à direita em relação à soma de matrizes.
o Seja A uma matriz m × n, B uma matriz n × p e x ∈ ℝ, então x. (AB) = A(x. B).
o Se A, B e C são, respectivamente, matrizes m × n, n × p e p × q, então A(BC) =
(AB)C (comutatividade).

Transposição de Matrizes:
Seja A uma matriz m × n, definimos a transposta de A como sendo a matriz n × m At = (bji ), em que
bji = aij .
Exemplo:
2 3 4 5
−1 0 2 1
𝑡
2 −1
3 0
=
4 2
5 1
Propriedades: Sejam x um número real, A e B matrizes m × n e C uma matriz n × p. Então valem as
seguintes propriedades:
o
o
o
o
At t = A
(A + B)t = At + B t
(xA)t = x(A)t
(BC)t = C t B t
1.2. Operações elementares com linhas de uma matriz
Seja A uma matriz m × n. Chama-se operação elementar com linhas de A qualquer uma das
operações descritas a seguir:
Permutação de duas linhas de A;
Multiplicação de uma linha de A por um número real não nulo;
Substituição de Ai por Ai + xAj , em que j ≠ i e x é um número real qualquer.
Exemplo:
3 0
2 1
3 12
−1 3
1
𝐴
3 1
1 0 1 4
2 1 −1 3
𝐴2 −2𝐴1
1
0
0 1
4
1 −3 −5
A primeira operação acima consistiu em multiplicar a primeira linha por 1/3 e a segunda operação em
substituir a segunda linha por ela mais (-2) vezes a primeira (A2 − 2A1 ).
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Sejam A e B matrizes m × n. Dizemos que A é linha-equivalente a B se B pode ser obtida a partir de A
através de operações elementares com linhas. (No exemplo anterior, notamos que a primeira matriz é
linha-equivalente à terceira)
Matriz na forma escada:
Seja A uma matriz m × n. Dizemos que A é uma matriz na forma escada, se as seguintes condições
são satisfeitas:
As possíveis linhas nulas ficam abaixo das possíveis linhas não nulas.
O primeiro termo não nulo de cada linha não nula é igual a 1.
Os demais termos da coluna à qual pertence o primeiro termo não nulo de uma linha não nula são
todos nulos.
A coluna à qual pertence primeiro termo não nulo de uma linha não nula fica à direita do primeiro
termo não nulo da linha anterior, isto é, se p é o número de linhas não nulas e se o primeiro termo não
nulo da i-ésima linha não nula ocorre na k i -ésima coluna, então k1 < k 2 < ⋯ < k p .
Exemplos:
1
0
1
0 1 4
, 0
1 −3 5
0
0 0
0 1
0 0
−1 1
5 , 0
0
0
−2 0 0
0 1 3 , O, I.
0 0 0
Teorema: Toda matriz m × n é linha-equivalente a uma matriz na forma escada.
Exemplo:
2 3 −1
−4 0 2
1 1 3
1
0
0
1
A
2 1
3/2 −1/2
6
0
−1/2 7/2
1 0
0 1
0 0
−1/2
0
7/2
1
A
7 3
1 3/2
−4
0
1
1
1
A
6 2
1 0
0 1
0 0
1
0
0
−1/2
2
3
A 2 +4A 1
A 3 −A 1
3/2 −1/2
1
0
−1/2 7/2
−1/2
0
1
1
A1+ A3
2
3
A1− A2
2
1
A 3+ A 2
2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1.3. Questões
1) Se A =
1 −2
4
eB=
3 −6
2
2
, calcule AB e BA.
1
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2) Se A=
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3 −2
, ache B, de modo que B 2 = A.
−4 3
3) Suponha que A≠0 e AB=AC onde A,B,C são matrizes tais que a multiplicação esteja definida.
a) B=C?
b) Se existir uma matriz Y, tal que YA=I, onde I é a matriz identidade, então B=C?
4) Diz-se que as matrizes A e B são comutativas se AB = BA. Encontre todas as matrizes
sejam comutativas com
x y
que
z w
1 1
0 1
2 2
.
3 −1
a) Encontre A2 e A3 .
b) Se f x = x 3 − 3x 2 − 2x + 4 , encontre f A
c) Se g x = x 2 − x − 8, encontre g(A)
5) Seja A =
6) Para cada uma das matrizes a seguir, encontra uma matriz na forma escada, à qual a matriz dada
é linha equivalente.
2 1 5
a)
6 3 15
2 0 −2 0
b)
0 2 −1 0
2 1 5
c)
1 −3 6
1
2 1 0
d) −1 0 3 5
1 −2 1 1
2 −1 3
1 4 2
e)
1 −5 1
4 16 8
0 2 0 2
1 1 0 3
f)
3 −4 0 2
2 −3 0 1
7) Sejam A e B matrizes quadradas do mesmo tamanho, em que A é invertível. Mostre, por indução,
que (𝐴𝐵𝐴−1 )𝑛 = 𝐴𝐵𝑛 𝐴−1 para todo inteiro positivo n.
2. Determinantes
Determinante é uma função que associa a cada matriz quadrada um escalar. Seu cálculo é feito
somando os termos ligados pelas diagonais paralelas à diagonal principal, e subtraindo deste valor a soma
dos produtos dos termos ligados pelas setas paralelas à diagonal secundária:
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Temos que:
det A = (a11 ∙ a22 ∙ a33 + a12 ∙ a23 ∙ a31 + a21 ∙ a32 ∙ a13 ) − (a13 ∙ a22 ∙ a31 + a12 ∙ a21 ∙ a33 + a23 ∙ a32
∙ a11 )
Sejam A, B e C matrizes quadradas de ordem n, e x um escalar qualquer, essas são algumas das
propriedades dos seus determinantes:
o
o
o
o
o
o
det(x ∙ A) = x n ∙ det A
det A = det⁡
(At )
Se uma fila (linha ou coluna) da matriz é composta de zeros, então o determinante
desta matriz será zero.
Se A tem duas filas iguais, então detA = 0
Se permutarmos duas linhas ou colunas de A, então o determinante muda de sinal.
Se A e B são matriz quadradas da mesma ordem, então det AB = detA. det⁡B
Observação 1: O determinante de uma matriz triangular ou diagonal é o produto dos termos de sua
diagonal principal.
Observação 2: O determinante permite saber se a matriz tem ou não inversa, pois as que não têm são
precisamente aquelas cujo determinante é igual a 0.
A. A−1 = I, aplicando determinante dos dois lados, temos:
det A. A−1 = detI
detA. det A−1 = 1
det A−1 =
1
det A
Assim, se o determinante da matriz A for nulo, a matriz inversa não pode existir.
2.1. Regra de Chió
Através dessa regra é possível diminuir de n para (n − 1) a ordem de uma matriz quadrada A sem
alterar o valor do seu determinante.
A regra prática de Chió consiste em:
1) Escolher um elemento aij = 1 (caso não exista, aplicar as propriedades para que apareça o
elemento 1).
2) Suprimir a linha i e a coluna j do elemento aij = 1, obtendo-se o menor complementar do
referido elemento.
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3) Subtrair de cada elemento do menor complementar obtido o produto dos elementos que ficam
nos pés das perpendiculares traçadas do elemento considerado às filas suprimidas.
4) Multiplicar o determinante obtido no item anterior por (−1)i+j onde i e j designam as ordens da
linha e da coluna às quais pertence o elemento aij = 1 do primeiro item.
Exemplo:
1
det 𝐴 = 2
3
5 7
−6 −11
4 − 5.2 3 − 2.7
. (−1)1+1 =
= 6.17 − 13.11 = −41
4 3 =
−13 −17
2 − 3.5 4 − 3.7
2 4
2.2. Teorema de Laplace
Chama-se de menor complementar (Dij ) de um elemento aij de uma matriz quadrada A o determinante
que se obtém eliminando-se a linha i e a coluna j da matriz.
Assim, dada a matriz quadrada de terceira ordem a seguir:
2
A= 5
3
0 3
7 9 , podemos escrever:
5 1
D23 = menor complementar do elemento a23 = 9 da matriz A. Pela definição, D23 será igual ao
determinante que se obtém de A, eliminando-se a linha 2 e a coluna 3, ou seja:
D23 =
2
3
0
= 2.5 − 3.0 = 10
5
Chama-se de cofator de um elemento aij de uma matriz o seguinte produto:
cof aij = (−1)i+j . Dij
Assim, por exemplo, o cofator do elemento a23 = 9 da matriz do exemplo anterior é igual a:
cof a23 = (−1)2+3 . D23 = (−1)5 . 10 = −10
Observações sobre o teorema:
o
o
o
O determinante de uma matriz quadrada é igual à soma dos produtos dos elementos de uma
fila qualquer (linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores.
Este teorema permite o cálculo do determinante de uma matriz de qualquer ordem. Como já
conhecemos as regras práticas para o cálculo dos determinantes de ordem 2 e de ordem 3, só
recorremos à este teorema para o cálculo de determinantes de 4ª ordem em diante. Seu uso
possibilita diminuir a ordem do determinante. Assim, para o cálculo de um determinante de
4ª ordem, a sua aplicação resultará no cálculo de quatro determinantes de 3ª ordem.
Para expandir um determinante pelo teorema de Laplace, é mais prático escolher a fila (linha
ou coluna) que contenha mais zeros, para que seu produto seja nulo.
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2.3. Questões
1) Dadas as matrizes A =
1 2
3 −1
eB=
, calcule
1 0
0 1
a) det 𝐴 + det 𝐵
b) det(A + B)
2) Sejam A e B matrizes do tipo n × n. Verifique se as colocações abaixo são verdadeiras ou falsas:
a) det(AB) = det(BA)
b) det A’ = det A
c) det(2A) = 2 det A
d) det(A²) = (det A)²
3) Calcule o det A, onde:
3 −1
0 2
a) A =
2 0
1 1
i
3
3 −i
b) A =
2 1
−i i
4) Prove que
𝑎1 0
𝑏1 𝑏2
𝑐1 𝑐2
𝑑1 𝑑2
0
𝑏3
𝑐3
𝑑3
5
0
−1
2
2
1
−1
0
0
1
3
0
−i
i
0
1
0
𝑏2
𝑏4
= 𝑎1 𝑐2
𝑐4
𝑑2
𝑑4
𝑏3
𝑐3
𝑑3
𝑏4
𝑐4
𝑑4
1 1 1
5) Mostre que det a b c = a − b b − c (c − a).
a² b² c²
6) Verdadeiro ou falso?
a) Se det A = 1, então A-1 = A.
b) Se A é uma matriz triangular superior e A-1 existe, então também A-1 será uma
matriz triangular superior.
c) Se A é uma matriz escalar n × n da forma kIn , então det A = k n .
d) Se A é uma matriz triangular, então det A = a11 +. . . +ann .
a2
7) Calcule (a + 2)2
(a + 4)2
(a + 2)2
(a + 4)2
(a + 6)2
(a + 4)2
(a + 6)2 .
(a + 8)2
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cos2a cos 2 a sen2 a
8) Mostre que cos2b cos2 b sen2 b = 0.
cos2c cos2 c sen2 c
3. Sistemas Lineares


Definição 1: Seja 𝑛 um inteiro positivo. Chama-se equação linear a 𝑛 incógnitas toda equação
do tipo 𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥2 + ⋯ 𝑎𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏 em que 𝑎1 , 𝑎2 , ..., 𝑎𝑛 , 𝑏 são constantes reais e 𝑥1 , 𝑥2 , ...,
𝑥𝑛 são incógnitas. Chamamos cada 𝑎𝑖 de coeficiente de 𝑥𝑖 e 𝑏 de termo independente da
equação.
Definição 2: Sejam 𝑚 e 𝑛 inteiros positivos. Chama-se sistema linear a 𝑚 equações e 𝑛
incógnitas todo sistema com m equações lineares, todas às mesmas n incógnitas.
Denotaremos o sistema citado como se segue:
a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + ⋯ + a2n xn = b2
⋮
a31 x1 + a32 x2 + ⋯ + a3n xn = b3
Chama-se solução do sistema toda lista ordenada (x1 , x2 , … , xn ) de números reais que satisfaz a
todas as equações do sistema linear e chama-se conjunto solução do sistema o conjunto constituído de
todas as soluções.
Dizemos que o sistema linear é, respectivamente, impossível, possível determinado ou possível
indeterminado conforme seu conjunto solução seja vazio, unitário ou tenha pelo menos dois elementos.
3.1. Método do escalonamento
O método do escalonamento consiste em transformar uma matriz qualquer em uma matriz na
forma escada através de operações elementares com linhas. O objetivo disso é resolver sistemas lineares.
Para tanto, devemos saber que cada sistema linear tem duas matrizes correspondentes: uma chamada
matriz dos coeficientes ou matriz incompleta do sistema e outra chamada matriz completa do sistema.
Listemos a seguir as matrizes referentes a um sistema genérico:
a11
a21
⋮
am1
a12
a22
⋮
am2
… a1n
… a2n
⋮
⋮
… amn
Matriz incompleta
Matriz completa
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x1
b1
x2
b2
Se A é a matriz dos coeficientes, X = ⋮ e B =
, então o sistema pode ser representado
⋮
xn
bm
(matricialmente) pelas seguintes equações:
A1 . X = b1
A2 . X = b2
⋮
Am . X = bm
O método do escalonamento para resolver um sistema linear cuja matriz completa é C consiste
em encontrar uma matriz C’, tal que C’ seja linha-equivalente a C e o sistema cuja matriz é C’ já explicite o
seu conjunto solução. Para tanto, essa matriz deverá estar na forma escada.
2x + 3y − z = 6
Exemplo: Resolvamos o sistema −4x + 2z = −1 , que tem a seguinte matriz completa:
x + y + 3z = 0
2 3 −1 6
−4 0 2 −1
1 1 3
0
Devemos operar essa matriz com linhas, de maneira a deixar a matriz dos coeficientes na forma
escada.
2 3 −1 6
1 3/2 −1/2 3
−4 0 2 −1 → −4
0
2
−1 →
1 1 3
0
1
1
3
0
1
→ 0
0
1 0
→ 0 1
0 0
3/2 −1/2 3
1
6
0
11 → 0
−1/2 7/2
3
0
−1/2
1/4
1 0
0
11/6 → 0 1
7/2 −25/12
0 0
3/2 −1/2 3
1
0
11/6 →
−1/2 7/2
3
−1/2
1/4
1 0 0
0
11/6 → 0 1 0
1
−25/42
0 0 1
−1/21
11/6
−25/42
x = −1/21
Assim, o sistema inicial é equivalente a y = 11/6 . Portanto, está resolvido.
z = −25/42
Observações:
o
o
o
Um sistema linear AX = B chama-se homogêneo se B = O. Isto é, se todos os termos
independentes são nulos. Neste caso, uma solução óbvia é a trivial, composta apenas de
zeros. (Por exemplo, para n = 3, a solução trivial é (0,0,0).)
Se, num sistema linear homogêneo, o número de incógnitas é maior do que o número de
equações, ele admite solução não trivial.
Se m = n, então o sistema linear AX = B tem uma única solução, então A é linhaequivalente a In .
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Apostila de Álgebra Linear
3.2. Regra de Cramer
A regra de Cramer é utilizada para a resolução de um sistema linear a partir do cálculo de
determinantes. Vamos considerar aqui um sistema linear Ax = B, sendo x uma matriz de incógnitas.
Seja A uma matriz invertível n × n e seja B ∈ ℝn . Seja Ai a matriz obtida substituindo a i-ésima
coluna de A por B. Se x for a única solução de Ax = B, então
xi =
det⁡
(Ai )
para i = 1,2, … , n
det⁡
(A)
Com i variando até n, é possível encontrar as matrizes-solução do sistema, e descobrir se ele é
possível determinado (quando há somente uma matriz-solução), possível indeterminado (infinitas
matrizes-solução) ou impossível (nenhuma solução).
Exemplo: Considerando o sistema de equações:
x1 + 2x2 + x3 = 5
2x1 + 2x2 + x3 = 6
x1 + 2x2 + 3x3 = 9
Solução:
5
det A1 = 6
9
1 2
det A = 2 2
1 2
1
1 = −4
3
2 1
1 5
2 1 = −4 det A2 = 2 6
2 3
1 9
1
1 = −4
3
1 2 5
det A3 = 2 2 6 = −8
1 2 9
Portanto:
x1 =
−4
=1
−4
x2 =
−4
=1
−4
x3 =
−8
=2
−4
1
Então temos como solução a matriz x = 1 e o sistema é possível determinado.
2
3.3. Questões
1) Determine os valores de k tais que o sistema nas incógnitas x, y e z tenha: (i) única solução, (ii)
nenhuma solução, (iii) mais de uma solução.
𝑘𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1
a) 𝑥 + 𝑘𝑦 + 𝑧 = 1
𝑥 + 𝑦 + 𝑘𝑧 = 1
𝑥 + 𝑦 + 𝑘𝑧 = 2
b) 3𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 = 𝑘
2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 1
2) Ache as soluções dos problemas dados ou prove que não existem soluções
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c)
d)
e)
f)
Apostila de Álgebra Linear
𝑥+𝑦+𝑧 =1
2𝑥 − 3𝑦 + 7𝑧 = 0
3𝑥 − 2𝑦 + 8𝑧 = 4
x − y + 2z = 4
3x + y + 4z = 6
x+y+z=1
2x − y + 5y = 19
x + 5y − 3z = 4
3x + 2y + 4z = 25
x + 3y + z = 0
2x + 7y + 4z = 0
x + y − 4z = 0
3) Dado o sistema:
1
1
1
3
a)
b)
c)
d)
2
0
2
4
0
2
2
4
−1
−1
−1
−3
𝑥
2
𝑦
2
𝑧 = 4
𝑤
8
Encontre uma solução dele sem resolvê-lo (atribua valores para x, y, z e w).
Resolva efetivamente o sistema, isto é, encontre sua matriz-solução.
Resolva também o sistema homogêneo associado.
Verifique que toda matriz-solução obtida em (b) é a soma de uma matriz-solução
encontrada em (c) com a solução particular que você encontrou em (a).
4) Dado o sistema linear:
3𝑥 + 5𝑦 + 12𝑧 − 𝑤 = −3
𝑥 + 𝑦 + 4𝑧 − 𝑤 = −6
2𝑦 + 2𝑧 + 𝑤 = 5
a) Discuta a solução do sistema.
b) Acrescente a equação 2z + kw = 9 a este sistema, encontre um valor de k que
torne o sistema impossível.
5) Dê o conjunto solução do seguinte sistema linear:
𝑥1 + 𝑥2 + 5𝑥3 − 8𝑥4 = 1
𝑥1 + 4𝑥2 + 13𝑥3 − 3𝑥4 = 1
−2𝑥1 + 𝑥2 − 2𝑥3 + 21𝑥4 = −2
3𝑥2 + 8𝑥3 + 5𝑥4 = 0
4. Vetores
Um vetor é definido por três características: intensidade, direção e sentido. Força, deslocamento
e velocidade são representados por vetores, mas um vetor pode ser bem mais do que isso. Ao longo do
curso de Álgebra Linear, o seu conceito será desenvolvido de forma bem mais ampla. Soluções de
sistemas lineares poderão, por exemplo, ser representadas por vetores.
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Apostila de Álgebra Linear
Desenhando um vetor no plano cartesiano, ele deve apresentar uma origem e uma extremidade.
Os segmentos orientados cuja origem é o ponto (0,0) são chamados de vetores no plano, e são muito
mais fáceis de trabalhar. Para representá-lo, basta indicar o par ordenado que corresponda à sua
extremidade, pois já conhecemos seu ponto inicial. A definição segue para vetores no espaço, caso em
que a origem dos vetores é o ponto (0,0,0), e assim por diante.
De tal forma, para representar um vetor V = OP com ponto inicial na origem, usa-se usualmente
a
a notação de coordenadas V = (a, b, c), mas também existe a notação de matriz coluna V = b e matriz
c
linha V = a b c .
Com essas notações, a soma de vetores e a multiplicação do vetor por um escalar são operações
que ficam bem mais simples.
4.1. Adição de Vetores
Propriedades:
o
o
o
o
o
o
o
Associatividade: A + B + C = A + B + C, ∀ A, B, C ∈ ℝn
Comutatividade: A + B = B + A, ∀ A, B ∈ ℝn .
Elemento neutro:
Seja O o vetor nulo. Então A + O = A, para qualquer A ∈ ℝn . Assim, O é o elemento neutro
em relação à operação de adição, o qual chamaremos de elemento nulo de ℝn .
Elemento oposto:
Dado A = a1 , a2 , … , an , denotaremos por – A o vetor (−a1 , −a2 , … , −an ). Então
A + (−A) = O. Chamaremos (−A) de elemento oposto a A.
Considerando que: A − B = A + −B e as quatro propriedades anteriores, teremos três
propriedades conseqüentes:
1. 𝐴 + 𝐵 = 𝐴 + 𝐶 ⟹ 𝐵 = 𝐶
2. 𝐴 + 𝐵 = 𝐶 ⟹ 𝐴 = 𝐶 − 𝐵
3. 𝐴 + 𝐴 = 𝐴 ⟹ 𝐴 = 𝑂
Exemplo:
Sendo v = 1,2 e w = (3,5), temos:
v + w = 1,2 + 3,5
v + w = (4,7)
Do mesmo modo, 2v = (2,4).
4.2. Multiplicação por escalar
Sejam A = (a1 , a2 , … , an ) ∈ ℝn e λ ∈ ℝ. Definimos a multiplicação de A por λ como sendo:
λ ∙ A = (λa1 , λa2 , … , λan )
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A seguir as propriedades de vetores:
1.
2.
3.
Associativa na adição:
Comutativa:
Existência de elemento neutro na adição:
4.
5.
6.
7.
Existência de elemento oposto:
Distributiva por vetor:
Distributiva por escalar:
Associativa na multiplicação:
8.
Existência de elemento neutro na multiplicação:
4.3. Questões
1) Determine o vetor X, tal que
, para vetores V e U dados.
2) Determine os vetores X e Y, tal que
dados.
e
para vetores V e U
5. Operações com vetores
5.1. Módulo
Seja
, definimos o módulo ou a norma de um vetor como sendo:
Observação: para
, note que o módulo de um vetor é o seu comprimento. Chamaremos de
vetor unitário todo vetor cuja norma é 1.
5.2. Produto escalar (ou produto interno)
Sejam
A+B e A - B.
e
dois vetores não nulos nos reais. Considere os vetores
Temos que
se, e somente se
, pois as diagonais de um paralelogramo só são
iguais se o paralelogramo é um retângulo. Como consequência dessa condição podemos observar que:
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𝐴 ⊥ 𝐵 ⟺ 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + … + 𝑎𝑛 𝑏𝑛 = 0
Esta condição é necessária para que dois vetores sejam perpendiculares.
Sejam 𝐴 = (𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ) e 𝐵 = (𝑏1 , 𝑏2 , … , 𝑏𝑛 ) dois vetores quaisquer em ℝ𝑛 . O produto escalar é
definido como a multiplicação termo a termo e a soma dos produtos:
𝐴 ∙ 𝐵 = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + … + 𝑎𝑛 𝑏𝑛
Assim, dois vetores não nulos 𝐴 e 𝐵 em ℝ𝑛 são perpendiculares apenas se 𝐴 ∙ 𝐵 = 0.
Propriedades do produto escalar:
i. 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐵 ∙ 𝐴, para quaisquer 𝐴, 𝐵 ∈ ℝ𝑛
ii. 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐴 ∙ 𝐶, para quaisquer 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ ℝ𝑛
iii. 𝐴 ∙ 𝜆𝐵 = 𝜆 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝜆𝐴 ∙ 𝐵, para quaisquer 𝐴, 𝐵 ∈ ℝ𝑛 e qualquer 𝜆 ∈ ℝ
iv. 𝐴 ∙ 𝐴 ≥ 0, para qualquer 𝐴 ∈ ℝ𝑛 e 𝐴 ∙ 𝐴 = 0 ⟺ 𝐴 = 𝑂
A norma (ou módulo) de um vetor pode ser caracterizada pelo produto escalar: 𝐴 = 𝐴 ∙ 𝐴, como é
provado a seguir:
𝐴 ∙ 𝐴 = 𝑎1 𝑎1 + 𝑎2 𝑎2 + … + 𝑎𝑛 𝑎𝑛
𝐴∙𝐴 =
𝑎1 2 + 𝑎2 2 + … + 𝑎𝑛 2
𝐴∙𝐴 = 𝐴
5.3. Produto vetorial (ou produto externo)
Consideremos dois vetores em 𝐴 = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ) e 𝐵 = (𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 ). Queremos encontrar um vetor 𝐶, em
ℝ3 , de preferência não nulo, de tal forma que C seja simultaneamente perpendicular a A e a B.
Devemos ter 𝐶. 𝐴 = 0 e 𝐶. 𝐵 = 0. Se 𝐶 = (𝑥, 𝑦, 𝑧), então:
𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑦 + 𝑎3 𝑧 = 0
𝑏1 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑏3 𝑧 = 0
Tentaremos resolver este sistema. Para isso, começaremos multiplicando a primeira equação por 𝑏2 , a
segunda por −𝑎2 e, em seguida, somaremos as duas equações.
A seguinte equação é obtida:
𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1 . 𝑥 = 𝑎2 𝑏3 − 𝑎3 𝑏2 . 𝑧
Depois, multiplicando a primeira equação do sistema acima por −𝑏1 , a segunda por 𝑎1 e, em seguida,
somando as duas equações, chegamos a:
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Enfim, temos as seguintes equações:
Agora fica fácil visualizar os valores das variáveis. Se x assumir o valor do coeficiente de z na primeira
equação, y assumi o valor do coeficiente de z na segunda equação, basta que z assuma o valor dos
coeficientes de x e de y (que são iguais) para as equações serem verdadeiras. O conjunto-solução é:
Há mais soluções do sistema. Contudo, esta é especialmente chamada de produto vetorial de A por B e
será denotado por 𝐴 × 𝐵.
Note que 𝐴 × 𝐵 é o determinante formal:
em que
Observe ainda que:
três vetores que formam a base de
, visto que cada gerador (pois temos os
) está num eixo diferente, x, y ou z.
Nós o chamamos de determinante formal uma vez que não é um determinante formado só por números.
A primeira linha é constituída de vetores.
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Como vimos, o produto vetorial de dois vetores já surgiu com uma propriedade importante: é um vetor
simultaneamente perpendicular aos dois vetores. Vejamos a seguir mais propriedades do produto
vetorial:
i.
ii.
iii.
iv.
𝐴 × 𝐵 = −(𝐵 × 𝐴) ∈ ℝ3
𝐴 × (𝜆𝐵) = 𝜆(𝐴 × 𝐵) = (𝜆𝐴) × 𝐵, para quaisquer 𝐴, 𝐵 ∈ ℝ3 e qualquer 𝜆 ∈ ℝ
𝐴 × 𝜆𝐴 = 0, para qualquer 𝐴 ∈ ℝ3 e qualquer 𝜆 ∈ ℝ
𝐴 × 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 × 𝐵 + (𝐴 × 𝐶) e
(𝐵 + 𝐶) × 𝐴 = (𝐵 × 𝐴) + (𝐶 × 𝐴), para quaisquer 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ ℝ3
v.
vi.
vii.
(𝐴 × 𝐵) × 𝐶 = (𝐴. 𝐶)𝐵 − (𝐵. 𝐶)𝐴, para quaisquer 𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ ℝ3
(𝐴 × 𝐵). (𝐴 × 𝐵) = (𝐴. 𝐴)(𝐵. 𝐵) − (𝐴. 𝐵)2
Se A e B são dois vetores não nulos de ℝ3 e θ é a medida do ângulo formado por A e B, então:
𝐴 × 𝐵 = 𝐴 . 𝐵 . 𝑠𝑒𝑛θ
𝑎1 𝑎2 𝑎3
(Produto misto) 𝐴. 𝐵 × 𝐶 = 𝑏1 𝑏2 𝑏3 , em que 𝐴 = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ), 𝐵 = (𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 ), e
𝑐1 𝑐2 𝑐3
𝐶 = (𝑐1 , 𝑐2 , 𝑐3 )
viii.
5.4. Questões
1) Ache dois vetores mutuamente ortogonais e ortogonais ao vetor (5, 2, -1).
2) Calcule 𝑢. 𝑣, onde:
a) 𝑢 = (2, −3, 6) e 𝑣 = (8,2, −3)
b) 𝑢 = (1, −8,0,5) e 𝑣 = (3,6,4)
c) 𝑢 = (3, −5,2,1) e 𝑣 = (4,1, −2,5)
3) Sejam 𝑢 = (1, −2,5), 𝑣 = (3, 1, −2). Encontre:
a)
b)
c)
d)
𝑢+𝑣
−6𝑢
2𝑢– 5𝑣
𝑢. 𝑣
4) Ache dois vetores mutuamente ortogonais de comprimento unitário, e ambos ortogonais ao vetor (2,1,3).
5) Determine o número real positivo c de maneira que os pontos (−1,1, 𝑐) e (−1,1, −𝑐) e a origem sejam
vértices de um triângulo retângulo em (0,0,0).
6) Sabendo que o ângulo entre os vetores (2, 1,-1) e (1,-1,m+2) é 60°, determine 𝑚.
7) Determine os ângulos do triângulo cujos vértices são (-1,-2,4), (-4,-2,0) e (3,-2,1).
6. Espaços vetoriais
Um espaço vetorial é um conjunto de vetores. As oito propriedades citadas acima devem ser satisfeitas,
além de duas operações: soma e multiplicação por escalar. Considerando dois vetores quaisquer de um
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espaço vetorial V, a soma deles deve ser um terceiro vetor que ainda faz parte de V. Se multiplicarmos um
vetor de V por um escalar, o resultante também deve ser elemento de V.
Em resumo, um espaço vetorial real é um conjunto V, não vazio, com duas operações:

Soma: 𝑉 𝑥 𝑉 → 𝑉  Se 𝑥 , 𝑦 ∈ 𝑉, então 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝑉;

Produto por escalar: ℝ 𝑥 𝑉 → 𝑉  Se 𝛼 é escalar e 𝑥 ∈ 𝑉, então 𝛼𝑥 ∈ 𝑉.
Se uma dessas duas operações não for válida para um conjunto W, então é porque o conjunto não é um
espaço vetorial. Dizemos que um espaço vetorial é fechado em relação às duas operações (soma e
multiplicação por escalar). Para saber se um conjunto é um espaço vetorial, verifica-se se as duas
operações são válidas e depois se as oito propriedades dos vetores também são válidas.
Observação: O conjunto de todas as matrizes de ordem 2 é um espaço vetorial. Deste modo, os vetores
desse espaço são matrizes 2x2.Tal conjunto é designado assim: 𝑉 = 𝑀 2,2 .
Exemplo: Seja o conjunto W = { 𝑎, 1 /𝑎 ∈ ℝ}. Com as duas operações de soma e multiplicação por
escalar definidas, verifique se W é um espaço vetorial.
Solução: Considere os elementos 3,1 e (5,1) ∈ 𝑊.
Assim,
i) Soma: 3,1 + 5,1 = (8,2) ∉ 𝑊
ii) Produto: 𝛼 3,1 = 3𝛼, 𝛼 ∉ 𝑊 𝑠𝑒 𝛼 ≠ 1, assim não é válido para todo 𝛼
Logo, W não é um conjunto fechado em relação a essas duas operações e, portanto, não é um espaço
vetorial.
Exemplo: Verifique se o conjunto ℝ3 é um espaço vetorial.
Solução: Sejam 𝑢 = 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 , 𝑣 = 𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 e 𝑤 = (𝑥3 , 𝑦3 , 𝑧3 ) vetores de ℝ3 e 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ.
i) Soma: 𝑢 + 𝑣 = (𝑥1 + 𝑥2 , 𝑦1 + 𝑦2 , 𝑧1 + 𝑧2 ) ∈ ℝ3
Multiplicação por escalar: 𝛼𝑢 = (𝛼𝑥1 , 𝛼𝑦1 , 𝛼𝑧1 ) ∈ ℝ3
ii)
1.
𝑢 + 𝑣 = 𝑥1 + 𝑥2 , 𝑦1 + 𝑦2 , 𝑧1 + 𝑧2
= 𝑥2 + 𝑥1 , 𝑦2 + 𝑦1 , 𝑧2 + 𝑧1 = 𝑣 + 𝑢
2.
𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑥1 + 𝑥2 , 𝑦1 + 𝑦2 , 𝑧1 + 𝑧2 + 𝑥3 , 𝑦3 , 𝑧3
= 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 , 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 , 𝑧1 + 𝑧2 + 𝑧3
= 𝑥1 + (𝑥2 + 𝑥3 , 𝑦1 + (𝑦2 + 𝑦3 ), 𝑧1 + (𝑧2 + 𝑧3 )]
= 𝑢 + (𝑣 + 𝑤 )
3.
∃0 = 0,0,0 ∈ ℝ3 / 𝑢 + 0 = 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 + 0,0,0 = 𝑥1 + 0, 𝑦1 + 0, 𝑧1 + 0
= 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1
4.
∃ −𝑢 = −𝑥1 , −𝑦1 , −𝑧1 ∈ ℝ3 / 𝑢 + −𝑢 = 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 + −𝑥1 , −𝑦1 , −𝑧1
= 𝑥1 − 𝑥1 , 𝑦1 − 𝑦1 , 𝑧1 − 𝑧1
= 0,0,0 = 0
5.
𝛼 𝑢 + 𝑣 = 𝛼 𝑥1 + 𝑥2 , 𝑦1 + 𝑦2 , 𝑧1 + 𝑧2
= 𝛼 𝑥1 + 𝑥2 , 𝛼 𝑦1 + 𝑦2 , 𝛼 𝑧1 + 𝑧2
= (𝛼𝑥1 + 𝛼𝑥2 , 𝛼𝑦1 + 𝛼𝑦2 , 𝛼𝑧1 + 𝛼𝑧2 )
= (𝛼𝑥1 , 𝛼𝑦1 , 𝛼𝑧1 ) + (𝛼𝑥2 , 𝛼𝑦2 , 𝛼𝑧2 )
= 𝛼 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 + 𝛼 𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2
= 𝛼𝑢 + 𝛼𝑣
6.
𝛼 + 𝛽 𝑢 = 𝛼 + 𝛽 𝛼𝑥1 , 𝛼𝑦1 , 𝛼𝑧1 = [ 𝛼 + 𝛽 𝑥1 , 𝛼 + 𝛽 𝑦1 , 𝛼 + 𝛽 𝑧1 ]
= [𝛼𝑥1 + 𝛽𝑥1 , 𝛼𝑦1 + 𝛽𝑦1 , 𝛼𝑧1 + 𝛽𝑧1 ]
= 𝛼𝑥1 , 𝛼𝑦1 , 𝛼𝑧1 + (𝛽𝑥1 , 𝛽𝑦1 , 𝛽𝑧1 )
= 𝛼 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 + 𝛽 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1
= 𝛼𝑢 + 𝛽𝑢
7.
𝛼𝛽 𝑢 = 𝛼𝛽 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 = 𝛼𝛽𝑥1 , 𝛼𝛽𝑦1 , 𝛼𝛽𝑧1 = [𝛼 𝛽𝑥1 , 𝛼 𝛽𝑦1 , 𝛼 𝛽𝑧1 ]
= 𝛼[(𝛽𝑥1 ), (𝛽𝑦1 ), (𝛽𝑧1 )]
= 𝛼[𝛽 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ]
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8.
Apostila de Álgebra Linear
= 𝛼(𝛽𝑢)
1𝑢 = 1 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 = 1𝑥1 , 1𝑦1 , 1𝑧1 = 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 = 𝑢
Exemplo: Considere em V = ℝ2 o produto por escalar usual, mas com a adição, a operação definida por:
𝑥1 , 𝑦1 + 𝑥2 , 𝑦2 = (𝑥1 + 𝑥2 , 𝑦1 + 2𝑦2 ). Determine se V, com essas operações, é um espaço vetorial.
Solução:
i)
1.
Soma: 𝑥1 , 𝑦1 + 𝑥2 , 𝑦2 = (𝑥1 + 𝑥2 , 𝑦1 + 2𝑦2 ) ∈ 𝑉
2.
Produto por escalar: 𝛼 𝑥1 , 𝑦1 = (𝛼𝑥1 , 𝛼𝑦1 ) ∈ 𝑉
Logo, V é um espaço fechado em relação a essas duas operações. Portanto, temos que verificar as oito
propriedades.
ii)
1.
Associativa na adição: 𝑢 + 𝑣 = 𝑥1 , 𝑦1 + 𝑥2 , 𝑦2 = (𝑥1 + 𝑥2 , 𝑦1 + 2𝑦2 )
𝑣 + 𝑢 = 𝑥2 , 𝑦2 + 𝑥1 , 𝑦1 = (𝑥2 + 𝑥1 , 𝑦2 + 2𝑦1 )
Como 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢 já não é satisfeita, não precisamos mais testar as outras propriedades. V não é
espaço vetorial.
Exemplo: O conjunto que contém um único objeto, com as operações definidas por:
𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜 + 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜 = 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜
 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜 = 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜, com 𝛼 ∈ ℝ
Solução:
i) Da própria definição no enunciado, o conjunto é fechado em relação às operações de soma e
multiplicação por escalar e, portanto, não precisamos verificá-las;
ii) Substituindo 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜 por 𝑥 :
𝑢+𝑣 =𝑥+𝑥 =𝑥 ⇒𝑢+𝑣 =𝑣 +𝑢
1.
𝑣+ 𝑢 = 𝑥+𝑥 =𝑥
𝑢+𝑣 +𝑤 = 𝑥+𝑥 +𝑥 = 𝑥+𝑥 = 𝑥
2.
⇒ 𝑢+𝑣 +𝑤 =𝑢+ 𝑣+𝑤
𝑢+ 𝑣+𝑤 = 𝑥+ 𝑥+𝑥 = 𝑥+𝑥 = 𝑥
3.
Seja 𝑛 o vetor nulo. Logo, 𝑢 + 𝑛 = 𝑢 ⇒ 𝑥 + 𝑛 = 𝑥 ⇒ 𝑛 = 𝑥 . Assim, existe vetor nulo, que
equivale ao próprio 𝑥 .
4.
Seja 𝑝 o vetor oposto. Logo, 𝑢 + 𝑝 = 𝑛 ⇒ 𝑥 + 𝑝 = 𝑥 ⇒ 𝑝 = 𝑥 . Assim, existe vetor oposto, que
também equivale ao próprio 𝑥 . O vetor oposto de 𝑢 é 𝑢.
𝛼 𝑢 + 𝑣 = 𝛼 𝑥 + 𝑥 = 𝛼𝑥 = 𝑥
5.
⇒  𝑢 + 𝑣 = 𝑢 + 𝑣
𝛼𝑢 + 𝛼𝑣 = 𝛼𝑥 + 𝛼𝑥 = 𝑥 + 𝑥 = 𝑥
 +𝛽 𝑢=  +𝛽 𝑥 =𝑥
6.
⇒ ( + 𝛽)𝑥 = 𝑎𝑢 + 𝛽𝑣
𝑢 + 𝛽𝑢 = 𝑥 + 𝛽𝑥 = 𝑥 + 𝑥 = 𝑥
 𝛽𝑢 =  𝛽𝑥 = 𝑥 = 𝑥
7.
 ⇒  𝛽𝑢 = β 𝑢
𝛼𝛽 𝑢 = 𝛼𝛽 𝑥 = 𝑥
8.
1𝑢 = 1𝑥 = 𝑥 = 𝑢
6.1. Questões
1) Verifique que 𝑀 2,2 =
𝑎
𝑐
𝑏
𝑑
𝑎, 𝑏, 𝑐 e 𝑑 ∈ ℝ é um espaço vetorial com as operações.
2) Seja 𝐹 o conjunto de todas as funções reais, de variável real, ou seja 𝐹 = {𝑓: ℝ → ℝ}. O vetor soma
𝑓 + 𝑔, para quaisquer funções 𝑓 e 𝑔 em 𝐹 é definido por:
𝑓+𝑔 𝑥 =𝑓 𝑥 +𝑔 𝑥
e para qualquer escalar 𝑟 ∈ ℝ e qualquer 𝑓 ∈ 𝐹 o produto 𝑟𝑓 é tal que:
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Apostila de Álgebra Linear
𝑟𝑓 𝑥 = 𝑟. 𝑓 𝑥
Mostre que 𝐹, com essas operações, é um espaço vetorial.
7. Subespaços vetoriais
Dado um espaço vetorial V, há subconjuntos de V tais que eles próprios também são espaços vetoriais, só
que menores. Esses subconjuntos são chamados de subespaços de V.
Dado um espaço vetorial V, um subconjunto W, não-vazio, será um subespaço vetorial de V se forem
válidas as mesmas duas operações de antes:

Soma: 𝑉 𝑥 𝑉 → 𝑉  Se 𝑥 , 𝑦 ∈ 𝑉, então 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝑉;

Produto por escalar: ℝ 𝑥 𝑉 → 𝑉  Se 𝛼 é escalar e 𝑥 ∈ 𝑉, então 𝛼𝑥 ∈ 𝑉.
Se ambas as operações forem válidas em W, não é necessário verificar as oito propriedades dos vetores
para dizer que W é espaço vetorial, pois elas já são válidas em V, que contém W.
Todo espaço vetorial admite pelo menos dois subespaços (que são chamados triviais):
1. O conjunto formado somente pelo vetor nulo (a origem).
2. O próprio espaço vetorial: V é subconjunto de si mesmo.
Todo subespaço vetorial tem como elemento o vetor nulo, pois ele é necessário à condição de
multiplicação por escalar: quando 𝛼 = 0 ⇒ 𝛼𝑢 = 0.
Para conferirmos se um subconjunto W é subespaço, basta verificar que 𝑣 + 𝛼𝑢 ∈ 𝑊, para quaisquer
𝑣 𝑒 𝑢 ∈ 𝑉 e qualquer 𝛼 ∈ ℝ, em vez de checar as duas operações separadamente.
Exemplo: Em ℝ3 , os únicos subespaços são a origem, as retas e os planos que passam pela origem e o
próprio ℝ3 .
Exemplo: Seja 𝑉 = 𝑀(3,3), ou seja, o conjunto das matrizes de ordem 3, e W o subconjunto das matrizes
triangulares superiores. W é subespaço de V?
Solução:
Está implícito que V é um espaço vetorial. Assim, verificamos as duas operações para W:
𝑎+𝑔 𝑏+𝑕 𝑐+𝑖
𝑎 𝑏 𝑐
𝑔 𝑕 𝑖
0
𝑑
𝑒
0
𝑑+𝑗 𝑒+𝑘 ∈𝑊
i)
+ 0 𝑗 𝑘 =
0 0 𝑓
0
0
𝑓+𝑙
0 0 𝑙
𝑎 𝑏 𝑐
𝛼𝑎 𝛼𝑏 𝛼𝑐
ii) 𝛼 0 𝑑 𝑒 = 0 𝛼𝑑 𝛼𝑒 ∈ 𝑊
0 0 𝑓
0
0 𝛼𝑓
Logo, W é subespaço de V.
Observação: as matrizes triangulares inferiores formam um conjunto que também é subespaço, o que
também é o caso das matrizes diagonais e das simétricas.
Exemplo: Verifique se o conjunto-solução do sistema linear homogêneo abaixo é um subespaço de
𝑉 = 𝑀(3,1).
2𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = 0
𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 0
𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 0
2 4 1 𝑥
0
Solução: Temos o seguinte sistema: 1 1 2 𝑦 = 0
1 3 −1 𝑧
0
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Desta forma, estamos procurando, dentro do espaço vetorial 𝑀(3,1), os vetores que satisfazem o
sistema, isto é, o conjunto dos vetores-solução. Depois precisamos saber se esse conjunto é subespaço de
𝑀(3,1).
𝑥1
𝑥2
Assim, considere os vetores-solução: 𝑦1 e 𝑦2
𝑧1
𝑧2
𝑥1
𝑥2
2 4 1
2 4 1 𝑥1
2 4 1 𝑥2
0
0
0
𝑦
𝑦
𝑦
i) 1 1 2
= 1 1 2
2 𝑦2 = 0 + 0 = 0
1 +
2
1 + 1 1
𝑧1
𝑧2
1 3 −1
1 3 −1 𝑧1
1 3 −1 𝑧2
0
0
0
𝑥1
2 4 1
2 4 1 𝑥1
0
0
ii) 1 1 2
𝛼 𝑦1 = 𝛼 1 1 2 𝑦1 = 𝛼 0 = 0
𝑧1
1 3 −1
1 3 −1 𝑧1
0
0
O resultado de (i) e (ii) ainda pertence ao conjunto dos vetores-solução e, portanto, ele é subespaço de
𝑀(3,1).
Exemplo: Seja 𝑉 = ℝ2 e 𝑊 = { 𝑥, 𝑥 2 / 𝑥 ∈ ℝ}. Verifique se W é subespaço de V.
Solução: Se escolhermos 𝑢 = 1,1 e 𝑣 = (2,4), temos 𝑢 + 𝑣 = (3,5) ∉ 𝑊. Logo, W não é subespaço.
Exemplo: Seja 𝑉 = 𝑀(𝑛, 𝑛) e W o subconjunto de todas as matrizes em que 𝑎11 < 0. Verifique se W é
subespaço de V.
Solução:
i) A condição de soma é satisfeita, pois ainda gera uma matriz em que 𝑎11 < 0.
ii) Se fizermos 𝛼𝑀, com 𝛼 < 0, temos que 𝑎11 da nova matriz será maior que zero.
Assim, W não é subespaço.
Exemplo: Verifique se o conjunto solução do sistema linear não-homogêneo abaixo é um subespaço.
2𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = 1
𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 1
𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 0
Solução:
𝑥1
𝑥2
2 4 1 𝑥
1
Temos o seguinte sistema: 1 1 2 𝑦 = 1 e os seguintes vetores-solução: 𝑦1 e 𝑦2 .
𝑧1
𝑧2
1 3 −1 𝑧
0
Assim,
𝑥1
𝑥2
𝑥1
𝑥2
2 4 1
2 4 1
2 4 1
1
1
2
i) 1 1 2 . 𝑦1 + 𝑦2 = 1 1 2 . 𝑦1 + 1 1 2 . 𝑦2 = 1 + 1 = 2
𝑧1
𝑧2
1 3 −1
1 3 −1 𝑧1
1 3 −1 𝑧2
0
0
0
2
1
O vetor dos termos independentes resultante 2 é diferente do vetor do sistema linear 1 .
0
0
Logo, o conjunto dos vetores-solução não é um subespaço de M(3,1).
Exemplo: Seja 𝑆 = 𝑥1 , 𝑥2 / 𝑥2 = 2𝑥1 . Sendo S subconjunto de ℝ2 , verifique se S é subespaço de ℝ2 .
Solução:
i) 𝑐1 , 2𝑐1 + 𝑐2 , 2𝑐2 = 𝑐1 + 𝑐2 , 2𝑐1 + 2𝑐2 = 𝑐1 + 𝑐2 , 2(𝑐1 + 𝑐2 ) ∈ 𝑆
ii)  𝑐1 , 2𝑐1 = 𝑐1 , 2𝑐1 ∈ 𝑆
Exemplo: Verifique se 𝑊 = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2 / 𝑦 = −2𝑥 + 1 é subespaço de ℝ2 .
Solução:
i) 𝑊 = 𝑥, −2𝑥 + 1 / 𝑥 𝜖 ℝ . Como (0,0) ∉ 𝑊, pode-se concluir que o subconjunto 𝑊não é um
subespaço vetorial de ℝ2 .
Exemplo: Verifique se 𝑊 =
Solução:
𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ3 / 𝑥 − 2𝑦 − 4𝑧 = 6 é subespaço de ℝ3 .
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𝑊 = 6 + 2𝑦 + 4𝑧, 𝑦, 𝑧 ; 𝑦, 𝑧 𝜖 ℝ . Tomando 𝑦 = 0 e 𝑧 = 0 temos (6,0,0). Como (0,0,0) ∉
𝑊, então 𝑊não é um subespaço vetorial de ℝ3 .
i)
7.1. Questões
1) Mostre que os seguintes subconjuntos de ℝ4 são subespaços
a) W = {(x, y, z, t) ∈ ℝ4 / x + y = 0 e z – t = 0}
b) U = {(x, y, z, t) ∈ ℝ4 / 2x + y – t = 0 e z = 0}
2) Considere o subespaço S = [(1, 1, -2, 4), (1, 1, -1, 2), (1, 4, -4, 8)] de ℝ4 .
2
a) O vetor ( 3, 1, -1, 2) pertence a S?
b) O vetor (0, 0, 1, 1) pertence a S?
3) Nos problemas que seguem, determine se W é ou não um subespaço do espaço vetorial:
a) 𝑉 = ℝ3 , 𝑊1 = 𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑥0𝑦, 𝑊2 = { 𝑥, 𝑦, 𝑧 ; 𝑥 = 𝑦 = 𝑧} e 𝑊3 = { 𝑥, 𝑦, 𝑧 ; 𝑥 = 𝑦}
b) 𝑉 = ℝ2 ; 𝑊 = {(𝑥, 𝑦); 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 1};
4) Considere os seguintes conjuntos de vetores. Quais deles são subespaços de ℝ3 ?
a) (x,y,z), tais que z = x3
b) (x,y,z), tais que z = x + y;
c) (x,y,z), tais que z >= 0;
d) (x,y,z), tais que z = 0 e xy >= 0;
e) (x,y,z), tais que x = z = 0;
f) (x,y,z), tais que x = -z;
g) (x,y,z), tais que y = 2x + 1;
h) (x,y,z), tais que z2 = x2 + y2.
5) Determine se W é subespaço de ℝ3 ou não, onde W consiste nos vetores (𝑎, 𝑏, 𝑐) ∈ ℝ3 para os quais:
a) a = 2b
b)a ≤ b ≤ c
c)ab = 0
d)a = b = c
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6) Seja W o conjunto de todos os vetores em ℝ4 de forma (x, x+y, y, 2x + 3y), onde 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ.
W é um subespaço de ℝ4 ?
7) Seja W o conjunto de todos os vetores do ℝ3 da forma (x, y, x2 + y2), onde 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ.
W é um subespaço de ℝ3 ?
8) Seja W o conjunto de todos os vetores ℝ4 da forma (x, y, x+1, 2x + y – 3), onde 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ.
W é um subespaço de ℝ4 ?
9) Dados os conjuntos W em cada espaço vetorial V indicado proceda assim:
i)
Reescreva W apresentando seu vetor genérico;
ii)
Verifique se W é subespaço vetorial de V.
a) 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∈ ℝ4 ; 𝑥 = 𝑦 e 𝑧 = 2𝑡} sendo 𝑉 = ℝ4 ;
b) W é o conjunto de todas as matrizes identidade de ordem 𝑛 × 𝑛, sendo 𝑉 = 𝑀(𝑛, 𝑛);
c) 𝑊 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 ; 𝑦 ≤ 0} sendo 𝑉 = ℝ2 ;
d 𝑊 = {(𝑎, 2𝑎, 3𝑎); 𝑎 ∈ ℝ} sendo 𝑉 = ℝ3 .
10) Considere o subespaço de ℝ3 gerado pelos vetores v1=(1,1,0), v2=(1,-1,1) e v3=(1,1,1). O espaço
gerado por esses vetores é igual ao ℝ3 ? Por quê?
8. Interseção, união e soma de subespaços
8.1. Interseção
Dados W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial V, a interseção 𝑊1 ∩ 𝑊2 sempre será subespaço de V.
Prova: Inicialmente observamos que 𝑊1 ∩ 𝑊2 nunca é vazio, pois ambos contêm o vetor nulo de V. Assim,
basta verificar as condições de soma e produto por escalar apresentadas anteriormente para os
subespaços. Suponha então 𝑤 𝑒 𝑣 ∈ 𝑊1 ∩ 𝑊2
𝑤 + 𝑣 ∈ 𝑊1
 W1 é subespaço ↔
𝛼𝑣 ∈ 𝑊1
𝑤 + 𝑣 ∈ 𝑊2
𝑤 + 𝑣 ∈ 𝑊1 ∩ 𝑊2
 W2 é subespaço ↔
, deste modo →
𝛼𝑣 ∈ 𝑊2
𝛼𝑣 ∈ 𝑊1 ∩ 𝑊2
Exemplo: Seja 𝑉 = ℝ3 , 𝑊1 ∩ 𝑊2 é a reta de interseção dos planos 𝑊1 e 𝑊2 .
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Exemplo:
𝑊1 = 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧𝑒𝑠 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠
, então
𝑊2 = {𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧𝑒𝑠 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠}
𝑊1 ∩ 𝑊2 = 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧𝑒𝑠 𝐷𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑖𝑠 .
Seja 𝑉 = 𝑀(𝑛, 𝑛) e
8.2. Soma
Podemos construir um conjunto que contenha 𝑊1 e 𝑊2 e ainda é subespaço de V. Este conjunto será
formado por todos os vetores de V que forem a soma de vetores de W1 com vetores de W2.
𝑊1 + 𝑊2 = 𝑢 ∈ 𝑉 / 𝑢 = 𝑣 + 𝑤 𝑐𝑜𝑚 𝑣 ∈ 𝑊1 𝑒 𝑤 ∈ 𝑊2
Prova:
Dados:
𝑢 = 𝑤 + 𝑣 ∈ 𝑊1 + 𝑊2 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑣 ∈ 𝑊1 𝑒 𝑤 ∈ 𝑊2
𝑢′ = 𝑤′ + 𝑣′ ∈ 𝑊1 + 𝑊2 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑣′ ∈ 𝑊1 𝑒 𝑤′ ∈ 𝑊2
Temos que:
𝑢 + 𝑢′ = 𝑤 + 𝑣 + 𝑤 ′ + 𝑣 ′ = 𝑣 + 𝑣′ + 𝑤 + 𝑤 ′ ∈ 𝑊1 + 𝑊2
𝛼𝑢 = 𝛼 𝑤 + 𝑣 = 𝛼𝑤 + 𝛼𝑣 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝛼𝑤 ∈ 𝑊1 𝑒 𝛼𝑣 ∈ 𝑊2 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝛼𝑢 ∈ 𝑊1 + 𝑊2
Caso os dois subespaços sejam retas não-colineares, a soma deles equivale ao plano formado por elas.
Se as parcelas 𝑊1 e 𝑊2 têm interseção 𝑊1 ∩ 𝑊2 = 0 , a soma 𝑊1 + 𝑊2 é dita soma direta e é denotada
por 𝑊1 ⨁𝑊2 .
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0 0
𝑎 𝑏
𝑎
e 𝑊2 =
, onde a, b, c, d ∈ ℝ, então 𝑊1 + 𝑊2 =
𝑐 𝑑
0 0
𝑐
0 0
Esta é uma soma direta, pois 𝑊1 ∩ 𝑊2 =
= 0.
0 0
Exemplo: Seja 𝑊1 =
𝑏
= 𝑀(2,2).
𝑑
8.3. União
A união de dois subespaços 𝑊1 e 𝑊2 , diferente da soma, é um conjunto que contém exatamente todos os
elementos de 𝑊1 e de 𝑊2 . Deste modo, nem sempre a união de subespaços é um subespaço.
Exemplo:
𝑊1 = (𝑥, 0) / 𝑥 ∈ ℝ = 𝑥(1,0) / 𝑥 ∈ ℝ
𝑊2 = (0, 𝑦) / 𝑦 ∈ ℝ = 𝑦(0,1) / 𝑦 ∈ ℝ
W1 e W2 são retas que passam pela origem. Assim, 𝑊1 ∩ 𝑊2 = 0 e 𝑊1 ∪ 𝑊2 é o feixe formado pelas
duas retas, que não é subespaço vetorial de ℝ3 . De fato, se somarmos os dois vetores 𝑣 𝑒 𝑤 , vemos que
𝑣 + 𝑤 está no plano que contém 𝑊1 e 𝑊2 , mas 𝑣 + 𝑤 ∉ 𝑊1 ∪ 𝑊2 .
8.4. Questões
1) Sejam 𝑊1 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∈ ℝ4 |𝑥 + 𝑦 = 0 e 𝑧 − 𝑡 = 0} e 𝑊2 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∈ ℝ4 |𝑥 − 𝑦 − 𝑧 + 𝑡 = 0}
subespaços de ℝ4 .
a) Determine 𝑊1 ∩ 𝑊2
b) Exiba uma base para 𝑊1 ∩ 𝑊2
c) Determine 𝑊1 + 𝑊2
d) 𝑊1 + 𝑊2 é soma direta? Justifique.
e) 𝑊1 + 𝑊2 = ℝ4 ?
9. Combinação linear
Considere um conjunto de vetores qualquer, pertencente a um espaço vetorial V. Já foi mostrado que
somar estes vetores entre si em qualquer combinação resultará em um vetor pertencente a V. Também
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foi mostrado que multiplicar cada vetor por um escalar também gera um resultado pertencente a V, caso
contrário V não seria um espaço vetorial.
De fato, sejam 𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 ∈ 𝑉 e sejam os escalares 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 ∈ ℝ. Então qualquer vetor 𝑣 da forma
𝑣 = 𝑎1 𝑣1 + 𝑎2 𝑣2 + … + 𝑎𝑛 𝑣𝑛
é um elemento do mesmo espaço vetorial V.
Por ter sido gerado pelos vetores primitivos 𝑣1 , … , 𝑣𝑛 , o vetor 𝑣 é denominado o resultado de uma
combinação linear de 𝑣1 , … , 𝑣𝑛 .
O conjunto de escalares {𝑎1 , … , 𝑎𝑛 } é arbitrário, mas sendo um conjunto de números reais, o vetor 𝑣
sempre pertencerá a V.
O vetor 𝑣 não é único, pois para cada combinação de escalares pode gerar um vetor 𝑣 diferente.
Exemplo: O vetor 𝑣 = (−4, −18,7) é combinação linear dos vetores 𝑣1 = 1, −3,2 e 𝑣2 = (2,4, −1), já
que 𝑣 pode ser escrito como 𝑣 = 2𝑣1 − 3𝑣2 .
9.1. Questões
1) Quais dos seguintes vetores são combinação linear de 𝑥1 , 𝑥2 e 𝑥3 ?
𝑥1 = 4,2, −3 , 𝑥2 = (2,1, −2) e 𝑥3 = (−2, −1,0)
a) (1,1,1)
b) 4,2, −6
c) −2, −1,1
d) (−1,2,3)
2) Escreva 𝐸 como combinação linear de 𝐴 =
a) 𝐸 =
3 −1
1 −2
b) 𝐸 =
2
1
−1 −2
1
0
1
1 1
1 −1
,𝐵 =
,𝐶 =
, onde:
−1
−1 0
0 0
3) Considere os vetores 𝑢 = (1, −3,2) e 𝑣 = (2, −1,1) em ℝ3 .
a) Escreva (1,7, −4) como combinação linear de 𝑢 e 𝑣.
b) Escreva (2, −5,4) como combinação linear de 𝑢 e 𝑣.
c) Para que valor de 𝑘 o vetor (1, 𝑘, 5) é uma combinação linear de 𝑢 e 𝑣?
d) Procure uma condição para 𝑎, 𝑏 e 𝑐 de modo que (𝑎, 𝑏, 𝑐) seja combinação linear de 𝑢 e 𝑣.
4) Determinar o valor de 𝑘 para que o vetor 𝑢 = (−1, 𝑘, −7) seja combinação linear de 𝑣1 = (1,3,2) e
𝑣2 = (2,4,1).
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10.Subespaços gerados
Um conjunto de vetores {𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 } pode construir vetores 𝑣 por meio de combinação linear. Fazendo
todas as combinações possíveis (isto é, fazendo cada escalar ter todos os valores reais possíveis), o
conjunto constrói uma infinidade de vetores que compõem um conjunto expandido. Esse conjunto é um
subespaço vetorial. O conjunto 𝑣1 , … , 𝑣𝑛 é chamado de conjunto de vetores de base, pois, em termos
formais, ele gerou o subespaço W, definido abaixo.
Definição: Um subespaço gerado por um conjunto de vetores 𝐵 = 𝑣1 , … , 𝑣𝑛 é o conjunto de todos os
vetores V que são combinações lineares dos vetores 𝑣1 , … , 𝑣𝑛 ∈ 𝑉.
𝑊 = 𝑣1 , … , 𝑣𝑛 = {𝑣 ∈ 𝑉 / 𝑣 = 𝑎1 𝑣1 +. . . +𝑎𝑖 𝑣𝑖 +. . . + 𝑎𝑛 𝑣𝑛 , 𝑐𝑜𝑚 𝑎𝑖 ∈ ℝ, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛}
Obs.: A notação de colchetes informa que o conjunto W é o conjunto gerado por 𝑣1 , … , 𝑣𝑛 . Não
confundir com o próprio conjunto gerador 𝑣1 , … , 𝑣𝑛 . Ou seja, 𝑣1 , 𝑣2 é um conjunto com infinitos
vetores formados da combinação destes dois e {𝑣1 , 𝑣2 } é um conjunto com apenas dois vetores.
Exemplo: Seja 𝑉 = ℝ3 e 𝑣 ∈ 𝑉 (sendo 𝑣 ≠ 0), então 𝑣 = {𝑎𝑣 , 𝑎 ∈ ℝ} é a reta que contém o vetor 𝑣 ,
pois é o conjunto de todos os vetores com a mesma direção de 𝑣 que tem origem em (0,0).
Exemplo: Se 𝑣1 , 𝑣2 ∈ ℝ3 são tais que 𝛼𝑣1 ≠ 𝑣2 qualquer que seja 𝛼 ∈ ℝ, então 𝑣1 , 𝑣2 será o plano que
passa pela origem e contém 𝑣1 e 𝑣2 :
A condição 𝛼𝑣1 ≠ 𝑣2 é importante para garantir que os dois vetores gerem um plano. Caso ela não seja
satisfeita, os vetores 𝑣1 e 𝑣2 seriam colineares, e não existira nenhuma combinação deles que pudesse
gerar um vetor que não pertencesse à reta que eles geram.
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Nota-se que um conjunto gerador de dois elementos que um é combinação linear do outro equivale a um
conjunto gerador com apenas um desses dois elementos.
Assim, se 𝑣3 ∈ 𝑣1 , 𝑣2 , então 𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 = 𝑣1 , 𝑣2 , pois todo vetor que pode ser escrito como
combinação linear de 𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 é uma combinação linear apenas de 𝑣1 e 𝑣2 , já que 𝑣3 é combinação
linear de 𝑣1 e 𝑣2 .
Exemplificando:
Seja 𝐵 = {𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 } tal que 𝑣3 = 𝑝𝑣1 + 𝑞𝑣2 .
Um elemento qualquer do conjunto gerado por B é da forma:
𝑣 = 𝑎1 𝑣1 + 𝑎2 𝑣2 + 𝑎3 𝑣3 = 𝑎1 𝑣1 + 𝑎2 𝑣2 + 𝑎3 (𝑝𝑣1 + 𝑞𝑣2 )
= 𝑎1 + 𝑝𝑎3 𝑣1 + 𝑎2 + 𝑞𝑎3 𝑣2 = 𝑏1 𝑣1 + 𝑏2 𝑣2
Exemplo: Seja 𝑉 = ℝ2 , 𝑣1 = (1,0) e 𝑣2 = (0,1).
Assim, 𝑉 = 𝑣1 , 𝑣2 , pois dado 𝑣 = (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑉, temos 𝑥, 𝑦 = 𝑥 1,0 + 𝑦(0,1), ou seja, 𝑣 = 𝑥𝑣1 + 𝑦𝑣2 .
1 0
0 1
𝑎 𝑏
Exemplo: Seja 𝑣1 =
e 𝑣2 =
, então 𝑣1 , 𝑣2 =
, 𝑐𝑜𝑚 𝑎 𝑒 𝑏 ∈ ℝ
0 0
0 0
0 0
Observa-se que se em um conjunto gerador existir algum vetor que é combinação linear de outros
elementos do próprio conjunto gerador, esse elemento é inútil. Eliminá-lo do conjunto gerador não
modifica o conjunto gerado. Tal propriedade pode ser verificada lembrando que a combinação linear é
uma soma de vetores, e que a parcela da soma do vetor que é gerado por outros pode ser substituída
pelos próprios vetores que o geram.
Assim, qualquer elemento do conjunto gerado por B pode ser escrito como combinação linear de apenas
𝑣1 e 𝑣2 . Surge então a necessidade de verificar quando um vetor é combinação linear de outros.
10.1. Questões
1) Quais dos seguintes conjuntos de vetores é um conjunto gerador de ℝ4 ?
a) {(1,0,0,1); (0,1,0,0); (1,1,1,1); (0,1,1,1)}
b) {(1, −1,0,2); (3, −1,2,1); (1,0,0,1)}
c) {(0,0,1,1); (−1,1,1,2); (1,1,0,0); (2,1,2,1)}
𝑥 − 2𝑦 + 𝑧
2) Resolva o seguinte sistema, usando a Regra de Cramer: 2𝑥 + 𝑦
𝑦 − 5𝑧
=1
=3
=4
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11. Dependência e Independência Linear
Um conjunto de vetores é dito linearmente independente (freqüentemente indicado por LI) quando
nenhum elemento contido nele é gerado por uma combinação linear dos outros (lembrar o conceito de
combinação linear apresentado anteriormente). Naturalmente, um conjunto de vetores é dito
linearmente dependente (LD) se pelo menos um de seus elementos é combinação linear dos outros.
Sejam V um espaço vetorial e 𝑣1 , … , 𝑣𝑛 ∈ 𝑉.
Dizemos que o conjunto 𝑣1 , … , 𝑣𝑛 ou que os vetores 𝑣1 , … , 𝑣𝑛 são linearmente independentes (LI) se a
equação
𝑎1 𝑣1 +. . . + 𝑎𝑛 𝑣𝑛 = 0
admitir apenas a solução trivial, isto é: 𝑎1 = . . . = 𝑎𝑛 = 0
Se existir algum 𝑎𝑗 ≠ 0, dizemos que 𝑣1 , … , 𝑣𝑛 ou que os vetores 𝑣1 , … , 𝑣𝑛 são linearmente
dependentes (LD).
Em outras palavras, o conjunto 𝑣1 , … , 𝑣𝑛 é LD se, e somente se um destes vetores for combinação linear
dos outros.
Prova:
Sejam 𝑣1 , … , 𝑣𝑛 LD e 𝑎1 𝑣1 +. . . +𝑎𝑗 𝑣𝑗 +. . . + 𝑎𝑛 𝑣𝑛 = 0. Suponha que 𝑎𝑗 ≠ 0 (para ser LD).
Então 𝑣𝑗 =
−1
𝑎𝑗
𝑎1 𝑣1 +. . . +𝑎𝑗 −1 𝑣𝑗 −1 + 𝑎𝑗 +1 𝑣𝑗 +1 +. . . + 𝑎𝑛 𝑣𝑛 .
Portanto, 𝑣𝑗 é combinação linear.
Por outro lado, se tivermos 𝑣1 , … , 𝑣𝑗 , … , 𝑣𝑛 tal que para algum 𝑗
𝑣𝑗 = 𝑏1 ∙ 𝑣1 + ⋯ + 𝑏𝑗 −1 ∙ 𝑣𝑗 −1 + 𝑏𝑗 +1 ∙ 𝑣𝑗 +1 + ⋯ + 𝑏𝑛 ∙ 𝑣𝑛
Então, 𝑏1 ∙ 𝑣1 + ⋯ − 𝑣𝑗 + ⋯ + 𝑏𝑛 ∙ 𝑣𝑛 = 0
Logo, 𝑏𝑗 = −1 e, portanto, V é LD.
A Independência Linear tem uma interpretação geométrica útil:
i)
Seja 𝑉 = 𝑅 2 e 𝑣1 , 𝑣2 ∈ 𝑉. 𝑣1 , 𝑣2 é LD se e somente se 𝑣1 e 𝑣2 estiverem na mesma reta quando
colocados com seus pontos iniciais na origem 𝑣1 = 𝜆 ∙ 𝑣2 *são pararlelos:
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ii)
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Seja 𝑉 = 𝑅 3 e 𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 e 𝑉. 𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 é LD se estes 3 vetores estiverem no mesmo plano quando
colocados com seus pontos iniciais na origem:



Exemplo: Os vetores v1  (2, 2, 0) , v2  (0,5, 3) e v3  (0, 0, 4) são LI ou LD?
Solução: Verificando a expressão a1 (2, 2,0)  a2 (0,5, 3)  a3 (0,0, 4)  (0,0,0)
2a1  0  a1  0




  2a1  5a2  0  a2  0 
3a  4a  0  a  0 
2
3
3


Logo, como o sistema admite somente a solução trivial, os vetores são LI.
11.1. Questões
1) Considere dois vetores (𝑎, 𝑏) e (𝑐, 𝑑) no plano. Se 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 = 0, mostre que eles são LD. Se 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠
0, mostre que eles são LI.
2) Para quais valores de 𝑎 o conjunto de vetores {(3,1,0); (𝑎2 + 2,2,0)} é LD?
3) Verifique se os polinômios seguintes são linearmente dependentes ou independentes.
a) 𝑡 2 − 2𝑡 + 3, 2𝑡 2 + 𝑡 + 8 e 𝑡 2 + 8𝑡 + 7
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b) 𝑡 2 − 1, 𝑡 + 1 e 𝑡 + 2
4) Ache as relações lineares não triviais satisfeitas pelos seguintes conjuntos de vetores.
a) (2,1,1), 3, −4,6 e (4, −9,11) ∈ ℝ3
b) (2,1), (−1,3) e (4,2) ∈ ℝ2
c) (1,0,2,4), 0,1,9,2 e (−5,2,8, −16) ∈ ℝ4 R4
d) (1,4), 3, −1 e (2,5) ∈ ℝ2
5) Verifique se o conjunto a seguir é LD ou LI: {(1,2𝑥, −𝑥 2 ), (2, −𝑥, 3𝑥 2 ), (3, −4𝑥, 7𝑥 2 )}.
12. Base de um espaço vetorial
Considere um espaço vetorial V. Admita a existência de um subconjunto B desse espaço (não
necessariamente um subespaço) tal que B gere V por combinação linear. Notar que para um espaço
particular V, B não é único, vários conjuntos B distintos podem gerar V. De fato, o próprio V pode gerar
ele mesmo. Porém, é mais simples trabalhar com conjuntos menores, e é de interesse resumir um grande
conjunto V em um pequeno conjunto B. Foi verificado acima que dentro de B quaisquer elementos
formados por combinações lineares dos outros são “inúteis”. Ou seja, se B for um conjunto LD, existe pelo
menos um vetor “inútil”, que pode ser eliminado para tornar B menor e mais simples. O processo pode
continuar até que B se torne LI. Se B é LI, e ainda consegue gerar V (Lembre-se que a eliminação de
elementos LD de um conjunto gerador não modifica o conjunto gerado) é denominado base.
Uma base de um espaço vetorial é um conjunto LI gerador deste espaço. É também a maneira mais
simples de “resumir” o espaço.
Condições:
i) {𝑣1 , … , 𝑣𝑛 } é LI
ii) 𝑣1 , … , 𝑣𝑛 = 𝑉 (O conjunto gera V) Atenção! Todo conjunto LI de um vetorial V é base de um
subespaço gerado por ele.
Exemplo: Prove que B  {(1,1),(1,0)} é base de R 2
Solução:
i) a  (1,1)  b  (1,0)  (0,0)  (a  b, a)  (0,0)  a  b  0  B é LI
ii) a  (1,1)  b  (1,0)  ( x, y)
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a  b  x  b  y  x

 (a  b, a)  ( x, y)  
 B gera R 2 
a y


Exemplo: Prove que {(0,1),(0, 2)} Não é base de R
2
Solução:
i)
a  (0,1)  b  (0, 2)  (0, 0)
 (0, a  2  b)  (0, 0)  a  2  b
Mas como 𝑎 e 𝑏 não são necessariamente zero, o conjunto é LD.
Exemplo:
1,0,0 , 0,1,0
não é base de ℝ3 . É LI, mas não gera todo ℝ3 , isto é, 1,0,0 , 0,1,0
≠ ℝ3
𝑎 ∙ 1,0,0 + 𝑏 ∙ 0,1,0 = 𝑥, 𝑦, 𝑧
𝑎, 𝑏, 0 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 ⟹ 𝑧 = 0
Como o ℝ3 não é composto apenas de pontos com a coordenada z nula, os dois vetores não podem ser
base.
Exemplo: 𝑉 = 𝑀 2,2 .
1 0 0
;
0 0 0
1 0
;
0 1
0 0
;
0 0
0
é uma base de 𝑉.
1
Observação: Existem espaços que não tem base finita, principalmente quando trabalhamos com espaços
de funções. Então, precisaremos de um conjunto infinito de vetores para gerar o espaço. Isto não implica
que estamos trabalhando com combinações lineares infinitas, mas sim, que cada vetor do espaço é uma
combinação linear finita daquela “base infinita”. Ou seja, para cada vetor dado, podemos escolher uma
quantidade finita de vetores da base para escrevê-lo. Por exemplo, o conjunto de todos polinômios de
coeficientes reais formam um espaço vetorial. Uma base naturalmente definida é {1, 𝑥, 𝑥 2 , 𝑥 3 , . . . }, que é
infinita, pois não há restrição para o grau do polinômio. Porém, para formar um polinômio particular é
possível utilizar um número finito de elementos da base.
Teorema: Sejam 𝑣1 , … , 𝑣𝑛 vetores não nulos que geram um espaço vetorial 𝑉. Dentre estes vetores
podemos extrair uma base de 𝑉.
Prova:
i) Se 𝑣1 , … , 𝑣𝑛 são LI, eles cumprem as condições para uma base e não temos mais nada a fazer.
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ii) Se 𝑣1 , … , 𝑣𝑛 são LD, então existe uma combinação linear deles com algum coeficiente diferente de zero,
dando o vetor nulo: 𝑥1 ∙ 𝑣1 + … + 𝑥𝑛 ∙ 𝑣𝑛 = 0
Por exemplo, seja 𝑥𝑢 ≠ 0, então:
𝑥
𝑥
𝑣𝑛 = − 𝑥 1 ∙ 𝑣1 − 𝑥 2 ∙ 𝑣2 − ⋯ − −
𝑛
𝑛
𝑥 𝑛 −1
𝑥𝑛
∙ 𝑣𝑛−1 .
Ou seja, 𝑣𝑛 é uma combinação linear de 𝑣1 , … , 𝑣𝑛−1 e, portanto 𝑣1 , … , 𝑣𝑛−1 ainda geram 𝑉.
Se 𝑣1 , … , 𝑣𝑛−1 ainda for LD, podemos prosseguir da mesma forma até chegar a um subconjunto
𝑣1 , … , 𝑣𝑟 com 𝑟 ≤ 𝑛 que ainda geram 𝑉, ou seja, formaremos uma base.
Isto é, de um espaço gerador qualquer é possível retirar elementos “inúteis” até que ele se torne uma
base. Veremos agora uma propriedade curiosa dos espaços vetoriais: o número de elementos de
qualquer base de um espaço vetorial particular é constante, independe da base escolhida. Este número é
uma propriedade inerente à natureza do espaço.
Teorema: Seja um espaço vetorial 𝑉 gerado por um conjunto de vetores 𝑣1 , … , 𝑣𝑛 . Então, qualquer
conjunto LI tem no máximo "𝑛" vetores.
Prova: Como 𝑣1 , … , 𝑣𝑛 = 𝑉, então podemos extrair uma base para 𝑉. Seja {𝑣1 , … , 𝑣𝑟 } com 𝑟 ≤ 𝑛, esta
base. Considere agora 𝑤1 , 𝑤2 , … , 𝑤𝑚 , 𝑚 vetores de 𝑉, com 𝑚 > 𝑛.
Então, existem constantes tais que:
𝑤1 = 𝑎11 ∙ 𝑣1 + 𝑎12 ∙ 𝑣2 +. . . +𝑎1𝑟 ∙ 𝑣𝑟
𝑤2 = 𝑎21 ∙ 𝑣1 + 𝑎22 ∙ 𝑣2 +. . . +𝑎2𝑟 ∙ 𝑣𝑟
(𝑖)
⋮
𝑤𝑚 = 𝑎𝑚 1 ∙ 𝑣1 + 𝑎𝑚 2 ∙ 𝑣2 +. . . +𝑎𝑚𝑟 ∙ 𝑣𝑟
Consideremos agora uma função linear de 𝑤1 , … , 𝑤𝑛 dando zero:
(𝑖𝑖)0 = 𝑥1 ∙ 𝑤1 + 𝑥2 ∙ 𝑤2 +. . . +𝑥𝑚 ∙ 𝑤𝑚
Substituindo (𝑖) em (𝑖𝑖), temos:
0 = 𝑥1 ∙ 𝑎11 ∙ 𝑣1 + 𝑎12 ∙ 𝑣2 +. . . +𝑎1𝑟 ∙ 𝑣𝑟 +. . . +𝑥𝑚 ∙ 𝑎𝑚 1 ∙ 𝑣1 + 𝑎𝑚 2 ∙ 𝑣2 +. . . +𝑎𝑚𝑟 ∙ 𝑣𝑟
0 = 𝑎11 ∙ 𝑥1 + 𝑎21 ∙ 𝑥2 +. . . +𝑎𝑚 1 ∙ 𝑥𝑚 ∙ 𝑣1 + ⋯ + 𝑎1𝑟 ∙ 𝑥1 + 𝑎2𝑟 ∙ 𝑥𝑟 +. . . +𝑎𝑚𝑟 ∙ 𝑥𝑚 ∙ 𝑣𝑟
Como 𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 são LI, então os coeficientes dessa equação devem ser nulos:
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𝑎11 ∙ 𝑥1 +. . . 𝑎𝑚 1 ∙ 𝑥𝑚 = 0
⋮
𝑎1𝑟 ∙ 𝑥1 +. . . 𝑎𝑚𝑟 ∙ 𝑥𝑚 = 0
Temos então um sistema linear homogêneo com 𝑟 equações e 𝑚 incógnitas 𝑥1 , … , 𝑥𝑚 e, como
𝑟 ≤ 𝑛 < 𝑚, ele admite uma solução não trivial, ou seja, existe uma solução com algum 𝑥𝑖 não nulo.
Portanto 𝑤1 , … , 𝑤𝑚 são LD.
12.1. Questões
1) Quais são as coordenadas de x = (1,0,0) em relação à base β = {(1,1,1),(-1,1,0),(1,0,-1)}?
13. Dimensão
A dimensão de um espaço vetorial 𝑉 é definida como o número de vetores de uma base de 𝑉 e é
denotada por 𝑑𝑖𝑚 𝑉. Se 𝑉 não possui base, 𝑑𝑖𝑚 𝑉 = 0.
Qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o mesmo número de elementos e o número de bases
para cada espaço vetorial é infinito.
Exemplo: 𝑑𝑖𝑚ℝ2 = 2, pois toda base do ℝ2 tem dois vetores, como { 1,0 ; 0,1 } ou { 1,1 ; 0,1 }.
Exemplo: 𝑑𝑖𝑚ℝ𝑛 = 𝑛.
Exemplo: 𝑑𝑖𝑚𝑀 2,2 = 4.
Exemplo: 𝑑𝑖𝑚𝑀 𝑚, 𝑛 = 𝑚𝑥𝑛.
Exemplo: 𝑑𝑖𝑚𝑃𝑛 = 𝑛 + 1 (polinômios de grau n).
Exemplo: dim 0 = 0, pois a origem é apenas um ponto.
Observação: Quando um espaço vetorial V admite uma base finita, dizemos que V é um espaço vetorial de
dimensão finita.
Teorema: Qualquer conjunto de vetores LI de um espaço vetorial V de dimensão finita pode ser
completado de modo a formar uma base de V.
Prova: Seja 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑛 e 𝑣1 , … , 𝑣𝑖 vetores LI, com 𝑖 ≤ 𝑛.
i)
ii)
Se 𝑣1 , … , 𝑣𝑖 = 𝑉, então 𝑖 = 𝑛 e o conjunto forma uma base.
Se existe 𝑣𝑖+1 ∈ 𝑉 tal que 𝑣𝑖+1 ∉ 𝑣1 , … , 𝑣𝑖 , isto é, 𝑣𝑖+1 não é uma combinação linear de 𝑣1 , … , 𝑣𝑖 ,
então {𝑣1 , … , 𝑣𝑖 , 𝑣𝑖+1 } é LI. Se 𝑣1 , … , 𝑣𝑖 , 𝑣𝑖+1 = 𝑉, então {𝑣1 , … , 𝑣𝑖 , 𝑣𝑖+1 } é a base procurada. Caso
contrário, existe 𝑣𝑖+2 ∉ 𝑣1 , … , 𝑣𝑖 , 𝑣𝑖+1 e {𝑣1 , … , 𝑣𝑖 , 𝑣𝑖+1 , 𝑣𝑖+2 } é LI. Se 𝑣1 , … , 𝑣𝑖 , 𝑣𝑖+1 , 𝑣𝑖+2 = 𝑉,
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nossa prova está concluída. Se não, prosseguimos analogamente. Como não poderemos ter mais do
que n vetores LI em V, então após um número finito de passos teremos obtido uma base de V.
Teorema: Se 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑛, qualquer conjunto de n vetores LI formará uma base de V.
Prova: Se não formasse uma base, poderíamos completar o conjunto até formá-la e dessa forma teríamos
uma base com mais do que n vetores em V, o que é um absurdo.
Teorema: Se U e W são subespaços de um espaço vetorial V que tem dimensão finita, então 𝑑𝑖𝑚𝑈 ≤
𝑑𝑖𝑚𝑉 e 𝑑𝑖𝑚𝑊 ≤ 𝑑𝑖𝑚𝑉. Além disso:
dim 𝑈 + 𝑊 = 𝑑𝑖𝑚𝑈 + 𝑑𝑖𝑚𝑊 − dim⁡
(𝑈 ∩ 𝑊)
Para permitir uma interpretação geométrica, consideramos o espaço tridimensional ℝ3 . A dimensão de
qualquer subespaço S de ℝ3 só poderá ser 0,1,2 ou 3. Portanto, temos os seguintes casos:
i)
ii)
iii)
iv)
𝑑𝑖𝑚𝑆
𝑑𝑖𝑚𝑆
𝑑𝑖𝑚𝑆
𝑑𝑖𝑚𝑆
= 0, então 𝑆 = {0}. Ou seja, o subespaço é a origem (apenas um ponto);
= 1, então S é uma reta que passa pela origem;
= 2, então S é um plano que passa pela origem;
= 3, então S é o próprio ℝ3 .
13.1. Questões
1) Ilustre com um exemplo a proposição: “se U e W são subespaços de um espaço vetorial V que tem
dimensão finita então dim 𝑈 + 𝑊 = 𝑑𝑖𝑚𝑈 + 𝑑𝑖𝑚𝑊 − dim⁡
(𝑈 ∩ 𝑊)”.
2) Escreva uma base para o espaço vetorial das matrizes 2 × 2. Qual a dimensão desse espaço?
3) Resolva a questão anterior considerando o espaço das matrizes 3 × 3. E qual seria a dimensão de um
espaço de matrizes 𝑛 × 𝑛?
4) Seja V o espaço das matrizes 2 × 2, e seja W o subespaços gerado por
1 1
2 −4
1 −7
1 −5
,
,
,
−1 5 −5 7
−5 1
−4 2
Encontre uma base e a dimensão de W.
5) Considere o subespaço de ℝ4 gerado pelos vetores 𝑣1 = (1, −1,0,0), 𝑣2 = (0,0,1,1),
𝑣3 = −2,2,1,1 e 𝑣4 = (1,0,0,0).
a) O vetor (2, −3,2,2) pertence a [𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 , 𝑣4 ]? Justifique.
b) Exiba uma base para [𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 , 𝑣4 ]. Qual a dimensão?
c) 𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 , 𝑣4 = ℝ4 ? Por quê?
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14. Mudança de base
Sejam 𝛽 = {𝑢𝑖 , … , 𝑢𝑛 } e 𝛽′ = {𝑤𝑖 , … , 𝑤𝑛 } duas bases ordenadas de um mesmo espaço vetorial V de
dimensão 𝑛. Dado 𝑣 ∈ 𝑉, podemos escrevê-lo como:



v  x1u1  ...  xnun
(i)  


v  y1w1  ...  yn wn
Devemos relacionar 𝑣
𝛽
𝑥1
= … com 𝑣
𝑥𝑛
𝛽′
𝑦1
= … .
𝑦𝑛
Já que {𝑢1 , … 𝑢𝑛 } é base de V, podemos escrever os vetores 𝑤𝑖 como combinação linear dos vetores 𝑢𝑖 :




 w1  a11u1  a21u2  ...  an1un




w
 2  a12u1  a22u2  ...  an 2un
(ii) 
...




 w
n  a1n u1  a2 n u2  ...  ann un
Substituindo (ii) na segunda equação de (i), temos:



v  y1w1  ...  yn wn






= y1 ( a11u1  a21u2  ...  an1un ) + ... + yn ( a1nu1  a2 nu2  ...  annun )


 (a11 y1  ...  a1n yn )u1  ...  (an1 y1  ...  ann yn )un



Mas v  x1u1  ...  xnun , e, como as coordenadas em relação a uma base são únicas, temos:
 x1  a11 y1  ...  a1n yn
𝑥1
𝑎11 … 𝑎1𝑛

⋱
⋮
↔ … = ⋮
...
𝑥
𝑎
…
𝑎
𝑛
𝑛1
𝑛𝑛
 x  a y  ...  a y
n1 1
nn n
 n
A matriz dos coeficientes está
𝑦1
𝑣 𝛽′ = … em outro 𝑣 𝛽 =
𝑦𝑛
𝑦1
…
𝑦𝑛
atuando como uma matriz de mudança de base, pois transforma o vetor
𝑥1
… , numa segunda base. Assim:
𝑥𝑛
𝑎11
⋮
𝑎𝑛1
… 𝑎1𝑛
⋱
⋮ = 𝐼
… 𝑎𝑛𝑛
𝛽′
𝛽
Esta é a matriz de mudança de base da base 𝛽′para a base 𝛽.
Uma vez obtida 𝐼
𝛽′
𝛽 ,
podemos encontrar as coordenadas de qualquer vetor 𝑣 em relação à base 𝛽
multiplicando a matriz pelas coordenadas de 𝑣 em relação à base 𝛽′ (ambas as bases supostamente
conhecidas).
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𝑣
𝛽′
𝛽 é
Observação: Note que a matriz 𝐼
𝛽
= 𝐼
𝛽′
𝛽
𝑣
𝛽′
obtida de (ii) transpondo a matriz dos coeficientes.
Questão: Calcule 𝑣 𝛽 de 𝑣 = (5, −8) para 𝛽 = { 2, −1 ; 3,4 } e 𝛽 ′ = { 1,0 ; 0,1 }.
Solução 1:
i) Inicialmente, procurando 𝐼
𝛽′
𝛽 ,
então colocamos 𝛽′em função de 𝛽:
w1 = 1, 0 = a11 2, −1 + a21 3, 4 = 2a11 + 3a21 , −a11 + 4a21
w2 = 0, 1 = a12 2, −1 + a22 3, 4 = 2a12 + 3a22 , −a12 + 4a22
4
𝑎11 = 11 ; 𝑎12 =
−3
11
1
2
; 𝑎21 = 11 ; 𝑎22 = 11
Dessa forma,
 I 

a
  11
 a21
3
4
 
a12  11
11



a22   1
2 
11 11 
3
4
 


11
11 5   4 
ii)  5, 8     I   5, 8     



2  3  1
1
11 11 
Isto é, (5, 8)  4(2, 1)  1(3, 4) ;
Solução 2: Basta resolver o sistema: (5, 8)  a(2, 1)  b(3, 4)
2a  3b  5
a  4

a  4b  8
b  1

Observação: O cálculo feito da matriz de mudança de base só é vantajoso quando se trabalha com vários
vetores, para não ter que resolver um sistema de equações a cada vetor.
14.1. A inversa da matriz de mudança de base
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Um fato importante é que a matriz 𝐼
para encontrar 𝑣
𝛽′
pois 𝑣
𝛽′
= 𝐼
𝛽
𝛽′
𝛽′
𝛽 é
invertível e
𝐼
𝛽′ −1
𝛽
= 𝐼
𝛽
𝛽′ .
Dessa forma, podemos usá-la
𝑣 𝛽.
14.2. Questões
1
1) Se [𝐼]𝑎′
=
0
𝛼
1
1
0
−1
−1 1 , ache [𝑣]𝑎′ onde [𝑣]𝛼 = 2 .
0 −1
3
2) Se α é base de um espaço vetorial, qual é a matriz de mudança de base [𝐼]𝛼𝛼 ?
3) Seja V o espaço vetorial de matrizes 2 × 2 triangulares superiores. Sejam 𝛽 e 𝛽′ duas bases de V tais
1 0 0 1 0 0
1 0 1 1 1 1
que 𝛽 =
,
,
e 𝛽′ =
,
,
.
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 1
𝛽′
a) Ache [𝐼]𝛽 .
b) Mostre que
𝐼
𝛽′ −1
𝛽
= 𝐼
𝛽
𝛽′ .
4) Uma elipse em uma base cartesiana está rotacionada em um ângulo de 45° e sua base é formada pelos
vetores {(1,0); (0,1)}. Ache a matriz de mudança de base para uma nova base onde os vetores sejam
respectivamente (−1,1) e (2,2).
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