Equações e Funções Trigonométricas

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2015.1
Equações e Funções
Trigonométricas
Jaime Vinícius - Engenharia de Produção
Equações Trigonométricas
Equações trigonométricas são aquelas que envolvem
as funções trigonométricas em seus membros.
Exemplos:
sen (x) =
𝟏
𝟐
cos (2x) = -cos(x)
tg (x) =
𝝅
𝟒
Como as equações trigonométricas possuem uma
gama muito grande de variedades, vamos fazer o
estudo dos principais tipos.
Salvo indicação em contrário, usaremos x como
incógnita.
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Relações Trigonométricas
As relações entre os valores das funções
trigonométricas de um mesmo arco são
denominadas relações trigonométricas. Algumas
relações são importantes como:
𝐬𝐞𝐧𝟐
(𝐱) + 𝐜𝐨𝐬𝟐 (𝐱) = 1
𝐭𝐠 (𝐱) =
𝐬𝐞𝐧 (𝐱)
𝐜𝐨𝐬 (𝐱)
𝐜𝐨𝐬𝐬𝐞𝐜 (𝐱) =
𝐜𝐨𝐭𝐠 (𝐱) =
𝟏
𝐬𝐞𝐧 (𝐱)
𝟏
𝐭𝐠 (𝐱)
=
𝐬𝐞𝐜 (𝐱) =
𝐜𝐨𝐬 (𝐱)
𝐬𝐞𝐧 (𝐱)
𝟏
𝐜𝐨𝐬 (𝐱)
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Equações Trigonométricas
a)
sen (x) = a
-1 < sen(x) < 1
y
y
/2
-y
a -y
y

y
2 x
O
3/2
4/26
Praticando
Resolva a equação:
a) sen2 (𝑥) + 3 sen(𝑥) + 2 = 0
𝒙 =
𝟑

𝟐
+ 𝟐𝒌, k  Z
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Equações Trigonométricas
b)
cos (x) = a
-1 < cos(x) < 1
y
/2
y

O
22--yy
a
2
3/2
6/26
x
Praticando
7/26
Equações Trigonométricas
t
c)
tan (x) = b
b  IR
y
/2
y

O
O
2
3/2
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xx
Praticando
Resolva as equações:
a) tan(3𝑥) = 0
𝒙 =
𝒌
,
𝟑
b) cotg(𝑥) =
𝒙 =

𝟔
kZ
3
+ 𝒌, k  Z
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Revisando
Vamos observar o sinal das funções em cada
quadrante.
/2
Use Sempre a Tua Cabeça.
S U

T
C
2
U = Todas as funções tem valor positivo.
S = A função seno tem valor positivo.
T = A função tangente tem valor positivo.
C = A função cosseno tem valor positivo.
3/2
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Funções Trigonométricas
Função Seno:
f : IR  IR
f(x) = sen (x)
A função associa cada arco x da circunferência
trigonométrica a um número real y, logo, teremos y =
sen (x).
 x  IR  -1  sen x  1 ; Então: Im(f) = [ -1 , 1 ]
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Funções Trigonométricas
Gráfico:
y
-
-

2
0

2
3
2
2
x
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Funções Trigonométricas
Periodicidade:
sen (x) = sen (x + 2)
A função y = sen(x) é periódica e tem período igual a 2
radianos.
Paridade:
A função y = sen (x) é ímpar.
sen (x) = - sen (-x)
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Funções Trigonométricas
Função Cosseno:
f : IR  IR
f(x) = cos (x)
A função associa cada arco x da circunferência
trigonométrica a um número real y, logo, teremos y =
cos (x).
 x  IR  -1  cos x  1 ; logo: Im(f) = [ -1 , 1 ]
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Funções Trigonométricas
Gráfico:
y
-

2
0

2

3
2
2
x
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Funções Trigonométricas
Periodicidade:
cos (x) = cos ( x + 2)
A função y = cos(x) é periódica e tem período igual a
2 radianos.
Paridade:
cos (x) = cos (- x)
A função y = cos (x) é par.
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Funções Trigonométricas
Função Tangente:
f : D  IR
f(x) = tg (x)
𝜋
2
A função associa cada arco x, para 𝑥 ≠ + 𝑘𝜋, da
circunferência trigonométrica a um número real
y, logo, teremos y = tg (x).
D(f) = { x  IR / 𝑥 ≠
𝜋
2
+ 𝑘𝜋 } e Im(f) = IR
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Funções Trigonométricas
Gráfico:
y
-

2

2

3
2
2
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Funções Trigonométricas
Periodicidade:
tg (x) = tg ( x + )
A função y = tg (x) é periódica e tem período igual a 
radianos.
Paridade :
tg (x) = - tg (-x)
A função y = tg(x) é ímpar.
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Obrigada pela atenção!
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