2º SEMESTRE 2004 Professora Aurora TR Pozo 1ª LISTA D

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ
DISCIPLINA DE MÉTODOS NUMÉRICOS – 2º SEMESTRE 2004
Professora Aurora T. R. Pozo
1ª LISTA DE EXERCÍCIOS
Representação de Números Reais e Erros
1. Converta os seguintes números decimais para a sua forma binária:
x = 37
y = 2345
z = 0.1217
Respostas: x = 100101
y = 100100101001
z = 0.000111110010...
2. Converta os seguintes números binários para a sua forma decimal:
x = (101101)2
y = (110101011)2
z = (0.1101)2
w = (0.111111101)2
Respostas: x = 45
y = 427
z = 0.8125
w = 0.994140625
3. Pesquise e resolva: como obter a representação do número (276)10 na base 8?
4. Seja um sistema de aritmética de ponto flutuante de quatro dígitos, base decimal e com acumulador de
precisão dupla. Dados os números
x = 0.7237 * 104
y = 0.2145 * 10-3
z = 0.2585 * 101
e
efetue as operações abaixo e obtenha o erro relativo no resultado, supondo que x, y e z estão
exatamente representados.
a) x + y + z
Respostas:
b) x – y – z
c) x / y
a) 0.7240 * 104
b) 0.7234 * 104
c) 0.3374 * 108
d) 0.6004
e) 0.6005
d) (x * y) / z
e) x * (y / z)
|ER| < 10-3
|ER| < 1.0002 * 10-3
|ER| < 0.5 * 10-3
|ER| < 10-3
|ER| < 10-3
5. Supondo que x é representado em um computador por x, onde x é obtido por arredondamento,
obtenha os limites superiores para os erros relativos de u = 2 * x e w = x + x.
Respostas: |ERu| < 10-t+1
e
|ERw| < 10-t+1
6. Idem para u = 3 * x e w = x + x + x.
Respostas: |ERu| < 10-t+1
e
|ERw| < 4 * 10-t+1
3
7. Sejam x e y as representações de x e y obtidas por arredondamento em um computador. Deduza
expressões de limite de erro para mostrar que o limite do erro relativo de u = 3 * x * y é menor que o
de w = (x + x + x) * y.
Respostas: |ERu| < 2 * 10-t+1
e
|ERw| < 7 * 10-t+1
3
8. Obtenha a representação do número (276.6875) na base 2.
9. Representar o número real x na base 2 usando 8 algarismos significativos? Essa representação é
exata?
a) x = 0.6
b) x = 13.25 c) x = 2.47
Respostas: a) (0,6)10 = (0,10011001)2
b) (13,26)10 = (1101,01)2
b) (2,47)10 = (10,011110)2
10. Considere os seguintes valores
x1 = 0.73461
x1 = 0.73
x2 = 1.73412
x2 = 1.734
x3 = 0.00234
x3 = 0.002
a) Determine o erro absoluto e relativo de cada uma das aproximações anteriores. Qual o número de
algarismos significativos que garante para cada uma das aproximações?
b) Qual das aproximações apresenta uma maior precisão?
11. Que soluções admite a equação 1 + x = 1 em um computador com apenas números normalizados da
aritmética de ponto flutuante com: t = 24, β = 2, m = −125, M = 128
12. Representar, se possível, os números abaixo em utilizando arredondamento por truncamento e
arredondamento para número mais próximo de máquina em F(10,5,-2,2), onde F(β,t,m,M).
Respostas:
13. Em F(10 , 3 , -98 , 98) , onde F(β,t,m,M), e arredondamento por truncamento, estimar p(2.73) se:
Respostas:
a) p(2.73) = -0.05 ,erro absoluto = 0.06197
b) p(2.73) = 0.032 ,erro absoluto = 0.020083
Zeros de Equações Transcendentes e Polinomiais
14. A corrente elétrica em um circuito varia o tempo conforme a seguinte expressão:
I = 9 ⋅ e −1 ⋅ cos(2 ⋅ π ⋅ t + 0.5)
(ÂNGULO EM RADIANO)
Deseja-se determinar o tempo no qual a corrente se iguala à metade do seu valor inicial (Quando t =
0).
Efetue três iterações com o método de Newton-Raphson e adote como chute inicial t0=0.2s.
Determine o erro relativo a cada iteração.
15. Ao se aplicar o Método Iterativo Linear (MIL) à resolução de uma equação, obtivemos os seguintes
resultados nas iterações indicadas:
x10 = 1.5
x11 = 2.24702
x12 = 2.14120
x16 = 2.14133
x17 = 2.14147
x15 = 2.14151
Escreva o que puder a respeito da raiz procurada.
x13 = 2.14159
x14 = 2.14128
16. Use o método da Falsa Posição para obter a menor raiz positiva de:
a) x/2 – tg x = 0
b) 2 cos x = ex / 2
c) x5 – 6 = 0
-4
Considerando erro = 10 .
17. Quantas iterações terá de calcular pelo método da Bisseção, de modo a obter uma aproximação da raiz
da equação ex - x2 + 3x - 2 = 0 no intervalo [0, 1], com pelo menos 6 algarismos significativos.
18. Considere dois números: a e b. Sabendo que:
• a soma dos dois números é 20;
• se a cada número é somado a sua raiz quadrada, o produto das duas somas é 155.55.
Determine uma aproximação desses números, a e b, com pelo menos 6 casas decimais significativas
Sugestão: Recorra ao Método de Newton.
19. Para as equações abaixo calcular pelo menos uma raiz real, com erro
métodos:
10-3, através dos seguintes
1. Método da Bisseção;
2. Método da Falsa Posição;
3. Método de Newton-Raphson;
4. Método da Iteração Linear (apenas os itens: a, c, d).
5. Método da Secante;
6. Método Misto;
a) f(x) = ex + x − 5 = 0
b) f(x) = cos(x) − x3 + 1= 0
c) f(x) = sen(x) + x = 2
d) f(x) = x2 − cos(x) = 0
e) f(x) = x4 − 3x2 + x = 3
f) f(x) = e-x − sen(x) = 0
g) f(x) = x + ln(x) = 0
f'(x) = ex + 1
f'(x) = −sen(x) − 3x2
f'(x) = cos(x) + 1
f'(x) = 2x + sen(x)
f'(x) = 4x3 − 6x + 1
f'(x) = -e-x − cos(x)
f'(x) = 1 + 1/x
f''(x) = ex
f''(x) = −cos(x) − 6x
f''(x) = −sen(x)
f''(x) = 2 + cos(x)
f''(x) = 12x2 − 6
f''(x) = e-x + sen(x)
f''(x) = −1/x2
Respostas: As respostas foram obtidas computacionalmente usando 5 casas decimais com truncamento
na resposta. Manualmente poderá ocorrer uma pequena diferença.
Intervalo
a) x ∈ [1,2]
b) x ∈ [1,2]
c) x ∈ [1,2]
d) x ∈[-1,-0.5]
x ∈ [0.5,1]
e) x ∈ [-3,-2]
x ∈ [1.5,2]
f) x ∈ [0,1]
g) x ∈ [0.5,1]
20. Calcular
Resposta:
5 e
5
NR
1,30656
1,12656
1,10606
-0,82413
0,82413
-2,04983
1,83011
0,58853
0,56714
Bisseção
1,30664
1,12598
1,10547
-0,82422
0,82422
-2,04980
1,83008
0,58789
0,56738
F. Posição
1,30647
1,12609
1,10606
-0,82411
0,82411
-2,04867
1,83003
0,58864
0,56716
Secante
1,30655
1,12656
1,10606
-0,82413
0,82413
-2,04983
1,83011
0,58854
0,56714
25 , utilizando o método de sua preferência com erro
Misto
1,30658
1,12656
1,10606
-0,82419
0,82419
-2,04990
1,83052
0,58853
0,56714
10-4.
I. Linear
1,30644
1,10634
-0,82432
0,82432
-
5
5 → f(x) = x2 − 5 ≅ 2.23607
25 → f(x) = x5 − 25 ≅ 1.90365
com x0 = 2, pelo método de Newton.
com x0 = 1, pelo método de Newton.
21. Uma bola é arremessada para cima com velocidade inicial v0 = 30m/s a partir de uma altura x0 = 5m,
1 2
em um local onde a aceleração da gravidade é g = −9.81m/s2. Sabe-se que h ( t ) = x 0 + v0 t + g t ,
2
calcular o tempo gasto para a bola tocar o solo pelo método da falsa posição com erro ≤ 0,001.
(Desconsiderar o atrito com o ar).
Resposta:
Função: h(t) = −4.905 * t^2 + 30 * t + 5
Erro: 0.001
Intervalo: [6, 7]
x1 = 6.24937
Erro = 0.24937
Erro = 0.02624
x2 = 6.27561
x3 = 6.27827
Erro = 0.00266
x4 = 6.27853
Erro = 0.00027
Raiz aproximada = 6.27853
22. O valor de π pode ser obtido através da resolução das seguintes equações:
a) f(x) = sen(x) = 0
b) f(x) = cos(x) + 1 = 0
Aplique o Método de Newton-Raphson com x0 = 3 e precisão 10-5 (| f(xn)| ≤ 10-5) em cada caso e
compare os resultados obtidos e o número de iterações calculadas.
Resposta:
a) Raiz aproximada = 3.141593, com 2 iterações.
b) Raiz aproximada = 3.137179, com 5 iterações.
23. Aplicar o Método de Newton-Raphson a f(x) = x3 − 2x2 − 3x + 10 com x0 = 1.9 e erro ≤ 0.001.
Justifique o que acontece.
Resposta:
x1 = -15.22606
Erro = 17.12606
x2 = -9.99931
Erro = 5.22676
x3 = -6.55726
Erro = 3.44204
x4 = -4.33505
Erro = 2.22222
x5 = -2.97689
Erro = 1.35815
x6 = -2.26763
Erro = 0.70926
x7 = -2.02844
Erro = 0.23919
x8 = -2.00037
Erro = 0.02807
Erro = 0.00037
x9 = -2.00000
Raiz aproximada = −2.00000
24. A área A de um segmento circular cuja área S subtende o ângulo cêntrico x (em radianos, medido no
sentido positivo) é A = 1 r 2 ( x − sen ( x )) . Determinar pelo método misto o valor de x quando A =
64cm2 e r = 8cm.
2
Resposta:
Função: f(x) = 32*x − 32*sin(x) − 64
Erro: 0.001
Intervalo: [2, 3]
NR1 = 2.56840
FP1 = 2.55255
NR2 = 2.55423
FP2 = 2.55420
Raiz aproximada = 2.55421
Erro = 0.01585
Erro = 0.00003
25. Dada a equação f(x) = x2 + x − 6, determinar pelo método iterativo linear as raízes reais, tomando x0
= 1.5 com uma tolerância de erro ≤ 0.01 entre duas iterações consecutivas, operando com 5 decimais
com arredondamento.
Resposta:
Podemos ter várias funções de iteração entre as quais:
a) g(x) = 6 − x2
Não converge para nenhuma das raízes.
b) g(x) = + 6 − x
x1 = 2.12132
Erro = 0.62132
x2 = 1.96944
Erro = 0.15188
x3 = 2.00763
Erro = 0.03819
x4 = 1.99809
Erro = 0.00953
Raiz aproximada = 1.99809
c) g(x) = − 6 − x
x1 = −2.12132
Erro = 3.62132
x2 = −2.84979
Erro = 0.72847
x3 = −2.97486
Erro = 0.12507
x4 = −2.99581
Erro = 0.02095
x5 = −2.99930
Erro = 0.00349
Raiz aproximada = −2.99930
6
x +1
x1 = 2.40000
Erro = 0.90000
x2 = 1.76471
Erro = 0.63529
x3 = 2.17021
Erro = 0.40551
x4 = 1.89262
Erro = 0.27760
x5 = 2.07425
Erro = 0.18163
x6 = 1.95170
Erro = 0.12255
x7 = 2.03273
Erro = 0.08103
x8 = 1.97842
Erro = 0.05431
x9 = 2.01449
Erro = 0.03608
x10 = 1.99038
Erro = 0.02411
x11 = 2.00643
Erro = 0.01605
x12 = 1.99572
Erro = 0.01071
x13 = 2.00286
Erro = 0.00713
Raiz aproximada = 2.00286
d) g(x) =
6− x
x
x24 = −2,99733
e) g(x) =
Erro = 0.00668
26. Determine o valor de π com erro menor que 10-4.
27. Calcular a raiz da equação f(x) = 20x + cos(x), contida no intervalo [-1, 0] com erro 10-4, usando o
Método de Newton-Raphson. Os cálculos devem ser realizados com 4 casas decimais com
arredondamento. Dados: f’(x) = 20 − sen(x)
f’’(x) = −cos(x)
Resposta:
x1 = −0.05000
Erro = 0.05000
x2 = −0.04994
Erro = 0.00006
Raiz aproximada = −0.04994
28. A concentração de uma bactéria poluente num lago é descrita por
Encontrar o tempo para que a concentração seja reduzida para nove.
Sistemas Lineares
29. Resolver o sistema linear abaixo pelo método da eliminação de Gauss, método de Jordan e pela Regra
de Cramer:
x1 − 3x 2 + 4 x 3 = 5
− x1 + 4 x 2 − 3x 3 = 0
3x1 − 5x 2 + 2 x 3 = −7
Resposta: A solução deste sistema é x = ( -1, 2, 3 )T
30. Seja o sistema linear:
− x1 + 2 x 2 + 3x 3 + x 4 = 1
2 x1 − 4 x 2 − 5x 3 − x 4 = 0
−3x1 + 8x 2 + 8 x 3 + x 4 = 2
x1 + 2 x 2 − 6 x 3 + 4 x 4 = −1
obtenha a solução do sistema pelo Método da Eliminação de Gauss.
28 7 8 2 T
Resposta: A solução deste sistema é x = (
,
, ,
)
5 10 5 5
31. Resolva o sistema linear:
3x1 + 2 x 2 − x 3 = 8
2 x1 − 4 x 2 + 2 x 3 = −4
− x1 + x 2 + 5x 3 = 3
pelos métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel (algébrico e matricial) com x(0) = ( 1; 1,5; 0 )T com
erro ≤ 0,05. Resolva também utilizando os métodos diretos.
Resposta: A solução deste sistema é x = ( 1,5; 2; 0,5 )T
32. Resolva o sistema linear:
5x1 + x 2 + x 3 = 6
3x1 + 4 x 2 + x 3 = 13
3x1 + 3x 2 + 6 x 3 = 0
pelos métodos de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel (algébrico e matricial) com x(0) = ( 0; 0; 0 )T com erro
≤ 0,05. Resolva também utilizando os métodos diretos.
Resposta: A solução deste sistema é x = (1, 3, -2)
33. Resolva o sistema linear abaixo utilizando o método da eliminação de Gauss:
2x1 + 2x2 + x3 + x4 = 7
x1 – x2 +2x3 – x4 = 1
3x1 + 2x2 – 3x3 – 2x4 = 4
4x1 + 3x2 + 2x3 +x4 = 12
34. Seja o sistema de equações lineares:
2 x1 + 3x 2 = 5
x1 + 10 x 2 = 11
Utilize o método iterativo de Gauss-Seidel para encontrar x1 e x 2 que satisfazem este sistema de
equações lineares. Execute 4 iterações para obter uma aproximação da solução. Utilize no mínimo 5
dígitos decimais significativos.
35. O cálculo do determinante de matrizes quadradas pode ser feito usando o método da eliminação de
Gauss. Deduza o método.
Resposta: Na fase de eliminação pode-se efetuar sobre a matriz dos coeficientes algumas operações.
Das propriedades de determinantes temos de:
I)
Trocar duas linhas de uma matriz => trocar o sinal do determinante.
II)
Multiplicar uma linha por uma constante não nula => multiplicar o determinante por
essa constante.
III) Adicionar um múltiplo de uma equação a outra equação não altera o valor do
determinante.
Destas propriedades e do fato de que o determinante de uma matriz triangular é o produto dos
elementos da diagonal sai o método pedido pelo exercício.
36. Utilizando Eliminação Gaussiana calcular detA.
Respostas: a) -55
b) 706.875
37. Compare as soluções dos sistemas lineares
a) x – y = 1
x – 1.00001 y = 0
b) x – y = 1
x – 0.99999 y = 0
O que aconteceu e por quê? (Esta é uma situação em que dizemos que o sistema é mal condicionado).
Dizemos que um sistema linear é bem condicionado (estável), se pequenas mudanças nos coeficientes
e nos termos independentes acarretam pequenas mudanças na solução do sistema.
Dizemos que um sistema linear é mal condicionado se pequenas mudanças nos coeficientes e nos
termos independentes provocam grandes mudanças na solução do sistema.
Um critério prático para se verificar se o sistema é mal condicionado é calcular o determinante da
matriz dos coeficientes. Se o determinante de A estiver muito próximo de zero, pode-se esperar o mal
condicionamento do sistema.
Respostas: a) (100004.895; 1 00003.895)
b) (-100000.567; -100001.567)
38. Uma equipe de três paraquedistas ligados por uma corda de peso desprezável é lançada em queda
livre a uma velocidade v = 5 m/s conforme a figura.
39. Considere a figura representando um sistema de 4 molas ligadas em série sujeito a uma força F de
2000 Kg.
Numa situação de equilíbrio, as equações força-balanço deduzidas definem inter-relações entre as
molas:
em que k1 = 150, k2 = 50, k3 = 75 e k4 = 225 são as constantes das molas (kg/s2). Conclua sobre a
convergência do método de Gauss-Seidel na resolução do sistema linear dado.
40. Referente ao sistema linear AX=B, verificar se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se det A = 0 então o
sistema não tem solução. Justificar verificando o que acontece em:
Resposta:
a) detA = 0 e o sistema e incompatível
b) detA = 0 e o sistema tem infinitas soluções dadas por x = z e y = -z
Algumas referências
http://www.inf.ufpr.br/~leila
http://www.ionildo.cjb.net/metodos/
http://www.mat.pucrs.br/~elieteb/
RUGGIERO, M.A.G.; LOPES, V.L.R. Cálculo numérico: Aspectos teóricos e computacionais. 1988.