PGF5828 - Teoria Quântica de Campos II Lista 1 Para entregar até

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PGF5828 - Teoria Quântica de Campos II
Lista 1
Para entregar até 06/09/13
1. Funções de Correlação e a Integral Funcional:
(a) Considere a teoria livre de um campo escalar real. Calcule explicitamente a
função de 4 pontos usando a funcional geratriz Z[J]. Mostre em detalhe os
passos. Desenhe os diagramas de Feynman correspondentes.
(b) Considere agora a presença de uma interação dada pelo termo na Lagrangeana
Lint. = −
λ 4
φ (x)
4!
Calcule a função de 2 pontos até ordem λ usando o teorema de Wick.
(c) Calcule (em presença de Lint. ) a função de 4 pontos até ordem λ usando o
teorema de Wick.
2. Função Geratriz Conectada:
A função geratriz conectada, W [J], é definida pela relação
Z[J] = eiW [J] .
Ela é a geratriz dos diagramas de Feynman conectados.
(a) Confira que, para o Lint. definido acima, podemos escrever W [J] como
"
λ
−iW0 [J] −i 4!
W [J] = W0 [J] − i ln e
onde
W0 [J] =
e
R
d4 z
δ4
δJ(z)4
#
iW0 [J]
e
,
i Z 4 4
d x d y J(x) DF (x − y) J(y) .
2
(b) Usando W [J] acima, obtenha a função de 2 pontos conectada a ordem λ.
Compare com o resultado do ponto (b) do problema anterior. Confira explicitamente que os diagramas desconectados cancelam.
3. Funcional Geratriz para férmions livres
A funcional geratriz para férmions é dada por
Z
Z[η̄, η] =
Dψ̄Dψ ei
R
d4 x{ψ̄(x)Ox ψ(x)+η̄(x)ψ(x)+ψ̄(x)η(x)}
onde
Ox = i 6 ∂ − m .
Mostre que com as redefinições
0
ψ (x) = ψ(x) + i
e
0
ψ̄ (x) = ψ̄(x) + i
onde
SF (x − y) =
Z
Z
Z
d4 ySF (x − y) η(y)
d4 y η̄(y) SF (y − x) ,
d4 k −ik.(x−y)
i
e
,
(2π)4
6 k − m + i
a função geratriz é dada por
Z[η̄, η] = Z[0, 0] e−
R
d4 x d4 y η̄(x)SF (x−y)η(y)
.
,