APOSTILA SOBRE PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA)

APOSTILA SOBRE PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA)-PROF. CARLINHOS
SUCESSÃO OU SEQUENCIA NUMÉRICA
Sucessão ou seqüência numérica é todo conjunto de números dispostos numa certa
ordem. Uma sucessão pode ser finita ou infinita.
Exemplos:
- (2; 5; 8; 11) finita
- ( -3; -2; -1; ...) infinita
Representação genérica de uma sucessão
(a1, a2; a3; ...; an-1; an) em que:
a1 – 1º termo
a2 – 2º termo
a3 – 3º termo
.
.
.
an – n-ésimo termo
Termo geral ou lei de formação de sucessão
É a fórmula matemática que determina os termos de uma sequência, em função de sua
posição n na sequência. Exemplos:
1) Escreva os 3 primeiros termos da seqüência definida por:
*
a) an = 3n+2, onde n ∈ Ν
Resolução:
b) a1 = 2 e an+1 = an + 8
Resolução:
Progressão Aritmética (P.A)
É toda sequência numérica em que a diferença, a partir do segundo e o seu antecessor se
mantém constante. Essa diferença constante r chama-se razão da PA.
Então a seqüência (a1, a2; a3; ...; an-1; an) é uma PA, se e somente, se:
a2 - a1 = a3 - a2 = an - an-1 = r
Exemplos:
1) Verifique se a sequência abaixo é uma PA, em caso positivo, determine a razão:
a) ( 2; 5; 8; 11;...)
b) ( 19; 14; 9; 4;...)
1
APOSTILA SOBRE PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA)-PROF. CARLINHOS
Resolução:
Resolução:
c) (7; 7; 7; 7; ...)
Resolução:
d) ( 1; 6; 11; 17; ...)
Resolução:
Observações:
a) PA crescente, quando r (razão) > 0.
b) PA decrescente, quando r (razão) < 0.
c) PA constante, quando r (razão) = 0.
2) Determine x, de modo que os números x - 5; 2x + 3 e 5x - 1, formem nessa ordem
uma PA.
Resolução:
Fórmula do termo geral de uma PA
Para calcularmos qualquer termo de uma P.A. usamos a fórmula seguinte:
an = a1 + (n - 1)r
an = representa o termo procurado.
a1 = representa o primeiro termo da P.A
n = representa o número de termos.
r = representa a razão da P.A.
Exemplos:
1) Calcule o sétimo termo da P.A (1, 6, 11, ...)
Resolução:
2) Determine quantos múltiplos de 5 há entre 21 e 200.
Resolução:
2
APOSTILA SOBRE PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA)-PROF. CARLINHOS
3) Calcule a razão de uma P.A sabendo que a2 = - 11, a12 = 19 .
Resolução:
4) Interpole 6 meios aritméticos entre 3 e 17.
Resolução:
5) Numa estrada existem dois telefones instalados um no km 10 e outro no km 50. Entre
eles serão colocados mais 9 telefones, mantendo-se entre dois telefones consecutivos
sempre a mesma distância. determinar em quais marcos quilométricos deverão ficar
esses novos telefones.
Resolução:
Propriedades
1ª) Sendo a, b, c três termos consecutivos de uma P.A, dizemos que o termo b central
entre eles é a média aritmética dos outros dois.
Exemplo:
Sendo 2, x, 18 três termos consecutivos de uma P.A. Calcule o valor de x.
2ª) Numa P.A finita, a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma
dos extremos.
Exemplo: Observe a PA (3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17)
9 + 11 = 7 + 13 = 5 + 15 = 3 + 17 = 20
Soma dos n-primeiros termos de uma PA
A soma dos n-primeiros (Sn) termos de uma PA é dada por:
(a1 + a n ).n
2
, onde:
an→ n-ésimo termo
a1→ primeiro termo
Sn =
n→ números de termos
3
APOSTILA SOBRE PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA)-PROF. CARLINHOS
Exemplos:
1) Calcule a soma dos 50 primeiros termos da PA (2,6, ...)
Resolução:
2) O dono de uma fábrica iniciar a produção com 1000 mensais e, a cada mês produzir
200 unidades a mais. Mantidas essas condições, em dois anos quantos unidades a
fábrica terá produzido no total ?
Resolução:
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DA APREDIZAGEM (PA)
1) Determine as seqüências abaixo:
a) an = 2n-1 com n∈Ν* resp: (1,3,5,...)
 a1 = 3

a = an −1 + 2,
b)  n
com n∈Ν, n ≥ 2 resp: (3,5,7,...)
2) Escreva o termo geral das sequências:
a) (1,4,9,16,25,...) resp: an=n2 com n∈Ν*
b) (3,6,9,12,...) resp: an= 3n com n∈Ν*
c) (2,5,8,11,14,...) resp: an = 3n - 1 com n∈Ν*
3) Determine quais da seqüências abaixo são PA. Em caso afirmativo, determine a razão
e classifique-as em crescente, decrescente ou constante:
a) (1; 1,1; 1,2; 1,3; ...) resp: PA crescente razão r = 0,1
b) (22;18;14;12; ...) resp: Não é PA
c) (-3;-5;-7; ...) resp: PA decrescente r = -2
d) (5;5;5; ...) resp: PA constante razão r = 0
e) (1; -2; 3;-4; ...) resp: Não é PA
4) Os números x2, (x+2)2 e (x+3)2 estão em PA nessa ordem. Determine esses
números. resp: (1/4;25/4,49/4)
5) Determine o 10º termo da PA (2,8,...). resp: a10=56
6) Determine quantos mútiplos de 5 há entre 21 e 623. resp: 120
7) Um corpo caindo livremente ( desprezando-se a resistência do ar ) tem ao final do
1º segundo, velocidade de 9,8 m/s; velocidade de 19,6 m/s no final do segundo
4
APOSTILA SOBRE PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA)-PROF. CARLINHOS
seguinte; de 29,4 m/s no final do 3º segundo; e assim por diante. Continuando
assim, determine qual será a sua velocidade no final décimo segundo. resp: 98m/s
8) No primeiro semestre de um dado ano, a produção mensal de uma montadora está
em PA crescente. Em janeiro, a produção foi de 18000 carros e, em junho, foi de
78000 unidades. Determine a produção dessa montadora nos meses de fevereiro,
março, abril e maio. resp: 30000, 42000, 54000 e 66000
9) A figura abaixo indica a distribuição de cadeiras num auditório:
Determine quantas há fila H mantida essa tendência. resp: 38
10) Uma empresa tem o seu organograma uma PA partindo do presidente e a cada
nível abaixo dele aumentando 4 funcionários. A forma mais comum de se representar
esse organograma é a piramidal
Sabendo que a empresa tem dez níveis hierárquicos, determine quantos empregados ela
tem. resp: 190 funcionários
11) Um agricultor colhe laranjas durante doze dias da seguinte maneira: no 1º dia, são
colhidas 10 dúzias; no 2º, 16 dúzias; no 3º, 22 dúzias; e assim por diante. Quantas
laranjas colherá ao final dos doze dias ? resp: 6192 laranjas
12) Verificou-se que o número de pessoas que comparecia a determinado evento
aumentava, diariamente , segundo uma PA de razão 15. Sabe-se que no 1º dia
compareceram 56 pessoas e que o espetáculo foi visto, ao todo, por 707 pessoas.
Durante quantos dias esse espetáculo ficou em cartaz ? resp: 7 dias
5