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Resolução das atividades complementares
Física
1
F1 — Gravitação universal
p. 7
1 A Terra possui apenas um satélite natural, a Lua.
Pesquise para responder.
a) Quais os períodos de rotação e de translação da Lua em torno da Terra?
b) Por que da Terra é possível ver apenas uma de suas faces?
c) Qual a distância Terra−Lua?
d) Qual a velocidade de translação da Lua?
e) Qual a massa da Lua?
Resolução:
a) Os períodos de rotação e de translação da Lua em torno da Terra são iguais — cerca de 27,3 dias
(27d 7h 43m 11s).
b) Devido à rotação sincronizada da Lua, isto é, ao mesmo tempo que gira em torno de seu eixo, ela
gira em torno da Terra, uma das faces da Lua sempre está voltada para a Terra.
c) 384 405 km
d) 3 700 km/h
e) 7,36  1022 kg
2 (FMTM-MG) Em seu livro intitulado Harmonis Mundi (1619), Kepler, considerado pai da mecânica
celeste, publica a terceira lei do movimento planetário. A respeito desta e das outras leis, analise:
I.Os planetas mais próximos do Sol completam a sua revolução num tempo menor que os mais distantes.
II.O Sol ocupa o centro da trajetória elíptica descrita pelo planeta quando este completa seu período.
III.O movimento de translação é variado, isto é, pode ser acelerado e retardado, durante o trajeto do planeta.
Está correto o contido apenas em:
a) I.
c) I e II.
e) II e III.
b) II.
d) I e III.
Resolução:
I. (Verdadeira)
Sim, de acordo com a 3a lei de Kepler (lei dos períodos).
II. (Falsa)
O Sol ocupa um dos focos da elipse.
III. (Verdadeira)
Sim, de acordo com a 2a lei de Kepler (lei das áreas).
3 (Efoa-MG) As órbitas de três satélites estão representadas no gráfico ao lado,
na mesma escala.
Podemos afirmar que:
a) os três satélites têm o mesmo período.
b) o satélite 3 tem o menor período.
c) os satélites 1 e 2 têm os menores períodos.
d) os satélites 1 e 2 têm os maiores períodos.
e) o satélite 3 tem o maior período.
Satélite 1
Satélite 2
Satélite 3
Resolução:
Todas as elipses apresentam semi-eixos iguais, ou seja, mesmos raios médios. Logo, apresentam
períodos iguais para os seus satélites.
4 (PUC-MG) É bem conhecida a lei das áreas, de Kepler,
segundo a qual “o segmento que liga um planeta ao Sol varre áreas
iguais em tempos iguais”. Esta lei é obedecida pelos outros corpos
que orbitam o Sol, como é o caso do cometa Hale-Bopp, que passou
recentemente nas proximidades da Terra. Na figura abaixo, estão
esquematizados o Sol e a órbita do cometa.
O ponto em que o cometa desenvolve a maior velocidade é:
a) A
c) C
b) B
d) D
e) E
Resolução:
De acordo com a 2a lei de Kepler, nos pontos mais próximos do Sol o planeta descreve um arco
maior, no mesmo intervalo de tempo. Sendo assim, a velocidade do corpo aumenta nestes pontos,
sendo máxima no periélio (ponto mais próximo do Sol).
5 O raio da órbita da Terra é 1,49 ? 1011 m e o da órbita de Urano é 2,87 ? 1012 m. Determine o período
de Urano. (Dado: período da Terra 5 1 ano terrestre.) Tu  184,53 anos
Resolução:
Dados: a T 5 1, 49  1011 m
a u 5 2, 87  1012 m
TT 5 1 ano
2
Pela 3a lei de Kepler T3 5 constante
a
2
2
2
Tu
TT  a 3u
TT
2
5
→
T
5
→
u
a 3T
a 3u
a 3T
Tu 5 TT 
au

aT
au
aT
2, 87  1012
2, 87  1012
→
1, 49  1011
1, 49  1011
Tu  19, 26  4, 39 → Tu  184, 53 anos
Tu 5 1 
6 (Mack-SP) Dois satélites de um planeta têm períodos de revolução 32 dias e 256 dias,
respectivamente. Se o raio da órbita do primeiro satélite vale 1 unidade, então o raio da órbita do segundo
será:
a) 4 unidades
c) 16 unidades
e) 128 unidades
b) 8 unidades
d) 64 unidades
Resolução:
Dados: Ts1 5 32 dias
Ts2 5 256 dias
R s1 5 1 unidade
Pela 3a lei de Kepler podemos determinar o raaio da
órbita do satélite 2:
2
T22
T12
T 
5
→ a 32 5  2   a 13 →
3
3
 T1 
a1
a2
( )
2
a 32 5 256  13
32
3
a 2 5 64 → a 2 5 4 unidades
p. 11
Em questões como a 7, a resposta é dada pela soma dos números que identificam as alternativas corretas.
7 (UFMS) Dois planetas A e B, de massas MA e MB, giram em torno do Sol com os raios orbitais R e 4R,
respectivamente. Considerando-se que esses movimentos obedeçam às leis de Kepler, é correto afirmar que:
(01) os dois planetas possuem o mesmo período de revolução.
(02) os dois planetas sofrerão a mesma intensidade da força gravitacional do Sol, somente se MA 5 16 MB.
(04) o período de revolução do planeta B é igual a 8 vezes o período de A.
(08) o período de revolução do planeta B é igual a 4 vezes o período de A.
(16) ambos os planetas possuem a mesma velocidade angular. Soma 5 4
Resolução:
01) Errada. Pela 3a lei de Kepler, podemos determinar a razão dos períodos de revolução dos planetas A e B. Pelo enunciado da questão, sabemos que rB 5 4rA; assim, temos que
TA2
TB2
T2
T2
5
→ A3 5 B 3
3
3
rA
(4rA )
64rA .
rA
TB2 5 64TA2 → TB 5 8TA
02) Errada. Lembrando que a força de atração gravitacional é dada pela expressão F 5 GMm
,
r2
podemos provar que essa afirmação é errada.
FA 5 FB
GM SM A
GM SM B
5
2
rA
rB2
Como rB 5 4rA
MA
MB
M
MB
5
→ 2A 5
→ M B 5 16M A
2
2
rA
(4rA )
rA
16rA2
04) Correta. Mesma demonstração do item 01.
08) Errada. Já foi mostrado que TB = 8TA no item 01.
16) Errada. Como eles têm períodos diferentes, também possuem velocidades angulares direfentes.
8 (UECE) Considere duas massas puntiformes sob ação da força gravitacional mútua. Assinale a
alternativa que contém a melhor representação gráfica da variação do módulo da força gravitacional sobre
uma das massas, em função da distância entre ambas.
(a)
(b)
(d)
(e)
(c)
Resolução:
A força gravitacional sobre uma massa puntiforme exercida por outra massa puntiforme é inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas. O gráfico (B) é o único que exibe esse tipo
de comportamento.
9 (Uneb-BA) O planeta Netuno tem massa aproximadamente 18 vezes maior que a da Terra, e sua
distância ao Sol é aproximadamente 30 vezes maior que a da Terra ao Sol. Se o valor da força de atração
gravitacional entre o Sol e a Terra é F, a força de atração gravitacional entre o Sol e Netuno é:
a) 0,02 F
c) 1,67 F
e) 30 F
b) 0,60 F
d) 18 F
Resolução:
M N 5 18M T; R N 5 30R T
GMS  M T
R2
→ GMS 5 T  F (*)
2
MT
RT
GMS  M N
Por outro lado, FN 5
. Substituiindo-se (*) na expressão anterior, vem:
R 2N
F5
2
R2
M
18M T
 R 
FN 5 2T  N  F → FN 5  T  
F →
 30R T 
MT
MT
RN
FN 5 1  18  F → FN 5 0, 02 F
900
10 Dois corpos, A e B, de massas 16M e M, respectivamente, encontram-se no vácuo e estão separados a
certa distância. Observa-se que um outro corpo, de massa m, fica em repouso quando colocado no ponto P,
conforme a figura. Determine a razão x entre as distâncias indicadas: 4
y
Resolução:
Dados: mA 5 16 M
mB 5 M
Vetores força que atuam nesta situação.
16M
Fa,c
x
A
m
C
Fb,c
y
M
B
O corpo de massa m está em equilíbrio.
FA,C 5 FB,C → G
16M  m
GM  m
5
→ 16y 2 5 x 2
2
x
y2
k 2 5 16
y2
x2 5 6
y2
x 54
y
11 (Faap-SP)
Nasa quer construir base próxima à Lua
Salvador Nogueira
da Reportagem Local
Embora a construção da ISS (Estação Espacial Internacional) ainda esteja longe de acabar, a
Nasa está fazendo de tudo para deixar claro que seu programa tripulado não pára por aí. Durante o
Congresso Espacial Mundial, que começou na última quinta-feira e vai até sábado, em Houston, EUA, a
agência espacial americana apresentou o próximo item em sua lista de prioridades astronáuticas – uma
nova base no espaço. [...]
A base, apelidada de L1 Gateway, ficaria mais de 800 vezes mais distante da Terra que a ISS. Sua
localização seria no primeiro dos cinco pontos de Lagrange do sistema Terra–Lua (daí o “L1” do nome). O
ponto de Lagrange (ou de libração), nesse caso, é um local do espaço em que a gravidade da Terra e da Lua se
compensam, fazendo com que um objeto ali localizado fique mais ou menos no mesmo lugar (com relação à
Terra e à Lua) o tempo todo. [...]
além da estaçÃO ESPACIAL INTERNACIONAL
• A nova base, chamada L1
Gateway, ficaria entre a Terra e
a Lua, no ponto exato em que
a gravidade dos dois corpos
se equilibra.
NASA
• Grupo da Nasa apresenta
em congresso de astronáutica
em Houston planos para novo
complexo espacial, após a
conclusão da montagem da ISS.
ISS
GATEWAY
LUA
TERRA
Folha de S.Paulo, 15/10/2002
Considere que a massa da Terra (M) seja cerca de 81 vezes maior que a massa da Lua (m). Seja D a distância
entre os centros de massa da Terra e da Lua. A distância d entre a base L1 Gateway e o centro da Terra vale:
Resolução:
FGT 5 FGL
a) 90% D
b) 81% D
Resolução:
FGT 5 FGL
GM T mG
GML mG
5
2
2
dGT
dGL
81ML
ML
5
2
d
(D  d)2
81 5
1
d2
(D  d)2
9 5
1
d
Dd
9D9d5d
9 D 5 10 d
d 5 0, 9 D
GM T mG
GML mG
5
2
2
dGT
dGL
81ML
ML
5
2
d
(D  d)2
8180%
c)
5 D 1 2
2
d
d) 91% D(D  d)
9 5
1
d
Dd
9D9d5d
9 D 5 10 d
d 5 0, 9 D
d 5 90% D
e) 75% D
p. 16
12 (UFMT) Um astronauta, cuja nave está pousada num planeta distante, deve voltar à Terra. Entretanto, a nave possui pouco combustível. Para voltar, necessita conhecer a massa do planeta para saber se a
nave terá empuxo suficiente a fim de vencer a força gravitacional e retornar. Para determinar a massa do
planeta, usou um pêndulo simples de um metro de comprimento e verificou que o período de oscilação era
dois segundos. A massa do planeta, aproximadamente, é:
(Admita: i) Raio do planeta 5 4,0 × 106 m; ii) G 5 6,7 × 10−11 m3/s2 kg; iii π 5 3,1.)
b) 2,3 × 1024 kg
c) 5,5 × 1024 kg
a) 6,0 × 1024 kg
e) 7,2 × 1024 kg
d) 4,2 × 1024 kg
Resolução:
T 5 2π

g
252π
1 → 1 5
g
π
1 → g 5 π2
g
g 5 GM
R2
6, 67  1011  M
16  1012  3,12
π2 5
→ M5
5 23  1023
6 2
(4, 0  10 )
6, 67  1011
M 5 2, 3  1024 kg
13 (UFPR) Os astrônomos têm anunciado com freqüência a descoberta de novos sistemas planetários.
Observações preliminares em um desses sistemas constataram a existência de um planeta com massa 50
vezes maior que a massa da Terra e com diâmetro 5,0 vezes maior que o da Terra. Sabendo que o peso de
uma pessoa é igual à força gravitacional exercida sobre ela, determine o valor da aceleração da gravidade
a que uma pessoa estaria sujeita na superfície desse planeta, em m/s2. (Dado: a aceleração da gravidade na
superfície da Terra é 10 m/s2.) 20 m/s2
Resolução:
Do enunciado, temos:
mp 5 50mT
Dp 5 5 DT → R p 5 5R T
2
Gmp
G  50mT
GmT
gp 5
5
5 50 
25
R 2p
(5R T)2
R 2T
g T 5 10 m/s2
→ g p 5 20 m/s 2
1
14 A aceleração da gravidade na superfície da Terra, cujo raio é R, vale 10 m/s2. Num ponto P, a uma
altura H da superfície da Terra, a aceleração da gravidade vale 2,5 m/s2. Determine a relação que existe entre
H e R. H 5 R
Resolução:
Dados: gsup 5 10 m/s2
RT 5 R
gp 5 2,5 m/s2
hp 5 H
C
RT
H
Resolução:
Pela lei da gravitação universal:
n → m  g 5 Gm  m → g 5 M
F 5 G Mn
d2
d2
d2
Para a superfície:
g sup 5 G M2
(1)
RT
M
Para a altura H:
gH 5 G
(2)
(R T  H)2
Dividindo (1) por (2):
G M2
g sup
RT
(R  H)2
5
→ 10 5 T 2
gH
2, 5
M
RT
G
(R T  H)2
4R 2T 5 (R T  H)2
4R 2T 5 (R T  H)2 → 2R T 5 R T  R → H 5 R T
Portanto, H 5 R.
15 (UFAM) Dois satélites artificiais A e B, em órbita circular, distam respectivamente RA 5 3/2R e
RB 5 4/3R do centro da Terra, conforme mostra a figura. Sendo g aceleração da gravidade na superfície
terrestre e R o raio da Terra, a aceleração da gravidade nas órbitas A e B valem, respectivamente:
a) 3 g e 4 g
2
3
b) 4 g e 3 g
9
2
c) 4 g e 9 g
9
16
d) 4 g e 2 g
3
3
e) 9 g e 4 g
16
9
Resolução:
Na superfície da Terra a aceleração da grravidade é dada por:
g 5 GM
R2
Na órbita do satélite A, a aceleração da gravidade g A é:
g A 5 GM 2 → g A 5 GM2 → g A 5 4  GM
→ gA 5 4 g
2
9
9
9
R
R
3R
4
2
Na órbita do satélite B, a aceleração da gravidade g B é:
g B 5 GM 2 → g B 5 GM2 → g B 5 9  GM
→ gB 5 9 g
2
16
16
16
R
R
4R
9
3
( )
( )
16 (UFPE) À medida que se aproxima da superfície de um planeta, uma sonda espacial envia dados
para a Terra. A tabela abaixo indica os valores medidos para a aceleração da gravidade desse planeta como
função da distância h da sonda à sua superfície.
g (m/s2)
h (km)
0,6
4,8 ? 103
2,4
0,7 ? 103
Com base nesses dados, determine o valor do raio desse planeta medido em unidades de 105 m. 34 ? 10
5
Resolução:
g1 5 0,6 m/s 2; h1 5 4, 8  106 m
g 2 5 2, 4 m/s 2; h 2 5 0, 7  106 m
GMS
GMS
g1 5
e g2 5
2
(R  h1)
(R  h 2)2
g1(R  h1)2 5 g 2  (R  h 2)2
R  h1
5
R  h2
g2
R  4, 8  106
→
5
g1
R  0, 7  106
R  48  105
5
R  7  105
R 5 34  105 m
2, 4
0, 6
4 → R  48  105 5 2R  14  105
m
17 (Unesp-SP) Uma espaçonave de massa m gira em torno da Terra com velocidade constante, em uma
órbita circular de raio R. A força centrípeta sobre a nave é 1, 5 G Mm
, onde G é a constante de gravitação
R2
universal e M a massa da Terra.
a) Desenhe a trajetória dessa nave. Em um ponto de sua trajetória, desenhe e identifique os vetores velocidade v e
aceleração centrípeta ac da nave.
b) Determine, em função de M, G e R, os módulos da aceleração centrípeta e da velocidade da nave.
ac 5
Resolução:
a) Num instante qualquer:
ac
Órbit ircular
v
R
m
a
m
Terra
b) A resultante centrípeta é:
→
→
| Rc| 5 m | a |
2
1, 5 GM
, onde a 5 v
2
R
R
1, 5 GM
Assim: v 5
R
Logo: a 5
10
1, 5 GM
e v5
R2
1, 5 GM
R
18 (Unicamp-SP) O planeta Mercúrio tem massa MM 5 0,040MT e diâmetro dM 5 0,40dT. Nessas expressões
MT e dT são a massa e o diâmetro da Terra, respectivamente.
a) Qual seria, em Mercúrio, o peso da água contida em uma caixa de 1 000 litros? 2,5 ? 103 N
b) Um satélite da Terra em órbita circular de 40 000 km de raio tem período igual a 24 horas. Qual seria o
período de um satélite de Mercúrio em órbita circular de mesmo raio? 120 horas
Resolução:
a) Pela Lei da Gravitação de Newton:
M → g 5 G  0, 040 M T → g 5 g T
g 5 GM
M
M
4
d2
(0, 40)2dT2
Admitindo--se a densidade da água 1 kg/, em mercúrio,
o peso da água contida em uma caixa de 1 000  é dado por:
PM 5 mgg M → PM 5   V  1 g T
4
PM 5 1  1 000  10 → PM 5 2, 5  103 N
4
b) Sabendo que o período orbital é dado por
T 5 2π R e que os raios orbitais são iguais, temos :
GM
T 2  GM M
T 2  GM T
RM 5 RT → M
5 T
2
4π
4π 2
TM2  M M 5 TT2  M T
TM2  0, 040  M T 5 24 2  M T
TM 5 120 horas
19 (Efoa-MG) Os satélites artificiais tripulados descrevem, habitualmente, órbitas aproximadamente
circulares em torno da Terra, a uma altitude de 400 km em relação à superfície. Sabe-se que, nessa altitude,
a aceleração da gravidade é de 8,7 m/s2.
a) Qual a velocidade desses satélites, admitindo-se que o raio da Terra é de 6 400 km? 7 690 m/s
b) Sabendo que existe aceleração da gravidade nessa altitude, por que os astronautas podem flutuar dentro
desses satélites?
Resolução:
a) h 5 4  105 m; g 5 8,7 m/s 2; R 5 6, 4  106 m
v 5
g  (R  h) → v 5
8, 7  6, 8  106  7 690 m/s
b) Porque os satélites não são um referencial inercial. Tanto os satélites quanto seus tripulantes
“caem” com a mesma aceleração em direção à Terra. Assim, a cada instante da órbita existe uma
força centrífuga que se contrapõe ao peso dos astronautas, fazendo com que a resultante seja
nula.
11