Aula_04

Radiciação
Roberto Geraldo Tavares Arnaut
Kathleen S. Gonçalves
1
4
e-Tec Brasil – Estatística Aplicada
META
OBJETIVO
PRÉ-REQUISITOS
84
Apresentar o conceito de radiciação e suas
propriedades.
Após o estudo desta aula, você deverá ser capaz de:
1. realizar operações que envolvam radiciação.
Para melhor compreensão desta aula,
você precisa ter em mente o conceito de
potenciação e o de números naturais, inteiros,
racionais e reais.
Roberto Geraldo Tavares. Matemática Básica: volume único. 5 ed.
Rio de Janeiro: Fundação CECIERJ, 2008.
INTRODUÇÃO
Aula 4 • Radiciação
Esta aula foi escrita com base em trechos do livro ARNAUT,
Os relatos mais antigos sobre operações utilizando potências remontam
aos egípcios, cerca de 2000 a.C. (antes de Cristo). Os babilônios também
possuíam conhecimento sobre o tema, o que pode ser conferido em uma
antiga tábua de argila conhecida como tabuinha de Larsa. O início do
uso do termo “potência” em matemática é atribuído ao filósofo grego
Hipócrates. Ele chamou o quadrado de um segmento de dynamis, palavra
grega que em português significa potência.
Por que estamos falando de potência na aula de radiciação? Conforme você
perceberá adiante, a radiciação é a operação inversa da potenciação.
Por que estudar esse tema em Estatística? Isso acontecerá? Você verá
com mais detalhes uma medida de dispersão chamada desvio padrão,
que é a raiz quadrada da variância, outra medida que você estudará em
Estatística. Daí a importância de saber realizar operações que envolvam
radiciação.
Embora a raiz quadrada seja o conteúdo mais importante, nesta aula,
para você seguir com a disciplina de Estatística, fica difícil introduzir o
assunto sem conhecermos um pouco mais sobre o tema.
Estudaremos aqui o conceito de radiciação, as várias possibilidades
que se enquadram nele, bem como as propriedades
necessárias para fazermos cálculos que envolvam o
uso de raízes. Então, vamos lá?
DEFININDO RADICIAÇÃO
Para entender a radiciação,
você precisa ter compreendido o
conceito de potenciação, porque
a radiciação nada mais é do que a
operação inversa da potenciação. Veja
o seguinte exemplo:
42 = 4 × 4 = 16 ⇔ 2 16 = 4
85
e-Tec Brasil – Estatística Aplicada
Ou seja, quatro elevado ao quadrado é igual a dezesseis, porque
quatro vezes quatro (quatro multiplicado por ele mesmo duas vezes) é
igual a dezesseis. Quando queremos descobrir a raiz quadrada de dezesseis
(
2
)
16 , queremos saber qual número multiplicado por ele mesmo (o dois
significa que o número tem que ser multiplicado duas vezes) é igual a
dezesseis.
Vamos ver outro exemplo:
33 = 3 × 3 × 3 = 27 ⇔ 3 27 = 3
Quer dizer, três elevado ao cubo (elevado a três) é igual a vinte
e sete, porque três multiplicado por ele mesmo três vezes é igual
a vinte e sete. Então, a raiz cúbica de vinte e sete
(
3
)
27 é igual a três, porque
três é o número que multiplicado por ele mesmo três vezes tem como resultado
o número vinte e sete.
Seja a um número real e n um número natural. O número x é
RAIZ ENÉSIMA DE A
Raiz de a com
índice n, sendo n a
representação de um
número qualquer.
chamado de RAIZ ENÉSIMA DE A se, e somente se, xn = a.
Perceba que x n = a é o mesmo que
n
a = x, ou seja,
a radiciação é a operação inversa da potenciação.
ATENÇÃO
Em matemática, é muito comum usarmos letras representando números. Isso
simplifica a comunicação; se fôssemos escrever por extenso todas as fórmulas matemáticas, os livros seriam enormes. Assim, as letras a, n, x, m e p que você verá nesta
aula estão sendo usadas para representar um número qualquer. Por exemplo, xn = a
significa que você pode pensar nessa equação para qualquer número no lugar de x
e qualquer número no lugar de n, gerando um resultado que é a letra a. O valor de a pode
ser qualquer número; no entanto, ele vai depender dos valores de x e n. Veja a seguir:
Para xn = a, temos 23 = 8; 42 = 16; 124 = 20736 e assim por diante.
86
Kriss Szkurlatowski
Aula 4 • Radiciação
Fonte: www.sxc.hu
Figura 4.1: Uma das primeiras referências à potenciação foi encontrada em papiros
egípcios do final do Império Médio.
A REPRESENTAÇÃO DE RADICIAÇÃO
Usaremos a
a para representar raízes enésimas do
NOTAÇÃO
número a. No caso em que n = 2 e a > 0 (a é maior que zero), em vez
Conjunto de sinais que
se usa para representar
ou designar algo.
de
2
NOTAÇÃO
n
a , escreveremos simplesmente
a e lemos “raiz quadrada de a”.
2
Nesta situação, − a é o simétrico de a e − a = a.
2
Você entendeu por que − a = a.? É simples, quando você
(
)
(
)
multiplicar números com o mesmo sinal, o resultado será sempre positivo. Se
(− a )
2
= − a × − a , então o resultado desta operação será positivo. Mas
por que o resultado é igual a a? Fácil! Quando você multiplica duas raízes
iguais, o resultado é sempre o número dentro da raiz, ou seja, 2 × 2 = 2
,
9 × 9 = 9, e assim por diante. Posteriormente, vamos definir melhor
a representação
n
a.
87
e-Tec Brasil – Estatística Aplicada
ATENÇÃO
Números simétricos, também chamados de opostos, são
números que possuem o mesmo valor, mas com sinais
contrários. Quer dizer, 7 é simétrico ou oposto de –7; 16 é
simétrico ou oposto de –16;
Obs.: No símbolo
n
6 é simétrica ou oposta a − 6 .
a dizemos que:
√ é o radical;
a é o radicando;
Tatiana Bolshakova
n é o índice da raiz.
Fonte: www.sxc.hu
Figura 4.2: Encontramos o uso de potenciação no cálculo do volume de pirâmides de base
quadrangular.
88
Da definição de radiciação, conclui-se que determinar as raízes
enésimas de a é o mesmo que determinar todas as soluções da equação
xn = a. Vamos examinar os seguintes casos:
Aula 4 • Radiciação
AS POSSIBILIDADES DA EQUAÇÃO xn = a
Primeiro caso: O número a é igual a zero e o número n pertence
ao conjunto dos números naturais, sendo que n
é maior ou igual a 2
A única raiz enésima de zero é o próprio zero, ou seja,
n
0 = 0,
para qualquer valor de n.
Segundo caso: o número a é maior que zero e o número n
pertence ao conjunto dos números naturais, sendo que n é um
número par
O número a possui duas raízes enésimas. Essas duas raízes são
simétricas. A raiz enésima positiva de a é representada pelo símbolo
n
a.
A raiz enésima negativa de a, por ser simétrica da primeira, é representada
pelo símbolo – n a.
Portanto, cuidado! Quando escrevemos, por exemplo, 4 3,
6
5,
3, estamos representando números positivos.
Exemplo:
O número 16 tem duas raízes quartas ( 4 ). A raiz quarta
positiva de 16 é 2 (porque 2 4 = 16). A raiz quarta negativa de
16 é –2. Assim,
4
16 = 2
− 4 16 = −2
As raízes quartas de 16 são 2 e –2.
89
e-Tec Brasil – Estatística Aplicada
CURIOSIDADE
A Fórmula de Bháskara e o cálculo dos macacos
Entre os matemáticos hindus da Índia Antiga era muito comum a realização de competições
que desafiavam os competidores com quebra-cabeças. Os passatempos matemáticos
dessa época eram apresentados por meio de ditos populares em forma de prosa. Veja
este exemplo: “...alegravam-se os macacos divididos em dois bandos: sua oitava parte ao
quadrado no bosque brincava. Com alegres gritos, doze gritando no campo estão. Sabe
Billy Alexander
quantos macacos há no grupo no total?” Podemos montar o problema assim:
Fonte: www.sxc.hu
...alegravam-se os macacos divididos em dois bandos ⇒ x
sua oitava parte ao quadrado no bosque brincava ⇒  x 2
⇒ 
8
Com alegres gritos, doze gritando no campo estão ⇒ 12
2
Sabe quantos macacos há no grupo no total? ⇒
⇒ X −  x  + 12
 
8
Observe que, no final, temos uma equação para calcular a pergunta. Toda equação
que apresenta o termo X2 é chamada de equação do segundo grau. Sempre que se quer
resolver esse tipo de equação, utiliza-se uma fórmula chamada de Fórmula de Bháskara:
− b ± b2 − 4ac . Mais adiante nesta aula, você entenderá por que a raiz quadrada
2a
da Fórmula de Bháskara pode ser positiva (+) ou negativa (–), e isso faz com que o X,
x=
nessa fórmula, tenha dois resultados possíveis (no caso do problema, 16 ou 48 macacos
no grupo).
Fonte: Adaptado de: ROPELATO; RAMOS (2006).
90
Aula 4 • Radiciação
Terceiro caso: o número a é menor que zero e o número n pertence ao
conjunto dos números naturais, sendo que n é par.
Neste caso, não existe raiz. O que queremos dizer com isso?
Simplesmente que no conjunto dos números reais não faz sentido uma
expressão como
−2 ou
8
−6 .
Exemplo:
Não existe raiz quadrada de −4. Ou, dito de outro modo, não
existe nenhum número real x tal que x2 = −4. Isso vale para qualquer
G & A Scholiers
potência de número par.
Fonte: www.sxc.hu
Figura 4.3: A probabilidade de usarmos a radiciação no nosso dia-a-dia é pequena, mas é
possível que você precise dela no seu futuro emprego.
91
e-Tec Brasil – Estatística Aplicada
Quarto caso: O número a é diferente de zero e o número n
pertence ao conjunto dos números naturais, sendo que n
é ímpar
O número a possui exatamente uma única raiz enésima no conjunto
dos números reais. Essa raiz tem o mesmo sinal de a e é representada
pelo símbolo
n
a.
Exemplos:
a) O número 8 tem uma única raiz cúbica ( 3 ), que é representada
com o símbolo
3
8 e vale 2, isto é,
3
8 = 2 (porque 23 = 8). Isso vale para
qualquer potência de número ímpar.
b) O número −64 tem uma única raiz cúbica no conjunto dos
números reais que é representada pelo símbolo
3
−64 e vale −4, isto
é, −64 = −4 (porque −43 = −64). Isso vale para qualquer potência de
3
número ímpar.
Obs.: Conforme já observado, por convenção, na raiz quadrada,
omite-se o índice (n). Escreve-se, por exemplo,
representar
2
6 e
− 6 para
6.
Exemplos:
a) O número 8 é uma raiz quadrada de 64, pois 82 = 64.
b) O número −8 é uma raiz quadrada de 64, pois (−8)2 = 64.
c)
3
0 = 0 ⇔ 03 = 0
16 = 4 ⇔ 42 = 0
d)
2
e) − 16 = −4 ⇔ − ( 4 ) = −16
f) ± 16 = ±4 ⇔ ± ( 4 ) = ±16
2
g) −4 não tem sentido em R.
h) 3 27 = 3 ⇔ 33 = 27
3
i) −27 = −3 ⇔ (−3)3 = −27
j)
3
−1 = −1 ⇔ (−1)3 = −1
k) 4 2401 = 7 ⇔ 74 = 2401
92
Johannalg
Aula 4 • Radiciação
Fonte: www.sxc.hu
Figura 4.4: É possível extrair raízes usando calculadoras, mas você vai precisar de
um modelo de calculadora científica ou financeira.
ATIVIDADE 1
Atende ao Objetivo 1
Vamos verificar se você entendeu os casos apresentados até aqui? Então, calcule os radicais
a seguir:
a.
b.
−5
4
4
81
c. 5 32
d.
5
0
93
e-Tec Brasil – Estatística Aplicada
PROPRIEDADE DAS RAÍZES
Sejam a e b números reais e m e n números inteiros. Suponha
que as raízes enésimas que escreveremos nas propriedades de
1 até 4, a seguir, são bem definidas. Então, valem as seguintes
propriedades:
Propriedade 1: para cálculo com radicais de mesmo índice
Para multiplicar, mantém-se o índice e multiplicam-se os radicandos,
isto é, n a × n b = n ab .
Para dividir, mantém-se o índice e dividem-se os radicandos, isto
n
a
a
é,
= n , bb ≠≠0 0,
n
b
b
Exemplos:
a)
3
b)
c)
3× 3 9 =
3
27 = 3 (porque 33 = 27)
2 × 5 = 10
32 = 3 8 × 3 4 (operação inversa)
d) 8 = 2 × 4 = 2 × 2 = 2 2 ( 4 = 2 ⇔ 22 = 4 )
3
CURIOSIDADE
Konstantinos Dafalias
O templo e a raiz quadrada de dois
Fonte: www.sxc.hu
94
Aula 4 • Radiciação
Fonte: Adaptado de http://www.psico-pictografia.blogspot.com/
Você já ouviu falar no Pathernon? O Pathernon é um templo grego localizado na cidade de
Atenas. Ele foi erguido em homenagem à deusa Atena Pathernos, considerada a protetora
da cidade. Sua construção data de 447 a 438 a.C. Em um livro chamado Os segredos da
antiga geometria, Tom Brunes faz uma análise geométrica do templo. Ele afirma que o
lado e a diagonal de uma série de quadrados regem a arquitetura do edifício. Cada um dos
quadrados está em relação com o quadrado maior que o contém na proporção de 1 para
1,25. Essa relação funcional é chamada de Função da Raiz Quadrada de Dois
( 2 ).
95
e-Tec Brasil – Estatística Aplicada
ATIVIDADE 2
Atende ao Objetivo 1
Com base na primeira propriedade das raízes, faça os seguintes cálculos:
a.
3
16 × 3 4
30
6
b.
c.
4
81 × 4 8
d.
3
6750 ÷ 3 2
Propriedade 2: para calcular raiz de raiz
Para calcular uma raiz de outra raiz, mantém-se o radicando e
multiplicam-se os índices, isto é,
n m
a = mn a .
Exemplos:
a)
3
b)
3 4
729 = 2×3 729 = 6 729 = 3 (porque 36 = 729)
5 = 3×4×2 5 = 24 5
ATIVIDADE 3
Atende ao Objetivo 1
Com base na segunda propriedade das raízes, calcule as seguintes raízes:
a.
b.
96
256
4 3
4096
Calcular a raiz e em seguida a potência é o mesmo que calcular a
potência e em seguida a raiz, isto é,
( a)
n
m
= n a m , sendo que o número
m pertence ao conjunto dos números inteiros.
Aula 4 • Radiciação
Propriedade 3: para calcular raiz de potência
Exemplos:
a) 45 =
b)
4
( 4)
162 =
(
4
5
= 25 = 32 ( 4 = 2 ⇔ 22 = 4 )
16
)
2
= 22 = 4 ( 4 16 = 2 ⇔ 24 = 16 )
an
th
na
Jo
r
ne
er
W
Fonte: www.sxc.hu
Figura 4.5: Uma das maneiras de calcular a área de um triângulo é por meio do Teorema de
Heron. A fórmula é A = S(S − a)(S − b)(S − c) , onde A é a área do triângulo que se quer
calcular; S é o valor do semiperímetro do triângulo; a, b e c são os comprimentos dos lados do
triângulo.
97
e-Tec Brasil – Estatística Aplicada
ATIVIDADE 4
Atende ao Objetivo 1
Com base no que você aprendeu sobre a terceira propriedade das raízes, calcule:
a.
3
27 2
b.
5
2434
Propriedade 4: sobre alteração do índice
Multiplicar ou dividir índice e expoente por um mesmo número
não altera o resultado, isto é,
n
am =
np
a mp .
Exemplos:
2 3 = 6 ÷ 3 2 3÷ 3 = 2
a) Dividindo por 3, temos:
6
b) Dividindo por 8, temos:
16
28 = 16 ÷8 28÷8 = 2
c) Multiplicando por 3 no primeiro termo e por 2 no segundo, temos:
55 ×× 33 22 == 22××33 5511××33 ×× 33××22 2211××22 == 66 5533 ×× 66 2222 == 66 125
125 ×× 66 44 == 66 125
125×× 44 == 66 500
500
(Lembre-se de que quando não há expoente é como se o número fosse
elevado a 1.)
ATENÇÃO
Voltamos a enfatizar que as propriedades enunciadas são
válidas sob a condição de que as potências e os radicais
estejam bem definidos. Por exemplo, não faz sentido usar a propriedade 3 para escrever
sentido
98
4
4
( −2 )
3
=
(
4
)
3
−2 , uma vez que não faz
−2 , no conjunto dos números reais.
Aula 4 • Radiciação
Figura 4.6: Para resolver equações de segundo grau, usamos a Fórmula de Bháskara: X =
−b ± ∆
2a
Nosso próximo assunto tem como objetivo ampliar a utilização de
potências e radicais para facilitar operações com números reais. Ou, de
um outro ponto de vista, veja a definição apresentada após a próxima
atividade. Trataremos a radiciação como um caso especial de potências
de expoentes fracionários.
ATIVIDADE 5
Atende ao Objetivo 1
Utilize a propriedade 4 para realizar os seguintes cálculos:
a.
b.
c.
8
36
3
2
3
5
4
2× 3 3×6 5
99
e-Tec Brasil – Estatística Aplicada
POTÊNCIA DE EXPOENTE RACIONAL
Definição
a) Seja a um número real positivo, n um número natural não-nulo
(diferente de zero) e um número racional na forma irredutível, a potência
m
m
de base a e a expoente racional
definem-se por a n = n a m .
n
m
b) Seja a um número real, n um número natural ímpar e
n
um número racional na forma irredutível, a potência de base a
m
m
e o expoente racional
definem-se por a n = n a m .
n
ATENÇÃO
Valem para as potências de expoente racional as mesmas
propriedades válidas para as potências de expoente inteiro.
Exemplos:
3
a) 35 = 5 33
1
b) 2 7 = 7 21 = 7 2
c) 2
−
1
2
5
=
5
1
22
1
1
5
d) 2 2 × 2 3 = 2 2 + 3 = 2 6 = 6 25
100
GiniMiniGi
Aula 4 • Radiciação
Fonte: www.sxc.hu
Figura 4.7: Para calcular a diagonal de um quadrado, você precisa saber radiciação.
A fórmula é d = l 2 , onde d é o valor da diagonal que se quer achar, l é o comprimento
de um dos lados do quadrado (são todos iguais).
ATIVIDADE 6
Atende ao Objetivo 1
Escreva as potências a seguir em forma de radicais:
a.
3
34
1
b. 37
c.
d.
1
52
−2
23
101
e-Tec Brasil – Estatística Aplicada
RESUMINDO...
• O cálculo da radiciação é o inverso da potenciação.
• Na notação
n
a , √ , a, n, são, respectivamente, raiz, radicando e índice.
• Não importa o valor do índice, se o radicando for zero, a raiz será zero.
• Quando a > 0 e n é par, a tem duas raízes simétricas, sendo uma positiva e outra
negativa.
• Se n é par, não existe raiz para um radicando negativo.
• Quando a ≠ 0 e n é impar, a só possui uma raiz (não há uma simétrica).
• Na representação de raiz quadrada omite-se o índice.
• Para multiplicar ou dividir radicais com mesmo índice basta multiplicar ou dividir os
radicandos e manter o índice.
• Para calcular raiz de raiz, multiplicamos os índices e mantemos o radicando.
• Quando o radicando tem um expoente, podemos escrever a raiz, sem alterar seu valor,
deslocando o expoente para todo o radical.
• Podemos multiplicar ou dividir o índice e o expoente por um mesmo número sem que
isso afete o resultado.
• Um número com expoente fracionário pode ser escrito como radical. A base será o radicando, o numerador do expoente fracionário será o expoente do radicando e o denominador
do expoente fracionário será o índice.
RESPOSTAS DAS ATIVIDADES
ATIVIDADE 1
a. Não existe raiz quadrada quando o radicando é negativo e o índice é par.
b. Como o radicando é maior que 0 e o índice é par, existem duas raízes simétricas
nesta resposta. As raízes são + 3 e −3, porque 34 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81.
c. Como o radicando é ≠ 0 e o índice é ímpar, só há uma raiz. A resposta é 2, porque
25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32.
d. Se o radicando é zero, não importa o índice, a raiz será zero.
102
Aula 4 • Radiciação
ATIVIDADE 2
a. Quando os radicais têm índices iguais, basta multiplicar os radicandos. 16 × 4 = 64 → 3 64 = 4 ,
pois 43 = 64.
b. Quando os radicais têm índices iguais, basta dividir os radicandos. 30 ÷ 6 = 5.
O resultado é
5.
c. Quando os radicais têm índices iguais, basta multiplicar os radicandos. 81 × 8 = 648 → 4 648 .= 6
d. Quando os radicais têm índices iguais, basta dividir os radicandos.
6750 ÷ 2 = 3375 → 3 3375 = 15 , pois 153 = 3375.
ATIVIDADE 3
a. Para calcular raiz de raiz, temos que multiplicar os índices e manter o radicando. Assim:
2×2
a.
256 = 4 256 = 4 , pois 44 = 256.
b. 4× 3 4096 = 12 4096 = 2 , pois 212 = 4096.
ATIVIDADE 4
a. Neste caso, podemos escrever, sem alterar o valor, como
(
3
27
)
2
→ 3 27 = 3 , pois 33 = 27.
Por fim, 32 = 9.
b. Baseando-se na terceira propriedade das raízes, podemos escrever da seguinte forma:
(
5
243
)
4
= 34, pois 35 = 243 . Por fim, 34 = 81.
ATIVIDADE 5
a. Podemos dividir o índice e o expoente do radicando pelo mesmo número sem
que isso altere o resultado. Assim, simplificamos o expoente 6 com o índice 8
( 8 ÷ 2 36 ÷ 2 =
33 = 4 27 .
b. Com base na quarta propriedade das raízes, podemos igualar os índices de ambos os
4
33 ), pois ambos são divisíveis por 2. Temos, então,
4
radicais, o que facilita a resolução do problema. Assim, multiplicamos por cinco o numerador
e por 3 o denominador:
3× 5
25 15 32 .
=
15
27
27
c. Também com base na quarta propriedade, podemos multiplicar todos os termos da
multiplicação a fim de igualarmos os índices. Multiplicamos o primeiro termo por 3, o segundo
por 4 e o terceiro por 2. Assim, temos:
4× 3
23 ×
3× 4
34 ×
6×2
5 = 12 8 × 12 81 × 12 25 = 12 8 × 81 × 25 = 12 16200 .
103
e-Tec Brasil – Estatística Aplicada
ATIVIDADE 6
a.
4
33 = 4 27
b.
7
3
c.
51 = 5 (quando o expoente é 1, não precisa ser representado)
d. 3 2−2 = 1 (reveja, na aula de potenciação, a nota sobre expoentes negativos)
3
4
2
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ARNAUT, Roberto Geraldo Tavares. Matemática Básica: volume
único. 5 ed. Rio de Janeiro: Fundação CECIERJ, 2008.
ROPELATO, Graziela; RAMOS, Paulo. Para que estudar a
fórmula de bháskara? Revista de divulgação técnico-científica
do ICPG, Indaial, v. 3, n. 9, jul./dez. 2006.
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