Salete - Professores da UFF

CAPÍTULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS
1.1- Considerações Gerais Sobre os Conjuntos Numéricos.
Ao iniciar o estudo de qualquer tipo de matemática não podemos provar tudo. Cada vez que introduzimos um
novo conceito precisamos defini-lo em termos de conceitos cujos significados já são por nós conhecidos sendo
quase impossível estar retornando sempre a definição de todos os conceitos anteriores. Então, precisamos escolher
o nosso ponto de partida, isto é, o que vamos admitir já sabido e o que vamos explicar e provar em termos do que já
foi suposto conhecido. Em nosso estudo admitiremos o conhecimento dos números da adição, da subtração,
multiplicação e a divisão por número diferente de zero.
1.2- Sistematização dos Conjuntos Numéricos
Existem diversos processos para introduzir o conceito de número real, entre os quais destacam-se o processo
construtivo e o processo axiomático. No processo construtivo parte-se de um número reduzido de conceitos
primitivos mediante os quais surge o conjunto dos números naturais N={1,2,3,...}. Define-se depois sobre N duas
operações adição e multiplicação, bem como uma relação de ordem. Completa-se o estudo dos números naturais
demonstrando as propriedades.
1.3- Conjunto dos Números Naturais (N)
Propriedades:
1) 1 ∈ N.
2) ∀ n ∈ N, ∃ n+1 ∈ N e n+1 é o sucessor de n.
3) ∀ m, n ∈ N se m+1 = n+1 → m = n.
4) Seja S ⊂ N com as propriedades:
a)
1 ∈ S.
b) ∀ s ∈ S → s+1 ∈ S.
Logo, S = N (Princípio da Indução)
Assim tem-se:
N = {1,2,3,...}
A soma e o produto de dois números naturais ainda são naturais, isto significa que o conjunto N é fechado em
relação a adição e a multiplicação.
Exemplo: Sejam a, b ∈ N
x = a + b e x = a.b
São equações que têm solução em N.
Porém x + a = b ou a.x = b nem sempre tem solução em N.
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1
1.4- Conjunto dos Números Inteiros (Z)
O conjunto dos números inteiros foi estruturado a partir dos números naturais para resolver as equações acima.
Este conjunto foi sistematizado com a introdução do elemento oposto. Dado um número natural a, existe (-a) tal que a
+ (-a) = 0. Com isso nós incorporamos o zero.
Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
O conjunto dos números inteiros é fechado em relação as operações de adição, subtração e multiplicação, mas
não é em relação a divisão, por esta razão equações da forma a.x = b nem sempre tem solução em Z.
Exemplo: 2x = 5 → x =
5
2
∉Z
1.5- Conjunto dos Números Racionais (Q)
Q é um conjunto numérico formado por números da forma p q , onde p e q ∈ Z e q ≠ 0.
Exemplo: 2,3,4/5...
O conjunto dos números racionais é fechado em relação as operações de adição, subtração, multiplicação e
divisão, exceto a divisão por 0; porém no conjunto dos números racionais nem sempre é possível resolver a equação x2
=a
Exemplo: x
2
=2→x=
2 ∉Q :
Demonstração que
•
2 ∉Q.
O quadrado de um número par é par:
2.n onde n é inteiro.
(2.n) 2 = 4.n 2 = 2.(2.n 2 ) é PAR.
123
N
•
O quadrado de um número ímpar é ímpar:
2n + 1
2
(2n + 1)
= 4n
2
2
2n) + 1 é ÍMPAR.
142+4
3
+ 4n + 1 = 2.(2n
N
Demonstração por contradição:
2 ∈Q∴∃ a ∈Q
Suponha que
a=
•
m
n
a
2
a
2
=2
2
m
  =2
n
=2
m
2
= 2n
2
⇒ m é par .
m, n ≠ 0 e m e n não simultaneamente pares, nem ímpares
Se m é par m = 2.k, então:
(2.k)
2
= 2.n
2
4k
2
= 2n
2
O que contradiz a hipótese logo
2k
2
=n
2
⇒ n é par .
2 ∉Q .
Exemplos de números não racionais: 2,3791...; 2 ;π;e.
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1.6- Conjunto dos Números Reais (R)
É o conjunto dos números obtidos pela união dos números racionais e irracionais.
1.6.1- Conjunto dos Números Irracionais (Q’)
É o conjunto dos números tais que a equação x 2 = a tem sempre solução quando a é um número racional
positivo. Os números irracionais na notação decimal corresponde aos decimais infinitos e não periódicos.
Exemplos: 2,37951..., π, e.
•
Q ∩ Q' = φ ou { }
•
Q ∪ Q' = R
1.6.2- Aproximação Intuitiva da Noção do Conjunto dos Números Reais
Os Números reais são associados aos pontos sobre um eixo coordenado, que é uma reta sobre a qual está
marcada uma escala como a reta mostrada na Figura. O número 0 está associado ao ponto marcado 0 sobre o eixo. A
seta indica que os números positivos estão associados aos pontos à direita do ponto 0. A distância entre os pontos
marcados 0 e 1 é a distância unitária. A letra x indica que ela está sendo usada para se referir a pontos sobre o eixo
coordenado e aos números reais que eles representam.
x
-3 -2 -1 0 1 2 3
Eixo dos x.
1.6.3- Propriedades dos Números Reais
Lei comutativa da adição
∀ x, y ∈ R → x + y = y + x
Lei comutativa da multiplicação
∀ x, y ∈ R → x . y = y . x
Lei associativa da adição
∀ x, y, z ∈ R → (x + y) + z = x + (y + z)
Lei associativa da multiplicação
∀ x, y, z ∈ R → (x . y) . z = x . (y . z)
Lei da existência do elemento neutro da adição
∃ o 0∈R / x+0=x:∀x∈R
Lei da existência do elemento neutro da multiplicação
∃
1∈R / 1.x=x:∀x∈R
Lei da existência do elemento simétrico (oposto) da adição
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3
∀x∈R,∃ y∈R/x+y=0
Lei da existência do elemento simétrico (inverso) da multiplicação
∀ x ∈ R , x ≠ 0, ∃ y ∈ R / x . y= 1
y= x-1
Lei distributiva da multiplicação em relação a adição
∀ x, y, z ∈ R → x (y + z) = x.y + x.z
Lei do fechamento da adição
∀ x, y ∈ R → x + y ∈ R
Lei do fechamento da multiplicação
∀ x, y ∈ R → x . y ∈ R
Lei do cancelamento em relação a adição
∀ x, y, z ∈ R se x + z = y + z ⇒ x = y
Lei do cancelamento em relação a multiplicação
∀ x, y, z ∈ R e z ≠ 0 se x . z = y . z ⇒ x = y
Lei da tricotomia
∀ x, y ∈ R, vale uma e somente uma das afirmações:
x > y ou
x < y ou
x=y
Obs.: fazendo y = 0, temos:
x > 0 ou
x < 0 ou x = 0
Lei da compatibilidade da relação de ordem com a adição
∀ x, y, z ∈ R se x + z > y + z ⇒ x > y
Lei da compatibilidade da relação de ordem com a multiplicação
∀ x, y, z ∈ R e z > 0 se x > y ⇒ x . z > y . z
Obs.: se z < 0 : x > y ⇒ x . z < y . z
Lei da transitividade
∀ x, y, z ∈ R se x > y e y > z ⇒ x > z
Exercícios
1) Responda (V) ou (F) e justifique.
a)
Se x é um número positivo ⇒ 5x é um número positivo
b) Se x < 3 e y > 3 ⇒ x < y
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4
c)
Se x ≤ y ⇒ -5x ≤ -5y
d) Se x2 ≤ 9 ⇒ x ≤ 3
e)
Se x ≥ 2 e y > x ⇒ y > 0
Respostas:
(V) É certo pois se x é positivo, 5 multiplicado por um número positivo (x) sempre terá como resultado um número
positivo.]
(V) É verdadeiro porque se x < 3, x é qualquer número menor que 3 e sendo y > 3, y é qualquer número maior que
3. Assim x < y.
(V) Podemos simplificar a equação: -5x ≤ -5y em x ≤ y.
(F) É falso pois resolvendo a inequação teremos: x2 ≤ 9
x2 = 9
x=±3
(V) x ≥ 2
x≤3
x ≥ -3
y>x
2
y>2
x
1.6.4- Representação Geométrica dos Números Reais
Existe uma correspondência bionívoca entre os pontos de uma reta e o conjunto dos números reais de tal forma
que cada ponto da reta fica determinado por um único número real e todo número real está associado a um único
ponto da reta
negativos
0
positivos
Figura 2- Representação geométrica dos números reais.
1.6.5- Espaço Real Unidimensional
Definições
1) Conjunto linear
Chama-se conjunto linear qualquer conjunto de números reais ou de seus pontos representativos.
2) Intervalos
Os conjuntos de números encontrados mais freqüentemente em cálculo são os intervalos e são
subconjuntos da reta. Considera-se os seguintes casos: (sejam a e b números reais tais que a < b)
a)
Intervalo fechado de extremos a e b ou intervalo limitado fechado. É o conjunto que satisfaz uma
condição da forma a ≤ x ≤ b [
[
]
{x ∈ R / a ≤ x ≤ b}
a
b
[a, b]
b) Intervalo aberto de extremos a e b ou intervalo limitado aberto. É o conjunto de números x que
satisfazem uma condição da forma a<x<b. ( ou ]
[
]
{x ∈ R / a < x < b}
a
b
(a, b) ou ]a, b[
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5
c)
Intervalos reais semi-abertos:
c.1) à esquerda
(
]
{x ∈ R / a < x ≤ b}
a
b
(a, b] ou ]a, b]
[
)
{x ∈ R / a ≤ x < b}
a
b
[a, b) ou [a, b[
c.2) à direita
d) Intervalos reais ilimitados
d.1) (-∞, b] ⇒ {x ∈ R / x ≤ b}
]
b
d.2) (-∞, b) ⇒ {x ∈ R / x < b}
)
b
d.3) [a, ∞) ⇒ {x ∈ R / x ≥ a}
[
a
d.4) (a, ∞) ⇒ {x ∈ R / x > a}
(
a
d.1 e d.3 são chamados de semi-retas fechadas
d.2 e d.4 são chamados de semi-retas abertas
Intervalo degenerado
a
{x ∈ R / x = a} = [a, a]
1.6.6- Supremo (limite superior)
Um número real L é supremo de um conjunto linear A se e somente se (↔) são verificadas as seguintes
condições:
•
L ≥ x, ∀ x ∈ A
•
Dado L1 < L, então (→) ∃ x ∈ A / L1 < x < L.
1.6.7- Ínfimo (limite inferior)
Um número real l é ínfimo de um conjunto linear a ↔ são verificadas as seguintes condições:
•
l ≤ x, ∀ x ∈ A
•
Dado l1 > l → ∃ x ∈ A / l < x < l1.
1.6.8- Máximo de um conjunto
Um número real L é máximo de um conjunto linear A ↔ são verificadas as seguintes condições:
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6
•
L é supremo de A
•
L ∈ A.
1.6.9- Mínimo de um conjunto
Um número real l é mínimo de um conjunto linear A ↔ são verificadas as seguintes condições:
•
l é ínfimo de A
•
l ∈ A.
Exercício:
A = (2, 5]
B = { x ∈ R / x > 2}
C = { x ∈ R / x ≤ 3}
Determinar:
Superior (A) : 5
Superior (B) : ∃
Superior (C) : 3
Ínfimo (A) : 2
Ínfimo (B) : 2
Ínfimo (C) : ∃
Máximo (A) : 5
Máximo (B) : ∃
Máximo (C) : 3
Mínimo (A) : ∃
Mínimo (B) : ∃
Mínimo (C) : ∃
1.6.10- Valor absoluto ou módulo de um número real
A noção de valor absoluto desempenha um importante papel
na geometria analítica e no cálculo,
especialmente em expressões que apresentem a distância entre dois pontos numa reta. Denomina-se módulo ou
valor absoluto de um número x ∈ R, o número definido por
|x| = x se x ≥ 0 → |x| = 0 ↔ x = 0
|x| = -x se x < 0
Pela definição podemos notar que o módulo de um número real é ele mesmo caso esse número seja
positivo e será o oposto dele caso ele seja negativo.
Geometricamente o módulo de um número real x (|x|) representa a distância que um ponto P (x) se
encontra da origem.
0
x
|
|
|x|
P
-3
0
5
|
|
|
Q
P
|-3|
|5|
Genericamente se P (a) e Q (b) são dois pontos da reta numérica, então a distância de P até Q poderá
ser calculada por: d (P, Q) = |b – a|
x = x2
|b – a| =
d (P, Q) =
(b − a)
2
(b − a)
2
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7
Propriedades decorrentes da definição:
1) |x| ≥ 0 e |x| = 0 ↔ x = 0
2) |x|2 = x2
x2
3) |x| =
4) |x . y| = |x| . |y|
x
5)
y
=
x
y
se y ≠ 0
6) |x + y| ≤ |x| + |y| → desigualdade triangular
7) |x| = |y| → x = ± y
Seja a ≥ 0
|x| = a → x = ± a
8) |x| ≤ a → -a ≤ x ≤ a
9) |x| ≥ a → x ≤ -a ou x ≥ a
Demonstrações das propriedades acima
P1) |x| ≥ 0 e |x| = 0 ↔ x = 0
x∈R
Pela Lei da Tricotomia; ou x > 0 ou x < 0 ou x = 0.
•
Se x > 0: |x| = x mas x > 0 ∴ |x| > 0
•
Se x < 0: |x| = -x mas x < 0 ∴ -x > 0 ∴ |x| > 0
•
Se x = 0: |x| = 0
P2) |x|2 = x2
•
Se x > 0: |x| = x → |x|2 = x2
•
Se x < 0: |x| = -x → |x|2 = (-x)2 = x2
•
Se x = 0: |x| = x → |x|2 = x2
x2
P3) |x| =
a indica a raiz quadrada positiva de um número a ≥ 0.
x
2
= x 2 → pela propriedade 2
x = x2
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8
P4) |x . y| = |x| . |y|
|x . y|2 = (x . y)2
|x . y| =
(x . y) 2
|x . y| =
x 2 .y 2
|x . y| =
x 2 . y2
|x . y| = |x| . |y|
P5)
x
x
=
y
y
(y ≠ 0)
P6) |x + y| ≤ |x| + |y|
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
(x + y)2 = |x|2 + 2xy + |y|2
x ≤ |x|
Obs.:
2xy ≤ |2xy|
2xy ≤ 2 |x| |y|
2
(x + y) ≤ |x|2 + 2 |x| |y| + |y|2
|x + y|2 ≤ ( |x| + |y| )2
|x + y| ≤ |x| + |y|
P7) |x| = |y| → x = ± y
|x|2 = |y|2
x2 = y2
x=±y
P8) |x| ≤ a
0 [
•
x ≥ 0 → |x| = x ⇒ x ≤ a
•
x < 0 → |x| = -x ⇒ -x ≤ a → x ≥ -a
]a
-a [
-a [
]a
-a ≤ x ≤ a
P9) |x| ≥ a → x ≥ a ou x ≤ -a
•
x ≥ 0 → |x| = x
x≥a
•
a[
x < 0 → |x| = -x
-x ≥ a → x ≤ -a
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] –a
9
]–a
a[
x ≥ a ou x ≤ -a
1.6.11- Distância em R (unidimensional)
Considere dois pontos quaisquer P e Q cujas coordenadas são a e b respectivamente. Se o número a é maior
que o número b, então, a distância entre os pontos a e b sobre um eixo é o número positivo a-b. Se a é menor
que b, a distância entre os dois pontos a e b é o número positivo b-a. Em qualquer caso a distância de P até Q
indicada por d (P, Q) é dada por |b – a|
P
Q
a
•
|b – a| =
|b – a|
(b − a)
b
2
d (P, Q) = |b – a|
ou
d (P, Q) =
(b
− a)
2
Exercícios
Resolver as equações e inequações:
a) |x – 3| = 2
|x| = a → x = ± a
•
•
|x – 3| = 2
|x – 3| = -2
x–3=2
x – 3 = -2
x=5
x=1
Resposta: x = 5 ou x = 1.
b) |x – 5| = |3x – 1|
|x| = |y| → x = ± y
•
x – 5 = -3x + 1
2x = -4
4x = 6
x = -2
x=
Resposta: x = -2 ou x =
c)
•
x – 5 = 3x - 1
3
2
3
.
2
|4x – 6| ≤ 3
|x| ≤ a → -a ≤ x ≤ a
-3 ≤ 4x - 6 ≤ 3
−3 + 6
3+ 6
≤x≤
4
4
Resposta:
3
9
≤x≤ .
4
4
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10
d) |3x + 5| > 2
|x| > a → x > a ou x < -a
•
•
3x + 5 > 2
x <−
x > -1
Resposta: x > -1 ou x < −
e)
2x + 1
<0
x−4
f)
3x − 1
≥5
x+2
(
3x + 5 < -2
7
3
7
.
3
)
g) (2 x − 3 ) x + 1 < 0
2
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CAPÍTULO 2- FUNÇÕES
2.1- Sistema de Coordenadas Cartesianas
Introdução: Vimos como um ponto P da reta numérica pode ser localizado especificando-se um número real x
chamado de coordenada do ponto P. Analogamente, podem-se localizar pontos num plano especificando-se dois
números reais denominados de coordenadas. Isto é realizado estabelecendo-se um sistema de coordenadas adequado no
plano, de modo que se faça corresponder, aos pontos, pares de números reais de modo sistemático. Descreve-se agora o
sistema de coordenadas cartesianas, assim denominado em homenagem ao filósofo e matemático francês do século 17
René Descartes.
2.1.1- Par Ordenado
É um conjunto de 2 elementos x, y indicado por (x, y) em que a ordem dos elementos deve ser respeitada.
(x, y) = (y, x) ↔ x = y
(x1, y1) = (x2, y2) ↔ x1 = x2 e y1 = y2
No par ordenado (x, y) o elemento x é chamado primeiro elemento, primeira projeção ou abscissa; o elemento y
é chamado segundo elemento, segunda projeção ou ordenada.
2.1.2- Produto Cartesiano
Dados os conjuntos lineares A e B diferentes do vazio, denomina-se produto cartesiano de A por B e se indica por
A x B. O conjunto de todos os pares ordenados (x, y)/ x ∈ A e y ∈ B.
A x B = {(x, y) / x ∈ A e y ∈ B}
2.1.3- Plano Cartesiano
Denomina-se plano cartesiano o conjunto de todos os pares ordenados de números reais representado pelo
seguinte conjunto: R x R = R2.
No plano cartesiano os pares ordenados (x, y) são referidos como pontos e o elemento x é chamado abscissa e o
elemento y ordenada do ponto.
2.1.4- Representação do Plano Cartesiano
Existe uma correspondência bionívoca entre os infinitos pontos de um plano e os infinitos pares ordenados, desta
maneira podemos representar estes pontos através de duas retas perpendiculares.
y (eixo das ordenadas)
P (x, y)
II
I
0
III
x (eixo das abscissas)
IV
Sistema de coordenadas cartesianas.
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12
2.1.5- Distância Bidimensional (R2)
Uma das propriedades mais notáveis do sistema de coordenadas cartesianas é a facilidade com a qual a distância
entre dois pontos P e Q pode ser calculada em função de suas coordenadas. Simboliza-se o segmento de reta entre
____
____
____
P e Q por PQ e utiliza-se a notação PQ para o comprimento deste segmento, de tal modo que d= PQ . Assim
podemos enunciar o seguinte teorema:
Teorema1 - A fórmula da distância
Se P=(x1,y1) e Q=(x2,y2) são dois pontos no plano cartesiano, então
[d(P, Q)] = |x2 – x1|2 + |y2 – y1|2
[d(P, Q)]2 = (x2 – x1)2 + (y2 –y1)2
d (P, Q) = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2
A fórmula da distância é simplesmente conseqüência do teorema de Pitágoras, o que pode ser comprovado pela Figura
abaixo
y
y2
Q (x2, y2)
|y2 – y1|
d
y1
P (x1, y1)
x1
x2
x
|x2 – x1|
Distância
2.2- Relações Binárias e Funções Reais
2.2.1- Relações Binárias
Sejam A e B conjuntos lineares não vazios, chama-se relação plana de A em B a qualquer subconjunto de pares
ordenados (x, y) do produto cartesiano A x B.
2.2.2- Domínio, Imagem, Contradomínio e Gráfico de Relações
a)
Domínio de relações:
Seja S uma relação de A em B, chama-se domínio de S e se indica por DS o conjunto linear:
DS = {x ∈ A / ∃ y ∈ R e ( x, y) ∈ S} ⊂ A
b) Contradomínio:
Se S é uma relação de A em B, o contradomínio de S que se indica por CdS é o conjunto B.
CdS = B
c)
Imagem:
Se S é uma relação de A em B, a imagem de S indicada por ImS é o conjunto linear:
ImS = {y ∈ B / ∃ x ∈ R e ( x , y) ∈ S} ⊂ B
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d) Gráfico:
Sendo S uma relação, denomina-se gráfico de S o conjunto:
{
}
GS = ( x , y ) ∈ R 2 / ( x , y ) ∈ S
e)
Gráficos das principais relações:
1)
{(x, y) ∈ R 2 / y = x}
y
y = x → é função
y ≥ x → não é função
45o
x
2)
{( x , y ) ∈ R
2
}
/ y = ax + b a e b ∈ R
a → coeficiente angular
y
a>0
b → coeficiente linear
a = tan α
b
Se:
•
a > 0 → tan α > 0 →
α
x
a<0
o
→ α < 90 : agudo
•
α
a < 0 → tan α < 0 →
→ α > 90o : obtuso
3)



2 / y = ax 2 + bx + c
(
)
x
,
y
R
∈

1442443 


parábola


Se:
•
a>0→
•
a <0→
“1”
y=0
ax2 + bx + c = 0
−b± ∆
2.a
2
∆ = b − 4.a.c
x=
”3”
•
∆ > 0 → 2 raízes
•
∆ < 0 → não existe → V 
“1”
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−b −∆
,

 2a 4 a 
14
•
∆ = 0 → 1 única raiz
“3”
→ x = 4y2 – 9 → também é uma parábola
4)
{(x , y )∈ R
•
a >0→
•
a <0→
2
}
/ x2 + y2 = 4
Pode ser circunferência, elipse ou hipérbole (quando o sinal entre x e y é de subtração)
Equação geral da circunferência
(x − α )2 + ( y − β )2
C (α , β )
raio = r
= r2
2
2
-2
-2
Exercícios
1- Dados R1 =
{(x , y ) ∈ R
2
}
/ x + y ≤ 25
2
2

4.x 2 
2
e R 2 = ( x , y ) ∈ R / y ≥
 , determine:
9 

1) Gráfico de R1∩R2
2) Domínio de R1∩R2
3) Imagem de R1∩R2
1)
y=
4x2
9
• y=
x 2 + y 2 = 25
x + y ≤ 25
2
-3
3
2
4 2
x
9
Para y = 0
4x2
9
x =0
0=
2) Pontos de interseção → Sistema
 x 2 + y 2 = 25


9y
4x2
y
=
→ x2 =

9
4

9y
+ y 2 = 25
4
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15
9 y + 4 y 2 − 100 = 0
4 y 2 + 9 y − 100 = 0
y=
− 9 ± 81 − 4.( 4 ).( −100 )
2.( 4 )
y = 4
− 9 ± 41 
y=
25

8
 y' = − 4
9y
x2 =
4
9
.4
x2 =
=9
4
x = ±3
D = {x ∈ R / -3 ≤ x ≤ 3}
3) {y ∈ R} = Im
Im = {y ∈ R / 0 ≤ x ≤ 5}
2- Esboce o gráfico de f(x) = |x-1|+2
2.2.4- Função Real de Variável Real
Seja F uma relação de um conjunto A em um conjunto B tal que para todo x pertencente a A corresponde um
único y ∈ B, então esta relação denomina-se função.
Notação:
F: A → B
y = F (x)
Domínio:
Se F: A → B, então o domínio de F é o conjunto A já que todo x ∈ A deve figurar em um único par ordenado
(x, y) de F.
DF = A
Contradomínio:
Se F: A → B, o contradomínio de F é o conjunto B.
CF = B
Imagem:
A imagem de F é o conjunto dos y ∈ B que estão relacionados por F, isto é, o conjunto dos y ∈ B que são
obtidos a partir de x pela lei F, já que y = F (x).
ImF ⊂ B
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16
2.2.5- Determinação do domínio ou Campo de Existência de Funções Reais de Variáveis Reais
Quando definimos uma relação como função apenas pela lei de correspondência y = f(x), estamos admitindo que
o domínio ou campo de existência da função é o conjunto de todo x ∈ R que seja possível determinar y ∈ R e y = F (x).
Exemplos:
1) Determinar o domínio ou campo de existência das seguintes funções:
a)
f (x) =
3x
x −1
Df = {x ∈ R / x − 1 ≠ 0}
Df = {x ∈ R / x ≠ 1}
-∞
1
+∞
Ponto de acumulação
y
x
assíntota
b)
g (x ) = x
2
+ 2x + 1
y
D=R
x
x
-1
f (x ) =
+ 2x + 1 = 0
x = −1
1
c)
2
(x − 4)(. x + 3)
D f = {x ∈ R/ (x − 4 )(
. x + 3) ≥ 0}
(x − 4)(. x + 3) ≥ 0
y
4
x-4
-----------++++++++
-3
x+3
-----+++++++++++++
+
-3
x ≤ −3
+
-3
4
x
4
x≥4
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D f = {x ∈ R / x ≤ −3 ou x ≥ 4}
17
f (x ) =
d)
2x
2
x −9
2x


D f = x ∈ R / 2
≥ 0
x −9


2x
≥0
2
x −9
y
0
2x
-----------++++++++
-3
2
x -9
3
++++----------- ++++
-
+
-
-3
+
0
-3
0
3
x
3
D f = {x ∈ R / − 3 < x ≤ 0 ou x > 3}
f (x ) =
e)
2x
x2 −9
{
}
D f = x ∈ R / 2x ≥ 0 e x 2 − 9 > 0
2
2x ≥ 0 e x − 9 > 0
y
0
2x
-3
2
x -9
3
++++----------- ++++
-
+
-
-3
+
0
0
3
x
3
D f = {x ∈ R / x > 3}
 x 2 − 3x + 2 

f ( x ) = log

x + 1 

f)


x 2 − 3x + 2
> 0
D f = x ∈ R /
x +1


x 2 − 3x + 2
>0
x +1
1
2
x -3x+2
2
+++++++-------++ ++
-1
x+1
----++++++++++++++
-
+
-1
1
+
2
D f = {x ∈ R / − 1 < x < 1 ou x > 2}
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18
O gráfico da função acima foi plotado no programa de álgebra simbólica Maple.
y
x
2
f (x ) =
log(x − 1)
arcsen
g)
x

D f = x ∈ R / − 1 ≤ ≤ 1 e
2

x −1 > 0 e

x − 1 ≠ 1

−1 ≤ x / 2 ≤ 1 ⇒ −2 ≤ x ≤ 2
-2
2
x −1 > 0 ⇒ x > 1
1
2
1
2
x −1 ≠ 1 ⇒ x ≠ 2
D f = {x ∈ R / 1 < x < 2}
O gráfico da função acima foi plotado no programa de álgebra simbólica Maple.
y
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19
2.3- Funções Sobrejetoras, Injetoras e Bijetoras
a)
Função Injetora:
Uma função y = F (x) de A em B é injetora se os elementos y ∈ B são imagens de um único x ∈ A.
b) Função Sobrejetora:
Uma função y = F (x) de A em B é sobrejetora se a imagem de F for igual ao contradomínio de F, isto
é, todo y ∈ B deve ser imagem de pelo menos um x ∈ A.
c)
Função Bijetora:
Uma função y = F (x) é bijetora se e somente se F for injetora e sobrejetora.
2.4- Classificação das Funções
As funções são classificadas em dois grandes grupos:
I)
Funções Algébricas Elementares
a)
Funções Algébricas Racionais
a.1) Inteiras
a.2) Fracionárias
b) Funções Algébricas Irracionais
II) Funções Transcendentais
a)
Trigonométricas
b) Exponenciais
c)
Logarítmicas
I) Funções Algébricas Elementares
São funções cujas variáveis são operações algébricas elementares (adição, subtração, multiplicação,
divisão e potenciação). E são classificadas como segue:
a)
Funções Algébricas Racionais:
As funções algébricas racionais são aquelas em que as variáveis não se encontram abaixo
de radicais ou não estão elevadas a expoentes fracionários e se classificam em:
a.1) Racionais Inteiras:
São aquelas em que suas variáveis não se encontram em denominador ou não estão
elevadas a expoentes negativos. São as funções conhecidas como POLINOMIAIS. Ex.:
f(x) = a0.xn+a1.xn-1+...+an
a.2) Racionais Fracionárias:
São funções da forma Q( x ) =
Ex.: f ( x ) =
f (x)
g(x)
, onde f(x) e g(x) são funções racionais inteiras.
a 0 .x n + a 1 .x n -1 + ... + a n
b 0 .x n + b1 .x n -1 + ... + b n
b) Funções Algébricas Irracionais:
São funções algébricas cujas variáveis estão sob radicais ou elevadas a expoentes
fracionários positivos ou negativos.
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20
II) Funções Transcendentais:
São funções cujas variáveis estão sujeitas as operações da trigonometria, da exponenciação e da
logaritmização.
Exemplos:
Classificar as seguintes funções:
3x
→função algébrica elementar racional
x −1
1)
f(x)=
2)
g( x ) =
3)
f ( x ) = x 2 + 2 x + 1 →função algébrica elementar racional inteira
4)
f (t ) =
t2
→função algébrica racional fracionária
2t 3 + 5
5)
g( x ) =
sen x + 4
→função transcendental
2x + 1
6)
h( x ) = log( x + 1 ) → função transcendental
7)
f ( x ) = 3 .x 2 + 4 x → função algébrica racional inteira
8)
F( x ) =
x+1
3
x
2x 2 + 5
2
→função algébrica irracional
+ x3
→ função algébrica irracional
2x − 5
3
Ainda com referência a classificação as funções algébricas e as funções transcendentais podem ser
classificadas em:
Funções Explícitas:
São aquelas em que uma das variáveis é resolvida em função da outra, isto é, isola-se uma variável em
função da outra. ( y = f(x) )
Ex.: y = x2+3x
Funções Implícitas:
São aquelas em que não é possível resolver uma das variáveis em relação a outra. (F(x, y)=0)
Ex.: y2+2.x5.y3+x2.seny=0
2.5- Composição de Funções
Sejam f e g duas funções que satisfazem a condição de que pelo menos um número pertencente a imagem de g
pertence ao domínio de f, então a composição de f por g, indicada por fog é definida por:
fog = f ( g (x) )
Evidentemente, o domínio da função composta f ° g é o conjunto de todos os valores de x no domínio de g, tais
que g(x) pertence ao domínio de f. Então a composição de f e g, simbolizada por f ° g é justamente o conjunto de todos
os números da forma f[g(x)], construída à medida que x percorre o domínio de f ° g.
Exemplo:
1) Determinar fog e gof, sendo f (x) = 3x e g (x) = x + 4
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21
→ fog = f ( g (x) ) = 3 (x+4) = 34 . 3x
→ gof = g ( f (x) ) = 3x + 4
2) Dadas as seguintes funções f(x)=3x-1, g ( x ) = x e p(x)=1/3(x+1), calcule;
3
1-(fog)(2) e (gof)(2)
2- (fop)(x) e (pof)(x)
3- (fog)(x) e (gof)(x)
4- (fof)(x)
5- [fo(g+p)](x) e [(fog)+(fop)](x)
2.6- Função Inversa
Duas funções f e g são inversas se e somente se:
a)
A imagem de g está contida no domínio de f;
b) Para todo x ∈ ao domínio de f, fog = x;
c)
A imagem de f deve estar contida no domínio de g;
d) Para todo x do domínio de f, gof = x.
Nestas condições f é dita invertível.
Para que estas condições sejam satisfeitas é necessário que f seja bijetora.
Notação:
Se y = f (x) é invertível, a inversa de f é indicada por x = f -1 (y) ou x = g (y).
Gráfico:
O gráfico de funções inversas são simétricos em relação a reta y = x.
TÉCNICA PARA DETERMINAR A INVERSA E REPRESENTÁ-LA NO PLANO CARTESIANO
1) Isola-se x na equação original .
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22
2) Troca-se x por y para respeitar a convenção de representação de função no plano cartesiano que
usualmente a variável independente é x e a variável dependente é y.
Exemplos:
Determinar as inversas das seguintes funções:
f (x) = x + 4
y=x+4
x=y–4
y=x–4
y=
→ Função inversa
x −3
x+2
( x + 2) y = x − 3
yx + 2 y = x − 3
yx − x = −3 − 2 y
( y − 1) x = −3 − 2 y
− 3 − 2y
x=
y −1
y=
−3 − 2 y
→ Função inversa
x +1
y = arctan 8x
8x = tan y
tan y
x=
8
y=
tan x
→ Função inversa
8
y = e 4x
4x = ln y
1
x = ln y
4
x = ln 4 y
y = ln 4 x → Função inversa
y = log
x
3
x
3
x = 3.10 y
10 y =
y = 3.10 x → Função inversa
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23
6) Suponha que f e g sejam definidas pelas equações abaixo. Prove que f e g são inversas.
f(x)=3x e g(x)=x/3
2.7- Funções Pares e Funções Ímpares
Função Par:
Seja y = f (x) definida em um domínio D, dizemos que f é par, se e somente se para todo x ∈ D, -x ∈ D e
f (-x) = f (x) .
Observe que o gráfico de funções pares são simétricos ao eixo dos y.
-x
x
Função Ímpar:
Seja y = f (x) definida em um domínio D, dizemos que f é ímpar, se e somente se para todo x ∈ D, -x
∈ D e f (-x) = - f (x) .
Observe que o gráfico de funções ímpares é simétrico em relação a origem
f(x)
f(-x)
Exemplos:
Verificar se as funções são pares, ímpares ou nem par nem ímpar:
1)
f ( x ) = x2 + 4
f ( − x ) = ( − x )2 + 4
f ( −x ) = x2 + 4
f ( x ) = f ( − x ) ⇒ Função par
2)
f ( x ) = x2 + 2x
f ( − x ) = ( − x ) 2 + 2( − x )
f ( −x ) = x 2 − 2x
f ( − x ) = −( − x 2 + 2 x ) ⇒ Não é par nem ímpar
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24
3)
f ( x ) = x3 + 4x
f ( − x ) = ( − x )3 + 4( − x )
f ( −x ) = −x3 − 4x
f ( − x ) = −( x 3 + 4 x )
f ( − x ) = − f ( x ) ⇒ Função ìmpar
4)
f ( x ) = cos x
f ( − x ) = cos( − x )
f ( − x ) = cos x
f ( − x ) = f ( x ) ⇒ Função Par
5)
f ( x ) = sen x
f (− x ) = sen(− x )
f (− x ) = − sen x
f (− x ) = −f ( x ) ⇒ Função ímpar
6)
f(x)=
e x + e −x
2
e− x + e x
2
f ( x ) = f ( − x ) ⇒ Função par
f ( −x ) =
7)
f(x)=
e x − e−x
2
e−x − e x
2
 − e −x + e x 

f ( − x ) = −

2


f ( − x ) = − f ( x ) ⇒ Função ímpar
f ( −x ) =
2.8- Translações
A forma de uma curva não é afetada pela posição dos eixos coordenados; no entanto a equação da curva é afetada.
Por exemplo, se uma circunferência com raio 3 tem seu centro no ponto (4,-1), então a equação desta circunferência é
(x − 4 )2 + ( y + 1)2
=9
ou
x2 + y 2 − 8x + 2 y + 8 = 0
Entretanto, se a origem estiver no centro, a mesma circunferência terá uma equação mais simples, a saber,
x2 + y2 = 9
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25
Em geral, se no plano em que os eixos dos x e y são dados, são escolhidos novos eixos coordenados paralelos aos já
dados, dizemos que ocorreu uma translação de eixos no plano.
B
B'
P (x,y) (x',y')
x'
O'(h,k)
A'
x
O
A
temos:
x' = x - h ou x = x' + h
y' = y - k ou y = y' + k
Estes resultados são enunciados como um teorema
Teorema: Se (x , y) representa um ponto P em relação a um conjunto dado de eixos e (x' , y') é uma representação de P.
depois que os eixos são transladados para uma nova origem, tendo coordenadas (h , k) em relação aos eixos dados,
então;
x = x' + h e y = y' + k
x' = x - h e y' = y - k
As equações acima são chamadas de equações de translação dos eixos. Se a equação de uma curva é dada em x e y
então a equação em x' e y' é obtida, se substituirmos x por (x' + h) e y por (y' + k). O gráfico da equação em x e y, em
relação aos eixos x e y, é exatamente o mesmo conjunto de pontos que o gráfico da equação correspondente em x' e y',
em relação aos eixos x' e y' .
Exercícios
1) Dada a equação x 2 + 10 x + 6 y + 19 = 0 encontre a equação do gráfico em relação aos eixos x' e y', após uma
translação de eixos à nova origem(-5,1).
2.9- Gráficos de Funções Trigonométricas Básicas
Com os elementos que dispomos até agora, ficaria muito trabalhoso definir e, em seguida, demonstrar as cinco
principais propriedades das funções seno e co-seno. Observamos, entretanto, que apenas cinco propriedades são
suficientes para descrever completamente tais funções.
Teorema: Existe um único par de funções definidas em R, indicadas por sen e cos, satisfazendo as propriedades
(1) sen 0 = 1
(2) cos 0 = 1
(3) Quaisquer que sejam os reais a e b
sen(a-b) = sen a cos b - sen b cos a
(4) Quaisquer que sejam os reais a e b
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26
cos(a-b) = cos a cos b +sen a sen b
(5)Existe r>0 tal que

0<sen x<x< tg x  tg x =

sen x 
 para 0<x<r
cos x 
Vejamos agora outras propriedades que decorrem das cinco mencionadas no teorema acima.
Fazendo em (4) a=b=t, obtemos
cos 0 = cos t cos t + sen t sen t
ou seja, para todo t real,
(6) cos t + sen t = 1
2
2
Deste modo, para todo t, o ponto (cos t, sen t) pertence à circunferência x + y = 1
2
2
1
P = (cos t, sen t)
sen t
-1
cos t
A
Para efeito de interpretação geométrica você poderá olhar para o t da mesma forma como aprendeu no colégio: t é a
∧
medida em radianos do arco AP . Lembramos que a medida de um arco é 1 rd (rd=radiano) se o comprimento for
(
°
)
igual ao raio da circunferência 1 rd ≅ 57 16 .
'
(7) Existe um menor número positivo a tal que cos a = 0. Para este a, sen a = 1
O número a acima pode ser usado para definirmos o número π.
Definição: Definimos o número π por π = 2a, onde a é o número a que se refere a propriedade (7).
Assim
π
π
π
é o menor número positivo tal que cos
= 0. Temos, também, sen
=1.
2
2
2
Exercícios e demonstrações de algumas identidades trigonométricas:
1) Mostre que
a) sen é uma função ímpar
b) cos é uma função par
2) Mostre que quaisquer que sejam os reais a e b
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27
cos (a + b) = cos a cos b - sen a sen b
e
sen (a + b)= sen a cos b + sen b cos a
3) Mostre que, para todo x.
cos 2 x = cos 2 x − sen 2 x e sen 2 x = 2 sen x cos x
4) Moste que, para todo x,
cos 2 x =
1 1
+ cos 2 x
2 2
e
sen 2 x =
1 1
− cos 2 x
2 2
5) Calcule
π
4
b) cos π
a) cos
π
4
d) sen π
c) sen
Observações Importantes:
 π
 2 
cos x > 0 e sen x >0 em 0 ,
para todo x ,
sen(x + 2π ) = sen x
e
cos( x + 2π ) = cos x As funções sen e cos são periódicas com período 2π
Os gráficos das funções sen e cos tem os seguintes aspectos:
y = sen x
y
-2π
-π
π
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2π
28
y = cos x
y
π
-π
-2π
-2π
Exercício resolvido
1- Esboce o gráfico da função dada por y = sen 1/x
Solução:
Vamos estudar o comportamento da função, quando 0 <
sen
1 π
2
≤ , ou seja para x ≥ , a medida que x aumenta,
x 2
π
1
2
diminui de 1 tendendo a zero, quando x tende a infinito. Para x ≤ − , a função vai de -1 tendendo a zero
x
π
quando x tende a infinito.
(a)
(b)
Observe que para x =
2
1
, y = sen
=1
2
π
π
Vejamos agora o comportamento de sen
sen
1
2
para 0 < x < .
x
π
1
1
4
π
= 1 ⇔ = 2kπ + ⇔ x =
( k inteiro)
x
x
2
4 kπ + π
k
0
1
2
3
∞
x
2
π
2
5π
2
9π
2
13π
→0
y
1
1
1
1
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29
sen
1
1
1
= 0 ⇔ = kπ ⇔ x =
x
x
kπ
k
1
2
3
4
∞
x
1
π
1
2π
1
3π
1
4π
→0
y
0
0
0
0
sen
1
1
3π
2
= −1 ⇔ = 2kπ +
⇔x=
x
x
2
4 kπ + 3π
k
0
1
2
3
∞
x
2
3π
2
7π
2
11π
2
15π
→0
y
-1
-1
-1
-1
1
 2
, sen fica oscilando entre 1 e -1 como mostra a Figura (b)

x
 π
Quando x varia em 0 ,
As funções tangente, co-tangente, secante e co-secante
A função tg dada por tg x =
sen x
denomina-se função tangente; seu domínio é o conjunto de todos os x tais que
cos x
cos x ≠ 0 . O gráfico da tangente tem o seguinte aspecto:
y
Geometricamente, interpretamos tg x como a medida algébrica do segmento AT, onde T é a interseção da reta OP com o
^
eixo das tangentes e AP o arco de medida x rd.
Na Figura abaixo, os triângulos OMP e OAT são semelhantes. Assim
__
AT
__
MP
=
1
__
OM
ou tg x =
sen x
cos x
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30
T
P
O
tg x
M A
Eixo das tangentes
As funções sec (secante), cotg (co-tangente) e cosec (co-secante) são dadas por
sec x =
cos x
1
1
,cot g x =
e cos ec x =
cos x
sen x
sen x
O gráfico da secante tem o seguinte aspecto
y
Trabalho para Casa
1) Esboce o gráfico
a) sen 2x
b) y=2 cos x
c) f(x) = |sen x|
d) g(x) = 1/x sen x
e) y = x sen
2
1
x
f) x + sen x
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31
2) Sejam p e q quaisquer. Verifique que
a) sen p + sen q = 2 sen
p+q
p−q
cos
2
2
b) sen p − sen q = 2 sen
p−q
p+q
cos
2
2
c) cos p + cos q = 2 cos
p+q
p−q
cos
2
2
d) cos p − cos q = −2 sen
p−q
p+q
sen
2
2
3) Determine o domínio e esboce o gráfico
a) f(x)= cotg x
4) Verifique que sec x = 1 + tg x para todo x tal que cos x ≠ 0
2
2
5) Mostre que, para todo x, com cos
2tg
a) sen x =
x
2
1 + tg 2
x
≠ 0 , tem -se:
2
x
2
x
2
b) cos x =
2 x
1 + tg
2
1 − tg 2
2.10- Gráficos e Propriedades das funções exponencial e logarítmica
2.10.1- Potência com expoente real
Teorema. Seja a>0 e a ≠ 1 um real qualquer. Existe uma única função f, definida e contínua em R, tal que f (r ) = a
r
para todo racional r.
Definição: Sejam a>0, a ≠ 1 , e f como no teorema anterior. Definimos a potência de base a e expoente real x por
a x = f (x )
A função f, definida em R, e dada por f ( x ) = a , a>0 e a ≠ 1 , denomina-se função exponencial de base a.
x
Sejam, a>0, b>0, x e y reais quaisquer, tem-se as seguintes propriedades
(1) a a = a
x
y
( )
(2) a
x y
x+ y
= a xy
(3) (ab ) = a b
x
x
x
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(4) Se a>1 e x<y, então a < a
x
y
(5) Se 0<a<1 e x<y, então a > a
x
y
A propriedade (4) conta-nos que a função exponencial f ( x ) = a , a>1 é estritamente crescente em R. A propriedade
x
(5) conta-nos que f ( x ) = a , 0<a<1, é estritamente decrescente em R.
x
O gráfico de f ( x ) = a tem o seguinte aspecto:
x
a>1
0<a<1
1
1
Exercícios
1) Esboce o gráfico de
a) f ( x ) = 2
x
1
b) f ( x ) =  
2
x
Nota importante: A função exponencial de base e ( e ≅ 2 ,718281 ), f ( x ) = e
x
desempenhará um papel bastante
importante em todo o curso.
2.10.2- Logaritmo
Teorema: Sejam a>0, a ≠ 1 , e β > 0 dois reais quaisquer. Então existe um único γ real tal que
aγ = β .
Sejam a>0 a ≠ 1 , e β > 0 dois reais quaisquer. O único número real γ tal que
aγ = β
γ
denomina-se logaritmo de β na base a e indica-se por γ = log a β ⇔ a = β
Observe: log a β somente está definido para β > 0 , a>0 e a ≠ 1 .
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Exercícios: Calcule
a)
log 2 4
b) log 2
1
2
c) log 1 5
Observação Importante:
a γ = β ⇔ log a β
assim
a log a β = β
O logaritmo de β na base a é o expoente que se deve atribuir à base a para reproduzir β .
O logaritmo na base e é indicado por ln, assim, ln = log e . Temos então
y = ln x ⇔ e y = x
Da observação acima, segue que, para todo x>0,
e ln x = x
Sejam a > 0 , a ≠ 1,b > 0 ,b ≠ 1,α > 0 e β > 0 reais quaisquer. São válidas as seguintes propriedades:
(1) log a αβ = log a α + log a β
(2) log a α
(3) log a
β
= β log a α
α
= log a α − log a β
β
(4) Mudança de Base
log a α =
log b α
log b a
(5) Se a>1 e α < β , então log a α < log a β
(6) Se 0<a<1 e α < β , então log a α > log a β
Obs: Demonstrações em sala
Nota importante: Seja a > 0 , a ≠ 1 . A função f dada por f ( x ) = log a x , x > 0 , denomina-se função logarítmica
de base a.
A propriedade (5) conta-nos que se a>1, a função logarítmica f ( x ) = log a x , x > 0 , é estritamente crescente. Da
propriedade (6) segue que se 0<a<1, a função logarítmica f ( x ) = log a x , x > 0 , é estritamente decrescente.
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Exercícios:
1) Calcule
a) log 10 100
b) log 1 16
2
c) log 10 1
d) log 9
3
e) log 5 (− 5 )
2) Determine o domínio
a) f ( x ) = log 2 ( x + 1)
(
)
b) g ( x ) = ln x − 1
2
c) g ( x ) = ln(− x )
d) f ( x ) = log 3 | x |
e) f ( x ) = log 2 x
f) f ( x ) = log 1 x
2
3) Ache o domínio e esboce o gráfico
a) f ( x ) = log 3 x
b) g ( x ) = ln( x − 1)
c) g ( x ) = ln x
d) g ( x ) = ln x
e) f ( x ) = ln(− x )
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