Primeira Lista de Exercícios disciplina: Introdução à Teoria dos

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Primeira Lista de Exercícios
disciplina: Introdução à Teoria dos Números (ITN)
curso: Licenciatura em Matemática
professores: Marnei L. Mandler, Viviane M. Beuter
Primeiro semestre de 2012
1. Determine os valores de a; b e c para os quais os polinômios f (x) = (a 1)x2 +(b+2)x+4
e g(x) = (c + 3)x3 + 5x2 + cx + 4 se tornam idênticos.
2. Mostre que o polinômio f (x) = (x
nulo.
1)2 + (x
3)2
2(x
2)2
3. Encontre os valores de a e b para os quais o polinômio f (x) =
ser escrito como f (x) = (x a)3 (x b)3 :
4. Sejam f (x) = x2 + ax + b e g(x) = (x
os quais f = g:
a)(x
2 é igual ao polinômio
6x2 + 36x
56 pode
b): Determine os valores de a e b para
5. Calcule o valor numérico do polinômio p(x) = x3
x = 2:
7x2 + 3x
4 para x =
1; x = 0 e
6. Encontre os valores de a, b e c para os quais o polinômio f (x) = x3 + 6x2 + ax + b pode
ser escrito como (x c)3 .
7. Se p(x) é um polinômio tal que 2p(x) + x2 p(x
determine o valor numérico de p em 1:
1) é idêntico a g(x) = x3 + 2x + 2;
8. Determinar todos os polinômios f de grau menor ou igual a 3 e tal que f (x) = f ( x)
para todo x 2 R.
9. Determine todos os polinômios f de terceiro grau tais que, para todo x real, se tenha
f (x) f (x 1) = x2 .
10. Determine um polinômio f de grau 3 que admita 6 como raíz e que satisfaça a relação
f (x) f (x 1) = x2 para todo x 2 R:
11. Determine o polinômio f do terceiro grau que satisfaça a relação f (x
para todos os valores reais de x:
1) = f (x) + 4x2
12. Determine os valores de a e b para os quais o polinômio A(x) = 2x3 +ax2
seja divisível por B(x) = x 2 e por C(x) = x + 1.
7x +b
13. Considere o polinômio A(x) = x3 + x2 + ax + b. Calcule a e b sabendo que os restos
das divisões de A(x) por B(x) = (x 1) e por C(x) = (x 2) são iguais a 5 e 3;
respectivamente.
14. Numa divisão de polinômios, em que o divisor tem grau 4, o quociente tem grau 2 e
o resto tem grau 1, qual será o grau do dividendo? E se o grau do resto fosse 2?
1
15. Mostre que a fatoração abaixo é válida:
(1 + x + x2 + x3 )2 = 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + 3x4 + 2x5 + x6 :
16. Efetue a divisão de f (x) = x3 + ax b por g(x) = 2x2 + 2x
a e b para que essa divisão seja exata?
6. Qual a condição entre
17. Encontre o quociente e o resto da divisão de:
(a) f (x) = 4x4 5x3
Briot-Ru…ni.
8x2 + 2 por g(x) = (x
3)(x + 4); usando o algoritmo de
(b) f (x) = 8x6 + 6x5 + 7x4 + 6x3 3x + 5 por g(x) = 2x4 + x3 + x; usando o método
dos coe…cientes a determinar.
18. Considere os polinômios f (x) = x4 +ax2 +b; g(x) = x2 +2x+4; p(x) = x3 +cx2 +dx 3
e q(x) = x2 x + 2: Determine os valores de a e b para que a divisão de f por g seja
exata e os valores de c e d para que a divisão de p por q tenha resto igual a 7:
19. Sejam a; b; c; d constantes reais. Sabendo que a divisão de f (x) = x4 + ax2 + b
por g(x) = x2 + 2x + 4 é exata e que a divisão de p(x) = x3 + cx2 + dx 3 por
q(x) = x2 x + 2 tem resto igual a 5; determine o valor de a + b + c + d:
20. Determine os valores de m; n; p para os quais o quociente entre f (x) = (2 m)x3 +
(m 1)x2 + (n 1)x + (p 3) e g(x) = x2 6x + 1 seja independente de x e o resto
dessa divisão seja nulo.
21. Considere o sólido resultante de um paralelepípedo retângulo de arestas medindo x; 2x
e 3x; do qual foi retirado um prisma de base quadrada de lado 1 e altura x . Determine
uma expressão polinomial que represente o volume desse sólido.
22. Um pequeno proprietário rural decide aproveitar a farta produção de goiabadas de
seu pomar e produzir goiabada cascão que será vendida em barras (paralelepípedos
retangulares) de 800 cm3 cada. Para tanto, construirá uma forma a partir de uma
folha metálica retangular medindo 28 cm por 18 cm; cortando um pequeno quadrado
de cada canto. Essa folha, devidamente dobrada, conforme ilustra a …gura abaixo,
servirá de molde para as barras de goiabada.
Sendo x a medida, em centimetros, dos lados do quadrado cortado da folha inicial,
para que o volume da barra obtida desse molde tenha realmente os 800 cm3 desejados,
a incógnita x deve satisfazer uma certa equação polinomial. Determine essa equação.
2
23. Resolva os exercícios 161; 162; 163; 164; 166; 173; 175; 193; 194; 196; 204; 210; 214;
216; 220; 229; 230; 231; 235; 243; 257; 258 do capítulo 2 do Livro Fundamentos da
Matemática Elementar, volume 6.
24. Determine um polinômio de terceiro grau que se anula para x = 1 e que, quando
dividido por x + 1; x 2 e x + 2 deixa sempre resto igual a 6.
25. Encontre as raízes do quociente da divisão de f (x) = x4
g(x) = x2 6x + 5:
10x3 + 24x2 + 10x
24 por
26. Determine:
(a) o valor de a para o qual o polinômio f (x) = ax3 + (2a 1)x2 + (3a 2)x + 4a
seja divisível por g(x) = x 1: Usando o valor de a obtido, encontre também o
quociente desta divisão.
(b) o valor de a 2 R para o qual o polinômio f (x) = ax3 + 2ax2 3x + (6 4a) é
divisível por x 1: A seguir, utilizando o valor de a obtido, decomponha f como
um produto de fatores do primeiro grau.
(c) os valores de p e q para que o polinômio f (x) = x3
seja divisível por g(x) = x e por h(x) = x 2:
2px2 + (p + 3)x + (2p + q)
(d) o valor de K para que o polinômio p(x) = 6x5 + 11x4 + 4x3 + Kx2 + 2x + 8 seja
divisível por g(x) = 3x + 4:
(e) os valores de m e n para que o polinômio p(x) = 2x4 + 3x3 + mx2
divisível por g(x) = x2 2x 3:
nx
3 seja
27. Sejam 1 e 2 , respectivamente,os restos das divisões de um polinômio f por x
x 2. Determine o resto da divisão de f por g(x) = (x 1)(x 2).
1e
28. Um polinômio p(x) dividido por g(x) = x + 1 deixa resto 1, dividido por h(x) = x 1
deixa resto 1 e dividido por l(x) = x + 2 deixa resto 10. Qual o resto da divisão do
polinômio p por g(x) = (x + 1)(x 1)(x + 2).
29. Os restos das divisões de um certo polinômio desconhecido pelos polinômios (x+1); (x
1), (x 2); (x + 3) são, respectivamente, iguais a 5; 1; 1; 2: Determine o resto da
divisão deste polinômio por g(x) = (x + 1)(x 1)(x 2) (x 3) :
30. Determine:
(a) o(s) valor(es) de k 2 R para os quais f (x) = 2x4 + kx3 + x2 + 12k 3 x
divisível por x + 2k:
36 seja
(b) os valores de a; b; c 2 R para os quais f (x) = x3 + ax2 + bx + c admite
como raízes de multiplicidades iguais a 2 e 1; respectivamente.
1e
(c) os valores de c; d 2 R para os quais f (x) = x3 + cx2 + dx
9x + 11 quando dividido por g(x) = x2 x + 2:
31. Enucie e demonstre novamente o Teorema do Resto.
3
2
3 deixe resto r(x) =
32. Utilize o teorema do resto para obter o valor de k para o qual a divisão de f (x) =
x4 4x3 kx 75 por x 5 seja igual a 10.
33. Encontre os valores de m e n para os quais o polinômio:
(a) p(x) = 2x4
(b) p(x) = x4
x3 + mx2
nx + 2 seja divisível por g(x) = x2
12x3 + 47x2 + mx + n seja divisível por g(x) = x2
34. Prove novamente que um polinômio f (x) é divisível por x
de f (x).
x
2:
7x + 6
a se, e somente se, a é raiz
35. Demonstre novamente que se f e g são polinômios divisíveis por h, então o resto da
divisão de f por g também é divisível por h.
36. Demostre novamente que, se f (x) é divisível separadamente por x a e por x b;
com a 6= b; então f (x) também é divisível por g(x) = (x a)(x b): A seguir, dê um
exemplo que ilustre essa propriedade.
37. Mostre que, se f e g são divisíveis pelo polinômio h; então o mesmo ocorre com os
polinõmios f + g; f g e f g:
38. O polinômio P (x) = x5 x4 13x3 + 13x2 + 36x
outros valores de x que o anulam?
36 é tal que P (1) = 0. Quais os
39. Os restos das divisões de um certo polinômio desconhecido pelos polinômios (x+1); (x
2) e (x 3) são, respectivamente, iguais a 10; 7 e 2: Determine o resto da divisão
deste polinômio por g(x) = (x + 1)(x 2)(x 3):
40. Decomponha o polinômio f (x) =
grau.
x3 +4x2 +7x 10 em produto de fatores do primeiro
41. Encontre todas as raízes de f (x) = x4 10x3 + 32x2
f em um produto de fatores do primeiro grau.
38x + 15 e a seguir, decomponha
42. Um polinômio desconhecido deixa resto 7 quando dividido por x 1 e resto 4 quando
dividido por x+2: Seja r(x) o resto da divisão deste polinômio por g(x) = (x 1)(x+2):
Determine:
(a) o polinômio r(x)
(b) as raízes do polinômio f (x) = x3
igual à soma das outras duas.
4x2 + r(x); sabendo que uma de suas raízes é
43. (ENADE 2008) Determine os valores de k e m para os quais o polinômio p(x) =
x3 3x2 + kx + m se torna múltiplo de q(x) = x2 4:
44. Seja f um polinômio do quinto grau com coe…cientes inteiros, sendo o coe…ciente do
termo de maior grau unitário. Sabe-se que as cinco raízes de f são números naturais,
sendo quatro delas números pares e a outra, um número ímpar. Quantos coe…cientes
de f são pares? Quantos são ímpares?
4
45. Dividindo-se P (x) = x2 + bx + c por x 1 e por x 2; obtém-se o mesmo resto 3:
Determine a soma e o produto das raízes do polinômio f (x) = p(x) 3:
46. Utilizando as relações de Girard, determine:
(a) todas as raízes do polinômio p(x) = x3 4x2 + x + 6; sabendo que uma raiz é
igual a soma das outras duas.
1
1
1
(b) o valor de + + ; sabendo que a; b e c são as raízes do polinômio p(x) =
a
b
c
x3 2x2 + 3x 4:
(c) todas as raízes do polinômio f (x) = x3 5x2 + 2x + 8; sabendo que uma das raiz
é o quádruplo da soma das outras duas.
(d) a soma dos inversos das raízes de p(x) = 2x3
4x2 + 6x
8:
47. Determine todas as raízes do polinômio f (x) = x3
raízes estão em progressão aritmética.
9x2 + 23x
48. Determine todas as raízes do polinômio f (x) = x3
raiz é igual a soma das outras duas.
6x2 + 11x
49. Determine todas as raízes do polinômio f (x) = x4
existem duas raízes simétricas.
4x3
15, sabendo que suas
6 sabendo que uma
x2 + 16x
50. Sabendo que a soma de duas raízes do polinômio f (x) = x3
4, determine o valor de m.
12 sabendo que
x2 + mx + 21 é igual a
51. Resolva os exercícios 289; 290; 293; 294; 296; 299; 302; 303; 305; 310; 313, 314;
316; 317; 318; 320; 323; 327; 330; 336; 337 do capítulo 3 do livro Fundamentos da
Matemática Elementar, volume 6.
52. Se 6 é a soma dos quadrados das raízes do polinômio f (x) = x3 (k +1)x2
com k > 0 e se p é a maior raiz de f; determine o valor de k + p.
53. Determine as raízes r1 ; r2 ; r3 do polinômio p(x) = x3 + 7x2
3
r1
= :
r2
2
6x
54. Determine a soma dos quadrados das raízes do polinômio f (x) = x4
x+(k +1);
72; sabendo que
5x3 + 9x2
8:
55. As raízes do polinômio f (x) = x3 + ax2 + bx + c são inteiros positivos consecutivos. A
soma dos quadrados dessas raízes é igual a 14. Determine o valor de a2 + b2 + c2 :
56. Quais são as raízes inteiras do polinômio f (x) = x3
9x2 + 22x
24?
57. Seja x a solução da equação x2 + x + 1 = 0: Então x 6= 0 e por isso, podemos dividir
ambos os membros dessa equação por x; obtendo x + 1 + x1 = 0: Da equação inicial
temos x + 1 = x2 , que substituída na equação anterior fornece x2 + x1 = 0; isto
é, x2 = x1 ou ainda x3 = 1 e portanto x = 1: Porém, se substituirmos esse valor na
equação x2 + x + 1 = 0; obtemos 3 = 0!!!!! Onde está o erro???
5
58. (OLIMPÍADAS BRASILEIRAS DE MATEMÁTICA -2005) Briot (matemático francês
que viveu de 1817 a 1882) e Ru¢ ni (matemático italiano que viveu de 1765 a 1822)
desenvolveram métodos para achar soluções para as chamadas equações recíprocas.
Nessa questão você vai desenvolver, passo a passo, a essência desses métodos. Os itens
a e b são uma preparação para os itens c e d :
1
1
1
então calcule, em função de y; as expressões x2 + 2 e x3 + 3 :
x
x
x
5 1
+ = 0:
(b) Determine todas as raízes reais da equação não polinomial x2 5x+8
x x2
(c) Determine todas as raízes reais do polinômio f (x) = x4 5x3 + 8x2 5x + 1:
(a) Se y = x +
(d) Determine todas as raízes reais do polinômio g(x) = x6 2x5 5x4 + 12x3
2x + 1: (dica : use o que você aprendeu nos itens anteriores!).
6
5x2
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