Noç˜oes de Probabilidade

Noções de Probabilidade
Joel M. Corrêa da Rosa
2011
A estatı́stica descritiva é ferramenta indispensável para extrair informação
em um conjunto de dados. Entretanto, a tomada de decisões está fortemente
vinculada ao uso da estatı́stica inferencial que, por sua vez, ampara-se no
Cálculo de Probabilidades.
As técnicas de Estatı́stica Inferencial podem ser classificadas em : técnicas de estimação e testes de hipóteses. Antes de investigar estas técnicas é
indispensável conhecer conceitos básicos no Cálculo de Probabilidades.
Este texto procura apresentar de forma breve e objetiva os conceitos básicos que integram as principais noções de probabilidades.
Experimento Aleatório
O experimento aleatório é aquele que quando realizado, mesmo de modo
controlado, não há como predizer o seu resultado. Se o experimento não é
aleatório, este é dito ser determinı́stico. Existe ainda uma terceira categoria
de experimentos chamados de caóticos. A maioria dos experimentos cientı́ficos se encaixam na categoria dos experimentos aleatórios e são raros os
exemplos de experimentos não-aleatórios(determinı́sticos).
Espaço Amostral
O espaço amostral é o conjunto de todos os possı́veis resulados de um experimento aleatório. Usualmente este conjunto é denotado por Ω.
Como não é possı́vel determinar o resultado do experimento aleatório,
estudá-lo por meio de probabilidades implica em primeiramente construir o
seu espaço amostral.
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Os espaços amostrais são de três tipos :
Finitos
Infinitos Enumeráveis
Infinitos Não-Enumeráveis
Alguns espaços amostrais vinculados a experimentos aleatórios são apresentados a seguir.
Exemplo 1 Arremessa-se uma moeda honesta e observa-se a face voltada
para cima. O espaço amostral neste caso é finito e obtido por Ω = {cara,coroa}.
No próximo exemplo apresentamos um experimento aleatório cujo espaço
amostral é infinito, porém enumerável.
Exemplo 2 Um experimento aleatório é realizado por consecutivos arremessos de uma moeda honesta e registro do número de lançamentos até a obtenção
da primeira cara. Os resultados possı́veis deste experimento são:
Ω = {1, 2, 3, 4, . . .}
Para completar os exemplos dos espaços amostrais e seus respectivos
tipos, vamos verificar uma situação em que o espaço amostral é infinito e
não-enumerável.
Exemplo 3 Um experimento consiste em registrar o retorno percentual diário
do investimento em uma carteira de ações.O espaço amostral é formado por
um intervalo contı́nuo de valores que, por conveniência, assumiremos estar
entre duas quantidades desconhecidas −M % e M %,ou seja, Ω = (−M, M ).Uma
forma abstrata de caracterizar este espaço amostral é definı́-lo como:Ω =
(−∞, ∞).
Eventos
Os eventos são subconjuntos do espaço amostral sobre os quais desejamos
calcular probabilidades. Em geral, vamos nos referir aos eventos por letras
maiúsculas do alfabeto: A, B, C, D, . . ..
Dois eventos especiais são: ∅ e Ω. O primeiro é conjunto vazio e o segundo
é o próprio espaço amostral.
Veja os exemplos abaixo:
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Experimento 1: Lançar uma moeda e observar a face superior
Espaço amostral: S = {cara,coroa}
Evento A = {cara}
Evento B = {coroa}
Experimento 2: Lançar um dado e observar a face superior
Espaço amostral: S = {cara,coroa}
Evento A = {números pares} = {2, 4, 6}
Evento B = {números impares} = {1, 3, 5}
Experimento 3: Observar o ı́ndice mensal de inflação
Espaço amostral: S = (−200%, +200%)
Evento A = {deflação} = (−200%, 0)
Evento B = {inflação} = (0, 200%)
Probabilidade
Probabilidade é uma função que associa números reais no intervalo [0, 1] aos
eventos de um experimento aleatório. Esta medida quantifica a chance da
ocorrência de um evento de interesse.
Vamos nos referir a esta medida por P (.), sendo P (A) a medida de probabilidade do evento A. A sua construção baseia-se nos 3 axiomas :
1. P (A) ≥ 0
2. P (Ω) = 1
3. P (A1 ∪ A2 ) = P (A1 ) + P (A2 )se A1 ∩ A2 = ∅
Probabilidade é o principal instrumento da Teoria de Inferência Estatı́stica que é utilizada para a tomada de decisões.
Regra da Adição de Probabilidades
A regra de adição de probabilidades determina o cálculo da probabilidade da
união de eventos. Quando houver interseção esta probabilidade é calculada
da seguinte forma:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).
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Quando a interseção é vazia, temos por consequência que P (A ∩ B) = 0
e os eventos A e B são ditos serem mutuamente exclusivos.
Pode-se dizer que os eventos mutuamente exclusivos são aqueles que não
podem ocorrer simultâneamente. A ocorrência de um deles determina a nãoocorrência do outro.
Probabilidade Condicional
Uma informação sobre o experimento aleatório pode alterar a configuração
do espaço amostral e, consequentemente, o cálculo da probabilidade de um
evento. Esta probabilidade, calculada com uma informação sobre a ocorrência de um evento, é chamada de probabilidade condicional.
Exemplo 4 Um experimento consiste em lançar um dado honesto e equilibrado e observar o número de pontos na face superior. Uma pessoa lança
o dado e informa que o resultado é um número ı́mpar de pontos. Qual a
probabilidade de ter ocorrido 5 pontos na face superior?
Veja que neste caso já existe o conhecimento da ocorrência do evento
B = {Número Ímpar}. Isto modifica o espaço amostral, ou seja, o conjunto
de possı́veis resultados do experimento está restrito a {1, 3, 5}.
A probabilidade condicional é definida da seguinte maneira:
P (A|B) =
P (A ∩ B)
P (B)
para P (B) > 0
A probabilidade acima é lida como ”probabilidade de A dado a ocorrência
de B”.
Regra da Multiplicação de Probabilidades
A regra da multiplicação de probabilidades descreve o cálculo de probabilidades para uma interseção de eventos. Esta regra é obtida simplesmente
re-escrevendo a fórmula que possibilita o cálculo de probabilidades condicionais.
P (A ∩ B) = P (A|B)P (B)
Note que a igualdade abaixo também é verdadeira.
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P (A ∩ B) = P (B|A)P (A)
Quando os eventos são independentes, a probabilidade de interseção é
simplesmente determinada pelo produto das probabilidades.
P (A ∩ B) = P (A)P (B)se A e B são independentes.
Uma outra forma de expressar independência entre eventos é colocá-la
em termos da probabilidade condiconal.
P (A|B) = P (A) se A e B são independentes
Teorema da Probabilidade Total
Seja A1 , A2 , . . . , An uma partição do espaço amostral Ω. Então, segundo o
Teorema da Probabilidade Total:
P (B) =
n
X
P (B ∩ Ai )
i=1
Este resultado é útil para calcular a probabilidade de um evento quando
conhecemos a probabilidade dele ocorrer conjuntamente com outro. De outro
modo o resultado pode ser escrito como:
P (B) =
n
X
P (Ai )P (B|Ai )
i=1
Exemplo 5 Em uma agência bancária, 10% dos clientes são classificados
como VIP, 30% dos clientes são preferenciais e 60% são correntistas. A
inadimplência no grupo dos VIPs é igual a 10%, no grupo dos preferenciais
é 20% e dentre os correntistas é de 30%. Qual a chance de, ao sortear um
cliente, ele ser inadimplente.
Considere os eventos:
I : cliente inadimplente
V P : cliente VIP
P F : ciente Preferencial
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CR : cliente Correntista
pelo Teorema da Probabilidade Total
P (I) = P (V P ).P (I|V P ) + P (P F )P (I|P F ) + P (CR)P (I|CR) =
P (I) = 0, 1 × 0, 1 + 0, 3 × 0, 3 + 0, 6 × 0, 3 = 0, 28
Teorema de Bayes
Como consequência da definição de probabilidade condicional e pelo Teorema da probabilidade total, surge uma importante resultado do cálculo de
probabilidades que é o Teorema de Bayes.
P (B|Ai )P (Ai )
P (Ai |B) = Pn
j=1 P (Aj ).P (B|Aj )
Como um caso particular do Teorema de Bayes, sejam dois eventos A e
B;
P (A|B) =
P (B|A)P (A)
P (B)
Na última expressão podemos ver que a razão entre as probabilidades
condicionais é igual a razão entre as probabilidades incondicionais.
Exemplo 6 Retira-se, consecutivamente, duas cartas de um baralho. Qual
a probabilidade da primeira carta ser ás, sabendo que a segunda é ás ?
Sejam os eventos:
A1 : primeira carta é um ás
A2 : segunda carta é um ás
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A probabilidade da primeira carta ser ás é :
. Pelo Teorema da Prob52
abilidade Total, podemos encontrar P (A2 ), da seguinte forma:
P (A2 ) = P (A2 ∩ A1 ) + P (A2 ∩ A1 ) =
P (A1 )P (A2 |A1 ) + P (A1 )P (A2 |A1 ) =
6
4 3
48 4
4
+
=
52 51 52 51
52
Conhecendo as probabilidades calculadas acima, podemos encontrar P (A1 |A2 ),
Utilizando o Teorema de Bayes,
P (A1 |A2 ) =
P (A2 |A1 )P (A1 )
=
P (A2 )
3 4
51 52
4
52
=
3
51
Exemplo 7 Considere uma doença que é prevalente em 5 % da população
exposta. Um teste para o diagnóstico desta doença acerta 95% dos casos
quando as pessoas realmente estão doentes. Esta probabilidade de acerto
condicional ao conhecimento do estado do indivı́duo é chamada de sensibilidade. Por outro lado, o teste acerta 90% dos casos quando os indivı́duos
não estão doentes e esta probabilidade é chamada de especificidade. Diante
destes fatos, a realização de um teste diagnóstico é um experimento aleatório
cujos os eventos de interesse são:
D+ : pessoa doente
D− : pessoa saudável
T+ : teste positivo
T− : negativo
o espaço amostral neste caso é formado pelos elementos:
Ω = {(D+ ∩ T+ ), (D− ∩ T− ), (D+ ∩ T− ), (D− ∩ T+ )}
Embora não conheçamos de antemão as probabilidades dos eventos que
forma o espaço amostral, podemos encontrá-las a partir das probabilidades
descritas no enunciado.
P (D+ ) = 0, 05
P (D− ) = 0, 95
P (T+ |D+ ) = 0, 95
P (T− |D− ) = 0, 90
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Pela regra da multiplicação,
P (D+ ∩ T+ ) = P (D+ )P (T+ |D+ ) = 0, 05 × 0, 95 = 0, 0475
P (D+ ∩ T− ) = P (D+ )P (T− |D+ ) = 0, 05 × 0, 05 = 0, 0025
P (D− ∩ T+ ) = P (D− )P (T+ |D− ) = 0, 95 × 0, 1 = 0, 095
P (D− ∩ T− ) = P (D− )P (T− |D− ) = 0, 95 × 0, 90 = 0, 855
Pelo Teorema da Probabilidade Total:
P (T+ ) = P (D+ ∩ T+ ) + P (D+ ∩ T+ ) = 0, 0475 + 0, 095 = 0, 1425
P (T− ) = P (D+ ∩ T− ) + P (D− ∩ T− ) = 0, 0025 + 0, 8575
Pelo Teorema de Bayes, podemos achar P (D+ |T+ ) , que é chamado de
valor preditivo positivo.
P (D+ |T+ ) =
P (T+ |D+ )P (D+ )
P (T+ )
pelo mesmo raciocı́nio podemos encontrar P (D− |T− ) que é o valor preditivo negativo.
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