Capítulo 7.Matrizes e polinomios.

Matrizes e Polinômios
Duas matrizes A, B ∈ Mat n ( R ) são semelhantes quando existe uma matriz invertível P ∈ Mat n (R )
tal que B = P −1 AP .
Matrizes semelhantes possuem o mesmo polinômio característico, já que:
det( A − λI n ) = det( P −1 ( A − λI n ) P) = det( P −1 AP − P −1λI n P) = det( B − λI n )
1 2  7
 e 
Exemplo: As matrizes 
3 4  3
7

3
− 4
 são semelhantes, pois:
− 2 
− 4  1 2 1 2  1 − 2
=
⋅
⋅
.
− 2   0 1  3 4   0
1
Além disso, PA (λ ) = PB (λ ) = λ2 − 5λ − 2 .
Uma matriz A pode ser diagonalizada quando existir uma matriz invertível P∈ Mat n (R ) tal que
P −1 AP seja uma matriz diagonal. Esta matriz P é uma matriz de autovetores do operador relativo à
matriz A.
3 0
 , os autoespaços V3 = {( x,2 x ), x ∈ R} e V −1 = {(0, y ), y ∈ R} , e uma
Exemplo: Considere [T ] = 
 8 − 1
base de autovetores {(1,2), (0,1)}.
 1 0
 1 0 3 0  1 0  3 0
 1 0
 , P −1 = 
 ⋅ 
 ⋅ 
 = 
 e P −1 [T ]P = 
 .
Assim, P = 
 2 1
 − 2 1  8 − 1  2 1  0 − 1
 − 2 1
1
1
−1 k
Considerando B = P −1 AP , temos que B k = ( P −1 AP) k = 1
P −4
AP
K4
P −4
AP
42
3 = P A P , com k ∈ Z + . Se a
k fatores
matriz A é diagonalizável então D k = P −1 A k P ∴ A k = PD k P −1 .
Exemplo:
10
10
0   1 0   59049 0 
 1 0   3 0   1 0   1 0   310
3 0
⋅
 = 


 = 
 ⋅ 
 = 
 ⋅ 
 ⋅ 
10  
 8 − 1
 2 1  0 − 1  − 2 1  2 1  0 (−1)   − 2 1 118100 − 1
Considere p( x) = a n x n + ... + a1 x + a 0 ∈ R[ x] um polinômio e uma matriz quadrada A ∈ Mat n (R ) .
Então p ( A) é a matriz quadrada a n A n + ... + a1 A + a 0 I n . Diz-se que o polinômio p(x) anula a matriz
A quando p( A) = 0 n .
 −1 4
 .
Exemplo: Sejam p( x) = x 2 − 9 , q ( x) = 2 x + 3 e a matriz A = 
 2 1
21
2
 −1 4
 1 0  0 0
 − 9 ⋅ 
 = 

p ( A) = 
 2 1
 0 1  0 0 
 −1 4
 1 0  1 8
 + 3 ⋅ 
 = 

q( A) = 2 ⋅ 
 2 1
 0 1  4 5 
Assim, o polinômio p(x) anula a matriz A, mas q (x) não.
Diz-se que um polinômio p( x) ∈ R[ x] anula o operador linear T quando p([T ]α ) = 0 n , para toda
base α de V.
Seja
V
um
R-espaço
vetorial
n
dimensional,
T :V → V
um
operador
linear
e
p( x ) = a m x m + ... + a1 x + a 0 ∈ R[ X ] um polinômio. Define-se o operador linear p (T ) : V → V tal que
p(T )( v ) = ( a m T m + ... + a1T + a 0 I V )( v ) . Se λ0 é um autovalor do operador T então p(λ0 ) é um
autovalor do operador linear p(T ) .
Exemplo: Seja T : R 2 → R 2 tal que T ( x, y ) = (3 x,8 x − y ) , cujos autovalores são 3 e − 1 .
Considere o polinômio p( x) = 2 x 3 − 4 x 2 − x + 3 e o operador p(T ) : R 2 → R 2 tal que
p (T )( x, y ) = (2T 3 − 4T 2 − T + 3I )( x, y ) .
Assim, p(T )( x, y ) = ( 2T 3 )( x, y ) − ( 4T 2 )( x, y ) − T ( x, y ) + (3I )( x, y )
= 2(T 3 ( x, y )) − 4(T 2 ( x, y )) − T ( x, y ) + 3( I ( x, y ))
= 2(27 x,56 x − y ) − 4(9 x,16 x + y ) − (3x,8 x − y ) + (3x,3 y )
= (547 x,112 x − 2 y ) − (36 x,64 x + 4 y ) − (3 x,8 x − y ) + (3x,3 y )
= (18 x,40 x − 2 y )
Então, os autovalores de p (T ) são 18 e − 2 .
Teorema de Cayley-Hamilton
(TCH) Sejam V
um R-espaço vetorial n-dimensional e
T : V → V um operador linear. Então PT ([T ]α ) = 0n para toda base α de V.
dem: Seja PT (λ ) = λn + an −1λn −1 + ... + a1λ + a0
Denotaremos por A(λ ) a matriz adjunta clássica da matriz [T − λI n ]α
Os elementos de A(λ ) são os cofatores desta matriz, sendo então polinômios em λ de grau
menor ou igual a n − 1 .
A(λ ) = An −1λn −1 + ... + A1λ + A0 sendo An −1 ,..., A0 ∈ Mat n (R ) .
Pela propriedade fundamental da adjunta clássica:
[T − λI n ]α ⋅ A(λ ) = det[T − λI ]α ⋅ I n
[T − λI n ]α ⋅ A(λ ) = PT (λ ) ⋅ I n
[T − λI n ]α ⋅ ( An −1λn −1 + ... + A1λ + A0 ) = (λn + a n −1λn −1 + ... + a1λ + a 0 ) ⋅ I n
− An −1 λ n + ([T ]α An −1 − An − 2 )λ n −1 + ... + ([T ]α A1 − A0 )λ + [T ]α A0 = (λ n + a n −1 λ n −1 + ... + a1 λ + a 0 ) ⋅ I n
(n)
− An −1 = I n
22
(n-1)
(n-2)
...
(1)
(0)
[T ]α
[T ]α
...
[T ]α
[T ]α
An −1 − An − 2 = a n −1 I n
An − 2 − An −3 = a n − 2 I n
A1 − A0 = a1 I n
A0 = a 0 I n
Multiplicando-se a equação (n) por [T ]αn , (n-1) por [T ]αn −1 , ... e (1) por [T ]α , tem-se:
(n)
− [T ]αn An −1 = [T ]αn
(n1)
(n2)
...
(1)
[T ]αn An −1 − [T ]αn −1 An − 2 = a n −1 [T ]αn −1
(0)
[T ]αn −1 An − 2 − [T ]αn − 2 An −3 = a n − 2 [T ]αn − 2
...
[T ]α2 A1 − [T ]α A0 = a1 [T ]α
[T ]α A0 = a 0 I n
Somando-se as equações matriciais, 0 n = [T ]αn + a n −1 [T ]αn −1 + ... + a1 [T ]α + a 0 I n = PT ([T ]α ) .
Polinômio Minimal
Seja V um R-espaço vetorial n-dimensional e T : V → V um operador linear. Define-se o polinômio
minimal ou mínimo do operador linear T, mT (λ ) ∈ R[λ ] , como sendo o polinômio mônico de
menor grau possível tal que mT ([T ]α ) = 0n .
Exemplos:
1) T : R 3 → R 3 tal que T ( x, y, z ) = (2 x + 2 y − 5 z ,3x + 7 y − 15 z , x + 2 y − 4 z ) .
PT (λ ) = (λ − 1) 2 (λ − 3)
mT (λ ) = (λ − 1)(λ − 3)
2)
T : R 3 → R 3 tal que T ( x, y, z ) = (4 z , x, y − 3z ) .
PT (λ ) = (λ + 2) 2 (λ − 1)
mT (λ ) = (λ + 2) 2 (λ − 1)
3)
T : R 4 → R 4 tal que T ( x, y, z , t ) = (3x − 4 z,3 y + 5 z ,− z,−t ) .
PT (λ ) = (λ − 1) 2 (λ − 3) 2
mT (λ ) = (λ − 1)(λ − 3)
CorolárioTCH: O polinômio minimal de T divide o polinômio característico de T, isto é,
mT (λ ) | PT (λ ) .
Teo87. PT (λ ) | (mT (λ )) n
Teo88. Os polinômios característico e minimal possuem os mesmos fatores irredutíveis e as mesmas
raízes.
Teo89. Sejam λ1 , λ 2 ,..., λ r autovalores distintos de T. Então T é diagonalizável se e somente se
mT (λ ) = (λ − λ1 )(λ − λ 2 )...(λ − λ r ) .
23
Exercícios
1) Verificar, utilizando a definição, se os vetores dados são autovetores:
 1 − 1 0


2 2
a) ( −2,1) para [T ] = 
b) ( −2,1,3) para [T ] =  2

3 2
 1 3
 1 2 1


2) Os vetores (1,1) e (2,−1) são autovetores de um operador linear T : R 2 → R 2 associados aos
autovalores λ1 = 5 e λ2 = −1 , respectivamente. Determinar T ( 4,1) .
3) Determinar o operador linear T : R 2 → R 2 cujos autovalores são λ1 = 1 e λ2 = 3 associados aos
autoespaços V1 = {( − y , y ), y ∈ R} e V3 = {(0, y ), y ∈ R} .
4) Determinar os autovalores e os autovetores dos seguintes operadores lineares no R2.
a) T ( x, y ) = ( x + 2 y,− x + 4 y )
b) T ( x, y ) = ( y ,− x )
5) Dado o operador linear T no R2 tal que T ( x, y ) = ( −3x − 5 y ,2 y ) , encontrar uma base de autovetores.
6) Verificar se existe uma base de autovetores para:
a) T : R 3 → R 3 tal que T ( x, y, z ) = ( x + y + z,2 y + z,2 y + 3z )
b) T : R 3 → R 3 tal que T ( x, y, z ) = ( x,−2 x − y,2 x + y + 2 z )
c) T : R 3 → R 3 tal que T ( x, y, z ) = ( x,−2 x + 3 y − z,−4 y + 3z )
7) Seja T : R 2 → R 2 tal que T ( x, y ) = ( 4 x + 5 y ,2 x + y ) . Encontrar uma base que diagonalize o
operador.
8) O operador linear T : R 4 → R 4 tal que T ( x, y , z, t ) = ( x + y + z + t , x + y + z, y + z + t , x + y )
é diagonalizável?
 5 − 6 − 6


9) Determine o polinômio minimal do operador  − 1
4
2 .
 3 − 6 − 4


2

0
10) Dada a matriz 
0

0

1
2
0
0
0
0
2
0
0

0
, verifique se é diagonalizável.
0

3 
24
a b c 


11) Seja a matriz triangular superior  0 d e  , com todos os seus elementos acima da diagonal
0 0 f 


distintos e não nulos. Indique os autovalores e os autoespaços.
1 1 1 b
 e 
 são diagonalizáveis?
12) Para que valores de a e b as matrizes 
0 a 0 1
13) Se uma matriz A quadrada é diagonalizável então o determinante de A é o produto de seus
autovalores?
14) Utilize a forma diagonal para encontrar An nos seguintes casos (n natural):
 0 7 − 6


 − 3 4

b)  − 1 4
a) 
0
 −1 2
 0 2 − 2


15) Diz-se que um operador T: V → V é idempotente se T 2 = T .
a) Seja T idempotente. Ache seus autovalores.
b) Dê exemplo de um operador não nulo T : R 2 → R 2 idempotente.
c) Mostre que todo operador linear idempotente é diagonalizável.
16) Seja V um espaço n-dimensional. Qual é o polinômio minimal do operador identidade? Qual é o
polinômio minimal do operador nulo?
1 0
 1

 −1 −1 0
17) Verifique se a matriz 
−2 −2 2

 1
1 −1

0

0
é diagonalizável.
1

0 
18) Determinar uma matriz de ordem 3 cujo polinômio minimal seja λ2 .
19) Indique o polinômio minimal dos operadores considerando a, b, c, d e e constantes não nulas.
a) T : R 5 → R 5 tal que T ( x, y, z , t , w) = (ax + by, ay + bz , az + bt , at + bw, aw)
b) T : R 5 → R 5 tal que T ( x, y, z , t , w) = (− aw, x − bw, y − cw, z − dw, t − ew)
25