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MOQ-13 – PROBABILIDADE E ESTATISTICA
LISTA DE EXERCÍCIOS 2 – TEOREMAS DA PROBABILIDADE e
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
1.
Um piloto de Fórmula 1 acaba de entrar no boxe com seu carro. Ele sabe que o
carro apresenta pelo menos um entre dois problemas: de injeção ou de bobina. A
probabilidade de haver problema de injeção é de 60% e a de bobina é 70%. Por
outro lado, as probabilidades de o carro retornar à corrida são: 80%, se houver só
problema de bobina; 40%, se houver só problema de injeção e 20%, se houver
ambos os problemas. Pergunta-se:
a. Qual a probabilidade de que o carro esteja com os dois problemas?
b. Qual a probabilidade de que o carro retorne à corrida?
c. Se o carro retornar à corrida, qual a probabilidade de que ele estivesse
com os dois problemas?
2.
Um sistema com cinco componentes é dado na figura abaixo. Assuma que os
componentes falham independentemente.
0,7
0,8
0,7
0,8
0,8
a. Qual a probabilidade de que o sistema todo funcione (confiabilidade do
sistema)?
b. Dado que o sistema funciona, qual é a probabilidade de que o
componente A (p=0,7) não esteja funcionando?
3.
A poluição do Rio Paraíba é um problema há anos. Considere os seguintes
eventos: A = {O rio é poluído}, U = {Uma amostra de água testada detecta
poluição} e C = {A pesca é permitida}. Assuma P(A) = 0,3, P(U\A) = 0,75,
P(U\Ā) = 0,20, P(C\A∩U) = 0,20, P(C\Ā∩U) = 0,15, P(C\A∩Ū) = 0,80 e
P(C\Ā∩Ū) = 0,90.
a. Determine P(A∩U∩C)
b. Determine P(Ū∩C)
c. Determine P(C)
d. Determine a probabilidade do rio ser poluído, dado que a pesca é
permitida e a amostra testada não detectou poluição.
4.
Mário sabe que a probabilidade prévia de a mãe de sair em qualquer noite é de
60%. Joana só fica sabendo dos planos da mãe às 18 horas e, então, às 18h15 ela
tem uma única chance de gritar uma mensagem em código a Mario, que mora do
outro lado do rio. Acontece que a voz da Joana não é lá essas coisas e o rio é
barulhento de forma que Mário tem dificuldade em entender a mensagem. Antes
de mais nada, Mário deverá decidir qual das duas mensagens “A” e “B” Joana
empregará para exprimir “Mamãe vai sair” e “Mamãe vai ficar”. Usando a notação
i. A = Joana grita a mensagem “A”
ii. B = Joana grita a mensagem “B”
iii. a = Mário entende “A”
iv. b = Mário entende “B”
e sendo os dados: P(a\A) = 2/3 ; P(b\A) = 1/3 ; P(b\B) = 3/4 ; P(a\B) = 1/4
a) qual dos dois códigos:
Código I: A – “Mamãe vai sair” / B – “Mamãe vai ficar”
Código II: A – “Mamãe vai ficar” / B – “Mamãe vai sair”
minimiza a probabilidade de erro de transmissão?
5.
Uma caixa contém 5 bolas brancas e três bolas pretas. Duas bolas são retiradas
simultaneamente ao acaso e substituídas por três bolas azuis. Em seguida, duas
novas bolas são retiradas ao acaso da caixa.
a. Calcular a probabilidade de que essas duas últimas bolas sejam da mesa
cor.
b. Se as duas últimas bolas retiradas forem uma branca e uma preta,
calcular a probabilidade de que, na primeira extração, tenham saído duas
bolas brancas.
6.
Dois dados são lançados. Determinar a função de distribuição de probabilidade e a
função de distribuição acumulada da variável aleatória Z, que é a soma dos pontos
obtidos.
7.
Uma variável aleatória contínua tem a seguinte função de densidade de
probabilidade:
para x < 0 ;
 0,
k,
para 0 ≤ x < 1 ;

f ( x) = 
para 1 ≤ x < 2 ;
k (2 − x),
 0,
para x ≥ 2 .
a. Determine o valor da constante k;
b. Determine a função de distribuição acumulada;
c. Determine a probabilidade de se obter um valor superior a 1,5;
8.
Seja X uma variável aleatória contínua com função distribuição de probabilidade
dada por:
para x < 0 ;
 0,
1 6 ,
para 0 ≤ x < 1 ;

f ( x ) = 4 6 ,
para 1 ≤ x < 2 ;
1 6 ,
para 2 ≤ x < 3 ;

 0,
para x ≥ 3 .
a.
b.
c.
d.
e.
Verifique que a área total sob a curva é igual a 1;
Determine a função de distribuição acumulada;
Determine a probabilidade de se obter um valor superior a 2,5;
Determine p(0< X < 2/3)
Determine p(1/4< X < 3/4)
9.
Seja X uma variável aleatória contínua com função distribuição de probabilidade
dada por:
x
 ,
para 1 < x < 5 ;
f ( x) = 12
 0,
caso contrário
a. Encontre a distribuição de probabilidade da variável aleatória Y = 2X - 3
b. Encontre a distribuição de probabilidade da variável aleatória Y = (X-1)2
10.
Para medir a velocidade do ar, utiliza-se um tubo (conhecido como tubo estático
de Pitot), o qual permite que se meça a pressão diferencial. Essa é dada por P =
(1/2)ρV2, em que ρ é a densidade do ar e V é a velocidade do vento. Achar a
distribuição de probabilidade de P quando V é uma variável aleatória
uniformemente distribuída entre (10,20).
11.
Uma corrente elétrica oscilante pode ser considerada como uma v.a.
uniformemente distribuída no intervalo (9,11). Se a corrente passar em um resistor
de 2ohms, qual será a f.d.p. da potência P=2I2?
12.
A velocidade de uma molécula em um gás uniforme em equilíbrio (X) é uma v.a.
cuja f.d.p. é dada por
f ( x) = ax 2 e −bx , x > 0
2
em que b = m/2kT, sendo que k, T e m denotam, respectivamente, a constante de
Boltzman, a temperatura absoluta e a massa da molécula.
a. Calcular a constante a (em termos de b)
b. Estabeleça a distribuição da v.a. W = mX2/2, a qual representa a energia
cinética da molécula.