RACIOCÍNIO LÓGICO

(Questões de provas resolvidas
e comentadas)
Carlos R. Torrente
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Torrente, Carlos Roberto
Raciocínio lógico para concurso, Carlos Torrente – 1ª ed. – Gov.
Valadares – MG – 2015.
ISBN: 978-85-67182-24-7
Prefixo Editorial: 67182
Direitos reservados. Reprodução proibida. 2015.
e-mail: [email protected]
Impresso no Brasil / Printed in Brazil
Editoração e revisão: Carlos Torrente
Diagramação: Carlos Torrente
Capa: Willian Passos
________________________________________________
NOTA: Apesar dos cuidados e revisões, podem ocorrer erros de
digitação, ortográficos e dúvidas conceituais. Em qualquer hipótese,
solicitamos a sua comunicação para o e-mail [email protected] para
que possamos esclarecer ou corrigir, se for o caso.
Agradeço a Deus e dedico este livro à
minha esposa Neide, aos meus filhos
Camila, Igor, meu genro Willian Passos
e minha sobrinha Franciely Torrente.
Sumário:
Proposição...........................................................................09
Conectivo.............................................................................12
Tabela verdade....................................................................14
Como negar uma proposição..............................................19
Proposições equivalentes....................................................42
Equivalências lógicas..........................................................52
Tautologia............................................................................65
Contradição.........................................................................66
Contingência........................................................................67
Argumentação.....................................................................69
Proposições categóricas.....................................................99
Diagramas lógicos.............................................................100
Sentenças abertas.............................................................115
Quantificador universal......................................................116
Quantificador existencial...................................................118
Sequência com números e letras......................................125
Bibliografia.........................................................................155
RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO
Proposição: É uma declaração ou sentença que pode ser
julgada como VERDADEIRA — V —, ou FALSA — F —, mas
não como V e F simultaneamente.
Sendo assim, vejamos os exemplos:
a) O curso preparatório é o caminho para o sucesso.
b) O Brasil é um país democrático.
c) As instituições federais tem autonomia.
d) Os brasileiros são acolhedores.
e) Hoje teremos prova de matemática.
f) Todo mineiro é torcedor do Cruzeiro.
g) 3 + 2 < 6 – 2
Estas sentenças podem ser julgadas como VERDADEIRAS
ou FALSAS, logo, cada sentença representa uma proposição.
A sentença ou frase onde você não consegue julgar, se é
verdadeira ou falsa, não representa uma proposição.
Exemplos:
Exclamações: Parabéns!
Interrogações: Quantas horas são?
Imperativos: Estude para a prova de matemática.
Sentenças abertas: x + 3 = 8
9
Proposição composta: As proposições compostas são
expressões construídas a partir de outras proposições.
Exemplo:
Carlos é professor (Proposição simples)
Roberto é cantor (Proposição simples)
Carlos é professor e Roberto é cantor. (Proposição composta)
Exercício resolvido:
1 – ICMS/SP) . Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma
mesma característica lógica em comum, enquanto uma delas
não tem essa característica.
I. Que belo dia!
II. Um excelente livro de raciocínio lógico.
III. O jogo terminou empatado?
IV. Existe vida em outros planetas do universo.
V. Escreva uma poesia.
A frase que não possui essa característica comum é a:
(A) I.
(B) II.
(C) III.
(D) IV.
(E) V.
10
Solução: Analisando cada uma das frases, temos:
I. Que belo dia!
É uma sentença exclamativa, portanto não representa uma
proposição.
II. Um excelente livro de raciocínio lógico.
É uma sentença que não pode ser julgada como falsa ou
verdadeira, portanto não representa uma proposição.
III. O jogo terminou empatado?
É uma sentença interrogativa, portanto não representa uma
proposição.
IV. Existe vida em outros planetas do universo.
É uma sentença que pode ser julgada como falsa ou
verdadeira, portanto representa uma proposição simples.
V. Escreva uma poesia.
É uma sentença imperativa, portanto não representa uma
proposição.
Portanto, a sentença IV é a única que representa uma
proposição simples, as demais frases não são proposições.
Resposta correta: LETRA D
11
CONECTIVOS: São símbolos usados para ligar as proposições
simples, transformando-as em proposições compostas.
Os principais conectivos são:
• Conjunção: A ^ B (lê-se: A e B)
• Disjunção: A ν B (lê-se: A ou B)
• Condicional: A → B (lê-se: se A então B)
• Bicondicional: A ↔ B (lê-se: A se somente se B)
Os conectivos serão representados das seguintes formas:
^: corresponde “e” (conjunção).
Ex: Trabalho e estudo.
A – Trabalho
B – Estudo
A ^ B (Trabalho e estudo)
ν : corresponde “ou” (disjunção).
Ex: Trabalho ou estudo.
A – Trabalho
B – Estudo
A ν B (Trabalho ou estudo)
12
v ou ◊: corresponde “...ou, ...ou,...” mas não ambos.
(disjunção exclusiva)
Ex: Ou Trabalho ou estudo.
A – Trabalho
B – Estudo
AvB
ou
A ◊ B (Ou Trabalho ou estudo)
OBS: O conectivo v ou ◊ não é usado com muita frequência em
provas de concurso.
→ : corresponde “se...então...” (condicional)
Ex: Se trabalho então, não estudo.
A – Trabalho
B – Não estudo
A → B (Se trabalho então, não estudo)
↔ : Corresponde “...se e somente se...” (bicondicional).
Ex: Trabalho, se e somente se, estudo.
A – Trabalho
B – Estudo
A ↔ B (Trabalho, se e somente se, estudo).
13
Tabela verdade:
Trata-se de uma tabela formada por linhas e colunas, mediante
a qual são analisados os valores lógicos de proposições
compostas.
O número de linhas da tabela depende do número de
proposições que a sentença apresenta.
Para encontrar o número de linhas de uma tabela verdade é só
utilizar a seguinte fórmula:
Nº linhas da Tabela-Verdade = 2nº de proposições
N = 2n
Exemplo:
1 – CESPE) A proposição simbólica P ٨ Q ٧ V possui, no
máximo, 4 avaliações.
(
) Certa
(
) Errada
Solução: A proposição dada P ٨ Q ٧ V tem três sentenças
distintas (P, Q e V), logo, usando a fórmula, temos:
2³ = 8, portanto, a proposição tem 8 avaliações.
Resposta: Conclusão Errada.
2 – CESPE) Considerando os símbolos lógicos ¬ (negação), ٨
(conjunção), ٧ (disjunção), → (condicional) e as proposições
S: (p ٨ ¬ q) ٧ (¬ p ٨ r) → q ٧ r
T: ((p ٨ ¬ q) ٧ (¬ p v r)) ٨ (¬ q ٨ ¬ r),
14
As tabelas-verdade de S e de T possuem, cada uma, 16 linhas.
Solução: A proposição dada S tem três sentenças distintas (p,
q e r), 2³ = 8, portanto, a proposição S tem 8 avaliações.
A proposição dada T tem três sentenças distintas (p, q e r),
2³ = 8, portanto, a proposição T tem 8 avaliações.
Resposta: Conclusão Errada.
Construção da tabela verdade de uma conjunção:
Conjunção: Proposições compostas em que está presente o
conectivo “e” representado pelo símbolo “∧”.
• A ٨ B (lida como “A e B ”): Uma conjunção tem valor lógico
Verdadeiro
(V)
quando
ambas
proposições
forem
Verdadeiras; nos demais casos, será Falso ( F ).
Tabela verdade de uma conjunção:
A
B
A٨B
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
15
Construção da tabela verdade de uma disjunção:
Disjunção: Proposições compostas em que está presente o
conectivo “ou” são ditas DISJUNÇÕES. Uma disjunção pode
ser inclusiva, representada pelo símbolo “٧”, ou exclusiva,
representada pelo símbolo v ou ◊.
Construção da tabela verdade de uma disjunção inclusiva:
• A ٧ B (lida como “A ou B”): Uma disjunção inclusiva tem
valor lógico F quando ambas forem Falsas; nos demais casos,
será V;
Tabela verdade de uma disjunção inclusiva:
A
B
A٧B
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
16
Construção da tabela verdade de uma disjunção exclusiva:
• A v B (lida como “ou A... ou B...”): Uma disjunção exclusiva
tem valor lógico F quando ambas forem verdadeiras ou Falsas;
ou seja, quando ambas proposições tiverem os mesmos
valores lógicos, nos demais casos, será V;
Tabela verdade de uma disjunção exclusiva:
A
B
AvB
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Construção da tabela verdade de uma condicional:
Condicional: Proposições compostas em que está presente o
conectivo “se ... então” que é representado pelo símbolo “→”.
• A → B (lida como “se A, então B”): Uma condicional tem
valor lógico F quando A for Verdade e B for Falso; nos demais
casos, será V;
17
Tabela verdade de uma condicional:
A
B
A→B
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Construção da tabela verdade de uma bicondicional:
Bicondicional: Proposições compostas em que está presente
o conectivo “Se e somente se” representada pelo símbolo “↔”.
• A ↔ B (lida como “se A, se e somente se B”): Uma
bicondicional tem valor lógico V quando ambas proposições
tiverem os mesmos valores lógicos, ou seja Falsas (F,F) ou
Verdadeiras (V,V); nos demais casos, será F;
Tabela verdade de uma bicondicional:
A
B
A↔B
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
18
Como negar uma proposição:
O símbolo que representa a negação é uma pequena
cantoneira (¬) ou um sinal de til (~), antecedendo o símbolo
que representa a proposição.
No caso de uma proposição simples basta pôr a palavra não
antes do verbo, e já a tornamos uma negativa.
Exemplos:
Carlos é professor
Negação: Carlos não é professor
Igor é engenheiro.
Negação: Igor não é engenheiro.
Veja a negação de proposições simples na tabela verdade.
• ¬A é a negação de A: tem valor lógico F quando A for V, e V,
quando A for F.
Tabela verdade da negação de proposições:
A
B
¬A
¬B
V
V
F
F
V
F
F
V
F
V
V
F
F
F
V
V
19
Em resumo, os valores lógicos representados na tabela
verdade ficam da seguinte forma:
A
B
¬A
¬B
A٨B
A٧B
AvB
A→B
A↔B
V
V
F
F
V
V
F
V
V
V
F
F
V
F
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
F
V
V
Exemplos:
1 – Represente cada uma das sentenças usando os conectivos
lógicos, considerando que as letras A, B, C e D representam as
seguintes proposições:
A: Carlos é professor.
B: Roberto é cantor.
C: Paulo é ator.
D: Igor é policial.
a) Paulo é ator e Igor é policial.
C٨D
b) Roberto é cantor ou Igor é policial.
B٧D
c) Igor é policial e Carlos é professor.
D٨ A
d) Carlos não é professor e Roberto é cantor. ¬ A ٨ B
e) Se Paulo é ator, então Igor não é policial.
f)
C→¬D
Se Carlos é professor e Pedro é atleta, então Igor é
policial.
(A٨¬C)→D
20
Negação de uma proposição composta:
Negação de uma conjunção: Para negar uma proposição
composta por uma conjunção, deve-se negar a primeira e a
segunda proposição, e depois trocar o conectivo “e” por “ou”.
Exemplo:
1 – IBFC) A negação da frase: “Carlos foi a praia e o tempo
estava fechado” é:
a) “Carlos não foi a praia ou o tempo estava fechado”.
b) “Carlos não foi a praia e o tempo não estava fechado”.
c) “Carlos não foi a praia ou o tempo não estava fechado”.
d) “Carlos foi a praia e o tempo não estava fechado”.
Solução: Temos a proposição: “Carlos foi a praia e o tempo
estava fechado”.
A: Carlos foi a praia.
B: O tempo estava fechado.
A ٨ B: Carlos foi a praia e o tempo estava fechado.
21
Analisando as alternativas dadas, temos:
a) “Carlos não foi a praia ou o tempo estava fechado”.
¬A ٧ B
b) “Carlos não foi a praia e o tempo não estava fechado”.
¬A ٨ ¬B
c) “Carlos não foi a praia ou o tempo não estava fechado”.
¬A ٧ ¬B
d) “Carlos foi a praia e o tempo não estava fechado”.
A ٨ ¬B
Comentário: Para negar uma conjunção, deve-se negar a
primeira e a segunda proposição e trocar o conectivo “e” por
“ou”, assim: ¬ (A ٨ B) = (¬A ٧ ¬B).
Resposta correta: Letra C.
Negação de uma disjunção: Para negar uma proposição
composta por uma disjunção, deve-se negar a primeira
proposição e depois negar a segunda, trocando “ou” por “e”.
Simbolicamente, temos: ¬ (A ٧ B) = (¬A ٨ ¬B)
22
01 – ESAF/2009) A negação de: Milão é a capital da Itália ou
Paris é a capital da Inglaterra é:
a) Milão não é a capital da Itália e Paris não é a capital da
Inglaterra.
b) Paris não é a capital da Inglaterra.
c) Milão não é a capital da Itália ou Paris não é a capital da
Inglaterra.
d) Milão não é a capital da Itália.
e) Milão é a capital da Itália e Paris não é a capital da
Inglaterra.
Solução: Para negar a disjunção exclusiva “Milão é a capital
da Itália ou Paris é a capital da Inglaterra”, deve-se negar a
proposição Milão é a capital da Itália e depois negar a
proposição Paris é a capital da Inglaterra, trocando o
conectivo “ou” por “e”.
A = Milão é a capital da Itália
B = Paris é a capital da Inglaterra.
Simbolicamente, temos: ¬ (A ٧ B) = (¬A ٨ ¬B)
Portanto, a negação da proposição “Milão é a capital da Itália
ou Paris é a capital da Inglaterra” é “Milão não é a capital da
Itália e Paris não é a capital da Inglaterra”.
Resposta correta: Letra A
23
2 - CESPE/2010) A negação da proposição “Pedro não sofreu
acidente de trabalho ou Pedro está aposentado” é “Pedro
sofreu acidente de trabalho ou Pedro não está aposentado”.
Resolução: Para negar a disjunção exclusiva “Pedro não
sofreu acidente de trabalho ou Pedro está aposentado”, devese negar a proposição Pedro não sofreu acidente de
trabalho
e
depois
negar
a
proposição
Pedro
está
aposentado, trocando o conectivo “ou” pelo conectivo “e”.
A: Pedro não sofreu acidente de trabalho.
B: Pedro está aposentado.
Simbolicamente, temos: ¬ (¬A ٧ B) = (A ٨ ¬B)
Portanto, a negação da proposição “Pedro não sofreu acidente
de trabalho ou Pedro está aposentado” é “Pedro sofreu
acidente de trabalho e Pedro não está aposentado”.
Esta é uma questão do tipo certo ou errado, comum nas
provas da CESPE, portanto, o item está ERRADO.
Comentário: Lembre-se que a negação de uma negação é
uma afirmação.
24
Negação de uma condicional: Para negar uma proposição
composta com condicional, deve-se repetir a primeira
proposição, substituir o conectivo “se...então” pelo conectivo
“e” e negar a segunda proposição.
Exemplo:
1 – A negação de “Se estudo então sou aprovado” é:
a) Não estudo e sou aprovado.
b) Estudo e não sou aprovado.
c) Se não estudo então não sou aprovado.
d) Se sou aprovado então estudo.
e) Se não sou aprovado então não estudo.
Solução: A representação simbólica da proposição: Se
estudo então sou aprovado, é:
A: Estudo.
B: Sou aprovado.
Se estudo então sou aprovado. A → B
Para negar a proposição “Se estudo então sou aprovado”,
deve-se repetir a proposição “estudo”, negar a proposição
“sou aprovado” e substituir o conectivo “se...então” por “e”.
Vejam:
¬ (A → B) = A ٨ ¬B
Portanto, temos: Estudo e não sou aprovado.
Resposta correta: Letra B.
25
Negação de uma bicondicional: Negar uma proposição
composta
com
bicondicional
equivale
a
negar
duas
condicionais [p↔q = (p→q) e (q→p)], portanto, para negar a
bicondicional, teremos que negar a primeira condicional ou
negar a segunda condicional.
Exemplo:
1 – A negação da proposição “Ficarei rico se, e somente se,
ganhar na mega sena”, é “Ficarei rico se, e somente se, não
ganhar na mega sena”.
Solução: A representação simbólica da proposição “Ficarei
rico se, e somente se, ganhar na mega sena”, é:
A: Ficar rico
B: Ganhar na mega sena
A ↔ B: Ficarei rico se, e somente se, ganhar na mega sena.
Negando a proposição, temos:
Se fico rico então, não ganho na mega sena e se não ganho
na mega sena então fico rico.
Veja a representação simbólica da negação:
¬ (A ↔ B) = (A → ¬B) ٨ (¬B → A)
26
Exercícios resolvidos:
1 – (CESPE/ BB - 2007) Uma expressão da forma ¬ (A ٨ ¬ B )
é uma proposição que tem exatamente as mesmas valorações
V ou F da proposição A →B.
Resolução:
Construindo a tabela verdade das proposições ¬ (A ٨ ¬ B ) e
A→B, temos:
A
B
¬B
(A٨ ¬ B)
¬ ( A٨ ¬ B )
A→B
V
V
F
F
V
V
V
F
V
V
F
F
F
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
V
Observe que as duas últimas colunas, que representam as
proposições compostas ¬ (A ٨ ¬ B) e A →B tem os mesmos
valores lógicos (V, F, F e V).
Resposta: Esta questão é da CESP/UNB do tipo CERTA ou
ERRADA, portanto esta questão apresentou uma conclusão
CERTA.
27
2 – (CESPE/2007) A proposição simbolizada por (A → B) →
(B → A ) possui uma única valoração F.
Resolução:
Construindo a tabela verdade da proposição composta (A → B)
→ (B → A ), temos:
A
B
A→B
B→A
(A → B ) → (B → A )
V
V
V
V
V
V
F
F
V
V
F
V
V
F
F
F
F
V
V
V
Existe somente uma avaliação falsa “F” (na linha 3) nos valores
lógicos que representam a proposição (A → B) → (B → A ).
Resposta: Esta questão é da CESPE/UNB do tipo CERTA ou
ERRADA. Esta a questão apresentou uma conclusão CERTA.
3 – FCC/2006) Considere a proposição “Paula estuda, mas não
passa no concurso”. Nessa proposição, o conectivo lógico é:
a) disjunção inclusiva.
b) conjunção.
c) disjunção exclusiva.
d) condicional.
e) bicondicional.
28
Solução: Simbolizando a proposição Paula estuda, mas não
passa no concurso, temos:
A: Paula estuda.
B: Não passa no concurso.
Portanto, “Paula estuda, mas não passa no concurso” pode
ser representar por A ٨ B.
Comentário: O conectivo mas representa uma conjunção.
Alternativa correta: Letra B.
4 – IBFC)
Se o valor lógico de uma proposição P é
verdadeiro e o valor lógico de uma proposição Q é falso,
então é correto afirmar que:
a) O condicional entre P e Q, nessa ordem, é verdade.
b) A disjunção entre P e Q é verdade.
c) A conjunção entre P e Q, nessa ordem, é verdade.
d) O bicondicional entre P e Q, nessa ordem, é verdade.
29
Solução: Analisando cada alternativa dada, considerando
que P verdadeiro e Q falso, temos:
a) O condicional entre P e Q, nessa ordem, é verdade.
P→Q
V
F (FALSO)
b) A disjunção entre P e Q é verdade.
P٧Q
V
F (VERDADE)
c) A conjunção entre P e Q, nessa ordem, é verdade.
P٨Q
V
F (FALSO)
d) O bicondicional entre P e Q, nessa ordem, é verdade.
P↔Q
V
F (FALSO)
Comentário: Sendo P verdadeiro e Q falso, verificamos que a
proposição P ٧ Q tem valor lógico verdade.
Alternativa correta: Letra B.
30
Outra solução: Construindo a tabela verdade.
a)
b)
c)
d)
P
Q
P→Q
P٧Q
P٨Q
P↔Q
V
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
F
V
V
V
F
F
F
F
V
F
F
V
Comentário: Sendo P verdadeiro e Q falso, verificamos, na
segunda linha, que a proposição P ٧ Q tem valor lógico
verdade.
Resposta correta: Letra B
5 – CESPE) Considere a tabela-verdade abaixo, onde as
colunas representam os valores lógicos para as fórmulas A, B
e A ٧ B, sendo que o símbolo ٧ denota o conector ou, V denota
verdadeira e F denota falsa.
A
B
V
V
V
F
F
V
F
F
A٧B
31
Os valores lógicos que completam a última coluna da tabela, de
cima para baixo, são:
a) V, F, V, V;
b) V, F, F, V;
c) F, V, F, V;
d) V, V, V, F;
e) F, F, V, V.
Solução: Na última coluna da tabela temos uma disjunção
inclusiva com duas proposições “A” e “B”. Uma proposição
composta será FALSA (F), quando as duas proposições
simples “A” e “B” forem FALSAS (F).
Vejam a última linha da tabela:
Portanto, temos:
A
B
A٧B
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Alternativa correta: Letra D.
32
6 – CESPE) A proposição composta (¬ A ) ٧ ( ¬ B) tem
valorações contrárias às valorações da proposição A ٨ B,
independentemente das possíveis valorações V e F dadas às
proposições básicas A e B.
Solução:
Construindo a tabela-verdade:
A
B
¬A
¬B
(¬ A ٧ ¬ B)
A٨B
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
F
F
F
V
V
F
F
F
F
F
V
V
V
F
Comentário: Analisando as duas últimas colunas da tabela
verdade verificamos que as proposições (¬ A ٧ ¬ B) e A ٨ B
tem valores lógicos contrários.
Resposta: Esta questão da CESPE/UNB é do tipo CERTA ou
ERRADA, portanto, a questão apresentou uma
conclusão
CERTA.
33
7 – IBFC) Das afirmações abaixo, a única que é verdade é:
a) A disjunção p ٧ q é verdade se e somente se p e q são
verdadeiras.
b) A conjunção p ٨ q é falsa se e somente se p e q são falsas.
c) A bicondicional p ↔ q é falsa se e somente se p e q são
falsas.
d) A condicional p → q é falsa se, e somente se, p é verdadeira
e q é falsa.
Solução:
Construindo a tabela verdade, teremos:
a)
b)
c)
d)
p
q
p٧q
p٨q
p↔q
p→q
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
F
F
F
F
V
V
Na segunda linha verificamos que a proposição p → q é falsa
se, e somente se, p é verdadeira e q é falsa.
Alternativa correta: Letra D
34
8 – ESAF/2009) Assinale a opção verdadeira.
a) 3 = 4 ou 3 + 4 = 9
b) Se 3 = 3, então 3 + 4 = 9
c) 3 = 4 e 3 + 4 = 9
d) Se 3 = 4, então 3 + 4 = 9
e) 3 = 3 se e somente se 3 + 4 = 9
Solução
Usando a tabela verdade temos:
A
B
¬A
¬B
A٨B
A٧B
A→B
A↔B
V
V
F
F
V
V
V
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
V
a) 3 = 4 ou 3 + 4 = 9
٧
F
F
(Falso)
b) Se 3 = 3, então 3 + 4 = 9
V
→
F
(Falso)
c) 3 = 4 e 3 + 4 = 9
F
٨
F
(Falso)
35
d) Se 3 = 4, então 3 + 4 = 9
F
→
F
(verdadeiro)
e) 3 = 3 se, e somente se, 3 + 4 = 9
V
↔
F
(Falso)
Resposta correta: Letra D
9 – CESPE/2008) Considerando as definições apresentadas,
as letras proposicionais adequadas e a proposição “Nem
Antônio é desembargador nem Jonas é juiz”, assinale a opção
correspondente à simbolização correta dessa proposição.
a) ¬(A ٨ B)
b) (¬A) v (¬B)
c) (¬A) ^ (¬B)
d) (¬A) v B
e) ¬[A →(¬B)]
Resolução:
Fazendo
da
representação
simbólica
da
proposição “Nem Antônio é Desembargador nem Jonas é juiz”,
temos:
A: Antônio é Desembargador.
B: Jonas é Juiz.
36
Na proposição “Nem Antônio é desembargador nem Jonas é
juiz” tem uma conjunção implícita. Podemos escrever esta
proposição da seguinte forma: “Nem Antônio é desembargador
e nem Jonas é juiz”, que simbolicamente é representado por
(¬A) ٨ (¬B).
Resposta correta: Letra B.
10 – IBFC) Considere as proposições:
t: 3 é um número primo.
u: 2 é um quadrado perfeito.
Sendo (V) para o valor verdade e (F) para valor falso, pode-se
dizer que:
a) t ٨ u = V
b) u → t = F
c) t ↔ u = V
d) u ٧ t = V
Solução: Analisando as proposições, temos:
t: 3 é um número primo. VERDADE
u: 2 é um quadrado perfeito. FALSO
37
Construindo a tabela verdade:
a)
b)
c)
d)
t
u
t٨u
u→t
t↔u
u٧t
V
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
V
V
F
Na segunda linha verificamos que a disjunção u ٧ t é verdade
se u é falsa e t é verdadeira.
Resposta correta: Letra D
Outra solução: Analisando cada proposição sem construir a
tabela verdade:
Como sabemos que t é verdade e u é falso, temos:
a) t ٨ u = V
V
F ( Falso )
b) u → t = F
F
V (Verdade)
38
c) t ↔ u = V
V
F
(Falso)
d) u ٧ t = V
F
V
(Verdade)
Resposta correta: Letra D (A disjunção u ٧ t é verdade se u é
falsa e t é verdadeira).
11 – FCC/2006) Na tabela-verdade abaixo, p e q são
proposições.
p
q
?
V
V
F
V
F
V
F
V
F
F
F
F
A proposição composta que substitui corretamente o ponto de
interrogação é:
(A) p ٧ q
(B) p → q
(D) p ↔ q
(E) ¬ (p ٨ q)
(C) ¬ (p → q)
39
Resolução:
Construindo a tabela-verdade
a)
b)
c)
d)
e)
p
q
p٨q
p→q
¬(p→q)
p↔q
¬ (p ٨ q)
V
V
V
V
F
V
F
V
F
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
F
V
F
F
F
V
F
V
V
Resposta Correta: LETRA C
12 – IBFC) O valor lógico de uma proposição p é verdadeiro e
o valor lógico de uma proposição q é falso. Nessas condições,
o valor lógico da proposição composta [(¬p ↔q) → p] ٨ ¬q é:
a) Falso.
b) Inconclusivo.
c) Falso ou verdadeiro.
d) Verdadeiro.
40
Solução:
Construindo a tabela verdade, temos:
p
q
¬p
¬q
¬p ↔ q
[(¬p ↔q) → p
[(¬p ↔q) → p] ٨ ¬q
V
V
F
F
F
V
V
V
F
F
V
V
V
F
F
V
V
F
V
F
F
F
F
V
V
F
V
F
Na segunda linha verificamos que se p é verdadeiro e q é
falso, então a proposição composta [(¬p ↔q) → p] ٨ ¬q é
falsa.
Alternativa correta: Letra A
13 – CESPE/2008) A proposição composta “Se A então B” é
necessariamente verdadeira.
Solução:
A proposição composta “Se A então B” representa uma
condicional. Uma condicional será F quando a primeira
proposição for V e a segunda proposição for F, caso contrário
será V.
41
Construindo a tabela verdade:
A
B
A→B
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Pela tabela verdade verificamos que quando a proposição A é
verdadeira e a proposição B é falsa (2ª linha) temos uma
valoração FALSA.
Conclusão ERRADA.
14 – CESPE/2012) Se P e Q representam, respectivamente,
as proposições “Eu não sou traficante” e “Eu sou usuário”,
então a premissa 1 estará corretamente representada por P
“e” Q.
Solução:
Premissa 1: Eu não sou traficante, eu sou usuário = Eu não
sou traficante, mas eu sou usuário.
O “mas” representa uma conjunção.
Conclusão CERTA.
42
Proposições equivalentes:
Duas proposições são equivalentes quando têm os mesmos
valores lógicos para todos os possíveis valores lógicos das
proposições que as compõem.
Exercícios resolvidos:
01 – FCC/2006) Das proposições abaixo, a única que é
logicamente equivalente a p → q é:
a) ¬ q → ¬ p
b) ¬ q → p
c) ¬ p → ¬ q
d) q → ¬ p
e) ¬ (q → p)
Solução: Veja na tabela verdade os valores lógicos da
proposição p → q:
p
q
p→q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
43
Uma proposição equivalente à proposição p → q tem que ter os
valores lógicos V, F, V e V.
Veja a tabela verdade de cada alternativa apresentada.
a) Comparando as proposições p → q e ¬ q → ¬ p:
p
q
p→q
¬q→¬p
V
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
V
F
F
V
V
As proposições p → q e ¬ q → ¬ p tem os mesmos valores
lógicos ( V, F, V e V), portanto são equivalentes.
b) Comparando as proposições p → q e ¬ q → p
p
q
p→q
¬q→p
V
V
V
V
V
F
F
V
F
V
V
V
F
F
V
F
As proposições p → q e ¬ q → p não tem os mesmos valores
lógicos, portanto não são equivalentes.
44
c) Comparando as proposições p → q e ¬ p → ¬ q:
p
q
p→q
¬p→¬q
V
V
V
V
V
F
F
V
F
V
V
F
F
F
V
V
As proposições p → q e ¬ p → ¬ q não tem os mesmos
valores lógicos, portanto não são equivalentes.
d) Comparando as proposições p → q e q → ¬ p
p
q
p→q
q→¬p
V
V
V
F
V
F
F
V
F
V
V
V
F
F
V
V
As proposições p → q e q → ¬ p não tem os mesmos valores
lógicos, portanto não são equivalentes.
45
e) Comparando as proposições p → q e ¬ (q → p):
p
q
p→q
¬ (q → p)
V
V
V
F
V
F
F
F
F
V
V
V
F
F
V
F
As proposições p → q e ¬ (q → p) não tem os mesmos valores
lógicos, portanto não são equivalentes.
A resposta correta é a letra A.
02 – IPAD) A sentença: “Penso, logo existo” é logicamente
equivalente a:
a) Penso e existo.
b) Nem penso, nem existo.
c) Não penso ou existo.
d) Penso ou não existo.
e) Existo, logo penso.
46
Solução: Simbolizando a sentença, temos:
A – Penso
B - Existo
A → B: “Penso, logo existo”
Representando na tabela verdade a sentença “Penso, logo
existo” que simbolicamente pode ser representado por A → B,
temos:
A
B
A→B
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
A sentença “Penso, logo existo”, que simbolicamente é
representada por A → B tem os seguintes valores lógicos V, F,
V, e V. Uma proposição equivalente a A → B tem que
apresentar estes mesmos valores lógicos.
Simbolizando as alternativas dadas e construindo a tabela
verdade, temos:
47
A٨B
a) Penso e existo.
A
B
A→B
A٨B
V
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
F
V
F
A sentença “Penso e existo”, representada simbolicamente
por A ٨ B, não tem os mesmos valores lógicos da sentença
“Penso, logo existo”, representada simbolicamente por A →
B, portanto não são equivalentes.
¬A٨¬B
b) Nem penso, nem existo.
A
B
¬A
¬B
A→B
¬A٨¬B
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
F
F
F
V
V
F
V
F
F
F
V
V
V
V
“Nem
penso,
A
sentença
nem
existo”,
representada
simbolicamente por ¬ A ٨ ¬ B, não tem os mesmos valores
lógicos da sentença “Penso, logo existo”, representada
simbolicamente por A → B, portanto não são equivalentes.
48
¬A٧ B
c) Não penso ou existo.
A
¬A
B
A→B
¬A٧ B
V
F
V
V
V
V
F
F
F
F
F
V
V
V
V
F
V
F
V
V
sentença
A
“Não
penso
ou
existo”,
representada
simbolicamente por ¬ A ٧ B, tem os mesmos valores lógicos
da
sentença
“Penso,
logo
existo”,
representada
simbolicamente por A → B, portanto são equivalentes.
A٧¬B
d) Penso ou não existo.
A
A
B
¬B
A→B
A٧¬B
V
V
F
V
V
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
V
V
sentença
“Penso
ou
não
existo”,
representada
simbolicamente por A ٧ ¬ B, não tem os mesmos valores
lógicos da sentença “Penso, logo existo”, representada
simbolicamente por A → B, portanto não são equivalentes.
49
e) Existo, logo penso. B → A
A
A
B
A→B
B→A
V
V
V
V
V
F
F
V
F
V
V
F
F
F
V
V
sentença
“Existo,
logo
simbolicamente por B → A,
penso”,
representada
não tem os mesmos valores
lógicos da sentença “Penso, logo existo”, representada
simbolicamente por A → B, portanto não são equivalentes.
Resposta correta: Letra C
3 – CESPE/2008) Simbolizando-se adequadamente, pode-se
garantir que a proposição “Se o caminhão atropelou o
tamanduá então Ana foi lavar roupas” é equivalente à
proposição “Se Ana não foi lavar roupas então o caminhão
não atropelou o tamanduá”.
Solução: Duas proposições são equivalentes quando têm os
mesmos valores lógicos.
50
Simbolizando as proposições “Se o caminhão atropelou o
tamanduá então Ana foi lavar roupas” e “Se Ana não foi
lavar roupas então o caminhão não atropelou o tamanduá”,
temos:
A: O caminhão atropelou o tamanduá.
B: Ana foi lavar roupas.
A → B: Se o caminhão atropelou o tamanduá então Ana foi
lavar roupas.
¬ B → ¬ A: Se Ana não foi lavar roupas então o caminhão não
atropelou o tamanduá.
Fazendo a tabela-verdade:
A
B
¬A
¬B
A→B
¬B→¬A
V
V
F
F
V
V
V
F
F
V
F
F
F
V
V
F
V
V
F
F
V
V
V
V
51
A sentença “Se o caminhão atropelou o tamanduá então
Ana foi lavar roupas”, representada simbolicamente por A
→ B,
tem os mesmos valores lógicos da sentença “Se Ana
não foi lavar roupas então o caminhão não atropelou o
tamanduá”, representada simbolicamente por ¬ B → ¬ A,
portanto,
as
proposições
são
equivalentes
não
são
equivalentes.
Resposta: Esta questão é do tipo CERTO ou ERRADO,
portanto, a questão apresentou uma conclusão CERTA.
Equivalências lógicas:
Dizemos que duas proposições são logicamente equivalentes
(ou simplesmente equivalentes) quando os resultados de suas
tabelas-verdade são idênticos.
Uma conseqüência prática da equivalência lógica é que ao
trocar uma dada proposição por qualquer outra que lhe seja
equivalente, estamos apenas mudando a maneira de dizê-la.
A equivalência lógica entre duas proposições, A e B, pode ser
representada simbolicamente como: A
B, ou simplesmente
por A = B.
52
Equivalências da Condicional:
As equivalências da condicional são as seguintes:
1 ) Se A então B = Se não B então não A.
A → B implica que ¬ B → ¬ A (contra-positiva)
Fazendo a tabela-verdade:
A
B
¬A
¬B
A→B
¬B→¬A
V
V
F
F
V
V
V
F
F
V
F
F
F
V
V
F
V
V
F
F
V
V
V
V
Pela tabela verificamos que a proposição composta A → B
tem os mesmos valores lógicos da proposição composta ¬ B
→ ¬ A, portanto, as proposições são equivalentes são
equivalentes.
A proposição ¬ B → ¬ A é a contra-positiva da proposição A
→ B.
Ex: Dizer que “Se chove então me molho” equivale a dizer
que “Se não me molho então não chove”.
53
2 ) Se A então B = Não A ou B.
A → B implica que ¬ A ٧ B
Fazendo a tabela-verdade:
A
B
¬A
¬B
A→B
¬A٧B
V
V
F
F
V
V
V
F
F
V
F
F
F
V
V
F
V
V
F
F
V
V
V
V
Ex: Dizer que “Se estudo então passo no ENEM” equivale a
dizer que “Não estudo ou passo no ENEM”.
Outra equivalências:
As seguintes expressões podem ser empregadas como
equivalentes a:
“Se A então B“:
“Se Carlos é cruzeirense, então Marcelo é atleticano.”
Se A, B.
“Se Carlos é cruzeirense, Marcelo é atleticano.”
54
B, se A.
“Marcelo é atleticano, se Carlos é cruzeirense.”
A é condição suficiente para B.
“Carlos é cruzeirense é condição suficiente para Marcelo é
atleticano.”
B é condição necessária para A.
“Marcelo ser atleticano é condição necessária para Carlos ser
cruzeirense.”
Equivalências com símbolo de negação:
Proposição
Negação direta Equivalente da negação
A٨B
¬(A ٨ B)
¬A ٧ ¬B
A٧B
¬(A ٧ B)
¬A ٨ ¬B
A→B
¬(A → B)
A ٨ ¬B
A↔B
¬(A ↔ B)
A ٨ ¬B ou ¬A ٨ B
55
Leis de “De Morgan:
Sejam as afirmações:
A = Carlos é professor.
B = Roberto é cantor.
¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B
¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B
Essas duas equivalências são conhecidas como leis de “De
Morgan” que foi o primeiro a expressá-las em termos
matemáticos.
Exemplo 01:
p = Carlos é professor e Roberto é cantor.
¬p = Carlos não é professor ou Roberto não é cantor.
Exemplo 02:
p = Carlos é professor ou Roberto é cantor.
¬p = Carlos não é professor e Roberto não é cantor.
56
Exercícios resolvidos:
1 – EBSERH) A afirmação “inflação alta causa desemprego”
é equivalente, do ponto de vista lógico-matemático, a:
a) se a inflação não está alta, não há desemprego.
b) se a inflação não está alta, há desemprego.
c) se não há desemprego, a inflação está alta.
d) se não há desemprego, a inflação não está alta.
e) se há desemprego, a inflação está alta.
Resolução:
Seja a sentença representada pela condicional: “inflação alta
causa desemprego”, quer dizer “Quando há inflação alta, então
vai existir desemprego”.
Dada uma condicional do tipo: “A → B”, podemos obter duas
proposições equivalentes a essa condicional utilizando-se de
dois conceitos: contra positiva e pela dupla negação, veja:
• Equivalência pela contra positiva: (A → B) = (¬ B → ¬ A).
• Equivalência pela dupla negação: (A → B) = (¬ A ٧ B).
Obtendo a equivalência pela linguagem corrente, teremos:
57
• Pela contra positiva:
“inflação alta causa desemprego” é equivalente a “Se não há
desemprego, a inflação não está alta”.
Este mesmo exercício pode ser resolvido usando a tabela
verdade:
A: Inflação alta.
B: Há desemprego.
Fazendo a tabela-verdade:
A
B
¬A
¬B
A→B
¬B→¬A
V
V
F
F
V
V
V
F
F
V
F
F
F
V
V
F
V
V
F
F
V
V
V
V
Se a inflação não está alta, não há desemprego. ¬ A → ¬ B
Se a inflação não está alta, há desemprego.
¬A→B
Se não há desemprego, a inflação está alta.
¬B→A
Se não há desemprego, a inflação não está alta. ¬ B → ¬ A
Se há desemprego, a inflação está alta.
B→ A
Portanto, alternativa correta é a letra (D).
58
2 – ESAF/2005) A afirmação “Não é verdade que, se Pedro
está em Roma, então Paulo está em Paris” é logicamente
equivalente à afirmação:
a) É verdade que “Pedro está em Roma e Paulo está em
Paris”.
b) Não é verdade que “Pedro está em Roma ou Paulo não está
em Paris”.
c) Não é verdade que “Pedro não está em Roma ou Paulo não
está em Paris”.
d) Não é verdade que “Pedro não está em Roma ou Paulo está
em Paris”.
e) É verdade que “Pedro está em Roma ou Paulo está em
Paris”.
Resolução:
Seja a sentença representada pela condicional: “Não é
verdade que, se Pedro está em Roma, então Paulo está em
Paris”.
Dada uma condicional do tipo: “A → B”, podemos obter A
proposição equivalente a essa condicional utilizando-se de o
conceitos da dupla negação, veja:
59
• Equivalência pela dupla negação: (A → B) = (¬ A ٧ B).
Como nas alternativas só temos “ou” e “e”, trata-se da 1ª
equivalência. Daí temos:
A: Pedro está em Roma;
B: Paulo está em Paris;
(¬ A ٧ B): “Não é verdade que Pedro não está em Roma ou
Paulo está em Paris”.
Alternativa correta é a Letra (D).
Outra resolução:
Nessa questão, temos que:
A: Pedro está em Roma
B: Paulo está em Paris
O que a questão pede é uma proposição equivalente à
negação de A → B. Assim, temos:
¬ (A → B) = A ^ ¬B
Vamos passar as alternativas para a linguagem simbólica:
a) A ^ B (item incorreto)
b) ¬ (A v ¬B) = ¬A ^ B (item incorreto)
c) ¬ (¬A v ¬B) = A ^ B (item incorreto)
d) ¬ (¬ A v B) = A ^ ¬ B (item correto)
e) A v B (item incorreto)
60
Com isso, podemos afirmar que "Não é verdade que ‘Pedro
não está em Roma ou Paulo está em Paris’".
Resposta correta: Letra D.
3 – EBSERH) Considerando a afirmação “Se eu for aprovado
no concurso, viajarei de férias” como verdadeira, assinale a
alternativa correta.
a) A afirmação “Se eu não for aprovado no concurso, viajarei
de férias” é verdadeira.
b) A afirmação “Se eu for aprovado no concurso, viajarei de
férias” é verdadeira.
c) A afirmação “Se eu não viajar de férias, terei sido aprovado
no concurso” é verdadeira.
d) A afirmação “Se eu for não aprovado no concurso, não
viajarei de férias” é equivalente à afirmativa.
e) A afirmação “Se eu não viajar de férias, não terei sido
aprovado no concurso” é equivalente à afirmativa dada.
Resolução:
Seja a sentença representada pela condicional: “Se eu for
aprovado no concurso, viajarei de férias”.
61
Dada uma condicional do tipo: “A → B”, podemos obter a
proposição equivalente a essa condicional utilizando-se da
contrapositiva, veja:
• Equivalência pela contrapositiva: (A → B) = (¬ B → ¬ A).
“Se eu for aprovado no concurso, viajarei de férias” é
equivalente a “Se eu não viajar de férias, não terei sido
aprovado no concurso”.
Portanto, alternativa correta é a letra (E).
4 – ANA) Sabendo-se que o símbolo ¬ denota negação e que
o símbolo ٧ denota o conector lógico “ou”, a fórmula A → B,
que é lida “se A então B”, pode ser reescrita como:
a) A ٧ B
b) ¬ A ٧ B
c) A ٧ ¬ B
d) ¬ A ٧ ¬ B
e) ¬ ( A ٧ B )
Resolução:
A condicional do tipo: “A → B”, é equivalente, pela dupla
negação, à proposição (¬ A ٧ B).
Portanto, alternativa correta é a letra B.
62
5 – EBSERH) Alguém afirmou que “se todo paciente é
impaciente, então alguém vai enlouquecer”. Supondo que
ocorra exatamente a negação da sentença, então:
a) se nem todo paciente é impaciente, então ninguém vai
enlouquecer.
b) todo paciente é impaciente e alguém não vai enlouquecer.
c) se todo paciente é impaciente, então ninguém vai
enlouquecer.
d) algum paciente é impaciente ou alguém vai enlouquecer.
e) se nenhum paciente é impaciente, então alguém vai
enlouquecer.
Resolução:
A negação de uma condicional do tipo:
“Se A, então B” (A → B) será da forma: ¬ (A → B) = A ٨ ¬ B
Ou seja, para negar uma condicional deve-se copiar a primeira
proposição e negar a segunda proposição.
Portanto, a negação da proposição “Se todo paciente é
impaciente, então alguém vai enlouquecer” será “Se todo
paciente é impaciente e alguém não vai enlouquecer”.
Portanto, alternativa correta é a letra B.
63
6 – CESPE/2009) As proposições “Se o delegado não
prender o chefe da quadrilha, então a operação agarra não
será bem-sucedida” e “Se o delegado prender o chefe da
quadrilha, então a operação agarra será bem-sucedida” são
equivalentes.
Solução: Sendo a conclusão dada pela condicional “Se o
delegado não prender o chefe da quadrilha, então a operação
agarra não será bem-sucedida” (A → B), podemos obter duas
proposições equivalentes a essa condicional utilizando-se
de dois conceitos: contrapositiva e pela dupla negação,
vejam:
• Equivalência pela contrapositiva: (A → B) = (¬ B → ¬ A).
Pela contra-positiva a proposição será: “Se a operação agarra
foi bem-sucedida, então o delegado prendeu o chefe da
quadrilha.”
• Equivalência pela dupla negação: (A → B) = (¬ A ٧ B).
Pela dupla negação a proposição será: “Se o delegado prender
o chefe da quadrilha, então a operação agarra não será bemsucedida”.
ITEM ERRADO
64
TAUTOLOGIA:
Tautologia é uma proposição composta que é sempre
VERDADEIRA,
independentemente
do
valor
lógico
das
proposições simples componentes.
A proposição A → (A ٧ B) é uma tautologia, pois é sempre
verdadeira, independentemente dos valores lógicos de A e de
B, como se pode observar na tabela-verdade.
A → (A ٧ B)
A
B
A٧B
V
V
V
V
V
F
V
V
F
V
V
V
F
F
F
V
Observemos que o valor lógico da proposição composta A →
(A ٧ B), que aparece na última coluna da tabela-verdade, é
sempre VERDADEIRO, independente dos valores lógicos que
A e B assumem. Logo, a proposição A → (A ٧ B) representa
uma tautologia.
65
CONTRADIÇÃO:
Construindo uma tabela-verdade de uma proposição composta,
se todos os resultados da última coluna forem falso, então
estaremos diante de uma contradição.
Ex: 1 – Verifique se a proposição ( A ↔ ¬ B ) ٨ ( A ٨ B )
representa uma contradição:
A
B
¬B
(A↔¬B)
A٧B
(A ↔ ¬ B) ٨ (A ٧ B )
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
F
V
F
V
V
F
F
F
V
F
F
F
Observemos que o valor lógico da proposição composta ( A ↔
¬ B ) ٨ ( A ٨ B ), que aparece na última coluna da tabelaverdade, é sempre falso, independente dos valores lógicos que
A e B assumem. Portanto, a proposição (A ↔ ¬ B) ٨ (A ٧ B )
representa uma contradição.
66
CONTINGÊNCIA:
Se uma proposição composta não for uma tautologia nem uma
contradição ela será uma contingência.
Ex: Verifique se a proposição composta A ↔ ( A ٨ B )
representa uma contingência.
A
B
A↔B
A↔(A٨B)
V
V
V
V
V
F
F
F
F
V
F
F
F
F
V
F
Observemos que o valor lógico da proposição composta A ↔ (
A ٨ B ), que aparece na última coluna da tabela-verdade,
aparece valores falsos e verdadeiros, independente dos
valores lógicos que A e B assumem. Por isto representa uma
contingência.
Exercício resolvido:
1 – IBFC/2012) Se p e q são proposições e ¬p e ¬q suas
respectivas negações, então podemos dizer que (¬p ٧ q) → ¬q
é uma:
a)Tautologia
b) Contingência
c)Contradição
d) Equivalência
67
Solução: Vale a pena lembrar que:
Tautologia: Todos os valores lógicos da proposição são
verdades.
Contradição: Todos os valores lógicos da proposição são
falsos.
Contingência: A proposição não representa uma tautologia e
nem uma contradição, ou seja, os valores lógicos são verdades
e falsos.
Equivalência: Quando duas proposições tem os valores
lógicos iguais.
Construindo a tabela verdade, temos:
p
q
¬p
¬q
¬p ٧ q
[(¬p ٧ q) → ¬q]
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
F
V
F
V
V
F
V
F
F
F
V
V
V
V
Resposta: Letra C.
Comentário: Verificando a última coluna temos os valores
lógicos F, V, F e V, que não representa uma tautologia e nem
uma contradição, portanto, a proposição [(¬p ٧ q) → ¬q] é uma
contradição.
68
ARGUMENTOS:
Argumento é um conjunto de proposições, chamadas de
premissas, com uma estrutura lógica de maneira tal que
algumas delas acarretam ou tem como consequência outra
proposição, denominada conclusão.
Um raciocínio lógico é considerado correto quando é
constituído por uma sequência de proposições verdadeiras.
Algumas dessas proposições são consideradas verdadeiras por
hipótese e as outras são verdadeiras por consequência de as
hipóteses serem verdadeiras.
VALIDADE DE UM ARGUMENTO:
Se as premissas e a conclusão são simultaneamente
verdadeiras, então o argumento é válido. Quando as premissas
são verdadeiras e a conclusão é falsa, dizemos que o
argumento é inválido, também chamado de sofisma ou falácia.
Podemos concluir que: uma dedução lógica é uma seqüência
de proposições, e é considerada correta quando, partindo-se
de proposições verdadeiras, denominadas premissas, obtêmse proposições sempre verdadeiras, sendo a última delas
denominada conclusão.
69
Existem diferentes métodos que nos possibilitam afirmar se um
argumento é válido ou não. Eis alguns desses métodos:

Utilizando tabela-verdade:
Esta forma é mais indicada quando nas premissas não
aparecem as palavras todo, algum e nenhum.
Este método deve ser evitado quando o argumento apresentar
três ou mais proposições simples.
Deve-se construir a tabela-verdade destacando uma coluna
para cada premissa e outra para a conclusão.
Após a construção da tabela-verdade, verificam-se quais são
as linhas em que os valores lógicos das premissas têm valor V.
Se em todas essas linhas (com premissas verdadeiras), os
valores lógicos da coluna da conclusão forem também
Verdadeiros, então o argumento é válido. Porém, se ao menos
uma daquelas linhas (que contêm premissas verdadeiras)
houver na coluna da conclusão um valor F, então o argumento
é inválido.
Exemplos:
1 – (CESPE/2007) Considere que as afirmativas “Se Mara
acertou na loteria então ela ficou rica” e “Mara não acertou
na
loteria”
sejam
ambas
proposições
verdadeiras.
70
Simbolizando adequadamente essas proposições pode-se
garantir que a proposição “Ela não ficou rica” é também
verdadeira.
Premissa 1: “Se Mara acertou na loteria então ela ficou rica”
A→B
Premissa 2: “Mara não acertou na loteria” ¬ A
Conclusão: “Ela não ficou rica” ¬ B
Verificação da validade ou não do argumento pela tabela
verdade.
Premissa 1
Premissa 2
Conclusão
A
B
A→B
¬A
¬B
1ª linha
V
V
V
F
F
2ª linha
V
F
F
F
V
3ª linha
F
V
V
V
F
4ª linha
F
F
V
V
V
Verificamos quais são as linhas da tabela em que os valores
lógicos das premissas são todos V. Observamos que na 3ª e 4ª
linhas as duas premissas com valor lógico V. Na 4ª linha as
premissas e a conclusão são verdadeiras, mas na 3ª linha as
premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa logo o
argumento é inválido.
71
Comentário: Para que o argumento seja válido, teríamos que
ter as premissas e as conclusões verdadeiras na 3ª e 4ª linhas.
2 – (CESPE/2007) Considere que a proposição “Sílvia ama
Joaquim ou Sílvia ama Tadeu” seja verdadeira. Então pode-se
garantir que a proposição “Sílvia ama Tadeu” é verdadeira.
A: Sílvia ama Joaquim
B: Sílvia ama Tadeu
Construção da tabela verdade
Premissa 1
Premissa 2
Conclusão
A
B
A ٧B
Linha 1
V
V
V
Linha 2
V
F
V
Linha 3
F
V
V
Linha 4
F
F
F
Verifica-se quais são as linhas da tabela em que os valores
lógicos das premissas e da conclusão são todos V. Observa-se
que a 1ª linha apresenta as duas premissas e a conclusão com
valor lógico V, logo o argumento é válido.
Resposta: “Sílvia ama Joaquim ou Sílvia ama Tadeu”
representa uma proposição verdadeira.
72

Utilizando as operações lógicas com os conectivos
e considerando as premissas verdadeiras.
Considerando as premissas como verdadeiras e por meio das
operações lógicas com os conectivos, descobriremos o valor
lógico da conclusão, que deverá resultar também em
verdadeira, para que o argumento seja válido.
Exemplos:
1 – (CESPE/2009 ) Considere que as proposições da
sequência a seguir sejam verdadeiras.
Se Fred é policial, então ele tem porte de arma.
Fred mora em São Paulo ou ele é engenheiro.
Se Fred é engenheiro, então ele faz cálculos estruturais.
Fred não tem porte de arma.
Se Fred mora em São Paulo, então ele é policial.
Nesse caso, é correto inferir que a proposição “Fred não mora
em São Paulo” é uma conclusão verdadeira com base nessa
sequência.
Solução:
Vamos considerar que todas as proposições dadas são
verdadeiras (V).
73
A: Fred é policial.
B: Fred tem porte de arma.
C: Fred mora em São Paulo.
D: Fred é engenheiro.
E: Fred faz cálculos estruturais.
Representação simbólica de cada premissa:
Premissa 1: Se Fred é policial, então ele tem porte de arma.
A→B
Premissa 2: Fred mora em São Paulo ou ele é engenheiro.
B٧D
Premissa 3: Se Fred é engenheiro, então ele faz cálculos
estruturais. D→E
Premissa 4: Fred não tem porte de arma.
¬B
Premissa 5: Se Fred mora em São Paulo, então ele é policial.
C→A
Conclusão: “Fred não mora em São Paulo”.
¬C
74
Considerando as premissas como verdadeiras e por meio das
operações lógicas com os conectivos, descobriremos se
conclusão “Fred não mora em São Paulo” é verdadeira ou
falsa. Vejam:
A→B
Premissa 1:
F
F
B٧D
Premissa 2:
F
(verdade)
V
Premissa 3: D → E
V
(verdade)
(verdade)
V
Premissa 4: ¬ B
(verdade)
V
Premissa 5: C → A
F
(verdade)
F
Conclusão: ¬ C
(verdade)
V
A conclusão é verdadeira, afirmativa correta.
75
2 – (CESPE/ PF – 2009 ) A sequência de proposições a seguir
constitui uma dedução correta.
Se Carlos não estudou, então ele fracassou na prova de Física.
Se Carlos jogou futebol, então ele não estudou.
Carlos não fracassou na prova de Física.
Carlos não jogou futebol.
Solução:
Considerando que todas as proposições dadas são verdadeiras
(V), temos:
A: Carlos estuda.
B: Carlos fracassou na prova de física.
C: Carlos jogou futebol.
Premissas:
Premissa 1: Se Carlos não estudou, então ele fracassou na
prova de Física. ¬ A → B
Premissa 2: Se Carlos jogou futebol, então ele não estudou.
C→¬A
Premissa 3: Carlos não fracassou na prova de Física.
¬B
Conclusão: Carlos não jogou futebol.
¬C
76
Analisando as premissas:
Premissa 1: ¬ A → B
F
F
Premissa 2: C → ¬ A
F
(verdade)
(verdade)
F
Premissa 3: B¬
(verdade)
V
Conclusão: ¬ C
(verdade)
V
Pela análise das premissas concluímos que:
Carlos estuda.
Carlos não fracassou na prova de física.
Carlos não jogou futebol.
Resposta: sequência de proposições dadas constitui uma
dedução correta.
3 – ESAF/2008) Sou amiga de Abel ou sou amiga de Oscar.
Sou amiga de Nara ou não sou amiga de Abel. Sou amiga de
Clara ou não sou amiga de Oscar. Ora, não sou amiga de
Clara. Assim,
a) não sou amiga de Nara e sou amiga de Abel.
b) não sou amiga de Clara e não sou amiga de Nara.
77
c) Sou amiga de Nara e amiga de Abel.
d) sou amiga de Oscar e amiga de Nara.
e) sou amiga de Oscar e não sou amiga de Clara.
Solução:
Uma disjunção (“ou”) será verdadeira (V) quando pelo menos
uma das proposições que a compõe for verdadeira (V).
Simbolizando as proposições:
A: Sou amiga de Abel
B: Sou amiga de Oscar
C: Sou amiga de Nara
D: Sou amiga de Clara
Daí, temos:
Premissa 1: Sou amiga de Abel ou sou amiga de Oscar.
(A٧B)
Premissa 2: Sou amiga de Nara ou não sou amiga de Abel.
(C٧¬B)
Premissa 3: Sou amiga de Clara ou não sou amiga de Oscar.
(D٧¬B)
Premissa 4: Não sou amiga de Clara.
¬D
78
Comentário: Numa questão como esta, em que nos são
fornecidas várias proposições para que possamos tirar
conclusões a respeito, devemos considerar TODAS AS
PROPOSIÇÕES COMO VERDADEIRAS e, a partir de
equivalências lógicas tirarmos nossas conclusões. Vejamos:
Premissa 1: ( A ٧ B ) ( Verdade )
V
F
Premissa 2: ( C ٧ ¬ A ) ( Verdade )
V
F
Premissa 3: ( D ٧ ¬ B ) ( Verdade )
F
V
Premissa 4: ¬ D ( Verdade )
V
Conclusão:
Sou amiga de Abel
Não sou amiga de Oscar
Sou amiga de Nara
Não sou amiga de Clara
Resposta certa é a letra C.
79
4 – ESAF – 2002) Se Iara não fala italiano, então Ana fala
alemão. Se Iara fala italiano, então ou Ching fala chinês ou
Débora fala dinamarquês. Se Débora fala dinamarquês, Elton
fala espanhol. Mas Elton fala espanhol se e somente se não for
verdade que Francisco não fala francês. Ora, Francisco não
fala francês e Ching não fala chinês. Logo,
a) Iara não fala italiano e Débora não fala dinamarquês.
b) Ching não fala chinês e Débora fala dinamarquês.
c) Francisco não fala francês e Elton fala espanhol.
d) Ana não fala alemão ou Iara fala italiano.
e) Ana fala alemão e Débora fala dinamarquês.
Solução:
Considerando que:
A: Iara fala italiano.
B: Ana fala alemão.
C: Ching fala chinês.
D: Débora fala dinamarquês.
E: Elton fala espanhol.
F: Francisco fala francês.
80
Simbolizando as seguintes proposições:
Premissa 1: Se Iara não fala italiano, então Ana fala alemão.
¬A→B
Premissa 2: Se Iara fala italiano, então ou Ching fala chinês ou
Débora fala dinamarquês.
A→C٧D
Premissa 3: Se Débora fala dinamarquês, Elton fala espanhol.
D→E
Premissa 4: Elton fala espanhol se e somente se não for
verdade que Francisco não fala francês.
E↔¬(¬F)
Premissa 5: Francisco não fala francês e Ching não fala
chinês.
¬F٨¬C
Comentário: Numa questão como esta, em que nos são
fornecidas várias proposições para que possamos tirar
conclusões a respeito, devemos considerar TODAS AS
PROPOSIÇÕES COMO VERDADEIRAS e, a partir de
equivalências lógicas tirarmos nossas conclusões. Vejamos:
81
Premissa 1: ¬ A → B
V
(verdade)
V
Premissa 2: A → C ٧ D
F
F
F
Premissa 3: D → E
F
(verdade)
(verdade)
F
Premissa 4: E ↔ ¬ ( ¬ F )
F
(verdade)
F
Premissa 5: ¬ F ٨ ¬ C (verdade)
V
V
Conclusão:
Iara não fala italiano.
Ana fala alemão.
Ching não fala chinês.
Débora não fala dinamarquês.
Elton não fala espanhol.
Francisco fala francês.
Resposta correta: Letra A.
82
5 – CESP/UNB – 2008) Uma dedução lógica é uma sequência
de proposições, e é considerada correta quando, partindo-se
de proposições verdadeiras, denominadas premissas, obtêmse proposições sempre verdadeiras, sendo a última delas
denominada conclusão.
Considere verdadeiras as duas premissas abaixo:
“O raciocínio de Pedro está correto, ou o julgamento de
Paulo foi injusto”.
“O raciocínio de Pedro não está correto”.
Portanto, se a conclusão for a proposição, O julgamento de
Paulo foi injusto, tem-se uma dedução lógica correta.
Solução:
A: O raciocínio de Pedro está correto
B: O julgamento de Paulo foi injusto
“O raciocínio de Pedro está correto, ou o julgamento de Paulo
foi injusto”. A ٧ B ( Verdade )
F
V
“ O raciocínio de Pedro não está correto”. ¬ A ( Verdade )
V
Conclusão: O julgamento de Paulo foi injusto. B ( Verdade )
V
Portanto, tem-se uma dedução lógica correta.
83
6 – (ESAF/2009) Se Beto briga com Glória, então Glória vai ao
cinema. Se Glória vai ao cinema, então Carla fica em casa. Se
Carla fica em casa, então Raul briga com Carla. Ora, Raul não
briga com Carla. Logo.
a) Carla não fica em casa e Beto não briga com Glória.
b) Carla fica em casa e Glória vai ao cinema.
c) Carla não fica em casa e Glória vai ao cinema.
d) Glória vai ao cinema e Beto briga com Glória.
e) Glória não vai ao cinema e Beto briga com Glória
Proposições:
A: Beto briga com Glória.
B: Glória vai ao cinema.
C: Carla fica em casa.
D: Raul briga com Carla.
Premissas:
Premissa 1: Se Beto briga com Glória, então Glória vai ao
cinema.
A→B
Premissa 2: Se Glória vai ao cinema, então Carla fica em casa.
B→C
Premissa 3: Se Carla fica em casa, então Raul briga com
Carla. C → D
Premissa 4: Raul não briga com Carla. ¬ D
84
Analisando os argumentos:
A→B
F
( verdade )
F
B→C
F
( verdade )
F
C→D
F
( verdade )
F
¬D
( verdade )
V
De acordo com a análise das premissas, temos:
A: Beto briga com Glória. (Falso)
B: Glória vai ao cinema. (Falso)
C: Carla fica em casa. (Falso)
D: Raul briga com Carla. (Verdade)
Beto não briga com Glória.
Glória não vai ao cinema.
Carla não fica em casa.
Raul briga com Carla.
Concluímos que “Carla não fica em casa e Beto não briga
com Glória.”
Resposta correta: Letra A.
85
7 – ESAF) Se Nestor disse a verdade, Júlia e Raul mentiram.
Se Raul mentiu, Lauro falou a verdade. Se Lauro falou a
verdade, há um leão feroz nesta sala. Ora, não há um leão
feroz nesta sala. Logo,
a. Nestor e Júlia disseram a verdade
b. Nestor e Lauro mentiram
c. Raul e Lauro mentiram
d. Raul mentiu ou Lauro disse a verdade
e. Raul e Júlia mentiram.
Solução: Numa questão como esta, em que nos são
fornecidas várias proposições para que possamos tirar
conclusões a respeito, devemos considerar TODAS AS
PROPOSIÇÕES COMO VERDADEIRAS e, a partir de
equivalências lógicas tirarmos nossas conclusões. Vejamos:
Premissas:
A: Nestor disse a verdade.
B: Júlia e Raul mentiram.
C: Lauro falou a verdade.
D: Há um leão feroz nesta sala.
86
Premissa 1: A → B (Verdade)
F
F
Premissa 2: B → C (Verdade)
F
F
Premissa 3: C → D (Verdade)
F
F
Premissa 4: ¬ D (Verdade)
V
Conclusão:
A: Nestor disse a verdade. (Falso)
B: Júlia e Raul mentiram. (Falso)
C: Lauro falou a verdade. (Falso)
D: Há um leão feroz nesta sala. (Verdade)
Nestor não disse a verdade.
Júlia e Raul não mentiram.
Lauro não falou a verdade.
Há um leão feroz nesta sala.
Considerando que as premissas são verdadeiras, concluímos
que “Nestor e Lauro mentiram.”
Resposta correta: Letra B.
87
8 – ESAF/2003) Investigando uma fraude bancária, um famoso
detetive colheu evidências que o convenceram das seguintes
afirmações:
1) Se Homero é culpado, então João é culpado.
2) Se Homero é inocente, então João ou Adolfo são
culpados.
3) Se Adolfo é inocente, então João é inocente.
4) Se Adolfo é culpado, então Homero é culpado.
As evidências colhidas pelo famoso detetive indicam, portanto,
que:
A) Homero, João e Adolfo são inocentes.
B) Homero, João e Adolfo são culpados.
C) Homero é culpado, mas João e Adolfo são inocentes.
D) Homero e João são inocentes, mas Adolfo é culpado.
E) Homero e Adolfo são culpados, mas João é inocente.
Solução: Considerando que os três são inocentes, temos as
seguintes proposições:
H: Homero é inocente.
A: Adolfo é inocente.
J: João é inocente.
88
Premissa 1: Se Homero é culpado, então João é culpado.
Premissa 2: Se Homero é inocente, então João ou Adolfo são
culpados.
Premissa 3: Se Adolfo é inocente, então João é inocente.
Premissa 4: Se Adolfo é culpado, então Homero é culpado.
Representando cada premissa por símbolos e considerando
que todas são verdadeiras, temos:
Premissa 01: ¬ H → ¬ J
V
(verdade)
V
Premissa 02: H → (¬J ٧ ¬A)
F
V
Premissa 03: A → J
F
(verdade)
V
(verdade)
F
Premissa 04: ¬ A → ¬ H
V
(verdade)
V
Portanto, Homero, Adolfo e João são culpados.
Resposta correta: Letra B.
89
9 – CESPE/2009) Considere as proposições A, B e C a seguir.
A: Se Jane é policial federal ou procuradora de justiça, então
Jane foi aprovada em concurso público.
B: Jane foi aprovada em concurso público.
C: Jane é policial federal ou procuradora de justiça.
Nesse caso, se A e B forem V, então C também será V.
Solução:
Nessa questão, vamos simbolizar as proposições:
p: Jane é policial federal
q: Jane é procuradora de justiça
r: Jane foi aprovada em concurso público
Proposição A: Se Jane é policial federal ou procuradora de
justiça, então Jane foi aprovada em concurso público.
(p v q) → r
Proposição B: Jane foi aprovada em concurso público.
r
Proposição C: Jane é policial federal ou procuradora de
justiça.
pvq
90
Proposição A: (p v q) → r
V
V
V
V
F
V
F
V
V
(verdade)
Proposição B: r (verdade)
V
Proposição C: p v q
V
V
V
F
F
V
(verdade)
Sabendo que A e B são verdadeiros, temos que:
A: (p v q) → V (valor lógico verdadeiro) pode assumir qualquer
valor que esta expressão será verdadeira.
Portanto, a expressão C: (p v q) pode ser verdadeira ou falsa, o
que torna o item errado.
Conclusão ERRADA.
91
10 – ESAF/2008) Três meninos, Pedro, Lago e Arnaldo, estão
fazendo um curso de informática. A professora sabe que os
meninos que estudam são aprovados e os que não estudam
não são aprovados. Sabendo-se que: se Pedro estuda, então
Lago estuda; se Pedro não estuda, então Lago ou Arnaldo
estudam; se Arnaldo não estuda, então Lago não estuda; se
Arnaldo estuda então Pedro estuda. Com essas informações
pode-se concluir que:
a) Pedro, Lago e Arnaldo são aprovados.
b) Pedro, Lago e Arnaldo não são aprovados.
c) Pedro é aprovado, mas Lago e Arnaldo são reprovados.
d) Pedro e Lago são reprovados, mas Arnaldo é aprovado.
e) Pedro e Arnaldo são aprovados, mas Lago é reprovado.
Solução:
Devemos partir do princípio que todas as proposições dadas
são verdadeiras (V)
Vamos considerar que:
A: Pedro estuda.
B: Lago estuda.
C: Arnaldo estuda
92
Premissa 1: Se Pedro estuda, então Lago estuda.
A→B
Premissa 2: Se Pedro não estuda, então Lago ou Arnaldo
estudam.
¬A→B٧C
Premissa 3: Se Arnaldo não estuda, então Lago não estuda.
¬B→¬C
Premissa 4: Se Arnaldo estuda então Pedro estuda.
C→A
Analisando as premissas, temos:
Premissa 1: A → B
V
(verdade)
V
Premissa 2: ¬ A → B ٧ C
F
V
V
Premissa 3: ¬ B → ¬ C
F
(verdade)
(verdade)
F
Premissa 4: C → A (verdade)
V
V
Conclusão:
Pedro, Lago e Arnaldo estudam, logo, serão aprovados.
Resposta correta: Letra A.
93
11 – CESPE/2008) Suponha verdadeiras as três proposições
seguintes:
I. Se as vendas aumentaram, então os preços vão baixar.
II. O salário aumentou ou os preços não vão baixar.
III. As vendas aumentaram.
Nessa situação, tomando-se como premissa a conclusão do
raciocínio válido que usa como premissas as proposições I e III,
é correto concluir que “O salário aumentou”.
Solução:
Proposições:
A: As vendas aumentaram.
B: Os preços vão abaixar.
C: O salário aumentou.
Premissa 1: Se as vendas aumentaram, então os preços vão
baixar.
A→B
Premissa 2: O salário aumentou ou os preços não vão baixar.
C٧¬B
Premissa 3: As vendas aumentaram. A
Conclusão: O salário aumentou. C
94
Detalhando a argumentação:
Premissa 1: A → B
V
(verdade)
V
Premissa 2: C ٧ ¬ B
V
Premissa 3: A
(verdade)
F
(verdade)
V
Conclusão:
As vendas aumentaram. (Verdade)
Os preços vão abaixar. (Verdade)
O salário aumentou. (Verdade)
Verificando a análise das premissas, Vimos que o salário
aumentou.
Conclusão CORRETA.
95
12 – ESAF/2005) Considere a afirmação:
P: “A ou B” onde A e B, por sua vez, são as seguintes
afirmações:
A: “Carlos é dentista”
B: “Se Ênio é economista, então Juca é arquiteto”.
Ora, sabe-se que a afirmação P é falsa. Logo:
a) Carlos não é dentista; Ênio não é economista; Juca não é
arquiteto.
b) Carlos não é dentista; Ênio é economista; Juca não é
arquiteto.
c) Carlos não é dentista; Ênio é economista; Juca é arquiteto.
d) Carlos é dentista; Ênio não é economista; Juca não é
arquiteto.
e) Carlos é dentista; Ênio é economista; Juca não é arquiteto.
SOLUÇÃO:
A proposição composta A ou B que representa uma disjunção.
O enunciado disse que esta disjunção é falsa. Para negar uma
disjunção, deve-se negar a primeira e segunda proposição,
além de trocar o conectivo “ou” por um “e”.
Teremos: ¬ (A ou B) = ¬A e ¬B
96
Negando A, teremos:
¬A = Carlos não é dentista.
Verificamos que B é a condicional “Se Ênio é economista,
então Juca é arquiteto”.
Para negar uma condicional deve-se repetir a primeira
proposição, negar a segunda proposição e trocar o conectivo
“então” por “e”.
¬B: Ênio é economista e Juca não é arquiteto.
¬ (A ou B) = ¬ A e ¬ B
Conclusão:
Carlos não é dentista.
Ênio é economista.
Juca não é arquiteto.
Resposta correta: Letra B.
97
13 – ESAF/2004 ) Se X ≥ Y, então Z > P ou Q ≤ R. Se Z > P,
então S ≤ T. Se S ≤ T, então Q ≤ R. Ora, Q > R, logo:
a) S > T e Z ≤ P
b) S ≥ T e Z > P
c) X ≥ Y e Z ≤ P
d) X > Y e Z ≤ P
e) X < Y e S < T
Solução: Vejam as premissas que temos:
Premissa 01: Se X ≥ Y, então Z > P ou Q ≤ R.
Premissa 02: Se Z > P, então S ≤ T.
Premissa 03: Se S ≤ T, então Q ≤ R.
Conclusão: Q > R
Analisando as premissas, temos:
Premissa 01: X ≥ Y → (Z > P v Q ≤ R )
F
F
Premissa 02: Z > P → S ≤ T
F
F
(verdade)
F
Premissa 03: S ≤ T → Q ≤ R
F
(verdade)
(verdade)
F
Conclusão: Q > R (verdade)
V
98
Analisando os argumentos, temos:
X ≥ Y - Falso
Z > P - Falso
Q ≤ R - Falso
S≤T
- Falso
Concluímos, então, que: X < Y, Z ≤ P, Q > R e S > T.
Resposta correta: Letra A.
Proposições categóricas:
As proposições formadas com os termos todo, algum e
nenhum são chamadas de proposições categóricas.
Representação das preposições categóricas:
As
proposições
categóricas
serão
representadas
por
diagramas de conjuntos para a solução de diversas questões
de concurso.
Cada proposição categórica tem um significado em termos de
conjunto, e isso é quem definirá o desenho do diagrama.
99

Utilizando os diagramas lógicos:
Para analisar os argumentos, poderemos usar o diagrama de
Euller.
Todo A é B:
Proposições do tipo Todo A é B afirmam que o conjunto A está
contido no conjunto B, ou seja, todo elemento de A também
é elemento de B.
Observação: Dizer que todo A é B não significa dizer que todo
B é A.
B
A
Portanto, o conjunto A está contido no conjunto B.
100
Nenhum A é B.
Nenhum A é B afirmam que os conjuntos A e B são disjuntos,
isto é, os conjuntos A e B não têm elementos comum.
A
B
Dizer que nenhum A é B é logicamente equivalente a dizer
que nenhum B é A.
Algum A é B.
Por convenção universal em lógica, proposições da forma
algum A é B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos
um elemento em comum com o conjunto B.
Contudo, quando dizemos que algum A é B, pressupomos que
nem todo A é B.
A
B
101
Algum A não é B.
Proposições na forma algum A não é B estabelecem que o
conjunto A tem pelo menos um elemento que não pertence ao
conjunto B.
Dizer que algum A não é B é logicamente equivalente a dizer
que algum A é não B, e também é logicamente equivalente a
dizer que algum não B é A.
A
B
Observação: Nas proposições categóricas, usam-se também
as variações gramaticais dos verbos ser e estar, tais como é,
são, está, foi, eram, ..., como elo de ligação entre A e B.
102
Exercícios resolvidos:
1 – VUNESP/2013) Considere que cada região do diagrama
possua elementos.
A partir dessa representação, pode-se concluir corretamente
que:
a) Todo elemento de A, que é elemento de D, é também elemento
de B.
b) Os elementos de B, que não são elementos de A, são
elementos de D.
c) Os elementos de C, que não são elementos de D, são
elementos de A.
d) Os elementos de D, que não são elementos de B, são
elementos de A ou de C.
e) Os elementos de B, que não são elementos de C, são
elementos de A.
103
Solução:
Observando os diagramas e analisando cada alternativa,
temos:
a) Todo elemento de A, que é elemento de D, é também
elemento de B.
FALSA: Tem elemento de D que é elemento de A e não é
elemento de B.
b) Os elementos de B, que não são elementos de A, são
elementos de D.
VERDADE: Todos os elementos de B são elementos de D.
104
c) Os elementos de C, que não são elementos de D, são
elementos de A.
FALSO: Nenhum elemento de C é elemento de A.
d) Os elementos de D, que não são elementos de B, são
elementos de A ou de C.
FALSO: Existem elementos de D, que não são elementos de
B, que não são elementos de A ou de C.
105
e) Os elementos de B, que não são elementos de C, são
elementos de A.
FALSO: Nenhum elemento de B é elemento de C e existem
elementos de B que não é elemento de A.
Resposta correta: Letra B.
2 – CESGRANRIO/2007) Se todo A é B e nenhum B é C, é
possível concluir, corretamente, que:
(A) nenhum B é A.
(B) nenhum A é C.
(C) todo A é C.
(D) todo C é B.
(E) todo B é A.
106
Solução: Veja a representação no diagrama:
A
C
B
A proposição "Todo A é B", quer dizer que A é subconjunto de
B, logo, o conjunto A está contido em B. A outra proposição
"nenhum B é C", quer dizer que nenhum elemento do conjunto
B pertence ao conjunto C. Analisando as alternativas, temos:
a) nenhum B é A: Esta proposição é falsa. Observando a
figura, haverá algum B que é A.
b) nenhum A é C: Esta proposição é verdadeira, pois A é
subconjunto de B e, consequentemente, A não pode ser C.
c) todo A é C: Esta proposição é falsa, pois A não está contido
em C.
d) todo C é B: Esta proposição é falsa, pois C é todo elemento
que não pertence a B
107
e) todo B é A: Esta proposição é falsa. Apesar de todo A ser B,
mas nem todo B é A.
Resposta correta: Letra B
3 – FCC/2010) Considere as seguintes afirmações:
− Todo escriturário deve ter noções de Matemática.
− Alguns funcionários do Tribunal de Contas do Estado de São
Paulo são escriturários.
Se as duas afirmações são verdadeiras, então é correto afirmar
que:
a) Se Joaquim é escriturário, então ele é funcionário do
Tribunal de Contas do Estado de São Paulo.
b) Alguns funcionários do Tribunal de Contas do Estado de São
Paulo podem não ter noções de Matemática.
c) Todo funcionário do Tribunal de Contas do Estado de São
Paulo deve ter noções de Matemática.
d) Se Joaquim tem noções de Matemática, então ele é
escriturário.
e) Se Joaquim é funcionário do Tribunal de Contas do Estado
de São Paulo, então ele é escriturário.
108
Solução: Veja o diagrama:
Conforme o diagrama alguns funcionários do Tribunal de
Contas do Estado de São Paulo podem não ter noções de
Matemática.
Resposta correta: Letra B.
4 – FCC - 2014) Diante, apenas, das premissas “Nenhum piloto
é médico”, “Nenhum poeta é médico” e “Todos os astronautas
são pilotos”, então é correto afirmar que:
A) algum astronauta é médico.
B) todo poeta é astronauta.
C) nenhum astronauta é médico.
D) algum poeta não é astronauta.
E) algum poeta é astronauta e algum piloto não é médico.
109
Resolução:
Podemos representar as premissas “Nenhum piloto é médico”,
“Nenhum poeta é médico” e “Todos os astronautas são pilotos”,
de várias formas no diagrama, vejam duas maneiras de
representá-las:
1ª representação:
2ª representação
Conforme os diagramas apresentados, nenhum astronauta é
médico, portanto a alternativa correta é a letra C.
110
5 – IBFC/2012) Analisando as afirmações abaixo, a alternativa
correta é:
I. Todos os cantores deste programa são bons. Marcelo é
cantor deste programa. Logo Marcelo é bom.
II. Todo w é z. Logo, todo z é w.
a) I e II são argumentos válidos.
b) Apenas I é um argumento válido.
c) Apenas II é um argumento válido.
d) Nenhum dos dois argumentos é válido.
O argumento I é válido, pois sendo Marcelo um cantor desse
programa, este necessariamente será bom.
Já o argumento II é inválido, pois, por exemplo, todo professor
é inteligente, mas nem inteligente é professor.
Resposta correta: Letra B.
111
Equivalências entre “Nenhum” e “Todo”:
1) Nenhum A é B = Todo A é não B
Ex: Dizer que “Nenhum mineiro é flamenguista” equivale a
dizer que “Todo mineiro é não flamenguista”.
2) Todo A é B = Nenhum A é não B
Ex: Dizer que “Toda criança é inteligente” equivale a dizer
que “Nenhuma criança é não inteligente”.
Colocando essas equivalências em uma tabela, teremos:
Nenhum A é B
Todo A é não B
Todo A é B
Nenhum A é não B
Equivalências com símbolo de negação:
Todo A não é B
é equivalente a
Nenhum A é B
Nenhum A não é B
é equivalente a
Todo A é B
A negação de Todo A é B é Algum A não é B ( vice-versa )
A negação de Algum A é B
é Nenhum A é B ( vice-versa )
112
Exercícios resolvidos:
1 – CESP - PF/2009) Se A for a proposição “Todos os policiais
são honestos”, então a proposição ¬A estará enunciada
corretamente por “Nenhum policial é honesto”.
Resolução:
Negar o termo “TODO É” é encontrar uma exceção. Assim, a
negação da frase “Todos os policiais são honestos” é
encontrar um policial que não seja honesto, a frase seria:
“Algum policial não é honesto”.
Conclusão: ERRADA
2 – CESPE/2012) A negação da proposição “Toda pessoa
pobre é violenta” é equivalente a “Existe alguma pessoa
pobre que não é violenta”.
Resolução:
A negação de uma proposição do tipo “Todo A é B” é “Existe A
que não é B”. Assim:
P: “Toda pessoa pobre é violenta”.
~P: “Existe pessoa pobre que não é violenta”.
Conclusão CORRETA.
113
3 – CESPE/2009) Se forem V as proposições “Todos os
assistentes de educação auxiliam os professores” e “João e
Aline auxiliam os professores”, então a proposição “João e
Aline são assistentes de educação” também será V.
Solução: Desenhando o diagrama, temos:
Pelo diagrama, é possível que João e Aline auxiliem os
professores e não sejam assistentes de educação.
Conclusão ERRADA.
114
SENTENÇAS ABERTAS
Existem expressões como x² ≥ 2x³ que contém variáveis e cujo
o valor lógico (verdadeira ou falsa) vai depender do valor
atribuído à variável.
Portanto, sentenças abertas são aquelas que contém variáveis.
Tais sentenças não são proposições, pois o seu valor lógico (V
ou F) é discutível, dependendo do valor dado às variáveis.
As sentenças abertas podem ser do tipo:
a) x + 1 = 4
b) y > 8
c) (z+1)² + 5 = z²
d) x – y = 2
Tais sentenças não são consideradas proposições porque seu
valor lógico (V ou F) depende do valor atribuído à variável (x, y,
z,...).
Existem duas maneiras de transformar sentenças abertas em
proposições:

Atribuindo valor às variáveis;

Utilizando os quantificadores.
115

Atribuindo valor às variáveis:
Ao atribuir a x o valor 2 na sentença aberta x + 1 = 4, esta
transforma-se na proposição 2 + 1 = 4, cujo valor lógico é F
(Falso).
Ao atribuir a y o valor 7 na sentença aberta y – 5 = 2 , esta
transforma-se na proposição 7 – 5 = 2, que resulta em 2 = 2,
tendo, portanto, valor lógico V (verdade).
Vejamos como transformar uma sentença aberta numa
proposição por meio de quantificadores.

Quantificadores:
Há fundamentalmente dois tipos de quantificadores: Universal
e Existencial.
O Quantificador Universal:
O quantificador universal é indicado pelo símbolo ∀ que se lê:
para todo, para cada, qualquer que seja.
116
Exemplos:
a) (∀ x)(x ∈ N)(x + 1 = 7)
O símbolo ∀ é o quantificador universal, x é a variável, N é o
conjunto dos números naturais e x + 1 = 7 é a sentença aberta.
A proposição (∀ x)(x ∈ N)(x + 1 = 7) se lê da seguinte maneira:
“Para todo elemento x do conjunto dos números naturais,
temos que x + 1 = 7”.
O valor lógico dessa proposição é Falso, pois se fizermos, por
exemplo, o x igual ao número natural 4, teremos 4 + 1 = 7
b) (∀ y)(y ∈ Z)(y² ≥ y)
O símbolo ∀ é o quantificador universal, y é a variável, Z é o
conjunto dos números inteiros e y² ≥ y é a sentença aberta.
A proposição (∀ y)(y ∈ Z)(y² ≥ y) se lê da seguinte maneira:
“Para todo elemento y do conjunto dos números inteiros, temos
que y² ≥ y”.
O valor lógico dessa proposição da proposição é Verdade.
117
Os quantificadores tem o objetivo de transformar uma sentença
aberta em proposição, ou seja, transformar numa sentença que
pode ser julgada como falsa ou verdadeira.
O Quantificador Existencial:
O quantificador existencial é indicado pelo símbolo ∃ que se lê:
existe pelo menos um, existe um, existe, para algum.
Vejam os exemplos de transformações de sentenças abertas
em proposições usando o quantificador existencial:
a) (∃ x)(x ∈ N)(x - 2 = 4)
O símbolo ∃ é o quantificador existencial, x é a variável, N é o
conjunto dos números naturais e x – 2 = 4 é a sentença aberta.
A proposição (∃ x)(x ∈ N)(x – 2 = 4) se lê da seguinte maneira:
“Existe pelo menos um x pertencente ao conjunto dos números
naturais em que x – 2 = 4”.
Resolvendo a equação x – 2 = 4, temos:
x– 2=4
x=4+2
∴ x=6
A proposição tem valor lógico Verdade.
118
b) (∃ x)(x ∈ R)(x² + 4 = 10)
O símbolo ∃ é o quantificador existencial, x é a variável, R é o
conjunto dos números reais e x² + 4 = 10 é a sentença aberta.
A proposição (∃x)(x∈ R)( x² + 4 = 10) se lê da seguinte maneira:
“Existe pelo menos um x pertencente ao conjunto dos números
reais em que x² + 4 = 10”.
A proposição é Falsa.
Há outro quantificador que deriva do quantificador existencial,
ele é chamado de quantificador existencial de unicidade,
simbolizado por ∃| que se lê: existe um único, existe um e
um só.
Exemplos:
a) (∃| z)(z ∈ N)(z + 5 = 7) que se lê: "existe um único número z
que pertence ao conjunto dos números naturais em que z + 5 =
7".
Na verdade só existe o número 2 que satisfaz essa sentença,
daí a proposição tem valor lógico Verdade.
119
Negação do quantificador universal:
Esquema prático:
¬ (∀ x) (P(x))
(∃x) (¬ P(x))
Negação do quantificador existencial:
Esquema prático:
¬ [(∃x) ( P(x))]
(∀ x) (¬ P(x))
Exercícios resolvidos:
1
–
CESPE/2008/Adaptada) Algumas sentenças são
chamadas abertas porque são passíveis de interpretação para
que possam ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F).
Se a sentença aberta for uma expressão da forma ∀x P(x), lida
como “para todo x, P(x)”, em que x é um elemento qualquer de
um conjunto U, e P(x) é uma propriedade a respeito dos
elementos de U, então é preciso explicitar U e P para que seja
possível fazer o julgamento como V ou como F.
Se U for o conjunto de todos os funcionários públicos e P(x) for
a propriedade “x é funcionário do INSS”, então é falsa a
sentença ∀x P(x).
120
Solução:
“x” é um elemento que pertence ao conjunto “U” dos
funcionários públicos. Logo x ∈ U.
U = { funcionários públicos }
Sendo x ∈ U.
Os elementos “x” do conjunto U, tem uma mesma característica
P(x), que é “ser funcionário do INSS”.
A sentença dada ∀x P(x) é lida como: “Para qualquer elemento
“x”, vale a propriedade P(x)”.
Sendo todos os elementos “x” pertencentes ao conjunto “U”,
dos funcionários públicos, todos são funcionários do INSS.
Então é falsa a sentença ∀x P(x).
Logo, a conclusão está CORRETA.
2 – CESPE/2008) Considere-se que U seja o conjunto dos
funcionários do INSS, P(x) seja a propriedade “x é funcionário
do INSS” e Q(x) seja a propriedade “x tem mais de 35 anos de
idade”. Desse modo, é correto afirmar que duas das formas
apresentadas na lista abaixo simbolizam a proposição “Todos
os funcionários do INSS têm mais de 35 anos de idade”.
121
(i) ∀x(se Q(x) então P(x)).
(ii) ∀x(P(x) ou Q(x))
(iii) ∀x(se P(x) então Q(x))
Solução:
U = { conjunto dos funcionários do INSS }
P(x) = Todos os elementos de U tem a propriedade de ser
funcionário do INSS.
Q(x) = Propriedade de um elemento “x” qualquer ter mais do
que 35 anos de idade.
De acordo com o enunciado, temos:
(i) ∀x (se Q(x) então P(x)), ou seja, “Se tem mais de 35 anos
de idade, então é funcionário do INSS”.
Isto não condiz com a proposição “Todos os funcionários do
INSS têm mais de 35 anos de idade”. Portanto, é FALSO.
(ii) ⩝x(P(x) ou Q(x)), ou seja, “Ou é funcionário do INSS ou tem
mais de 35 anos de idade”.
Isto não condiz, pois uma das possibilidades é a pessoas não
ser funcionário do INSS e ter mais do que 35. Portanto, é
FALSO.
122
(iii) ∀x(se P(x) então Q(x)), ou seja, “Se é funcionário do INSS
então tem mais de 35 anos de idade”.
Ele deseja que se determine quantas entre as assertivas
apresentadas simbolizam a proposição Todos os funcionários
do INSS têm mais de 35 anos de idade. Esta proposição é
VERDADEIRA.
Logo, a conclusão está ERRADA.
3 – CESPE/2007) A proposição funcional “Para qualquer x,
tem-se que x² > x” é verdadeira para todos os valores de x que
estão no conjunto {5, 5⁄2 , 3, 3⁄2, 2, 1⁄2 }.
Solução:

Substituindo x por 5:
x² > x
5² > 5
25 > 5
(verdade)

Substituindo x por 5⁄2:
x² > x
(5⁄2)² > 5⁄2
25⁄4 > 5⁄2
(verdade)
123



Substituindo x por 3:
x² > x
3² > 3
9> 3
(verdade)
Substituindo x por 2:
x² > x
2² > 2
4> 2
(verdade)
Substituindo x por 1⁄2:
x² > x
(1⁄2)² > 1⁄2
1⁄4 > 1⁄2
(Falso)
A proposição funcional x² > x” não é verdadeira para todos os
valores de x que estão no conjunto {5, 5⁄2 , 3, 3⁄2, 2, 1⁄2 }.
Quando substituímos x por 1⁄2, temos que 1⁄4 < 1⁄2
Resposta: Conclusão ERRADA.
124
Questões envolvendo sequências de números e letras:
São questões que estão presentes na maioria das provas de
raciocínio lógico. Não existe uma regra de solução para estas
questões. No enunciado, são dadas pistas que associadas a
hipóteses nos fazem concluir a resposta correta ou ainda nos
levam a conclusões diretas, sem muitas dificuldades.
Quando todas as informações forem verdadeiras, não haverá
necessidade de hipóteses (uma teoria provável), mas quando
existirem verdades e mentiras envolvidas, devemos fazer
levantar hipóteses para chegarmos as conclusões. Elas são
aprendidas com muito treinamento, ou seja, resolvendo muitas
questões de provas anteriores.
Exercícios resolvidos:
1 – CESPE/2007) Três amigos: Ari, Beto e Carlos se
encontram todos os fins-de semana na feira de carros antigos.
Um deles tem um gordini, outro tem um sinca e o terceiro, um
fusca. Os três moram em bairros diferentes (Buritis, Praia
Grande e Cruzeiro) e têm idades diferentes ( 45, 50 e 55 anos).
Além disso, sabe-se que:
125
I. Ari não tem um gordini e mora em Buritis;
II. Beto não mora na Praia Grande e é 5 anos mais novo que o
dono do fusca;
III. O dono do gordini não mora no Cruzeiro e é o mais velho do
grupo.
A partir das informações acima, é correto afirmar que:
a) Ari mora em Buritis, tem 45 anos de idade e é proprietário do
sinca.
b) Beto mora no Cruzeiro, tem 50 anos de idade e é
proprietário do gordini.
c) Carlos mora na Praia Grande, tem 50 anos de idade e é
proprietário do gordini.
d) Ari mora em Buritis, tem 50 anos de idade e é proprietário do
fusca.
126
Solução: De acordo com as informações e analisando cada
informação dada, temos:
I. Ari não tem um gordini e mora em Buritis;
Comentário: Se Ari mora em Buritis, nem o Beto e nem o
Carlos moram em Buritis.
II. Beto não mora na Praia Grande e é 5 anos mais novo que o
dono do fusca;
Comentário: Se o Beto não mora em Praia Grande, então ele
mora no Cruzeiro. Portanto, Carlos mora em Praia Grande.
III. O dono do gordini não mora no Cruzeiro e é o mais velho do
grupo.
Comentário: Se o Ari não é o dono do Gordini e o dono do
Gordini não mora no Cruzeiro, logo Carlos é o dono do Gordini,
Beto é o dono do Sinca e Ari é o dono do Fusca.
Se Beto não mora na Praia Grande e é 5 anos mais novo que o
dono do fusca (Ari), logo o ele tem 45 anos.
127
Construindo a tabela, temos:
Gordini
Sinca
Fusca
Buritis
Praia Grande
Cruzeiro
45 anos
50 anos
55 anos
Ari
N
N
S
S
N
N
N
S
N
Beto
N
S
N
N
N
S
S
N
N
Carlos
S
N
N
N
S
N
N
N
S
Resposta correta: Letra D.
2 – ESAF/2004) Em torno de uma mesa quadrada, encontramse sentados quatro sindicalistas. Oliveira, o mais antigo entre
eles, é mineiro. Há também um paulista, um carioca e um
baiano. Paulo está sentado à direita de Oliveira. Norton, à
direita do paulista. Por sua vez, Vasconcelos, que não é
carioca,
encontra-se
à
frente
de
Paulo.
Assim,
a) Paulo é paulista e Vasconcelos é baiano.
b) Paulo é carioca e Vasconcelos é baiano.
c) Norton é baiano e Vasconcelos é paulista.
d) Norton é carioca e Vasconcelos é paulista.
e) Paulo é baiano e Vasconcelos é paulista.
128
Solução:
I) São quatro sindicalistas sentados em torno de uma mesa
quadrada, são eles: Paulo, Oliveira, Norton e Vasconcelos.
II) Oliveira, o mais antigo entre eles, é mineiro
Comentário: Se o Oliveira é mineiro, então, o Paulo, o Norton
e nem o Vasconcelos são mineiros.
III) Há também um paulista, um carioca e um baiano.
IV) Paulo está sentado à direita de Oliveira
V) Norton, à direita do paulista.
VI) Vasconcelos, que não é carioca, encontra-se à frente de
Paulo.
Comentário: Se o Vasconcelos não é carioca e nem mineiro,
ele só pode ser baiano ou paulista. Como Vasconcelos
encontra-se à frente de Paulo e Paulo está à direita de Oliveira,
Vasconcelos só pode ser baiano.
Observe que o posicionamento dos sindicalistas na mesa e a
construção da tabela:
129
Tabela conclusiva:
Mineiro
Carioca
Paulista
Baiano
Paulo
N
N
S
N
Oliveira
S
N
N
N
Norton
N
S
N
N
Vasconcelos
N
N
N
S
Portanto, a alternativa correta é a letra A.
130
3 - UNB/CESPE) Considere que Sara, Mara e Lara pratiquem
ou alpinismo, ou judô ou ciclismo, não necessariamente nessa
ordem. Uma delas é brasileira, outra é espanhola e a outra é
portuguesa. Sabe-se que Mara é a alpinista, Lara não é a
ciclista, que a ciclista é portuguesa e que a judoca não é
brasileira. Nessa situação, conclui-se que Lara é espanhola,
Mara é brasileira e Sara é portuguesa.
Solução: Analisando os dados do problema:
Mara é a alpinista, Lara não é a ciclista, que a ciclista é
portuguesa e que a judoca não é brasileira.
Comentário: Se Mara é alpinista e Lara não é ciclista, ela só
pode ser judoca e Sara é a ciclista e portuguesa. Se a judoca
não é brasileira, ela é a espanhola e a alpinista é brasileira.
Portanto, a conclusão está correta. Vejam a tabela abaixo.
Construindo a tabela, temos:
Sara
Mara
Lara
Alpinismo
F
V
F
Judô
F
F
V
Ciclismo
V
F
F
Brasileira
F
V
F
Espanhola
F
F
V
Portuguesa
V
F
F
131
4 – AFT/2003) Três amigas se encontram em uma festa. O
vestido de uma delas é azul, o de outra é preto, e o da outra é
branco. Elas calçam pares de sapatos destas mesmas três
cores, mas somente Ana está com vestido e sapatos de
mesma cor. Nem o vestido nem os sapatos de Júlia são
brancos. Marisa está com sapatos azuis. Desse modo:
a) o vestido de Júlia é azul e o de Ana é preto.
b) o vestido de Júlia é branco e seus sapatos são pretos.
c) os sapatos de Júlia são pretos e os de Ana são brancos.
d) os sapatos de Ana são pretos e o vestido de Marisa é
branco.
e) o vestido de Ana é preto e os sapatos de Marisa são azuis.
Solução: Analisando os dados do problema:
I. Ana está com vestido e sapatos de mesma cor. Nem o
vestido nem os sapatos de Júlia são brancos. Marisa está com
sapatos azuis.
Comentário: Se Nem o vestido nem os sapatos de Júlia são
brancos, então o sapato dela é preto, logo o sapato e o vestido
de Ana são brancos. Assim, o vestido de Júlia é azul e o de
Marisa é preto. Vejam a tabela:
132
Construindo a tabela, temos:
Sapato
Vestido
Ana
Branco
Branco
Júlia
Preto
Azul
Marisa
Azul
Preto
Resposta correta: Letra C
5 – FCC/2012) Abaixo estão listadas cinco proposições a
respeito de Maria, Luís, Paula e Raul, sendo que, entre
parênteses, está indicado se a proposição é verdadeira (V) ou
falsa (F).
- Maria tem 20 anos de idade (F).
- Luís é marido de Maria (V).
- Paula é irmã caçula de Maria (F).
- Raul é filho natural de Luís (V).
- Luís já foi casado duas vezes (V).
Das informações do enunciado, é correto afirmar que:
a)Paula é tia de Raul.
b)Luís é mais novo que Maria.
c) Paula tem mais do que 20 anos.
d) Raul é mais novo que Luís.
e)Luís é mais velho que Maria.
133
Solução: Pelas informações do problema, sabemos que:
- Maria não tem 20 anos de idade.
- Luís é marido de Maria.
- Paula não é irmã caçula de Maria.
- Raul é filho natural de Luís.
- Luís já foi casado duas vezes.
Analisando cada alternativa, temos:
a) Paula é tia de Raul.
Sabemos que Paula não é irmã caçula de Maria, podendo ou
não ser tia de Raul.
Item errado.
b) Luís é mais novo que Maria.
Não temos nenhuma informação sobre a idade de Raul, logo
não podemos afirmar que Luís é mais novo que Maria.
Item errado.
c) Paula tem mais do que 20 anos.
A única coisa que sabemos sobre Paula é que ela não é a irmã
caçula de Maria, logo não podemos afirmar que ela tem mais
de 20 anos.
Item errado.
134
d) Raul é mais novo que Luís.
Se Luís é pai natural de Raul, naturalmente Raul é mais novo
que Luís.
Item correto.
e) Luís é mais velho que Maria.
Não temos nenhuma informação sobre a idade de Luís, logo
não podemos afirmar que Luís é mais novo que Maria.
Item errado.
Resposta correta: Letra D.
6 – FUNRIO/2009) Um policial rodoviário deteve Carlos, João,
José, Marcelo e Roberto, suspeitos de terem causado um
acidente fatal em uma autoestrada. Na inquirição, os suspeitos
afirmaram o seguinte:
- Carlos: o culpado é João ou José;
- João: o culpado é Marcelo ou Roberto;
- José: o culpado não é Roberto;
- Marcelo: o culpado está mentindo;
- Roberto: o culpado não é José.
135
Sabe-se ainda que:
- existe apenas um único culpado;
- um único suspeito sempre mente e todos os demais sempre
falam a verdade.
Pode-se concluir que o culpado é:
A) Carlos.
B) João.
C) José.
D) Marcelo.
E) Roberto.
Solução:
Marcelo não pode ser o culpado, pois se ele for o culpado a
sua declaração “o culpado está mentindo” poderá ser
verdadeira nem falsa. Logo Marcelo não é o culpado.
Se o Roberto for o culpado duas pessoas estão mentindo
(Carlos e José) e, pelo enunciado, apenas uma pessoa mente.
Até o momento sabemos que o culpado não é o Marcelo, nem
o Roberto.
Logo, João está mentindo (e como apenas uma pessoa
mente), Marcelo disse a verdade (“o culpado está mentindo”).
Logo o culpado é o João. Resposta correta: Letra B.
Vejam a tabela:
Inocente
Carlos
Culpado
X
João
X
José
X
Marcelo
X
Roberto
X
136
7 – CESPE/2009) Considere que um delegado, quando foi
interrogar Carlos e José, já sabia que, na quadrilha à qual
estes pertenciam, os comparsas ou falavam sempre a verdade
ou sempre mentiam. Considere, ainda, que, no interrogatório,
Carlos disse: José só fala a verdade, e José disse: Carlos e eu
somos de tipos opostos. Nesse caso, com base nessas
declarações e na regra da contradição, seria correto o
delegado concluir que Carlos e José mentiram.
Solução:
Considerando que Carlos fala a verdade.
Assim temos:
Carlos disse: José só fala a verdade.
Isto implica que José também falar a verdade.
Verdade
Carlos
X
José
X
Mentira
José disse: Carlos e eu somos de tipos opostos.
Isto contradiz a tabela, pois se ambos falam a verdade, Carlos
e José não são de tipos opostos. Essa possibilidade fica
impossível
137
Considerando que Carlos mente.
Carlos disse: José só fala a verdade.
Isto implica que implica em José também mente.
Verdade
Mentira
Carlos
X
José
X
José disse: Carlos e eu somos de tipos opostos.
Pela tabela verificamos que ambos mentem, e o que foi dito por
José é uma mentira. Os dois estão mentindo.
Temos então que Carlos e José sempre mentem.
Portanto, a conclusão está CORRETA.
Comentário: As questões envolvendo personagens que dizem
verdades e mentiras verifique a possibilidade de um deles dizer
a verdade. Caso resulte em uma contradição, teste o outro
personagem como verdadeiro e assim, sucessivamente, até
encontrar a solução.
138
8 – FCC/2012) Arlete e Salete são irmãs gêmeas idênticas,
mas com uma característica bem diferente: uma delas só fala a
verdade e a outra sempre mente. Certo dia, um rapaz que não
sabia qual das duas era a mentirosa perguntou a uma delas:
"Arlete é mentirosa?".
A moça prontamente respondeu: "Sim". Analisando somente a
resposta dada, o rapaz pôde concluir que havia se dirigido a:
a) Arlete, e que ela era a irmã mentirosa.
b) Arlete, e que ela não era a irmã mentirosa.
c) Arlete, mas não pôde decidir se ela era a irmã mentirosa.
d) Salete, e que ela não era a irmã mentirosa.
e) Salete, mas não pôde decidir se ela era a irmã mentirosa.
Resolução:
Considerando que Arlete é mentirosa e Salete fala a verdade.
Verdade
Arlete
Salete
Mentira
X
X
Pergunta: Arlete é mentirosa?
Resposta da Arlete: Não.
Se Arlete é mentirosa, ela jamais assumiria ser mentirosa.
139
Pergunta: Arlete é mentirosa?
Resposta da Salete: Sim.
Se Salete sempre fala a verdade a resposta é sim.
Considerando que Arlete fala a verdade e Salete é mentirosa.
Verdade
Arlete
Mentira
X
Salete
X
Pergunta: Arlete é mentirosa?
Resposta da Arlete: Não.
Já que Arlete não é mentirosa, ela responde não.
Pergunta: Arlete é mentirosa?
Resposta da Salete: Sim.
Já que Salete é mentirosa, ela vai dizer que a irmã é mentirosa.
Portanto, Salete sempre responde sim, mas não é possível
afirmar se ela mente ou fala a verdade.
Resposta correta: Letra E.
140
9 – FCC/2012) As relações seguintes referem-se a uma família
em que não há duas pessoas com o mesmo nome.
“Raul é pai de Sofia, que é neta do pai de Flávio. Larissa é
sobrinha de Raul.”
A partir dessas informações, conclui-se que, necessariamente,
a) Larissa é filha de Flávio.
b) O pai de Flávio tem uma filha.
c) Raul e Flávio são irmãos.
d) Flávio é tio de Larissa.
e) Sofia é sobrinha de Flávio.
Resolução: Analisando os dados numa tabela, temos:
Sofia
Flávio
Tio
Raul
Pai
Larissa
Tio
Resposta correta: Letra E
141
10 – FCC/2011) Sabe-se que os termos da sequência (8, 9, 12,
13, 15, 16, 19, 20, 22, 23, 26, …) foram obtidos segundo uma
lei de formação. De acordo com essa lei, o 13o termo dessa
sequência é um número:
a) par.
b) primo.
c) divisível por 3.
d) múltiplo de 4.
e) quadrado perfeito.
Solução: Pela sequência dada verificamos que o intervalo
entre cada número é de uma, duas ou três unidades. Vejam:
8+1=9
9 + 3 = 12
12 + 1 = 13
13 + 2 = 15
15 + 1 = 16
16 + 3 = 19
19 + 1 = 20
20 + 2 = 22
22 + 1 = 23
23 + 3 = 26
142
Vejam o esquema abaixo:
8
9
12
1313
16
19
20
23
26
27
15
22
29, ....
Resposta correta: Letra B.
11 – FCC/2010) Considere os seguintes grupos de letras:
ABCA?JKLJ?DEFD?NOQN?TUVT
Desses grupos, o único que NÃO tem a mesma característica
dos demais é:
a) ABCA
b) JKLJ
c) DEFD
d) NOQN
e) TUVT
143
Solução:
Em todas as sequências, temos três letras de acordo com a
ordem alfabética e a repetição da 1ª letra da sequência. Na
sequência NOQN o correto seria NOPN.
Portanto, a sequência NOQN não segue o mesmo padrão das
demais sequências.
Resposta correta: Letra D
12 – ESAF/2004) Fátima, Beatriz, Gina, Sílvia e Carla são
atrizes de teatro infantil, e vão participar de uma peça em que
representarão, não necessariamente nesta ordem, os papéis
de Fada, Bruxa, Rainha, Princesa e Governanta. Como todas
são atrizes versáteis, o diretor da peça realizou um sorteio para
determinar a qual delas caberia cada papel. Antes de anunciar
o resultado, o diretor reuniu-as e pediu que cada uma desse
seu palpite sobre qual havia sido o resultado do sorteio.
Disse Fátima: “Acho que eu sou a Governanta, Beatriz é a
Fada, Sílvia é a Bruxa e Carla é a Princesa”.
Disse Beatriz: “Acho que Fátima é a Princesa ou a Bruxa”.
Disse Gina: “Acho que Silvia é a Governanta ou a Rainha”.
Disse Sílvia: “Acho que eu sou a Princesa”.
Disse Carla: “Acho que a Bruxa sou eu ou Beatriz”.
144
Neste ponto, o diretor falou: “Todos os palpites estão
completamente errados; nenhuma de vocês acertou sequer um
dos resultados do sorteio”! Um estudante de Lógica, que a tudo
assistia, concluiu então, corretamente, que os papéis sorteados
para Fátima, Beatriz, Gina e Sílvia foram, respectivamente,
a) rainha, bruxa, princesa, fada.
b) rainha, princesa, governanta, fada.
c) fada, bruxa, governanta, princesa.
d) rainha, princesa, bruxa, fada.
e) fada, bruxa, rainha, princesa.
Solução: Veja o palpite de cada atriz:
Fátima: “Acho que eu sou a Governanta, Beatriz é a Fada,
Sílvia é a Bruxa e Carla é a Princesa”.
Fada
Bruxa
Rainha
Princesa Governanta
Fátima
Beatriz
N
N
Gina
Sílvia
Carla
N
N
145
Disse Beatriz: “Acho que Fátima é a Princesa ou a Bruxa”.
Fada
Fátima
Beatriz
Bruxa
Rainha
N
Princesa Governanta
N
N
N
Gina
Sílvia
N
Carla
N
Disse Gina: “Acho que Silvia é a Governanta ou a Rainha”.
Fada
Fátima
Beatriz
Bruxa
Rainha
N
Princesa Governanta
N
N
N
Gina
Sílvia
N
N
Carla
N
N
Disse Sílvia: “Acho que eu sou a Princesa”.
Fada
Fátima
Beatriz
Bruxa
Rainha
N
Princesa Governanta
N
N
N
N
N
Gina
Sílvia
Carla
S
N
N
N
146
Disse Carla: “Acho que a Bruxa sou eu ou Beatriz”.
Fada
Bruxa
Rainha
Princesa Governanta
Fátima
N
N
S
N
N
Beatriz
N
N
N
S
N
Gina
N
S
N
N
N
Sílvia
S
N
N
N
N
Carla
N
N
N
N
S
Concluímos que: Fátima é a Rainha, Beatriz é a Princesa,
Gina é a Bruxa e Sílvia é a Fada.
Resposta correta: Letra D.
13 – FCC/2010) A seguinte sequência de palavras foi escrita
obedecendo a um padrão lógico:
PATA − REALIDADE − TUCUPI − VOTO − ?
Considerando que o alfabeto é o oficial, a palavra que, de
acordo com o padrão estabelecido, poderia substituir o ponto
de interrogação é:
(A) XAMPU.
(B) YESTERDAY.
(C) QUALIDADE.
(D) SADIA.
(E) WAFFLE.
147
Solução: Observe a primeira letra de cada palavra:
PATA − REALIDADE − TUCUPI − VOTO − .......
Verifique que a palavra PATA termina com a vogal A, a palavra
REALIDADE termina com a vogal E, a palavra TUCUPI termina
com a vogal I, a palavra VOTO termina com a vogal O.
Seguindo esta linha de raciocínio, a próxima palavra terminará
com a vogal U.
Portanto, a próxima palavra da sequência é XAMPU.
Resposta correta: Letra A.
14 – FCC/2010) Observe a sequência que foi criada com uma
lógica matemática:
7; 29; quarenta;
8; 11; vinte;
3; 31; trinta;
5; 73; oitenta;
6; 52; .......
148
A palavra que completa o espaço é:
A) noventa.
B) sessenta.
D) vinte.
E) dez.
C) trinta.
Solução: Veja as sequências:
7; 29; quarenta;
A soma 7 + 29 = 36. O resultado é um número maior que 30 e
menor que 40, porém, este resultado está mais próximo de 40.
8; 11; vinte;
A soma 8 + 11 = 19. O resultado é um número maior que 10 e
menor que 20, porém, este resultado está mais próximo de 20.
3; 31; trinta;
A soma 3 + 31 = 34. O resultado é um número maior que 30 e
menor que 40, porém, este resultado está mais próximo de 30.
5; 73; oitenta;
A soma 5 + 73 = 78. O resultado é um número maior que 70 e
menor que 80, porém, este resultado está mais próximo de 80.
6; 52; .......
A soma 6 + 52 = 58. O resultado é um número maior que 50 e
menor que 60, porém, este resultado está mais próximo de 60.
Resposta correta: Letra B
149
15 – FCC/2010) Considere que os números dispostos em cada
linha e em cada coluna da seguinte malha quadriculada devem
obedecer a determinado padrão.
7
10
3
9
?
?
2
5
3
Entre as células seguintes,
corretamente a malha é:
aquelas
que
completam
14
13
15
16
15
7
9
7
9
6
A)
B)
C)
D)
E)
Solução:
Na 1ª linha da malha quadriculada, fazendo a operação:
7–9+2=0
Na 1ª coluna da malha quadriculada, fazendo a operação:
7 – 10 + 3 = 0
Na 3ª coluna da malha quadriculada, fazendo a operação:
2–5+3=0
Portanto, as células que completam a malha quadriculada é
aquela em que 9 – ? + ? = 0.
Resposta correta: Letra E.
150
16 – FCC/2010) Considere que os números inteiros e positivos
que aparecem no quadro abaixo foram dispostos segundo
determinado critério.
Completando corretamente esse quadro de acordo com tal
critério, a soma dos números que estão faltando é:
A) maior que 19.
B) 19.
D) 14.
E) menor que 14.
C) 16.
Solução:
Os números que faltam na parte
inferior da tabela são exatamente
os mesmos que estão destacados
na parte superior da tabela.
Logo, a soma será:
1+1+3+1+2+2+2+1+3+4= 20
Resposta correta: Letra A.
151
17 – FCC/2011) São dados cinco conjuntos, cada qual com
quatro palavras, três das quais têm uma relação entre si e uma
única que nada tem a ver com as outras:
X : {cão, gato, galo, cavalo}
Y : {Argentina, Bolívia, Brasil, Canadá}
Z : {abacaxi, limão, chocolate, morango}
T : {violino, flauta, harpa, guitarra}
U : {Aline, Maria, Alfredo, Denise}
Em X, Y, Z, T e U, as palavras que nada têm a ver com as
demais são, respectivamente:
A) galo, Canadá, chocolate, flauta e Alfredo.
B) galo, Bolívia, abacaxi, guitarra e Alfredo.
C) cão, Canadá, morango, flauta e Denise.
D) cavalo, Argentina, chocolate, harpa e Aline.
E) gato, Canadá, limão, guitarra e Maria.
Solução:
X : {cão, gato, galo, cavalo}
Neste conjunto, apenas o galo tem duas patas.
Y : {Argentina, Bolívia, Brasil, Canadá}
Neste conjunto, apenas o Canadá não pertence à América do
Sul.
152
Z : {abacaxi, limão, chocolate, morango}
Neste conjunto, apenas o chocolate não ´representa uma fruta.
T : {violino, flauta, harpa, guitarra}
Neste conjunto, apenas a flauta é um instrumento de sopro.
U : {Aline, Maria, Alfredo, Denise}
Neste conjunto, apenas o Alfredo é do sexo masculino.
Resposta Correta: Letra A.
18 – FCC/2011) Certo dia, Eurídice falou a Josué:
− Hoje é uma data curiosa, pois é dia de nosso aniversário, sua
idade se escreve ao contrário da minha e, além disso, a
diferença entre as nossas idades é igual ao nosso tempo de
serviço no Tribunal Regional do Trabalho: 18 anos.
Considerando que Josué tem mais de 20 anos, Eurídice tem
menos de 70 anos e é mais velha do que Josué, então, com
certeza, a soma de suas idades, em anos, é um número:
(A) maior que 100.
(B) quadrado perfeito.
(C) múltiplo de 11.
(D) divisível por 9.
(E) menor que 100.
153
Solução: Considerando que para trabalhar no TRT funcionário
terá, pelo menos 18 anos, temos:
1ª situação:
42 – 24 = 18 e 42 + 24 = 66. Nesse caso Eurídice tem 42
anos e José 24 anos. Se José tem 18 anos de trabalho no
TRT, com 6 anos de idade ele não trabalhava no TRT.
2ª situação:
53 – 35 = 18 e 53 + 35 = 88. Nesse caso Eurídice tem 53
anos e José 35 anos. Se José tem 18 anos de trabalho no
TRT, com 17 anos de idade, possivelmente ele não trabalhava
no TRT.
3ª situação:
64 – 46 = 18 e 64 + 46 = 110, portanto, José tem 46 anos e
Eurídice tem 64 anos.
4ª situação:
75 – 57 = 18. Nesse caso Eurídice tem 75 anos e José 57
anos. Considerando que Eurídice tem menos de 70 anos,
estes valores não servem.
Resposta correta: Letra C.
154
Bibliografia

FÁVARO, Silvio; KMETEUK FILHO, Osmir. Noções de
lógica e matemática básica. São Paulo: Ciência
Moderna, 2005. 224p.
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SOARES, Edvaldo. Fundamentos de Lógica. Elementos
de Lógica Formal e Teoria da Argumentação. São
Paulo: Atlas S. A., 2003.
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FILHO, Edgar de Alencar. Iniciação à Lógica
Matemática. São Paulo, Nobel, 2002.

ROCHA, Enrique. Raciocínio Lógico: você consegue
aprender. Rio de Janeiro, Elsevier, 2006.
Eletrônica:

http://www.angelfire.com/bc/fontini/logica.html
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http://docente.ifrn.edu.br/cleonelima/disciplinas/fundame
ntos-de-programacao
155