Notas Matemáticas Versão Preliminar

Notas Matemáticas
Teoria Econômica Avançada I
Versão Preliminar
Ilton G. Soares
iltonsoares@fgvmail:br
27 de março de 2008
Sumário
1 Espaços Métricos
1.1 Bolas, Diâmetro, Conjuntos Abertos e Fechados . . . . . . . .
1.2 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Espaços Métricos Compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Caracterização de Compacidade em Espaços Métricos
1.4 Espaços Métricos Completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
8
11
13
15
16
2 Espaços Topológicos
25
2.1 Continuidade e Homeomor…smo . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2 Compacidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3 Análise Funcional
3.1 Espaços Vetoriais de Dimensão Finita e In…nita
3.2 Operadores Lineares . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Operadores Lineares Limitados e Contínuos . .
3.4 Funcionais Lineares . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Espaço Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Espaços de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Operadores Adjunto e Auto-Adjunto . . . . . .
3.8 Convergência Forte, Fraca e Fraca* . . . . . . .
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Sou muito grato pela gentileza daqueles que enviarem críticas e/ou sugestões.
1
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42
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47
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4 Teoria da Medida e Integração
4.1 Motivação: Riemann Lebesgue
4.2 Funções mensuráveis . . . . . . .
4.3 Medidas . . . . . . . . . . . . . .
4.4 A Integral . . . . . . . . . . . . .
4.5 Funções Integráveis . . . . . . . .
2
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1
Espaços Métricos
De…nição 1 Uma métrica num conjunto S 6=
d : S S ! R+ tal que, para quaisquer x; y; z 2 S:
D1 - d (x; y) = 0 , x = y;
D2 - d (x; y) = d (y; x) ;
D3 - d (x; z) d (x; y) + d (y; z)
? é uma função
De…nição 2 Um espaço métrico é um par (S; d) onde S 6= ? e d é uma
métrica em S.
Exemplo 1 (Métrica discreta) Se X =
6 ?, a métrica discreta em X é
de…nida por
0; x = y
d (x; y) =
1; x 6= y
quaisquer que sejam x; y 2 X.
Exemplo 2 (Subespaço Métrico) Seja (X; d) um espaço métrico. Se Y 6=
?, Y
X, então
dY (x; y) = d (x; y)
8 x; y 2 Y é uma métrica em Y . O par (Y; dY ) é denominado subespaço
métrico de (X; d).
Vimos na de…nição de métrica que a única imposição sobre o conjunto S
foi a de que este fosse não vazio. Desse modo, não é necessário de…nir nenhuma operação entre os elementos de S (como adição ou multiplicação por
escalar, por exemplo) para a caracterização de d. A seguir apresentaremos
o conceito de espaço vetorial. A inclusão deste conceito neste ponto decorre
do fato de que se as propriedades algébricas dos elementos de S forem bem
de…nidas, poderemos trabalhar com o conceito de norma, o que faremos logo
em seguida.
De…nição 3 Um espaço vetorial (ou espaço linear) sobre um corpo de escalares K é um conjunto V 6= ? munido das operações de adição e multiplicação por escalar, onde
x; y 2 V ) x + y 2 V
x 2 V;
2 K ) x 2 V:
Além disso, valem as seguintes propriedades algébricas:
3
A1 - x + y = y + x, 8 x; y 2 V
A2 - (x + y) + z = x + (y + z), 8 x; y; z 2 V
A3 - 9 0 2 V : x + 0 = x; 8x 2 V
A4 - 9 ( x) 2 V : x + ( x) = 0; 8x 2 V
M1 - (x + y) = x + y; 8 x; y 2 V; 8 2 K
M2 - ( + ) x = x + x; 8 x 2 V; 8 ; 2 K
M3 - ( ) x = ( x) ; 8 x 2 V; 8 ; 2 K
M4 - 9 1 2 K : 1x = x; 8 x 2 V .
Quando K = R, o espaço vetorial é denominado Espaço Vetorial Real.
Este será o caso tratado ao longo destas notas. Agora que de…nimos o
conceito de espaço vetorial estamos aptos a apresentar a de…nição de norma.
De…nição 4 Seja S um espaço vetorial. Uma norma é uma função
k k : S ! R+ com as seguintes propriedades:
N1 - kxk = 0 , x = 0
N2 - k xk = j j kxk 8x 2 S; 8 2 R
N3 - kx + yk kxk + kyk 8x; y 2 S
De…nição 5 Um espaço vetorial normado é um par (S; k k) onde S é um
espaço vetorial e k k é uma norma em S.
Teorema 1 Se (S; k k) é um espaço vetorial normado, então d : S S ! R+
de…nida por d (x; y) = kx ykcom x; y 2 S é uma métrica em S.
Demonstração: As propriedades D1 e D2 são imediatas. Resta mostrar
que vale a desigualdade triangular. Tome x; y; z 2 S, então de N3 segue que
d (x; z) = kx
zk = kx
y+y
zk
kx
yk+ky
zk = d (x; y)+d (y; z) .
Desse modo, todo espaço vetorial normado é também um espaço métrico.
Exemplo 3 No espaço euclidiano n-dimensional, Rn , a função k k : Rn !
R+ que leva um vetor típico x = (x1 ; x2 ; :::; xn ) nos reais não negativos
kxk =
n
X
i=1
x2i
!1=2
é uma norma, denominada norma euclidiana. Evidentemente as propriedades
N1 e N2 são satisfeitas. Resta mostrar N3 . Para tanto, precisamos do
seguinte lema:
4
Lemma 1 (Desigualdade de Cauchy) Se x; y 2 Rn , então
!1=2 n
!1=2
n
n
X
X
X
2
2
xi yi
xi
yi
.
i=1
i=1
(xi yj
2
i=1
Demonstração:
n
X
0
=
i;j=1
n
X
x2i
i=1
n
X
xj yi ) =
n
X
yj2 +
j=1
n
X
yi2
i=1
x2i yj2 + x2j yi2
i;j=1
n
X
x2j
2
j=1
n
X
xi yi
i=1
2xi yj xj yi
n
X
xj yj
j=1
logo
2
n
X
xi yi
i=1
n
X
!2
2 kxk2 kyk2
n
X
xi yi
i=1
x2i
i=1
!1=2
n
X
yi2
i=1
!1=2
= kxk kyk :
Como corolário, temos:
Corolário 2 kx + yk
kxk + kyk , 8x; y 2 Rn .
Demonstração:
kx + yk2 =
=
n
X
i=1
n
X
i=1
(xi + yi )2 =
n
X
x2i + yi2 + 2xi yi
i=1
x2i +
n
X
yi2 + 2
i=1
n
X
xi yi
i=1
kxk2 + kyk2 + 2 kxk kyk = (kxk + kyk)2 .
onde a desigualdade apresentada na terceira linha decorre do lema anterior.
Segue que kxk de…nida anteriormente é uma norma em Rn: . Adicionalmente, o teorema 1 garante que se k k é uma norma, então
!1=2
n
X
2
d (x; y) = kx yk =
(xi yi )
i=1
5
de…ne uma métrica em Rn: . Esta métrica é denominada métrica euclidiana
(ou padrão) em Rn: .
Exemplo 4 (Espaço das funções limitadas) A função f : X ! R com
X 6= ? é limitada se existe M 2 R tal que jf (x)j M 8x 2 X. O conjunto
das funções limitadas de X em R é denotado por B (X; R) (ou simplesmente
B (X)). De…na
kf k = sup fjf (x)j : x 2 Xg
então k k é uma norma em B (X) e pelo teorema 1 esta norma de…ne uma
métrica em B (X):
d (f; g) = kf
gk = sup fjf (x)
g (x)j : x 2 Xg
para f; g 2 B (X).
Exemplo 5 Se B [0; 1] é o conjunto das funções limitadas de [0; 1] em R,
então a métrica
d (f; g) = kf
gk = sup fjf (x)
g (x)j : x 2 Xg
pode ser entendida como o tamanho do maior segmento de reta vertical que
liga os grá…cos de f e g no intervalo [0; 1], de acordo com a ilustração a
seguir:
Figura 01: distância entre f e g.
Exemplo 6 (Espaço das funções contínuas em [a; b]) Seja C [a; b] o conjunto das funções contínuas f : [a; b] ! R. De…nimos
kf k =
Z
a
b
jf (x)j dx.
6
Então k k é uma norma em C [a; b], que pelo teorema 1 induz uma métrica
em C [a; b] de…nida por
d (f; g) =
Z
a
b
jf (x)
g (x)j dx
f; g 2 C [a; b].
Exemplo 7 Seja C [0; 1] o conjunto das funções contínuas de [0; 1] em R.
Uma métrica é de…nida neste conjunto como
Z 1
d (f; g) =
jf (x) g (x)j dx
0
onde f e g estão em C [0; 1]. Note que d (f; g) é precisamente a área da
região entre os grá…cos das funções f e g e as linhas x = 0 e x = 1, como
mostra a ilustração a seguir.
Figura 02: distância entre f e g.
Uma vez apresentada a noção de distância, podemos discutir o conceito
de convergência de seqüências:
De…nição 6 Se (S; d) é um espaço métrico, dizemos que uma seqüência
fxn g em S converge para x 2 S se 8" > 0; 9N" 2 N tal que
n
N" ) d (xn ; x) < ".
(notação: xn ! x).
Teorema 3 Seja fxn g uma seqüência no espaço métrico (S; d). Então fxn g
possui no máximo um limite.
7
Demonstração: Suponha que não, i.e., que xn ! x e yn ! y com x 6= y.
Então d (x; y) > 0. Por de…nição, existe k 2 N tal que para " = d(x;y)
2 ,
n
k ) d (xn ; x) < " e d (xn ; y) < ".
Pela desigualdade triangular, 8n
d (x; y)
k,
d (x; xn ) + d (xn ; y) < 2" = d (x; y) , um absurdo.
De…nição 7 Duas métricas d e d0 em X são ditas equivalentes se para
qualquer seqüência fxn g em X e para qualquer x 2 X,
d (xn ; x) ! 0 , d (xn ; x) ! 0.
Exemplo 8 Seja d uma métrica em X. De…na
d0 =
d (x; y)
1 + d (x; y)
x; y 2 X. Então é simples mostrar que d0 é uma métrica em X equivalente a
d. Note que com respeito a esta métrica equivalente o espaço X é limitado,
uma vez que d0 (x; y) < 1 8x; y 2 X.
1.1
Bolas, Diâmetro, Conjuntos Abertos e Fechados
Se x 2 X e r é um real positivo, denotamos a bola aberta de centro x e raio
r por
B (x; r) = fy 2 X : d (x; y) < rg .
Analogamente, a bola aberta de centro x e raio r > 0 é de…nida por
B [x; r] = fy 2 X : d (x; y)
O diâmetro de um subconjunto não vazio A
rg .
X é de…nido por
diam A = sup fd (x; y) : x; y 2 Ag .
O conjunto A X é limitado se seu diâmetro é …nito. Isto é equivalente a
dizer que A está contido em alguma bola.
Podemos também de…nir a distância entre dois subconjuntos de um espaço métrico. Se A e B são subconjuntos não vazios de X, então a distância
de A a B é de…nida por
d (A; B) = inf fd (x; y) : x 2 A e y 2 Bg .
8
Em particular, se x 2 X então a distância entre x e A (ou, equivalentemente,
entre os conjuntos fxg e A) é
d (x; A) = d (fxg ; A) = inf fd (x; y) : y 2 Ag .
De…nição 8 Seja A X. Um ponto x 2 A é denominado ponto interior
de A se B (x; r)
A para algum r > 0. A coleção de todos os pontos
interiores de A é denominado interior de A, e é denotado por Ao ou intA.
Um conjunto A é dito aberto se A = Ao .
Proposição 4 Seja (X; d) um espaço métrico. Então
1. Toda bola aberta B (x; r) é um conjunto aberto.
2. A interseção de uma coleção …nita A1 ; ::; Ak de conjuntos abertos é um
conjunto aberto.
3. A união de qualquer coleção de abertos é um aberto.
Demonstração: 1. Tome y 2 B (x; r) e de…na R = r
z 2 B (y; R), então pela desigualdade triangular
d (x; z)
d (x; y) + d (y; z) < d (x; y) + R = d (x; y) + [r
d (x; y) > 0. Se
d (x; y)] = r
logo z 2 B (x; R),
\ i.e., B (y; R) B (x; r) e y é um ponto interior de B (x; r).
2. Se x 2
Ai , então existem números ri > 0 tais que B (x; ri ) Ai
1 i k
para 1
i
k. Tome r = min fr1 ; r2 ; :::; rk g, então B (x; r)
\
Ai .
1 i k
3. Se x pertence a união de abertos, então x está em um desses abertos
(digamos, A). Como x é um ponto interior de A, então x é um ponto interior
da união.
Proposição 5 O interior Ao de um conjunto A é o maior aberto que está
contido em A.
Demonstração: Seja x 2 Ao . Como x é um ponto interior de A, B (x; r)
A para algum r > 0. Pelo item (1) da proposição anterior, todo ponto de
B (x; r) é um ponto interior de B (x; r) e consequentemente de A. Assim,
todo ponto de B (x; r) é um ponto interior de A, implicando que B (x; r)
Ao .
Se B
A é um aberto, então cada ponto de B é um ponto interior de
A e assim está em Ao .
9
De…nição 9 Um ponto x 2 X é denominado ponto aderente de um subconjunto A
X se para todo " > 0 existe y 2 A tal que y 2 B (x; "). O
fecho A de A é o conjunto que consiste de todos os pontos aderentes de A.
Se A = A, então A é dito aberto.
Note que o fecho A do conjunto A é o menor fechado que contém A.
Proposição 6 Um ponto x é aderente ao conjunto A se, e somente se,
existe uma seqüência de pontos xn 2 A convergindo para x.
Demonstração: ()) Suponha que x é um ponto aderente de A. Então,
8n 2 N, existe xn 2 A tal que d (xn ; x) < 1=n. mas isso implica que xn ! x.
(() Suponha que fxn g é uma seqüência em A com xn ! x. Tome " > 0,
então para algum k, d (xn ; x) < " sempre que n k, o que indica que x é
um ponto aderente de A.
Proposição 7 Seja A um subconjunto de X. Então A é aberto se, e somente se, seu complementar Ac é fechado em X.
Demonstração: ()) Note primeiramente que se x 2 A, então ou x é um
ponto aderente de Ac ou um ponto interior de A, mas não ambos. Assim, se
A é aberto, então seus pontos não são pontos aderentes de Ac , o que implica
que os pontos aderentes de Ac estão em Ac , i.e., Ac é fechado.
(() Se Ac é fechado, então os elementos de A não podem ser pontos
aderentes de Ac . Então estes são pontos do interior de A, logo A é aberto.
De…nição 10 A fronteira de A
A \ XnA.
X, denotada por @A, é o conjunto
De…nição 11 Um ponto x 2 X é denominado ponto de acumulação de
A se se para todo " > 0 existe y 2 A diferente de x, tal que y 2 B (x; ").
Pela de…nição …ca claro que todo ponto de acumulação de A é um ponto
aderente de A.
De…nição 12 Um ponto x 2 A é dito ponto isolado de A se x não for
um ponto de acumulação de A.
10
1.2
Continuidade
De…nição 13 Sejam (X; d) e (Y; ) espaços métricos. A função f : X ! Y
é contínua em x0 2 X se 8" > 0 9 > 0 tal que
d (x; x0 ) <
) (f (x) ; f (x0 )) < ".
Se f é contínua em todo x 2 X, dizemos que f é contínua.
O teorema a seguir é apenas uma forma de de…nir continuidade utilizando
o conceito de bolas abertas:
Teorema 8 Sejam (X; d) e (Y; ) espaços métricos. A função f : X ! Y
é contínua em x0 2 X se 8" > 0 9 > 0 tal que
f (B (x0 ; ))
B (f (x0 ) ; ") .
Demonstração: Segue direto da de…nição de continuidade.
Teorema 9 Sejam (X; d) e (Y; ) espaços métricos. A função f : X ! Y
é contínua em x0 2 X se, e somente se, para qualquer seqüência fxn g com
xn ! x0 , valer f (xn ) ! f (x0 ).
Demonstração: ()) Como f é contínua em x0 , dado " > 0 9 > 0 tal
que d (x; x0 ) < ) (f (x) ; f (x0 )) < ". A convergência xn ! x0 implica
que dado > 0 9 n 2 N tal que n n ) d (x; x0 ) < . Juntando os dois
resultados temos que dado " > 0 9 n 2 N tal que
n
n ) (f (xn ) ; f (x0 ))
ou seja, f (xn ) ! f (x0 ).
(() (Por contraposição) Suponha que f não é contínua em x0 . Neste
caso, existe " > 0 tal que 8 > 0, d (x; x0 ) < mas (f (x) ; f (x0 ))
".
Tome = 1=n e fxn g tal que d (xn ; x0 ) < 1=n, mas (f (xn ) ; f (x0 )) ".
Nesse caso, xn ! x0 , mas ff (xn )g não converge para f (x0 ).
Teorema 10 Sejam (X; d) e (Y; ) espaços métricos. A função f : X ! Y
é contínua se, e somente se, para todo conjunto aberto U Y , a pré-imagem
f 1 (U ) de U é aberta em X. (obs.: f 1 (U ) = fx 2 X : f (x) 2 U g).
Demonstração: ()) Tome f contínua e U aberto em X. Se x 2 f 1 (U ), então
f (x) 2 U . Como U é aberto, existe " > 0 tal que B (f (x) ; ") U . Segue
da continuiade de f que dado " > 0, existe > 0 tal que f (B (x0 ; ))
11
B (f (x0 ) ; "). Juntando os dois resultados, temos que f (B (x0 ; )) U , logo
B (x0 ; ) f 1 (U ), de modo que f 1 (U ) é aberto em X.
(() Suponha que f 1 (U ) é aberto em X para todo U aberto em Y . Seja
" > 0 e x 2 X. Assim, B (f (x) ; ") aberto em Y , implica em f 1 (B (f (x) ; "))
aberto em X. Como x 2 f 1 (B (f (x) ; ")), então existe > 0 tal que
B (x; ) f 1 (B (f (x) ; ")), de modo que f (B (x; )) B (f (x) ; "), logo f
é contínua.
De…nição 14 Sejam (X; d) e (Y; ) espaços métricos. A função f : X ! Y
é uniformemente contínua se 8" > 0 9 > 0 tal que
(f (x) ; f (y)) < " 8x; y 2 X satisfazendo d (x; y) < .
x
Exemplo 9 A função f : R ! R de…nida por f (x) = 1+x
2 é uniformemente contínua. De fato, pelo teorema do valor médio, para qualquer par x,
y com x < y, existe t 2 (x; y) tal que
f 0 (t)
=
jf (x)
jx
f (y)j
yj
f 0 (t) jx
jf (x)
f (y)j =
jf (x)
f (y)j < jx
yj =
1
t2
(1 + t2 )2
jx
yj
yj .
Assim, fazemos = ". Logo, 8x; y tal que d (x; y) < , temos d (f (x) ; f (y)) =
jf (x) f (y)j
jx yj < = ". Com isso mostramos que f é uniformemente contínua.
Exemplo 10 A função f : R ! R de…nida por f (x) = x2 não é uniformemente contínua. Com efeito, tome x = 1 + 2 e y = 1 . Assim,
jx yj = 2 < mas x2 y 2 > 1. Contudo, esta mesma função quando
considerada no domínio [ a; a], f : [ a; a] ! R, é uniformemente contínua.
"
De fato, se < 2a
e x; y 2 [ a; a] com jx yj < , então
x2
y 2 = jx + yj jx
yj
2a jx
yj < ".
O …nal desta seção se ocupará do estudo de seqüências de funções. Assim,
se (X; d) e (Y; ) são espaços métricos, cada termo de ffn g é uma função de
X em Y .
De…nição 15 A seqüência ffn g converge pontualmente (ou simplesmente)
para a função f : X ! Y se 8" > 0 e 8x 2 X, 9 N";x 2 N tal que
n
N" ) (f n (x) ; f (x)) < ".
12
De…nição 16 A seqüência ffn g converge uniformemente para a função f :
X ! Y se 8" > 0 9 N" 2 N tal que
n
N" ) (f n (x) ; f (x)) < " 8x 2 X.
Quando estamos tratando de seqüências de funções, o conceito de convergência uniforme é, em geral, mais útil do que o de convergência pontual.
Uma boa razão para isto é o teorema que segue, que estabelece que se uma
seqüência de funções contínuas ffn g converge uniformemente para f , então
f é contínua.
Teorema 11 Seja ffn g uma seqüência de funções contínuas do espaço métrico
unif
(X; d) no espaço métrico (Y; ). Se fn ! f , então f é contínua.
unif
Demonstração: Tome x0 2 X e " > 0. fn ! f signi…ca que existe N 2 N
tal que n
N ) (fn (x) ; f (x)) < 3" 8x 2 X. Além disso, fN contínua
em x0 signi…ca que podemos escolher > 0 tal que (fN (x) ; fN (x0 )) < 3"
sempre que d (x; x0 ) < . Assim, se d (y; x0 ) < , então
(f (y) ; f (x0 ))
<
1.3
(f (y) ; fN (y)) + (fN (y) ; fN (x0 )) + (fN (x0 ) ; f (x0 ))
" " "
+ + = ", logo f é contínua:
3 3 3
Espaços Métricos Compactos
De…nição 17 Um espaço métrico é compacto se toda seqüência em X tem
uma subseqüência convergente. Um subconjunto Y de X é compacto se toda
seqüência em Y tiver uma subseqüência convergindo para um ponto em Y .
Teorema 12 Seja (X; d) um espaço métrico compacto e Y um subconjunto
fechado de X. Então Y é compacto.
Demonstração: Se fxn g é uma seqüência em Y , então fxn g é uma seqüência em X. Como X é compacto, fxn g tem uma subseqüência convergente,
xkn ! x. Como Y é fechado, x 2 Y , logo Y é compacto.
Teorema 13 Seja (X; d) um espaço métrico e Y um subconjunto compacto
de X. Então Y é fechado e limitado.
13
Demonstração: Tome x 2 Y , então existe uma seqüência fxn g em Y
convergindo para x. Como Y é compacto, fxn g tem uma subseqüência
convergente xkn ! y 2 Y . Segue da unicidade do limite que y = x, logo Y
é fechado.
Mostraremos agora que Y é limitado (por contradição). Para tal, construiremos uma seqüência fxn g que não apresenta subseqüência convergente.
Tome y 2 X. Assim, para todo n 2 N existe xn 2 Y tal que d (xn ; y) n,
pois caso contrário Y
B [y; n] para algum n. Como Y é compacto, fxn g
possui uma subseqüência convergente, xnk ! x 2 Y . Então existe n0 2 N tal
que k n0 implica em d (xnk ; x) 1. Seja " = d (x; y). Pela desigualdade
triangular,
d (x; y)
d (y; xnk )
d (x; xnk )
nk
1
k
1
para todo k n0 , uma contradição. Consequentemente Y é limitado.
Um conhecido resultado de análise estabelece que um subconjunto Y
de Rn é compacto se, e somente se, ele é fechado e limitado. Contudo, esse
resultado não vale quando estamos tratando de espaços métricos mais gerais.
Teorema 14 Sejam (X; d) e (Y; d0 ) espaços métricos e f : X ! Y contínua.
Se um subconjunto K X é compacto, então f (K) é compacto em (Y; d0 ).
Em particular, se (X; d) é compacto, então f (X) é compacto em Y .
Demonstração: Sejam fyn g uma seqüência em f (K) e fxn g uma seqüência
em K tal que f (xn ) = yn . Como K é compacto, fxn g tem uma subseqüência
convergente para um ponto de K, digamos xnk ! x 2 K. Como f é
contínua, f (xnk ) ! f (x), i.e., ynk ! f (x). Como f (x) 2 f (K), f (K) é
compacto.
Corolário 15 (Teorema de Weierstrass) Seja f : X ! R uma função
contínua de…nida em um espaço métrico compacto. Então f atinge seus valores mínimo e máximo, i.e., existem a, b 2 X tais que f (a) = inf ff (x) : x 2 Xg
e f (b) = sup ff (x) : x 2 Xg.
Demonstração: Sabemos que se f (X) é compacto, então é limitado e conseqüentemente sup ff (x) : x 2 Xg é …nito. Tome C = sup ff (x) : x 2 Xg.
Pela de…nição de supremo, para todo n 2 N existe xn tal que C 1=n
f (xn ) C. A seqüência fxn g assim de…nida apresenta uma subseqüência
convergente, xnk ! b, pois X é compacto. Segue da continuidade de f que
f (xnk ) ! f (b) e como C 1=n f (xn ) C para todo n, f (b) = C. Similarmente mostramos que existe a 2 X tal que f (a) = inf ff (x) : x 2 Xg.
14
Teorema 16 Seja f : (X; d) ! (Y; d0 ) uma função contínua de…nida num
espaço métrico compacto (X; d). Então f é uniformemente contínua.
Demonstração: Suponha que não. Então existe " > 0 tal que para todo
> 0 existem x; y com d (x; y) < mas d0 (f (x) ; f (y)) ". Tome = 1=n e
xn ; yn tais que d (xn ; yn ) < 1=n mas d0 (f (xn ) ; f (yn )) ". A compacidade
de X implica que existe uma subseqüência fxnk g convergindo para algum
x 2 X. Como d (xnk ; ynk ) < 1=nk ! 0 se k ! 1, a seqüência fynk g converge
para o mesmo ponto x. A continuidade de f implica que as seqüências
ff (xnk )g e ff (ynk )g convergem para f (x). Então d0 (f (xnk ) ; f (x)) < "=2
e d0 (f (ynk ) ; f (x)) < "=2 para k su…cientemente grande, logo
d0 (f (xnk ) ; f (ynk ))
d0 (f (xnk ) ; f (x)) + d0 (f (x) ; f (ynk )) < "
para k su…cientemente grande, uma contradição com o fato de que d0 (f (xn ) ; f (yn ))
" para todo n.
1.3.1
Caracterização de Compacidade em Espaços Métricos
De…nição 18 Seja (X; d) um espaço métrico
S e A X. Se fUi gi2I é uma
família de subconjuntos de X tal que A
i2I Ui , dizemos que fUi gi2I é
uma cobertura de A. Se cada S
Ui é aberto, dizemos que fUi gi2I é uma cobertura aberta. Se J I e A
i2J Ui , então fUi gi2J é uma subcobertura.
De…nição 19 Seja (X; d) um espaço métrico e A X. Dizemos que A apresenta a propriedade de Heine-Borel se para toda cobertura
aberta fUi gi2I
S
de A, existir um conjunto …nito F I tal que A
i2F Ui .
De…nição 20 Seja (X; d) um espaço métrico e A X. Um conjunto A é
dito totalmente
limitado se 8" > 0, existe um conjunto …nito S tal que
S
A
x2S B (x; ").
O teorema a seguir, cuja demonstração será omitida, apresenta três formas de caracterizar um conjunto compacto.
Teorema 17 Seja A um subconjunto de um espaço métrico (X; d). Então
as seguintes condições são equivalentes:
1. A é compacto.
2. A é completo e totalmente limitado.
3. A apresenta a propriedade de Heine-Borel.
15
1.4
Espaços Métricos Completos
De…nição 21 Seja (S; d) um espaço métrico. A seqüência fxn g em S é de
Cauchy se 8" > 0 9 k 2 N tal que d (xn ; xm ) < " 8n; m k.
Teorema 18 Se fxn g é uma seqüência de Cauchy, então fxn g é limitada.
Demonstração: Seja " = 1. então existe k 2 N tal que d (xn ; xk ) < 1
8n k. Tome R = 1+max fd (xi ; xk ) : 1 i k 1g, então xn 2 B (xk ; R)
para todo n, logo fxn g é limitada.
Teorema 19 Se fxn g é convergente, então é de Cauchy.
Demonstração: Considere xn ! x. Então, dado " > 0 existe k 2 N tal
que d (xn ; x) < "=2 8n k. Desse modo, para n; m k,
d (xn ; xm )
d (xn ; x) + d (x; xm ) <
" "
+ = ".
2 2
Teorema 20 Se fxn g é uma seqüência de Cauchy e contém uma subseqüência convergente, então fxn g é convergente.
Demonstração: Assuma que fxn g é de Cauchy e xnk ! x. Então existe
k 0 tal que d (xn ; xnk ) < "=2 para todo k > k 0 . Como xnk ! x, existe k 00 tal
que d (xnk ; x) < "=2 para todo k k 00 . Tome k = max fk 0 ; k 00 g. Então para
todo k k ,
d (xn ; x)
d (xn ; xnk ) + d (xnk ; x) <
" "
+ = ",
2 2
logo xn ! x.
Note que uma seqüência de Cauchy não é necessariamente convergente.
Por exemplo, considere a seqüência n1 no espaço métrico ((0; 1) ; j j). Naturalmente esta seqüência é de Cauchy em (0; 1) mas não converge para
nenhum ponto do intervalo (0; 1).
De…nição 22 Um espaço métrico (S; d) é completo se toda seqüência de
Cauchy em S convergir para algum ponto de S.
Como vimos anteriormente, nem todo espaço métrico é completo. Mostraremos
a seguir que o espaço métrico (R; d), onde d : R R ! R+ é de…nido por
d (x; y) = jx yj é completo.
16
Teorema 21 O espaço R com a métrica usual é completo.
Demonstração: Seja fxn g uma seqüência de Cauchy em R. Então fxn g
é limitada, i.e., existe M 2 R tal que jxn j
M para todo n. Tome yn =
inf fxk : k ng ) fyn g é uma seqüência monótona crescente e limitada, logo
converge, digamos para x. Mostraremos que xn ! x.
De fato, tome N 2 N tal que 8 m; n N ,
"
xm j < .
2
jxn
Em particular,
xN
"
"
< xk < xN +
2
2
8k
N.
8n
N.
Então,
"
"
< yn < xN +
2
2
Fazendo n ! 1, temos que
xN
xN
ou, equivalentemente, jxN
jxn
xj
xj
jxn
"
2
x
"
2.
xN +
"
2
Assim, 8n
xN j + jxN
xj <
N,
" "
+ ="
2 2
logo fxn g converge para x.
Um subespaço de um espaço métrico completo pode não ser completo.
Contudo, vale o resultado apresentado no teorema a seguir:
Teorema 22 Se (X; d) é um espaço métrico completo e Y é um subespaço
fechado de X, então (Y; d) é completo.
Demonstração: Seja fxn g uma seqüência de Cauchy em Y . Então fxn g
satisfaz a condição de Cauchy em X e como (X; d) é completo, existe x 2 X
tal que xn ! x. Como Y é fechado, x 2 Y , logo Y é completo.
De…nição 23 Um Espaço de Banach é um espaço vetorial normado completo.
Seja X
Rn . Denotamos por C (X) o espaço das funções contínuas e
limitadas f : X ! R. Denotaremos por kksup a norma do supremo:
kf ksup = sup fjf (x)j : x 2 Xg .
17
Proposição 23 O espaço C (X) munido da norma do supremo é um espaço
vetorial normado.
Demonstração: Temos que mostrar que C (X) ; kksup satisfaz as propriedades das de…nições 3 e 4.
Sejam f; g 2 C (X). Então como f e g são limitadas, existem Mf ; Mg 2
R, tais que jf (x)j Mf e jg (x)j Mg para todo x 2 X. Assim,
jf (x) + g (x)j
jf (x)j + jg (x)j
Mf + Mg .
i.e., Mf + Mg é uma cota superior de jf + gj, logo kf + gksup Mf + Mg .
Desse modo, f + g é limitada. Segue do fato de que f e g são contínuas que
f + g é contínua. Concluímos que f + g 2 C (X).
Seja 2 R arbitrário. Então j f (x)j = j j jf (x)j
j j Mf para todo
x 2 X. Logo, k f ksup
j j Mf . Além disso, f é contínua por ser uma
multiplicação de uma função contínua por um escalar. Então f 2 C (X).
Como f (x) e g (x) pertencem ao corpo dos reais (R) para todo x 2 X, é
imediato que as propriedades A1 A4 e M1 M4 da de…nição 3 são satisfeitas.
Concluímos que C (X) é um espaço vetorial.
Resta mostrar apenas que kksup satisfaz as propriedades N1 N3 da
de…nição 4. N1 e N3 são triviais. N3 é satisfeita pois
kf + gksup = sup fjf (x) + g (x)j : x 2 Xg
sup fjf (x)j + jg (x)j : x 2 Xg
sup fjf (x)j : x 2 Xg + sup fjg (x)j : x 2 Xg
= kf ksup + kgksup .
Teorema 24 O espaço C (X) munido da norma do supremo é um espaço
de Banach.
Demonstração: Na proposição anterior mostramos que C (X) ; kksup é
um espaço vetorial normado. Desse modo, precisamos apenas mostrar que
C (X) ; kksup é completo. Seja ffn g uma seqüência de Cauchy em C (X).
Então, para x 2 X …xo, temos que:
jfn (x)
fm (x)j
sup fjfn (x)
fm (x)j : x 2 Xg = kfn
fm k .
Logo, ffn (x)g é uma seqüência de Cauchy em R. Da completude dos reais,
existe f (x) tal que fn (x) ! f (x).
18
Mostraremos agora que ffn g converge para f na norma do sup. Pela
desigualdade triangular,
jfn (x)
f (x)j
jfn (x)
fm (x)j+jfm (x)
f (x)j
kfn
fm k+jfm (x)
Como ffn g é de Cauchy, segue que para todo " > 0 existe N" 2 N tal que
m; n
N" ) kfn
"
fm k < .
2
Portanto,
m; n
N" ) jfn (x)
f (x)j
"
+ + jfm (x)
2
f (x)j .
Para m su…cientemente grande, jfm (x) f (x)j < 2" , logo jfn (x) f (x)j <
" para todo x 2 X. Assim kfn f k < " pois " é uma cota superior de
jfn (x) f (x)j.
Resta mostrar que f 2 C (X), i.e., que f é limitada e contínua. Tome
" = 1 ) 9N1 2 N tal que
n
N1 ) jfn (x)
f (x)j
kfn
f k < 1.
Assim, fn (x) 1 f (x) fn (x) + 1. Como fn (x) é limitada, temos que
f (x) também é limitada.
Para mostrar a continuidade de f , note que pela desigualdade triangular,
jf (x)
f (y)j
jf (x)
fk (x)j + jfk (x)
2 kfk
f k + jfk (x)
fk (y)j + jfk (y)
f (y)j
fk (y)j .
Como ffn g converge para f , temos que dado " > 0 existe N" 2 N tal que
n
Como fk é contínua, existe
N" ) kfk
> 0 tal que
d (x; y) <
mas jf (x) f (y)j
> 0 tal que
"
fk < .
3
kf (x)
d (x; y) <
) jfk (x)
"
fk (y)j < .
3
f (y)k nos garante que para todo " > 0 existe
) kf (x)
f (y)k
".
Mostraremos a seguir um teorema de ponto …xo muito útil em programação dinâmica. Antes, porém, precisamos de…nir contração.
19
f (x)j .
De…nição 24 Seja (S; d) um espaço métrico. A função T : S ! S é uma
contração de módulo
se existe
2 (0; 1) tal que d (T x; T y)
d (x; y)
8x; y 2 S.
Teorema 25 (Teorema do Ponto Fixo de Banach) Se (S; d) é um espaço
métrico completo e T : S ! S uma contração de módulo , então:
1. T possui exatamente 1 ponto …xo v 2 S;
n
2. 8v0 2 S, d (T n v0 ; v)
d (v0 ; v), n 2 N.
Demonstração: 1. Considere a seqüência fvn g de…nida indutivamente
por vn+1 = T vn . Como T é uma contração, segue que:
d (v2 ; v1 ) = d (T v1 ; T v0 )
d (v1 ; v0 ) .
Analogamente,
d (v3 ; v2 ) = d (T v2 ; T v1 )
2
d (v2 ; v1 )
d (v1 ; v0 ) .
Por indução,
n
d (vn+1 ; vn )
d (v1 ; v0 )
8n 2 N.
Sejam m; n 2 N, com n > m. Então
d (vn ; vm )
d (vn ; vn
n 1
m
=
+
1) +
n 2
n m 1
d (vn
1 ; vn 2 )
m
+ ::: +
n m 2
+
+ ::: + d (vm+1 ; vm )
d (v1 ; v0 )
+ ::: + 1 d (v1 ; v0 )
m
1
d (v1 ; v0 ) ,
logo fvn g é de Cauchy. Como (S; d) é completo, existe v 2 S tal que vn ! v.
Mostraremos por contradição que v é ponto …xo de T , i.e., T v = v.
Suponha que T v 6= v, o que implica em d (T v; v) = " > 0. Note que 8n 2 N
e 8v0 2 S,
d (T v; v)
d (T v; T n v0 ) + d (T n v0 ; v)
d v; T n
1
v0 + d (T n v0 ; v) .
Como as seqüências T n 1 v0 e fT n v0 g convergem para v, existe N 2 N tal
que n
N implica em d v; T n 1 v0 < 2" e d (T n v0 ; v) < 2" . Assim, para
todo n N , d (T v; v) < ", um absurdo. Logo T v = v.
20
Para mostrar a unicidade do ponto …xo, suponha que existam v; v 0 2 S
tais que T v = v e T v 0 = v 0 . Então
d v; v 0 = d T v; T v 0
d v; v 0
o que implica que d (v; v 0 ) = 0, ou seja, v = v 0 .
2. Como T v = v, temos que
d (T n v0 ; v) = d T T n
1
v0 ; T v
d Tn
1
v0 ; v .
n
Por indução, temos d (T n v0 ; v)
d (v0 ; v).
O teorema do Ponto Fixo de Banach garante em (1) a existência e unicidade do ponto …xo e em (2) a…rma que para qualquer ponto inicial v0 2 S,
fT n v0 g converge geometricamente para v. A proposição a seguir estabelece
a região em torno de v0 onde podemos garantir que v está.
Proposição 26 Seja (S; d) um espaço métrico completo, T : S ! S uma
contração de módulo e v0 2 S. Então
d (T n v0 ; v)
1
1
d T n v0 ; T n+1 v0 .
Demonstração: Pela desigualdade triangular, temos que
d (T n v0 ; v)
d T n v0 ; T n+1 v0 + d T n+1 v0 ; v
= d T n v0 ; T n+1 v0 + d T n+1 v0 ; T v
d T n v0 ; T n+1 v0 + d (T n v0 ; v)
logo
d (T n v0 ; v)
1
1
d T n v0 ; T n+1 v0 .
Proposição 27 Seja (S; d) um espaço métrico completo e T : S ! S uma
contração de módulo com ponto …xo v 2 S. Se S 0
S, S 0 fechado, não
vazio e T (S 0 )
S 0 , então v 2 S 0 . Adicionalmente, se existe S 00 tal que
0
00
0
T (S ) S
S , então v 2 S 00 .
Demonstração: Tome arbitrariamente v0 2 S 0 6= ?. Como fT n v0 g em S 0
converge para v e S 0 é fechado, v 2 S 0 .
Se T (S 0 )
S 00 , então v = T v 2 T (S 0 )
S 00 . Concluímos assim que
00
v2S .
Denotamos por B (X) o espaço das funções limitadas f : X ! R,
com a norma do sup.
21
De…nição 25 Um operador T : B (X) ! B (X) satisfaz monotonicidade1 se 8f; g 2 B (X),
f
g ) Tf
T g.
De…nição 26 Um operador T : B (X) ! B (X) satisfaz desconto se existe
2 (0; 1) tal que
[T (f + a)] (x) (T f ) (x) + a
para todo f 2 B (X), a
0 e x 2 X.
Os conceitos apresentados nas duas últimas de…nições são usados no
teorema de Blackwell, que estabelece as condições su…cientes para que T :
B (X) ! B (X) seja uma contração. Embora fortes, essas condições são
comumente satisfeitas nos problemas de interesse em Economia.
Teorema 28 (Blackwell) Se T : B (X) ! B (X) satisfaz monotonicidade e
desconto, então T é uma contração de módulo .
Demonstração: Dados f; g 2 B (X), temos que
f (x)
g (x)
sup fjf (x)
g (x)j : x 2 Xg = kf
gk , 8x 2 X
logo,
f
g + kf
gk .
Pela monotonicidade de T , temos que
Tf
Como kf
gk
T (g + kf
gk) .
0, segue da propriedade de desconto que
Tf
Tf
Tg +
Tg
kf
Analogamente, mostramos que T g
jT f (x)
Tf
T g (x)j
kf
kf
gk
gk .
+ kf
gk. Assim,
gk , 8x 2 X.
Desse modo, kf gk é uma cota superior de fjT f (x) T g (x)j : x 2 Xg,
de onde concluímos que kT f T gk
kf gk, i.e., T é uma contração de
módulo .
1
Se f e g são funções de S em S, escrevemos f
22
g para f (x)
g (x), para todo x 2 S.
Proposição 29 Seja (S; d) um espaço métrico e T : S ! S uma contração
de módulo . Então T é uniformemente contínua.
Demonstração: Se T é uma contração de módulo , então
jT x
T yj
jx
yj para todo x; y 2 S.
para provar que T é uniformemente contínua, basta tomar
caso, dado " > 0, se jx yj < , então
jT x
T yj
jx
yj <
= "= . Nesse
= ",
de modo que T é uniformemente contínua.
Exemplo 11 Uma matriz A tem a propriedade de diagonal dominante se
o valor absoluto da diagonal for maior que a soma dos valores absolutos dos
elementos fora da diagonal em cada linha, i.e., se
X
jaii j >
jaij j .
j6=i
(Em economia, isto pode ser entendido como os efeitos próprios dominando
os efeitos cruzados). Se a matriz A apresenta a propriedade de diagonal
dominante, com aii = 1 para i = 1; :::; n, então o operador T : Rn ! R
de…nido por T (x) = (I A) x + b é uma contração. Note que resolver o
sistema Ax = b nada mais é do que encontrar o ponto …xo de T . Seja X o
espaço das n uplas com norma de…nida por
kxk = max jxi j .
1 i n
Esta norma em X induz a seguinte norma em matrizes B (n
kBk = max
1 i n
n
X
j=1
x):
jbij j .
Assim,
kT (x)
T (y)k = k(I
A) (x
y)k
kA
Ik kx
Como aii = 1, então
kA
Ik = max
1 i n
X
j6=i
23
jaij j =
<1
yk .
onde a última desigualdade decorre da propriedade
da diagonal dominante.
X
Concluímos assim que existe = max1 i n
jaij j < 1 tal que
j6=i
kT (x)
T (y)k
logo T é uma contração de módulo .
24
kx
yk
2
Espaços Topológicos
Quando tratamos de espaços métricos e de espaços vetoriais normados, os
conceitos desenvolvidos (como conjuntos abertos, fechados e convergência)
estavam diretamente relacionados com a idéia de distância. Vamos agora
inverter esse procedimento, i.e., de…niremos aximaticamente alguns destes
conceitos e avaliaremos a estrutura imposta por estes axiomas. Com isso,
vamos aumentar um pouco a abstração requerida, uma vez que de…niremos aqui espaços sem distância porém onde a noção de funções contínuas
ainda faz sentido. A base para todo desenvolvimento da presente seção é a
de…nição a seguir:
De…nição 27 Seja X 6= ?. Uma topologia em X é uma coleção O de
subconjuntos de X satisfazendo as sequintes propriedades:
O1
?, X 2 O.
O2
A união arbitrária de elementos de O é um elemento de O.
O3
A interseção …nita de elementos de O é um elemento de O.
Os elementos de O são chamados de abertos.
De…nição 28 O par (X; O) onde X é um conjunto não vazio e O é uma
topologia em X é denominado espaço topológico.
De…nição 29 Seja (X; O) um espaço topológico. Dizemos que U
aberto em X se U 2 O.
X é
De…nição 30 Seja (X; O) um espaço topológico. O conjunto A
fechado se seu complementar Ac = (XnA) 2 O.
X é
Assim, a família O determina biunivocamente a família de conjuntos
fechados C = fA : Ac 2 Og.
Exemplo 12 Sejam X = fa; b; c; d; e; f g e
O1 = fX; ?; fag ; fc; dg ; fa; c; dg ; fb; c; d; e; f gg :
Então O1 é uma topologia em X uma vez que satisfaz as condições O1
Nesta topologia os conjuntos fechados são
?, X, fb; c; d; e; f g , fa; b; e; f g , fb; e; f g e fag .
25
O3 .
Exemplo 13 Sejam X = fa; b; c; d; eg e
O2 = fX; ?; fag ; fc; dg ; fa; c; eg ; fb; c; dgg :
Então O2 não é uma topologia em X uma vez que a união
fc; dg [ fa; c; eg = fa; c; d; eg
não está em O2 .
Exemplo 14 Sejam X = fa; b; c; d; e; f g e
O3 = fX; ?; fag ; ff g ; fa; f g ; fa; c; f g ; fb; c; d; e; f gg :
Então O3 não é uma topologia em X pois a interseção
fa; c; f g \ fb; c; d; e; f g = fc; f g
não está em O3 .
Exemplo 15 Sejam N o conjunto dos naturais e O4 o conjunto consistindo
de N, ? e todos os subconjunos …nitos de N. Então O4 não é uma topologia
em N, uma vez que a união
f2g [ f3g [ ::: [ fng [ ::: = f2; 3; :::; n; :::g
não está em O4 .
Exemplo 16 Seja (S; d) um espaço métrico. Então a família de subconjuntos abertos de S com respeito à métrica d é uma topologia em S.
b=
Exemplo 17 Seja X 6= ?. A coleção de todos os subconjuntos de X, O
} (X), é uma topologia em X, denominada topologia discreta. Neste espaço,
todo subconjunto de X é um conjunto aberto. Além disso, é fácil ver que
b = O.
b No outro extremo, a topologia O
e = f?; Xg é denominada topologia
C
e = fX; ?g, i.e., assim como
trivial (ou indiscreta).
C
n Noteoque neste espaço
n
o
b , no espaço X; O
e um conjunto é fechado se,
no espaço topológico X; O
e somente se, é aberto.
Exemplo 18 Seja (X; O) um espaço topológico e A
X. Então OA =
fU \ A : U 2 Og é uma topologia em X. Esta topologia é denominada topologia relativa induzida por O.
26
Exemplo 19 Um espaço métrico (S; d) é um espaço topológico onde Od ,
a topologia de S induzida pela métrica d, é de…nida ao estabelecer que G é
aberto se qualquer x 2 G estiver em uma bola aberta inteiramente contida
em G, i.e.,
? G S é aberto em (S; Od ) , 8x 2 G, 9rx > 0 tal que B (x; rx )
G.
De…nição 31 Suponha que O e O0 sejam duas topologias em X. Se O O0
dizemos que O0 é mais …na (maior, ou mais forte) que O. Nesse caso,
dizemos que O é mais grossa (menor ou mais fraca) que O0 . As topologias
O e O0 são comparáveis se O O0 ou O0 O.
A topologia discreta é a topologia mais …na (ou mais forte) e a topologia
trivial, a mais grossa (ou mais fraca).
Exemplo 20 Se X = fa; b; cg e O é uma topologia em X com fag 2 X,
fbg 2 X e fcg 2 X, então O é a topologia discreta. De fato, se X tem 3
elementos, então } (X) tem 23 = 8 elementos: S1 = ?, S2 = fag, S3 = fbg,
S4 = fcg, S5 = fa; bg, S6 = fa; cg, S7 = fb; cg e S8 = fa; b; cg = X.
Devemos provar que cada um destes conjuntos está em O. Com efeito,
segue diretamente da de…nição de topologia que S1 ; S8 2 O. Além disso, é
dado que S2 ; S3 ; S4 2 O. Resta mostrar apenas que S5 ; S6 ; S7 2 O. Mas
isso decorre imediatamente do fato de que S5 = S2 [ S3 , S6 = S2 [ S4 e
S7 = S3 [ S4 , logo estão em O, pois podem ser escritos como a união de
elementos de O.
O exemplo anterior é uma ilustração do teorema geral apresentado a
seguir.
Proposição 30 Se (X; O) é um espaço topológico tal que, 8x 2 X, fxg 2
O, então O é a topologia discreta.
Demonstração: Seja S
X, então
[
S=
fxg .
x2S
Como cada fxg 2 O, então pela de…nição de topologia, S 2 O. Como S é
um subconjunto arbitrário de X, temos que O é a topologia discreta.
De…nição 32 Seja f : X ! Y , então
27
1. f é injetora se f (x1 ) = f (x2 ) implicar que x1 = x2 ;
2. f é sobrejetora se para todo y 2 Y existir x 2 X tal que f (x) = y;
3. f é bijetora se for injetora e sobrejetora.
De…nição 33 Seja f : X ! Y , então dizemos que f tem inversa se existir
uma função g : Y ! X tal que g (f (x)) = x, para todo x 2 X e f (g (y)) = y,
para todo y 2 Y . A função g é denominada função inversa de f .
De…nição 34 Seja f : X ! Y . Se S
Y , então o conjunto f
de…nido por
f 1 (S) = fx 2 X : f (x) 2 Sg .
O subconjnto f
1 (S)
1 (S)
é
de X é denominado imagem inversa de S.
Note que a inversa de uma função f : X ! Y existe se, e somente se, f
é uma bijeção. Contudo, a imagem inversa de qualquer subconjunto de Y
sempre existe. O exemplo a seguir ilustra este fato.
Exemplo 21 Seja f : Z ! Z (Z representa o conjunto dos inteiros) de…nida
por f (z) = jzj. Note que f não é injetora pois f ( 1) = f (1). Além disso,
f não é sobrejetora pois não existe z 2 Z tal que f (z) = 1. Assim, f não
é uma bijeção e conseqüentemente não possui inversa. Contudo, a imagem
inversa de f sempre existe. Por exemplo,
f 1 (f1; 2; 3g) = f 1; 2; 3; 1; 2; 3g
f 1 (f 5; 3; 5; 7; 9g) = f 3; 5; 7; 9; 3; 5; 7; 9g.
De…nição 35 Seja (X; O) um espaço topológico. A coleção B de subconjuntos abertos de X (i.e., B
O) é uma base para a topologia O se todo
conjunto aberto puder ser escrito como a união de elementos de B.
Se B é uma base para a topologia O no conjunto X, então U
X é
um elemento de O se, e somente se, puder ser escrito a partir da união de
elementos de B. Desse modo, B "gera" a topologia O no seguinte sentido:
se sabemos os elementos de B, podemos determinar os membros de O, pois
estes são todos os conjuntos que podem ser escritos a partir das uniões de
elementos de B.
Exemplo 22 Seja (X; O) um espaço topológico discreto e B a família de
todos os subconjuntos unitários de X; i.e., B = ffxg : x 2 Xg. Então B é
uma base para O.
28
Exemplo 23 Sejam X = fa; b; c; d; e; f g e
O1 = fX; ?; fag ; fc; dg ; fa; c; dg ; fb; c; d; e; f; gg .
Então B = ffag ; fc; dg ; fb; c; d; e; f gg é uma base para O1 pois B O1 e todo
elemento de O1 pode ser expresso como a união de membros de B. Observe
que ? é uma união vazia de membros de B. Por …m, note que O1 é uma
base para O1 . Assim, não há nenhum resultado de unicidade para bases de
espaços topológicos e duas bases distintas do mesmo espaço topológico podem
ter quantidades diferentes de elementos.
Exemplo 24 Sejam X = fa; b; cg e B = ffag ; fcg ; fa; bg ; fb; cgg. Então B
não pode ser base para uma topologia em X. Para comprovar,note que se O
é uma topologia com base B, então como B O,
O = fX; ?; fag ; fcg ; fa; bg ; fb; cg ; outros conjuntosg .
Contudo, entre estes "outros conjuntos"deve estar fbg, pois fbg = fa; bg \
fb; cg. Como fbg não pode ser escrito a partir da união de elementos de B,
concluímos que B não pode ser base de nenhuma topologia em X.
De…nição 36 Seja A um subconjunto de um espaço topológico (X; O). Um
ponto x 2 X é denominado ponto de acumulação de A se todo aberto U
que contém x contém também um ponto de A diferente de x.
Proposição 31 Seja A um subconjunto de um espaço topológico (X; O).
Então A é fechado em (X; O) se, e somente se, A contém todos os seus
pontos de acumulação.
Demonstração: ()) Assuma que A é fechado em (X; O). Suponha que p
é um ponto de acumulação de A mas p 2 XnA. Então como XnA é aberto
(pois por hipotese A é fechado), então p não pode ser ponto de acumulação
de A, logo p 2 A.
(() Considere que A contém todos os seus pontos de acumulação. Assim, para todo z 2 XnA, existe um[
conjunto aberto Uz 3 z tal que Uz \ A =
?, i.e., Uz
XnA, logo XnA =
Uz . Desse modo, XnA é a união de
z2XnA
conjuntos abertos, logo é aberto, de onde segue que seu complementar, A, é
fechado.
De…nição 37 Seja A um subconjunto do espaço topológico (X; O). Então
o conjunto A [ A0 consistindo da união de A e todos os seus pontos de
acumulação é denominado fecho de A, e denotado por A.
29
Assim, por de…nição, o fecho A de um conjunto A é o menor fechado que
contém A. Esta forma de pensar no fecho pode facilitar bastante a missão
de obter o fecho de certos conjuntos, como mostra o exemplo a seguir:
Exemplo 25 Sejam X = fa; b; c; d; eg e
O = fX; ?; fag ; fc; dg ; fa; c; dg ; fb; c; d; egg .
Então o único ponto de acumulação do conjunto fbg é e. De fato, a não
pode ser ponto de acumulação de fbg pois não pertence ao aberto fb; c; d; eg.
Adicionalmente, c não pode ser ponto de acumulação de fbg pois b não está
no aberto fc; dg. A mesma justi…cativa vale para d. Finalmente, note que o
único aberto que contém fbg é fb; c; d; eg, logo e é ponto de acumulação de
fbg pois não existe outro aberto ao qual e pertença e que não contenha fbg.
Concluímos assim que fbg = fb; eg. Note que a nossa missão se torna bem
mais simples se pensarmos no fecho de um conjunto como o menor fechado
que contém este conjunto. Primeiramente, observe que no espaço topológico
em questão, os fechados são ?; X; fb; c; d; eg ; fa; b; eg ; fb; eg e fag. Assim,
o menor fechado que contém fbg é fb; eg, i.e., fbg = fb; eg. Similarmente
vemos que fa; cg = X e fb; dg = fb; c; d; eg.
Exemplo 26 Seja Q o subconjunto de R consistindo de todos os números
racionais. Então Q = R. Suponha que não. Então RnQ 6= ?. Tome
x 2 RnQ, então como Q é fechado, RnQ é aberto, logo existem a; b 2 RnQ
com a < b tais que x 2 (a; b)
RnQ, o que é um absurdo pois para todo
intervalo (a; b) existe q 2 Q tal que q 2 (a; b).
De…nição 38 Seja A um subconjunto do espaço topológico (X; O). Então
A é dito denso em X se A = X.
Exemplo 27 Segue diretamente do exemplo anterior que Q é um subconjunto denso de R.
Exemplo 28 Sejam X = fa; b; c; d; eg e
O = fX; ?; fag ; fc; dg ; fa; c; dg ; fb; c; d; egg .
Então fa; cg é denso em X pois fa; cg = X.
Exemplo 29 Seja (X; D) o espaço topológico discreto. Então todo subconjunto de X é fechado, i.e., o fecho de um elemento qualquer de X é o próprio
elemento. Assim, o único subconjunto denso de X é o próprio X.
30
De…nição 39 Um espaço topológico é dito separável se possuir um subconjunto denso enumerável.
Exemplo 30 A reta real com a topologia usual é um espaço separável, pois
o conjunto Q dos racionais é enumerável e denso em R.
Exemplo 31 Considere a reta real R com a topologia discreta D. Lembre
que todo subconjunto de R é D-aberto e D-fechado, de modo que o único
subconjunto D-denso de R é o próprio R. Mas R não é enumerável, logo
(R; D) não é um espaço topológico separável.
De…nição 40 (Axioma da separação de Hausdor¤ ) Um espaço topológico
( ; O) é denominado espaço de Hausdor¤ se para quaisquer dois pontos
x; y 2 , com x 6= y, existirem conjuntos abertos disjuntos U e V tais que
x2U e y 2V.
Figura 03: Em um espaço de Hausdor¤ dois pontos distintos podem ser
separados por abertos disjuntos.
Proposição 32 Todo espaço métrico é Hausdor¤ .
Demonstração: De fato, tome x 6= y tal que para a métrica d no conjunto
S, d (x; y) = " > 0. Desse modo, os conjuntos U = z 2 S : d (x; z) < 2" e
V = z 2 S : d (y; z) < 2" são abertos e disjuntos com x 2 U e y 2 V .
De…nição 41 Seja ( ; O) um espaço topológico. Dizemos que U
vizinhança de x 2 se existe um conjunto aberto V tal que x 2 V
é uma
U.
De…nição 42 Sejam ( ; O) um espaço topológico e fxn g uma seqüência em
. Dizemos que x 2 é o limite de fxn g se para toda vizinhança U de x
existe n0 2 N tal que xn 2 U 8n n0 .
Note que em espaços de Hausdor¤ uma seqüência pode ter no máximo um limite. Em espaços topológicos não-Hausdor¤ podemos encontrar
31
alguns resultados exóticos. Por exemplo, tome um conjunto
contendo
mais de um elemento e considere a topologia trivial f ; ?g. Assim, dado
x 2 , o único aberto que contém x é o próprio . Do mesmo modo, o único
aberto que contém y 6= x é o próprio n . Assim,
todo aberto contendo x,
o
e
e indicando a topologia
contém também y, portanto no espaço
; O com O
trivial, n
toda seqüência
converge para todo ponto. É imediato notar que o
o
e
espaço
; O não é de Hausdor¤.
Na topologia discreta, todo conjunto é aberto. Assim, as únicas seqüências convergentes são aquelas que são ultimamente constantes.
2.1
Continuidade e Homeomor…smo
Estenderemos agora a noção de continuidade de funções a espaços topológicos gerais. A caracterização de funções contínuas em espaços métricos como
sendo aquelas cuja imagem inversa de um aberto é um aberto será usada
como de…nição na abordagem mais geral.
De…nição 43 Sejam (X; O) e (Y; T ) espaços topológicos. A função f :
X ! Y é dita contínua se a imagem inversa de qualquer subconjunto aberto
em Y é um aberto em X.
Exemplo 32 Se (X; O) é discreta e (Y; T ) é um espaço topológico arbitrário, então qualquer função f : X ! Y é contínua.
Exemplo 33 Se (X; O) é um espaço topológico arbitrário e (Y; T ) é trivial,
então qualquer função g : X ! Y é contínua.
Nas diversas áreas da matemática é importante entender quando duas
estruturas são equivalentes2 . Considere o seguinte exemplo:
X = fa; b; c; d; eg
Y = fg; h; i; j; kg ,
OX = fX; ?; fag ; fc; dg ; fa; c; dg ; fb; c; d; egg ,
OY = fY; ?; fgg ; fi; jg ; fg; i; jg ; fh; i; j; kgg .
2
Por exemplo, dois conjuntos são ditos equivalentes na teoria dos conjuntos se existe
uma bijeção que mapeia um conjunto no outro. Dois grupos são equivalentes, o que
é conhecido como isomor…smo, se existe um homomor…smo de um grupo no outro que
seja injetivo e sobrejetivo. Mostraremos nesta seção que dois espaços topológicos são
equivalentes se existe um homeomor…smo de um no outro. Veremos também que em
espaços métricos, o conceito de equivalência é a isometria.
32
É de certa forma "intuitivo"que os espaços topológicos (X; OX ) e (Y; OY )
são equivalentes. A função f : X ! Y de…nida por f (a) = g, f (b) = h,
f (c) = i, f (d) = j e f (e) = k descreve esta equivalência. Na verdade,
funções contínuas têm a característica de preservar muitas propriedades.
Quando relacionamos dois espaços por meio de uma bijeção contínua em
ambas as direções, estes espaços apresentam várias propriedades em comum.
Tais propriedades são conhecidas como propriedades topológicas. Os
espaços assim relacionados são ditos homeomorfos.
De…nição 44 Sejam (X; O) e (Y; T ) espaços topológicos e f : X ! Y uma
bijeção. Então f é um homeomor…smo se, e somente se, f e sua inversa
f 1 forem contínuas. Se tal função existe, então os espaços topológicos
(X; O) e (Y; T ) são ditos homeomorfos (notação: (X; O) = (Y; T )).
Proposição 33 Sejam (X; OX ), (Y; OY ) e (Z; OZ ) espaços topológicos. Se
(X; OX ) = (Y; OY ) e (Y; OY ) = (Z; OZ ), então (X; OX ) = (Z; OZ ).
Demonstração: Como (X; OX ) = (Y; OY ) e (Y; OY ) = (Z; OZ ), então existem homeomor…smos f : (X; OX ) ! (Y; OY ) e g : (Y; OY ) ! (Z; OZ ).
Considere a composta g f : X ! Z. Sabemos que a composta de bijetoras é bijetora. Agora tome U 2 OZ . Então, como g é um homeomor…smo, g 1 (U ) 2 OY . Do fato de que f é um homeomor…smo segue que
f 1 g 1 (U ) 2 OX . Mas note que (g f ) 1 (U ) = f 1 g 1 (U ) 2 OX .
Por …m, observe que se V 2 OX , então f (V ) 2 OY e g (f (V )) 2 OZ , i.e.,
g f (V ) 2 OZ . Com isso, comprovamos que g f : (X; OX ) ! (Z; OZ )
é bijetora e que g f e (g f ) 1 são contínuas, logo os espaços (X; OX ) e
(Z; OZ ) são homeomorfos, como queríamos demonstrar.
Proposição 34 Quaisquer dois intervalos abertos não vazios (a; b) e (c; d)
são homeomorfos na topologia usual.
Demonstração (informal): Pela proposição anterior, precisamos apenas
mostrar que (a; b) e (c; d) são homeomorfos a (0; 1). Mas como a; b são
arbitrários (com a < b), se (a; b) é homeomorfo a (0; 1), então (c; d) também
o é. Para provar que (a; b) é homeomorfo a (0; 1), basta encontrar um
homeomor…smo f : (0; 1) ! (a; b). Tal função (cujo grá…co é exibido na
…gura 04) é dada por
f (x) = a (1 x) + bx.
33
Figura 04: (a; b) 6= ? e (0; 1) são homeomorfos.
Fica a cargo do leitor mostrar que f assim descrita é um homeomor…smo.
Proposição 35 O espaço R é homeomorfo ao intervalo aberto ( 1; 1) na
topologia usual.
Demonstração (informal): De fato, basta de…nir f : ( 1; 1) ! R por
f (x) =
x
1
jxj
:
O grá…co de f é apresentado na …gura 05. É simples ver que f é uma
bijeção contínua e que sua inversa f 1 é contínua, o que indica que f é um
homeomor…smo.
Figura 05: ( 1; 1) e R são homeomorfos na topologia usual.
Dese modo temos que qualquer intervalo aberto (a; b) com a < b é homeomorfo a R. Isto signi…ca que os conjuntos (a; b) e R são indistinguíveis
topologicamente quando consideramos a topologia usual.
34
De…nição 45 Uma propriedade P , de conjuntos, é dita topológica (ou
invariante topológico) se, sempre que um espaço topológico (X; O) gozar de
P , então todo espaço homeomorfo a (X; O) também gozar de P .
Veremos na próxima seção que compacidade é uma propriedade topológica.
Agora que sabemos que dois espaços topológicos são equivalentes se houver um homeomor…smo entre eles, uma pergunta que surge naturalmente é:
quando dois espaços métricos são equivalentes? O conceito que está por trás
dessa equivalência é o de isometria.
De…nição 46 Um espaço métrico (X; d) é isométrico a um espaço métrico
(Y; ) se, e somente se, existe uma bijeção f : X ! Y que conserva distâncias, i.e., para todo p; q 2 X,
d (p; q) = (f (p) ; f (q)) .
O problema da metrização em Topologia consiste em achar condições
topológicas necessárias e su…cientes para que um espaço seja metrizável, no
sentido da de…nição a seguir.
De…nição 47 Um espaço topológico (X; O) é dito metrizável se existe
uma métrica d em X tal que a topologia Od induzida por d coincide com
a topologia O em X.
Exemplo 34 Todo espaço topológico discreto (X; D) é metrizável, pois a
métrica trivial em X induz à topologia discreta D.
Exemplo 35 Considere o espaço topológico (R; U), onde U representa a
topologia usual. Note que (R; U) é metrizável, pois a métrica usual em R
induz à topologia usual em R. Analogamente, o Rn com a topologia usual é
metrizável.
2.2
Compacidade
Pode-se descrever compacidade como a generalização topológica de …nitude.
Usaremos aqui a de…nição formal que estabelece que um espaço topológico
é compacto se para qualquer cobertura aberta de um subconjunto A desse
espaço existir uma quantidade …nita de abertos dessa cobertura que ainda
seja uma cobertura de A. Evidentemente qualquer subconjunto …nito de um
espaço topológico é compacto. Além disso, no espaço topológico discreto,
35
um conjunto é compacto se, e somente se, é …nito. Quando consideramos
espaços topológicos mais ricos vemos que conjuntos in…nitos podem ser compactos. Por exemplo, no conjunto dos reais R munido da topologia usual,
os intervalos fechados [a; b] são compactos.
Veremos nesta seção um pouco da importância de compacidade. Em
particular, mostraremos a versão do teorema de Weierstrass para espaços
topológicos, que garante que se f é uma função contínua que leva do espaço
topológico compacto (X; O) em R, então f atinge seus valores máximo e
mínimo.
De…nição 48 Um subconjunto Y de um espaço topológico (X; O) é dito
compacto se para toda coleção U = fUi gi2I de conjuntos abertos tal que
[
[
Y
Ui existe um conjunto …nito J I para o qual Y
Ui .
i2I
i2J
Exemplo 36 Em R o intervalo I = (0; 1) [
não é compacto. De fato, tome
para cada natural i, Oi = (0; i). Então I
Oi , mas não existem índices
i2N
i1 , i2 ,..., in tais que I
(0; i1 ) [ (0; i2 ) [ ::: [ (0; in ), logo I não é compacto.
Exemplo 37 Seja (X; O) um espaço topológico e A = fx1 ; x2 ; :::; xn g um
subconjunto …nito qualquer de (X; O), então A é compacto.
Com efeito, seja
[
Oj , j 2 J uma família de abertos tais que A
Oj . ENtão para cada
j2J
xi 2 A existe um Oji tal que xi 2 Oji . Assim, A
modo que A é compacto.
Oj1 [ Oj2 [ ::: [ Ojn , de
Proposição 36 Um subconjunto A do espaço discreto (X; D) é compacto
se, e somente se, é …nito.
Demonstração: ())Seja A compacto. A família de conjuntos
unitários
[
Ox = fxg, x 2 A é tal que cada Ox é aberto e A
Ox . Como A é
x2A
compacto, existem Ox1 , Ox2 , ..., Oxn tais que A Ox1 [ Ox2 [ ::: [ Oxn , i.e.,
A fx1 ; x2 ; :::; xn g, logo é …nito.
(() Vimos no exemplo anterior que se A é …nito, então é compacto.
Teorema 37 Um subespaço fechado de um espaço topológico compacto é
compacto.
Demonstração: Seja K um subconjunto aberto do espaço topológico compacto (X; O) e fUi gi2I uma cobertura aberta de A. Então a coleção fUi gi2I [
36
fK c g é uma família de subconjuntos abertos de X e que cobre X. Da compacidade de X temos que existe J …nito tal que fUi gi2J [ fK c g cobre X.
Como K c \ K = ? e K X, temos que K fUi gi2J , logo K é compacto.
Teorema 38 Se X é um espaço de Hausdor¤ , então qualquer subconjunto
compacto de X é fechado.
Demonstração: Seja K um subconjunto compacto de X. Como X é
Hausdor¤, se x 2 K c e y 2 K, existem abertos disjuntos Uxy e Vxy tais que
x 2 Uxy e y 2 Vxy . Assim, dado x 2 K, fVxy gy2K é uma cobertura aberta
n
[
de K. Como K é compacto, existem y1 ; y2 ; :::; yn 2 K tais que K
Vxyi .
Tome U =
n
\
i=1
Uxy . Então U é aberto, U \ K = ? e x 2 U . Assim,
i=1
K c, o
x 2 U
que mostra que K c é aberto e, consequentemente, K é
fechado.
Em topologia, o teorema de Weierstrass (ver seção 1.2) segue do fato
geral de que compacidade é preservada pela continuidade.
Teorema 39 Sejam (X; O) e (Y; T ) espaços topológicos e f : X ! Y uma
função contínua. Se K
X é um conjunto compacto, então f (K) é um
subconjunto compacto de Y .
Demonstração: Seja U uma cobertura aberta de f (K). A continuidade
de f implica que para todo Ui 2 U , f 1 (Ui ) é um subconjunto aberto de X.
Adicionalmente, a família f 1 (Ui ) : Ui 2 U é uma cobertura aberta de K.
De fato, se x 2 K, então f (x) 2 f (K) e consequentemente f (x) 2 f (Ui )
para algum Ui 2 U . Isto implica que x 2 f 1 (Ui ). Como K é compacto,
n
n
[
[
f 1 (Ui ) para algum n. Desse modo, f (K)
Ui , o que prova
K
i=1
i=1
que f (K) é um subconjunto compacto de Y .
Teorema 40 (Teorema de Weierstrass) Seja (X; O) um espaço topológico
compacto e f uma função contínua de (X; O) em R. Então f atinge seus
extremos (isto é, existem xm ; xM 2 X tais que f (xm )
f (x)
f (xM )
para todo x 2 X).
Demonstração: Como f é contínua e (X; O) é compacto, então f (X) é
compacto em R (i.e., f (X) é fechado e limitado). Por ser limitado, f (X)
37
tem supremo e por ser fechado, esse supremo está em f (X). i.e., xM 2 X.
A demonstração de que f atinge seu valor mínimo é análoga.
Proposição 41 Seja f : (X; O) ! (Y; T ) uma função sobrejetora. Nesse
caso, a compacidade de (X; O) implica na compacidade de (Y; T ).
Demonstração: Seja Oi , i 2 I, uma cobertura aberta qualquer de Y .
Então f 1 (Oi ), i 2 I, é uma cobertura aberta de X.
Segue da compacidade de X que existem i1 , i2 ,..., in em I tais que
X
1
f
1
(Oi1 ) [ f
1
(Oi2 ) [ ::: [ f
(Oin ) .
Assim,
Y
= f (X)
f f
1
= f f
1
(Oi1 ) [ f
1
(Oi2 ) [ ::: [ f
(Oi1 ) [ f f
1
= Oi1 [ Oi2 [ ::: [ Oin
1
(Oin )
(Oi2 ) [ ::: [ f f
1
(Oin )
pois f é sobrejetiva. Concluímos assim que Y é coberto por uma quantidade
…nita de Oi ’s, logo é compacto.
O corolário a seguir é conseqüência imediata da proposição anterior.
Corolário 42 Sejam (X; O) e (Y; T ) espaços topológicos homeomorfos. Nesse
caso, a compacidade de (X; O) implica na compacidade de (Y; T ).
38
3
Análise Funcional
A seção que se inicia está baseada no excelente livro de Kreyszig (1978),
mais especi…camente em seus quatro primeiros capítulos. Foram utilizados
ainda Luemberger (1969, cap. 5) e Morrison (2001).
3.1
Espaços Vetoriais de Dimensão Finita e In…nita
Um espaço vetorial X tem dimensão …nita se existe um inteiro positivo
n tal que X contém um conjunto de n vetores linearmente independentes
(LI) e qualquer conjunto de n + 1 ou mais vetores de X é necessariamente
linearmente dependente (LD). Dizemos nesse caso de n é a dimensão de X,
dim X = n. Por de…nição, X = f0g tem dimensão …nita e dim X = 0. Se a
dimensão de X não é …nita, dizemos que X é de dimensão in…nita.
Se X é um espaço vetorial (de dimensão …nita ou in…nita) e B é um
subconjunto LI de X que gera X, então B é denominado de base (ou base de
Hamel) de X. Se B é uma base de X, então qualquer vetor x 2 X apresenta
representação única sob a forma de uma combinação linear dos elementos de
B com escalares não nulos como coe…cientes. É possível mostrar que todo
espaço vetorial X 6= f0g tem uma base. No caso de dimensão …nita isso
é simples. Para espaços vetoriais arbitrários de dimensão in…nita é preciso
utilizar o lema de Zorn.
Teorema 43 (Dimensão de um subespaço) Seja X um espaço vetorial ndimensional. Então qualquer subespaço próprio Y de X tem dimensão
menor que n.
Demonstração: Kreyszig (1978, p. 55).
Uma grande quantidade de espaços métricos pode ser vista como espaços
normados. Espaços normados constituem provavelmente o tipo de espaço
mais importante em análise funcional. Como vimos nas seções anteriores,
uma importante vantagem de trabalhar em espaços normados é a estrutura
algébrica imposta (algo que não ocorre necessariamente em espaços métricos). Vimos também que uma norma em X de…ne uma métrica d em X
dada por
d (x; y) = kx yk
para todo x; y 2 X. Essa métrica é denominada métrica induzida pela
norma. Segue diretamente das propriedades de uma norma que
jkxk
kykj
39
kx
yk ,
o que garante uma importante característica de k k: A norma é contínua,
i.e., x 7 ! kxk é uma função contínua de (X; k k) em R+ .
Teorema 44 Em um espaço vetorial de dimensão …nita X, todas as normas
são equivalentes.
Demonstração: Kreyszig (1978, p. 75).
O teorema anterior é de grande importância prática. Ele nos informa
que a convergência ou divergência de uma seqüência em um espaço vetorial
de dimensão …nita independe da escolha da norma.
Teorema 45 (Compacidade) Em um espaço vetorial normado de dimensão
…nita X, qualquer subconjunto M
X é compacto se, e somente se, M é
fechado e limitado.
Demonstração: Kreyszig (1978, p. 78).
O teorema anterior garante que em um espaço vetorial normado de dimensão …nita a bola unitária fechada é compacta. Adicionalmente,
Teorema 46 Se um espaço normado X tem a propriedade de que a bola
fechada unitária M = fx : kxk 1g é compacta, então X tem dimensão
…nita.
Demonstração: Kreyszig (1978, p. 80).
Vimos que a compacidade desempenha um papel muito importante na
determinação da existência de elementos no espaço que estejam associados
aos valores extremos de funções contínuas (Teorema de Weierstrass). Isso
confere aos teoremas anteriores uma aplicação prática de grande relevância.
3.2
Operadores Lineares
Sejam X e Y conjuntos e A
X. Um mapeamento (ou transformação,
ou relação funcional, ou função abstrata) T de A em Y é obtido quando
associamos a cada x 2 A um único y 2 Y , reprsentado por y = T x e
denominado imagem de x com respeito a T . O conjunto A é o domínio de
T e é denotado por D (T ).
T : D (T ) ! Y:
A imagem R (T ) de T é de…nida por
R (T ) = fy 2 Y : y = T x para algum x 2 D (T )g .
40
A imagem T (M ) de qualquer subconjunto M D (T ) é o conjunto de todas
as imagens T x com x 2 M . Note que T (D (T )) = R (T ).
Em cálculo trabalha-se com funções de…nidas em Rn (ou em um subconjunto A de Rn ) e assumindo valores em Rm . Tais funções são mapeamentos
de A Rn em Rm . Em análise funcional consideramos espaços mais gerais,
tais como espaços métricos e espaços normados e mapeamentos desses espaços.
No caso de espaços normados, um mapeamento é denominado operador. Dentro da classe dos operadores, merecem especial atenção aqueles
que "preservam"as duas operações algébricas de um espaço vetorial no sentido descrito pela de…nição a seguir:
De…nição 49 Um operador linear é um operador tal que
1. O domínio D (T ) de T é um espaço vetorial e a imagem R (T ) está
em um espaço vetorial sobre o mesmo corpo,
2. para todo x; y 2 D (T ) e escalares
,
T (x + y) = T x + T y
(1)
T ( x) = T x.
(2)
Usamos a notação T x em vez de T (x), o que é uma prática comum em
análise funcional. Note que (1) e (2) são equivalentes a
T ( x + y) = T x + T y.
Fazendo
= 0 em (2) obtemos
T 0 = 0,
resultado que usaremos algumas vezes ao longo desta seção.
A seguir são apresentados exemplos de operadores lineares.
Exemplo 38 (Operador Identidade) O operador identidade I : X ! X
é de…nido por Ix = x para todo x 2 X.
Exemplo 39 (Diferenciação) Seja X o espaço vetorial de todos os polinômios
em [a; b]. Podemos de…nir um operador linear T em X por
T x (t) = x0 (t)
para todo x 2 X, onde a linha denota a diferenciação com respeito a t. Esse
operador mapeia X em X.
41
Exemplo 40 (Integração) Um operador linear de C [a; b] em C [a; b] pode
ser de…nido por
Z t
T x (t) =
x( )d
t 2 [a; b] .
a
Exemplo 41 (Álgebra vetorial elementar) O produto interno euclidiano de dois vetores em Rn com um deles mantido …xo de…ne um operador
linear T : Rn ! R,
Tx = x a =
onde x = ( 1 ;
2 ; ::: n )
ea=(
1;
1 1
+
2 2
2 ; ::: n )
+ ::: +
n n
são vetores em Rn , com a …xo.
Exemplo 42 (Matrizes) Uma matriz real A = (
colunas de…ne um operador T : Rn ! Rr por
jk )
com r linhas e n
y = Ax
onde x = ( 1 ; 2 ; ::: n ) e y = ( 1 ; 2 ; ::: r ) são vetores coluna (n 1) e
(r 1) respectivamente. T é linear pois a multiplicação matricial é uma
operação linear.
3.3
Operadores Lineares Limitados e Contínuos
De…nição 50 Sejam X e Y espaços normados e T : D (T ) ! Y um operador linear, onde D (T ) X. O operador T é limitado se existe um número
real c tal que para todo x 2 D (T ),
kT xk
c kxk .
(3)
Note que em (3) a norma à esquerda é de…nida em Y e a norma à
direita em X. Usamos aqui o mesmo símbolo por simplicidade, sem que
haja risco de confusão. A expressão (3) informa que um operador linear
limitado mapeia conjuntos limitados de D (T ) em conjuntos limitados em
Y.
Qual o menor valor de c tal que (3) continue válida para todo x 2 D (T )
com x não nulo? (Note que podemos excluir x = 0 uma vez que T x = 0
para x = 0, pois T é um operador linear). Dividindo ambos os lados de (3)
por kxk temos
kT xk
c
kxk
42
xk
sup kT
kxk com x 2 D (T ) n f0g. Assim, a resposta para a nossa
logo c
xk
pergunta é que o menor valor possível para c em (3) é sup kT
kxk . Esse número
é denotado por kT k:
kT xk
kT k = sup
.
(4)
x2D(T ) kxk
x6=0
kT k é a norma do operador T . Se D (T ) = f0g, de…nimos kT k = 0. Note
que em (3), se c = kT k, então
kT xk
kT k kxk .
Naturalmente devemos justi…car o termo "norma"utilizado para kT k. Isto
é feito na proposição a seguir:
Teorema 47 Seja T um operador linear limitado. Então:
1. Uma fórmula alternativa para a norma de T é
kT k = sup kT xk .
x2D(T )
kxk=1
2. A expressão de…nida em (4) satisfaz as propriedades de uma norma.
Demonstração: 1. Escreva kxk = a e de…na y = (1=a) x, com x 6= 0.
Então kyk = 1 e pela linearidade de T , temos que
1
kT xk
= sup
kT xk = sup T
kxk
a
x2D(T )
x2D(T )
x2D(T )
1
x
a
kT k = sup
x6=0
x6=0
x6=0
= sup kT (y)k .
y2D(T )
kyk=1
2. A propriedade N1 de uma norma é imediata, uma vez que k0k = 0 e
de kT k = 0 temos que T x = 0 para todo x 2 D (T ), logo T = 0. Além disso,
N2 segue do fato de que
sup k T xk = sup j j kT xk = j j sup kT xk
kxk=1
kxk=1
kxk=1
com x 2 D (T ). Por …m, N3 decorre de
sup k(T1 + T2 ) xk = sup kT1 x + T2 xk
kxk=1
kxk=1
sup kT1 xk + sup kT2 xk
kxk=1
kxk=1
com x 2 D (T ).
Quando estamos lidando com o caso de dimensão …nita, a linearidade de
um operador garante que o mesmo é limitado, de acordo com o teorema a
seguir.
43
Teorema 48 (Dimensão Finita) Se um espaço normado X tem dimensão
…nita, então todo operador linear em X é limitado.
Demonstração: Kreyszig (1978, p.96)
Teorema 49 Seja T : D (T ) ! Y um operador linear, onde D (T )
X; Y são espaços normados. Então:
X e
1. T é contínuo se, e somente se, T é limitado.
2. Se T é contínuo em um ponto qualquer, então T é contínuo.
Demonstração: Mostraremos na seção a seguir um teorema análogo para
funcionais lineares. A demonstração para operadores lineares é análoga e
pode ser vista em Kreyszig (1978, p. 97).
3.4
Funcionais Lineares
Um funcional é um operador cuja imagem está em R ou em C. Naturalmente, Análise Funcional é o estudo de funcionais. Denotaremos funcionais por letras minúsculas f , g, h, ... , o domínio de f por D (f ), a imagem
por R (f ) e o valor de f em x 2 D (f ) por f (x). Como todo funcional é um
operador, os resultados da seção anterior valem igualmente aqui.
De…nição 51 Um funcional linear é um operador linear com domínio no
espaço vetorial X e imagem no corpo de escalares K de X; assim,
f : D (f ) ! K
onde K = R se X é real e K = C se X é complexo.
A linearidade dos funcionais é uma característica forte o su…ciente para
nos garantir o seguinte resultado:
Teorema 50 Seja f um funcional linear em um espaço linear normado X,
contínuo em um ponto x0 2 X: Então, f é contínuo em X, i.e., em todo
ponto x 2 X:
Demonstração: Seja fxn g uma seqüência em X convergindo para x 2 X:
Então, pela linearidade de f;
jf (xn )
f (x)j = jf (xn
x + x0 )
f (x0 )j
No entanto, como xn x + x0 ! x0 e como f é contínua em x0 ; temos que
f (xn x + x0 ) ! f (x0 ): Logo, jf (xn ) f (x)j ! 0:
44
De…nição 52 (Funcional Linear Limitado) Um funcional linear em um
espaço normado X é dito limitado se existe uma constante c 2 R tal que
jf (x)j
cjjxjj para todo x 2 X: O ín…mo do conjunto de escalares c que
satisfazem essa desigaldade é chamado de norma de f , denotada por jjf jj.
Então,
jjf jj = inf fc : jf (x)j cjjxjj; 8x 2 Xg.
Assim como no caso de operadores, linearidade do funcional f é forte o
su…ciente para garantir as seguintes equivalências para a expressão da norma
de f :
jf (x)j
kf k = sup
= sup jf (x)j .
x2D(f ) kxk
x2D(f )
x6=0
kxk=1
A norma de…nida dessa maneira satisfaz as três exigências usuais:
N1 jjf jj
0; jjf jj = 0 () f = 0
N2 jj f jj = j j jjf jj
N3 jjf1 +f2 jj = supjjxjj
jjf1 jj + jjf2 jj.
1 jf1 (x)+f2 (x)j
supjjxjj
1 jf1 (x)j+supjjxjj 1 f2 (x)
=
Segue diretamente da de…nição que
jf (x)j
kf k kxk .
(5)
Teorema 51 Um funcional linear f com domínio X em um espaço normado é contínuo se, e somente se, f é limitado.
Demonstração: ()) Suponha primeiro que f é limitado. Seja M tal que
jf (x)j cjjxjj; ; 8x 2 X: Então, para xn ! 0; temos que jf (xn )j cjjxn jj !
0: Logo, f é contínuo em 0 2 X, logo f é contínuo em todo X (pelo teorema
anterior).
(() Suponha agora que f seja contínuo em 0 2 X: Então, existe um
> 0 tal que jf (x)j < 1 para todo jjxjj < : Como para todo x 2 X; tal que
x 6= 0 2 X; temos que x=jjxjj tem norma igual a ; temos
jf (x)j = jf (
x
jjxjj
jjxjj
)j
<
jjxjj
e c = 1= serve como limite para f .
Juntando os resultados dos dois teoremas anteriores concluímos que se
um funcional linear é contínuo em um ponto qualquer x0 2 X, então ele é
limitado e contínuo em todo X.
45
Exemplo 43 (Integral de…nida) A integral de…nida é um número se considerarmos esta de…nida para uma função dada, como é feito em cálculo.
Contudo, a situação muda completamente quando consideramos a integral
de todas as funções em um certo espaço. Nesse caso a integral se torna um
funcional, digamos f . Como espaço escolheremos C [a; b], que consiste no
espaço das funções contínuas de…nidas em [a; b]. Assim, f é de…nida por
f (x) =
Z
b
x (t) dt
x 2 C [a; b] .
a
O funcional f assim de…nido é linear. Provaremos que f é limitado e tem
norma kf k = b a. Para isto, usaremos o fato de que o espaço C [a; b] é
um espaço vetorial com norma de…nida por
kxk = max jx (t)j
t2J
com J = [a; b] e x 2 C [a; b]. Assim,
jf (x)j =
Z
b
x (t) dt
(b
a) max jx (t)j = (b
a) kxk .
t2J
a
Tomando o supremo sobre todos os x com norma 1, obtemos kf k b a.
Para mostrar que kf k b a, tome x = x0 = 1 (logo kx0 k = 1) e use (5):
kf k
jf (x0 )j
= jf (x0 )j =
kx0 k
Z
b
dt = b
a.
a
Exemplo 44 (Espaço l2 ) Podemos obter um funcional linear f no espaço
de Hilbert l2 escolhendo um a = f i g 2 l2 e de…nindo
f (x) =
1
X
j
j
j=1
onde x = f i g 2 l2 . Esta série converge absolutamente e f é limitada, pois
v
v
uX
uX
1
1
X
X
u1
u1
2
t
t
jf (x)j =
j j j2 = kxk kak
j j
j j
j
j=1
j=1
j=1
j=1
onde se fez uso da desigualdade de Cauchy-Schwarz.
46
É de grande interesse que o conjunto de todos os funcionais lineares
de…nidos em um certo espaço vetorial X constituam um espaço vetorial.
Este espaço é denotado por X e é denominado dual algébrico3 de X. As
operações algébricas em X são de…nidas de maneira natural. A soma de
dois funcionais f1 + f2 é o funcional s cujo valor em cada x 2 X é
s (x) = (f1 + f2 ) (x) = f1 (x) + f2 (x) ;
o produto f de um escalar e um funcional f é o funcional p cujo valor
em x 2 X é
p (x) = ( f ) (x) = f (x) .
Operadores lineares em espaços vetoriais de dimensão …nita podem sempre ser representados em termos de matrizes. Desse modo, matrizes são
as ferramentas mais importantes para o estudo de operadores lineares em
espaços de dimensão …nita.
3.5
Espaço Dual
Na seção 3.3 de…nimos o conceito de operador linear limitado e fornecemos
exemplos com o intuito de ilustrar a importância desses operadores. Na
presente seção, tomaremos dois espaços normados quaisquer X e Y (ambos
reais ou ambos complexos) e consideraremos o conjunto
B (X; Y )
de todos os operadores lineares limitados de X em Y , i.e., os operadores
de…nidos no espaço todo X e com imagem em Y . Queremos mostrar que
B (X; Y ) pode ser um espaço normado.
Note que B (X; Y ) se torna um espaço vetorial se de…nirmos a soma
T1 + T2 de dois operadores T1 ; T2 2 B (X; Y ) de forma natural como
(T1 + T2 ) x = T1 x + T2 x
e o produto T de T 2 B (X; Y ) e um escalar
por
( T ) x = T x.
O teorema a seguir é conseqüência do Teorema 47.
Note que esta de…nição não envolve nenhuma norma. O conhecido espaço dual X 0
que trataremos na próxima seção consiste no conjunto de todos os funcionais lineares em
X.
3
47
Teorema 52 O espaço vetorial B (X; Y ) de todos os operadores lineares de
um espaço normado X no espaço normado Y é um espaço normado, com
norma de…nida por
kT k = sup
x2X
x6=0
kT xk
= sup kT xk .
kxk
x2X
kxk=1
Em que circunstâncias B (X; Y ) é um espaço de Banach? Essa é uma
questão de grande relevância e é abordada no teorema a seguir. Note que a
condição apresentada nào envolve X; i.e., X pode ou não ser completo.
Teorema 53 Se Y é um espaço de Banach,então B (X; Y ) é um espaço de
Banach.
Demonstração: Kreyszig (1978, p. 119).
O teorema anterior tem conseqüência importante no que diz respeito ao
espaço dual X 0 de X, de…nido a seguir:
De…nição 53 (Espaço Dual X 0 ) Seja X um espaço normado. Então o
conjunto de todos os funcionais lineares limitados em X constitui um espaço
normado com norma de…nida por
kf k = sup
x2X
x6=0
jf (x)j
= sup jf (x)j
kxk
x2X
kxk=1
e é denominado espaço dual de X, representado por X 0 .
Uma vez que um funcional linear em X mapeia X em R (ou C) e como R
e C são completos tomando a métrica usual, concluímos que X 0 é B (X; Y )
com o espaço completo Y = R ou C. Assim, o teorema anterior implica em:
Teorema 54 O espaço dual X de um espaço normado X é um espaço de
Banach (independente de X ser completo ou não).
De…nição 54 Um isomor…rsmo do espaço vetorial normado X no espaço
e é um operador linear T : X ! X
e que preserva a norma,
vetorial normado X
i.e., para todo x 2 X,
kT xk = kxk .
48
e são espaços normados isomorfos. Isso
Nesse caso dizemos que X e X
e são idênticos.
sign…ca que de um ponto de vista abstrato X e X
No próximo exemplo mostraremos que o espaço dual de Rn é isomorfo
ao Rn , o que pode ser expresso de modo mais simples dizendo que o espaço
dual do Rn é o Rn . Resultado similar vale para os outros exemplos.
Exemplo 45 O dual do Rn é o Rn .
Demonstração: Kreyszig (1978, p. 121).
Exemplo 46 O dual do l1 é o l1 .
Demonstração: Kreyszig (1978, pp. 121-122).
Exemplo 47 O dual do lp é o lq , onde 1 < p < +1 e q é o conjugado de
p, i.e., 1=p + 1=q = 1.
Demonstração: Kreyszig (1978, pp. 123-124).
3.6
Espaços de Hilbert
Em espaços normados podemos somar vetores e multiplica-los por escalares.
Além disso, a norma nesses espaços generaliza o conceito de comprimento de
um vetor. Contudo, falta ainda aos espaços normados em geral algo análogo
ao produto interno euclidiano (dot product)
a b=
1 1
+
2 2
+ ::: +
n n
e suas aplicações resultantes como a norma induzida por este
p
kak = a a
e a condição de ortogonalidade (perpendicularidade)
a b=0
tão importante em diversas aplicações. A questão que surge é se essa noção
de produto interno pode ser generalizada para espaços vetoriais arbitrários.
A resposta é positiva e leva aos espaços com produto interno e aos
espaços com produto interno completos, denominados espaços de
Hilbert. Espaços com produto interno são casos especiais de espaços normados, uma vez que todo produto interno induz uma norma. Espaços com
produto interno constituem a generalização mais natural de espaço Euclidiano, sendo o conceito de ortogonalidade o mais importante diferencial com
relação aos espaços normados mais gerais.
49
De…nição 55 Um espaço com produto interno (ou espaço pré-Hilbert)
é um espaço vetorial X com um produto interno de…nido em X. Um espaço de Hilbert é um espaço com produto interno completo (completo na
métrica de…nida pelo produto interno). Um produto interno em X é um
mapeamento de X X no corpo de escalares K de X; i.e., a todo par de
vetores x e y est’a associado um escalar
hx; yi
denominado produto interno de x e y, tal que para todos os vetores x, y e z
e escalares a temos
P1 hx + y; zi = hx; zi + hy; zi
P2 h x; yi =
hx; yi
P3 hx; yi = hy; xi
P4 hx; xi
0 e hx; xi = 0 , x = 0.
Um produto interno em X de…ne uma norma em X por
p
kxk = hx; xi
e uma métrica em X por
d (x; y) = kx
yk =
p
hx
y; x
yi.
Desse modo, espaços com produto interno são espaços normados e espaços de Hilbert são espaços de Banach.
Proposição 55 Uma norma em um espaço com produto interno satisfaz a
igualdade do paralelogramo
kx + yk2 + kx
Demonstração: Seja
yk2 = 2 kxk2 + kyk2 .
um escalar, então
kx + yk2 = hx + y; x + yi
= hx; xi + hx; yi + h y; xi + h y; yi
= kxk2 + 2 hx; yi +
Assim, se
2
kyk2 .
= 1,
kx + yk2 = kxk2 + 2 hx; yi + kyk2
50
(6)
e se
=
1,
kx
yk2 = kxk2
2 hx; yi + kyk2 .
(7)
Fazendo (6) + (7), temos o resultado desejado.
O nome da importante igualdade apresentada no teorema anterior é sugerido pela geometria elementar, como pode ser visto na …gura a seguir:
Figura 06: Paralelogramo de lados x e y no plano.
Concluímos que se uma norma não satisfaz a igualdade do paralelogramo,
então ela não pode ser obtida a partir de um produto interno. Tais normas
existem, como mostraremos nos exemplos. Podemos desse modo a…rmar que
nem todo espaço normado é um espaço com produto interno.
Antes de considerar os exemplos, de…niremos o imprtante conceito de
ortogonalidade.
De…nição 56 Um elemento x de um espaço com produto interno X é dito
ortogonal ao elemento y 2 X se
hx; yi = 0.
Dizemos nesse caso que x e y são ortogonais e escrevemos x ? y. De modo
semelhante, os conjuntos A e B em X são ortogonais se a ? b para todo
a 2 A e b 2 B.
Exemplo 48 O espaço Rn é um espaço de Hilbert com produto interno
de…nido por
hx; yi = 1 1 + ::: + n n
onde x = ( 1 ; :::;
n)
e y = ( 1 ; :::;
n ),
ou seja, o produto interno euclidiano.
Exemplo 49 (Espaço L2 [a; b]) A norma de…nida por
kxk =
Z
b
a
51
x (t)2 dt
pode ser obtida pelo produto interno de…nido por
hx; yi =
Z
b
x (t) y (t) dt
(8)
a
onde x (t) e y (t) são funções reais. O completamento do espaço com produto
interno de…nido por (8) é o espaço real L2 [a; b]. Assim, por de…nição o
L2 [a; b] é um espaço de Hilbert.
Exemplo 50 (Espaço l2 ) O espaço l2 é um espaço com produto interno
de…nido por
1
X
hx; yi =
j j.
j=1
A convergência dessa série é conseqüência da desigualdade de Cauchy-Schwarz
e de que x; y 2 l2 por hipótese. A norma em l2 é de…nida por
kxk = hx; xi1=2
0
1
X
@
=
j=1
j
11=2
2A
.
A completeza do l2 é mostrada em Kreyszig (1978, seção 1.5.4). O l2 é o
exemplo mais comum de um espaço de Hilbert.
Exemplo 51 (Espaço lp ) O espaço lp com p 6= 2 não é um espaço com
produto interno, logo não é um espaço de Hilbert. De fato, isso signi…ca
que a norma do lp com p 6= 2 não pode ser obtida a partir de um produto
interno. Provamos isso mostrando que essa norma não satisfaz a igualdade
do paralelogramo. Basta para isso tomar x = (1; 1; 0; 0; :::) 2 lp e y =
(1; 1; 0; 0; :::) 2 lp e notar que
0
e
kxk = @
1
X
j
j=1
0
1
X
@
kx + yk =
j
+
11=p
pA
j
j=1
Assim,
11=p
pA
kx + yk2 + kx
52
= 21=p = kyk
= 2 = kx
yk2 = 8
yk :
e
2 kxk2 + kyk2 = 4
22=p
logo
kx + yk2 + kx
yk2 = 2 kxk2 + kyk2
se, e somente se 2 = 22=p , i.e., se, e somente se, p = 2. Kreyszig (1978,
seção 1.5.4) mostra que lp com p 6= 2 é um espaço de Banach e pelo que
acabamos de conferir não é um espaço de Hilbert.
A mesma conclusão do exemplo anterior é obtida para o espaço C [a; b]
das funções contínuas em [a; b], como mostra o exemplo a seguir:
Exemplo 52 (Espaço C [a; b]) O espaço C [a; b] não é um espaço com produto interno, logo não é um espaço de Hilbert. Mostraremos que a norma
de…nida por
kxk = max jx (t)j
J = [a; b]
t2J
não pode ser obtida a partir de um produto interno uma vez que esta norma
não satisfaz a igualdade do paralelogramo. Tome x (t) = 1 e y (t) = (t a) = (b
Assim, kxk = kyk = 1 e
x (t) + y (t) = 1 +
1
b
a
a
x (t)
1
b
a
.
a
e
Assim kx + yk = 2 e kx
y (t) = 1
yk = 1, logo
kx + yk2 + kx
yk2 = 5
mas
2 kxk2 + kyk2 = 4.
Sabemos que para cada produto interno existe uma norma correspondente. É interessante o fato de que podemos recuperar o produto interno
que induz uma determinada norma. O leitor é estimulado a mostrar que
para um espaço vetorial real com produto interno temos
hx; yi =
1
kx + yk2
4
53
kx
yk2
a).
Lemma 2 (Desigualdade de Schwarz) Um produto interno e sua norma
correspondente satisfazem a seguinte desigualdade:
jhx; yij
kxk kyk
com igualdade apenas no caso em que fx; yg formarem um conjunto linearmente dependente.
Lemma 3 (Continuidade do produto interno) Se em um espaço com
produto interno xn ! x e yn ! y, então hxn ; yn i ! hx; yi.
Demonstração: Adicionando e subtraindo um termo e usando as desigualdades triangular e de Schwarz temos
jhxn ; yn i
hx; yij = jhxn ; yn i
jhxn ; yn
kxn k kyn
pois yn
y ! 0 e xn
hxn ; yi + hxn ; yi
yij + jhxn
yk + kxn
x; yij
hx; yij
xk kyk ! 0
x ! 0 se n ! 1.
Teorema 56 (Representação de Riesz-Fréchet de funcionais em espaços de Hilbert) Todo funcional linear limitado f em um espaço de
Hilbert H pode ser representado em termos de produto interno
f (x) = hx; zi
(9)
onde z depende de f , é unicamente determinado por f e tem norma
kzk = kf k .
Demonstração: Kreyszig (1978, pp. 189-190).
Lemma 4 Se hv1 ; wi = hv2 ; wi para todo w em um espaço com produto
interno X, então v1 = v2 . Em particular, hv1 ; wi = 0 para todo w 2 X
implica em v1 = 0.
Demonstração: Por hipótese, para todo w,
hv1
v2 ; wi = hv1 ; wi
hv2 ; wi = 0.
Para w = v1 v2 isso signi…ca que kv1 v2 k2 = 0. Assim, v1 v2 = 0,
logo v1 = v2 . Em particular, hv1 ; wi = 0 com w = v1 implica em kv1 k2 = 0,
logo v1 = 0.
54
3.7
Operadores Adjunto e Auto-Adjunto
De…nição 57 (Operador adjunto de Hilbert T ) Seja T : H1 ! H2
um operador linear limitado, onde H1 e H2 são espaços de Hilbert. Então o
operador adjunto de Hilbert T de T é o operador
T : H2 ! H1
tal que para todo x 2 H1 e y 2 H2 ,
hT x; yi = hx; T yi .
Naturalmente é importante mostrar que a de…nição anterior faz sentido,
i.e., devemos mostrar que para um dado T , existe T tal como de…nido.
De…nição 58 (Existência) O operador adjunto de Hilbert T de T na
de…nição anterior existe, é único e é um operador linear limitado com norma
kT k = kT k .
Demonstração: Kreyszig (1978, pp. 196-197).
Teorema 57 (Propriedades dos operadores adjuntos de Hilbert) Sejam H1 , H2 espaços de Hilbert, S : H1 ! H2 e T : H1 ! H2 operadores
lineares limitados e um escalar qualquer. Então:
1. hT y; xi = hy; T xi
(x 2 H1 ; y 2 H2 )
2. (S + T ) = S + T
3. (T ) = T
4. kT T k = kT T k = kT k2
5. T T = 0 , T = 0
6. (ST ) = T S
(assumindo que H1 = H2 )
De…nição 59 Um operador linear limitado T : H ! H em um espaço de
Hilbert H é auto-adjunto se T = T .
De acordo com a de…nição anterior, se T é auto-adjunto, então
hT x; yi = hx; T yi .
É simples ver que o produto de dois operadores lineares limitados autoadjuntos S e T em um espaço de Hilbert H é auto-adjunto se, e somente se,
os operadores comutam,
ST = T S.
55
Teorema 58 (Seqüências de operadores auto-adjuntos) Seja fTn g
uma seqüência de operadores lineares limitados auto-adjuntos Tn : H ! H
em um espaço de Hilbert H. Suponha que fTn g converge, digamos,
Tn ! T ,
i.e.,
kTn
T k ! 0,
onde k k é a norma no espaço B (H; H)4 . Então o operador limite T é um
operador linear limitado auto-adjunto em H.
Demonstração: Kreyszig (1978, p. 205).
3.8
Convergência Forte, Fraca e Fraca*
De…nição 60 (Convergência Forte) Uma seqüência fxn g em um espaço
vetorial normado X é dita convergir fortemente (ou convergente em norma)
s existe x 2 X tal que
lim kxn xk = 0.
n!1
A notações mais comuns para convergência forte são
lim xn = x
n!1
ou simplesmente
xn ! x.
A convergência fraca é de…nida em termos de funcionais lineares limitados em X:
De…nição 61 (Convergência Fraca) Uma seqüência fxn g em um espaço
X é dita fracamente convergente se existe x 2 X tal que para todo f 2 X 0 ,
lim f (xn ) = f (x) .
n!1
As notações mais adotadas para convergencia fraca são
w
xn ! x
e xn * x. O elemento x é denominado limite fraco de fxn g e dizemos que
fxn g converge fracamente para x.
4
kT k =
sup
kT xk
x2H
kxk = 1
56
O conceito de convergência fraca ilustra um princípio básico de análise
funcional, a saber, o fato de que a investigação de espaços está freqüentemente relacionada com seus espaços duais. A aplicação da convergência
fraca requer o conhecimento de certas propriedades básicas, apresentadas no
lema a seguir.
Lemma 5 (Convergência fraca) Seja fxn g uma seqüência fracamente
convergente em um espaço normado X, digamos, xn ! x. Então:
1. O limite fraco x de fxn g é único.
2. Toda subseqüência de fxn g converge fracamente para x.
3. A seqüência fkxn kg é limitada.
Demonstração: Kreyszig (1978, p. 258).
É natural se perguntar o porquê de não lidarmos com convergência fraca
em cálculo. A razão para tal é que em espaços vetoriais normados de dimensão …nita não há distinção entre convergência forte e convergência fraca. O
teorema a seguir justi…ca os termos "forte"e "fraca".
Teorema 59 (Convergências Forte e Fraca) Seja fxn g uma seqüência
em um espaço vetorial normado X. Então:
1. Convergência forte implica convergência fraca com o mesmo limite
mas a volta não vale.
2. Se dim X < 1, então convergência fraca implica em convergência
forte.
FALTA COMPLETAR (CONVERGÊNCIA FRACA* E PRINCIPAIS
RESULTADOS)
57
4
Teoria da Medida e Integração
As principais referências utilizadas nesta seção são: Bartle (1966), Stockey &
Lucas (1989) e Isnard (2007). A primeira delas é a fonte principal, sobretudo
no que se refere à seqüência em que são apresentados os assuntos.
4.1
Motivação: Riemann
Lebesgue
Dado que um dos principais propósitos da presente seção é a apresentação
da teoria de integração de Lebesgue, é natural discutir a real necessidade de
uma nova teoria de integração. O que haveria de "errado"com a integral de
Riemann?
Primeiramente, a teoria de integração de Lebesgue abrange uma classe
maior de funções relativamente àquela proposta por Riemann. Toda função
integrável à Riemann é também integrável à Lebesgue. Além disso, quando
a primeira existe, as integrais de Riemann e Lebesgue coincidem.
Quando temos que lidar com integrais de…nidas em intervalos ilimitados,
como por exemplo
Z
+1
e
x2
dx
1
recaímos nas assim chamadas integrais de Riemann impróprias. A integral
imprópria de Riemann também é incluída pela teoria de Lebesgue.
Outro ponto que merece destaque quando tratamos das vantagens da
teoria de Lebesgue se refere ao domínio de integração. Não há uma forma
simples de integrar no sentido de Riemann funções cujos valores estejam
distribuídos de maneira não muito "organizada", no sentido de serem bem
diferentes de intervalos.
Por …m, a principal vantagem da teoria de Lebesgue diz respeito a suas
propriedades de convergência. A integral de Riemann não apresenta um bom
desempenho nesse quesito. Por exemplo, esperaríamos que se a seqüência de
funções ffn g Riemann integráveis converge (em certo sentido) para a função
Rb
Rb
Riemann integrável f , então a fn dx ! a f dx. Na verdade, esse não é o
caso. Por exemplo, considere [a; b] = [0; 1] e
8
1
se 0 x < 2n
< 4n2 x
1
4n 4n2 x se 2n
x < n1 .
fn (x) =
:
1
0
se n x 1
É simples mostrar que fRn (x) converge simplesmente para f (x) R= 0 no inter1
1
valo [0; 1]. Além disso, 0 fn (x) dx = 1 para todo n, enquanto 0 f (x) dx =
R1
R1
0. Logo, limn!1 0 fn (x) dx 6= 0 f (x) dx.
58
Podemos evitar problemas como esse se nos restringirmos apenas a convergência uniforme, como estabelece o teorema a seguir:
Teorema 60 Se uma seqüência de funções integráveis fn : [a; b] ! R converge uniformemente para f : [a; b] ! R, então f é integrável e vale
Z
b
f (x) dx = lim
Z
b
fn (x) dx.
(10)
a
a
Contudo, a hipótese de convergência uniforme é muito restritiva em termos de aplicações. É importante notar que se fn ! f simplesmente no intervalo [a; b] com f e cada fn integráveis, então vale a igualdade (10) desde
que exista M 2 R tal quejfn (x)j M para todo n 2 N e todo x 2 [a; b].
Essa generalização é um caso particular do Teorema da Convergência
Dominada (TCD) que Lebesgue apresentou como um dos resultados centrais
de sua extensão do conceito de integral. Veremos o TCD na seção 3.5,
entretanto convém apresentá-lo neste ponto a título de informação:
Teorema 61 (Teorema da Convergência Dominada) Se uma seqüência de
funções integráveis fn é tal que fn (x) ! f (x) para todo x, e se existe uma
função integrável g tal que g (x) jfn (x)j para todo n e todo x, então f é
integrável (à Lebesgue) e a integral de f é o limite da integral de fn .
As boas propriedades de convergência da teoria de integração de Lebesgue
estão ligadas à completude dos espaços Lp . É possível mostrar que as funções
integráveis a Riemann formam um subespaço não completo, denso no L1
(para a demonstração, ver Isnard (2007)).
Cabe ainda notar que a medida de Lebesgue (utilizada na teoria da integração de Lebesgue) apresenta propriedades excelentes: se os Ak ’s são
1
1
S
T
mensuráveis, k = 1; 2; :::, então
Ak e
Ak também são mensuráveis.
k=1
k=1
Todos os abertos e todos os fechados de Rn são mensuráveis à Lebesgue
(com medida …nita ou in…nita). Em geral, a partir da lei de de…nição de
um conjunto é sempre fácil mostrar que ele é mensurável. Os conjuntos não
mensuráveis não são de…nidos através de regras precisas e têm sua existência condicionada à aceitação do uso do Axioma da Escolha ou de outros
processos pouco naturais (Lema de Zorn, etc.) (Isnard, 2007).
A comparação das metodologias de integração de Riemann e Lebesgue
será feita mais adiante, no momento oportuno (seção 3.4). Antes, porém,
precisamos percorrer um certo caminho para nos familiarizarmos com os
conceitos e resultados necessários.
59
4.2
Funções mensuráveis
De…nição 62 Uma família A de subconjuntos de X é uma álgebra se
1. ?; X 2 A;
2. A 2 A implica que Ac = XnA 2 A;
3. An 2 A, n = 1; 2; :::; N implica que
N
[
n=1
An 2 A.
De…nição 63 Uma família F de subconjuntos de X é uma -álgebra se
1. ?; X 2 F;
2. A 2 F implica que Ac = XnA 2 F;
1
[
3. An 2 F, n = 1; 2; :::; implica que
n=1
An 2 F.
De…nição 64 O par (X; F), onde X é um conjunto e F é uma
de X é denominado espaço mensurável.
-álgebra
De…nição 65 Qualquer conjunto em F é um conjunto F-mensurável
(ou simplesmente conjunto mensurável, quando F for subentendida).
Pelas leis de De Morgan,
[
e
Como
1
\
n=1
An =
1
[
n=1
Acn
!c
\
A
!c
=
\
A
!c
=
[
Ac
Ac .
, então a -álgebra também é fechada na inter-
seção enumerável, i.e., se An 2 F, n = 1; 2; :::; então
1
\
n=1
An 2 F.
Exemplo 53 Seja X um conjunto qualquer. Então o conjunto das partes
de X, P (X),é uma -álgebra.
60
Exemplo 54 Seja X um conjunto qualquer. Então o conjunto F = f?; Xg
é uma -álgebra.
Exemplo 55 Seja A uma coleção não vazia de subconjuntos de X. Então
existe a menor -álgebra de subconjuntos de X que contém A. Note que
P (X) é uma -álgebra que contém A e a interseção de todas as -álgebras
contendo A é uma -álgebra contendo A.
De…nição 66 A menor
gerada por A.
-álgebra que contém A é denominada
-álgebra
Exemplo 56 Seja X = R. A álgebra de Borel (B) é a -álgebra gerada
pelos abertos (a; b) R. Observe que B é também a -álgebra gerada pelos
intervalos fechados [a; b] R (mostre!). Qualquer conjunto em B é denominado conjunto de Borel.
De…nição 67 A função f : X ! R é F-mensurável se para todo
f
1
2 R,
(( ; +1)) = fx 2 X : f (x) > g 2 F.
Proposição 62 Seja f : X ! R. São equivalentes:
1. 8 2 R, A = f
1 ((
; +1)) = fx 2 X : f (x) > g 2 F.
2. 8 2 R, B = f
1 ((
1; ]) = fx 2 X : f (x)
g 2 F.
3. 8 2 R, C = f
1 ([
; +1)) = fx 2 X : f (x)
g 2 F.
4. 8 2 R, D = f
1 ((
1; )) = fx 2 X : f (x) < g 2 F.
Demonstração: Como A e B são complementares um do outro, (1) e
(2) são equivalentes. Analogamente, (3) e (4) são equivalentes.
Se (1) vale, então A 1 2 F para todo n e como
n
C =
1
\
A
n=1
1
n
,
temos que C 2 F, i.e., (1) implica (3). Como
A =
1
[
n=1
então (3) implica (1).
61
C
1,
+n
Exemplo 57 Toda função constante é mensurável. De fato, se f (x) =
c 8x 2 X e se
c, então f 1 (( ; +1)) = ? 2 F. Se
< c,
1
f (( ; +1)) = X 2 F, logo f (x) = c 8x 2 X é mensurável.
Exemplo 58 Se E 2 F, então a função característica
E
é mensurável. De fato,
1
E
(x) =
1 se x 2 E
0 se x 2
=E
(( ; +1)) só pode ser igual a X, E ou ?.
Exemplo 59 Se X = R e F = B (álgebra de Borel), então qualquer função
contínua f : R ! R é B-mensurável. Com efeito, se f é contínua, então
f 1 (( ; +1)) é um aberto5 em R e conseqüentemente pode ser escrita como
a união de uma seqüência de intervalos abertos, i.e., f 1 (( ; +1)) 2 B.
Proposição 63 Sejam f e g funções reais mensuráveis e c 2 R. Então as
funções
cf , f 2 , f + g, f g, jf j ,
também são mensuráveis.
Demonstração: (a) Se c = 0, cf = 0 constante, logo mensurável. Se c > 0,
então
fx 2 X : cf (x) > g = fx 2 X : f (x) > =cg 2 F.
Se c < 0,
(b) Se
fx 2 X : cf (x) > g = fx 2 X : f (x) < =cg 2 F.
n
o
< 0, então x 2 X : (f (x))2 >
= X 2 F. Se
0, então
o
n
p
x 2 X : (f (x))2 >
= x 2 X : f (x) >
[ x 2 X : f (x) <
p
.
p
p
Note que fx 2 X : f (x)
g 2 F e fx 2 X : f (x) <
g 2 F, logo
n
o >
2
x 2 X : (f (x)) >
2 F.
(c) Seja 2 R e r um número racional qualquer, então
Sr = fx 2 X : f (x) > rg \ fx 2 X : g (x) >
5
rg 2 F.
Lembre que f é contínua se, e somente se, a imagem inversa de abertos é um aberto:
62
Como
fx 2 X : (f + g) (x) > g =
[
r2Q
Sr 2 F,
então f + g é mensurável.
h
i
(d) Como f g = 14 (f + g)2 (f g)2 , segue de (a), (b) e (c) que f g é
mensurável.
(e) Se < 0, entãofx 2 X : jf (x)j > g = X 2 F. Caso
0, então
fx 2 X : jf (x)j > g = fx 2 X : f (x) > g [ fx 2 X : f (x) <
g.
Dado que fx 2 X : f (x) > g 2 F e fx 2 X : f (x) <
g 2 F, concluímos
que fx 2 X : jf (x)j > g 2 F, i.e., jf j é mensurável.
Seja f : X ! R. De…nimos f + (parte positiva de f ) e f (parte negativa
de f ) como
f + (x) = sup ff (x) ; 0g
Note que f = f + f
seguintes resultados:
f+ =
e
f
= sup f f (x) ; 0g .
e que jf j = f + + f . Dessas igualdades decorrem os
1
(jf j + f )
2
e
f
=
1
(jf j
2
f) .
Concluímos com base no lema anterior que f é mensurável se, e somente se,
f + e f são mensuráveis.
A coleção R consistindo do conjunto R[ f 1; +1g é denominada de
sistema de números reais estendido.
De…nição 68 Uma função f : X ! R é F-mensurável se f 1 (( ; +1)) 2
F para todo 2 R. A coleção de todas as funções f : X ! R F-mensuráveis
é denotada por M (X; F).
Obsere que se f 2 M (X; F) ; então
fx 2 X : f (x) = +1g =
fx 2 X : f (x) =
1g =
1
\
n=1
1
[
n=1
logo ambos os conjuntos estão em F.
63
fx 2 X : f (x) > ng ,
fx 2 X : f (x) >
ng
!c
,
Proposição 64 Uma função real estendida f é mensurável se, e somente
se, os conjuntos
A = fx 2 X : f (x) = +1g
e
B = fx 2 X : f (x) =
estão em F e a função real f1 de…nida por
f1 (x) =
1g
f (x) se x 2
= A[B
0
se x 2 A [ B
é mensurável.
Demonstração: ()) Se f 2 M (X; F), vimos que A e B estão em F. Seja
2 R+ , então
fx 2 X : f1 (x) > g = fx 2 X : f (x) > g nA
= CnA = C \ Ac ,
onde …zemos C = fx 2 X : f (x) > g. Como C; A 2 F, temos que fx 2 X : f1 (x) > g 2
F.
Se < 0, então
fx 2 X : f1 (x) > g = fx 2 X : f (x) > g [ B
= C [ B.
Como C; B 2 F, concluímos que f1 é mensurável.
(() Se A; B 2 F e f1 é mensurável, então quando
0,
fx 2 X : f (x) > g = fx 2 X : f1 (x) > g [ A
e quando
< 0,
fx 2 X : f (x) > g = fx 2 X : f1 (x) > g nB,
logo f é mensurável.
É conseqüência direta das duas últimas proposições que se f 2 M (X; F),
então as funções
cf , f 2 , jf j , f + , f
também estão em M (X; F).
Adota-se a convenção 0 ( 1) = 0 de modo que cf é a função nula se
c = 0. Se f; g 2 M (X; F), então a soma f +g pode não ser bem de…nida por
(f + g) (x) = f (x) + g (x) para os casos em que f (x) = 1 e g (x) = 1.
Nesses casos, usamos a convenção de de…nir f + g como zero, o que garante
a mensurabilidade da soma.
64
Proposição 65 Seja ffn g uma seqüência em M (X; F) e de…na as funções
f (x) = inf fn (x) ,
F (x) = sup fn (x) ,
f (x) = lim inf fn (x) ,
F (x) = lim sup fn (x) .
Então f , F , f e F pertencem a M (X; F).
Demonstração: Note que
fx 2 X : f (x)
g=
1
\
n=1
1
[
fx 2 X : F (x) > g =
n=1
fx 2 X : fn (x)
g,
fx 2 X : fn (x) > g ,
logo f e F são mensuráveis se todos os fn ’s forem mensuráveis. Como
f (x) = sup
inf fm (x)
m n
n 1
e
F (x) = inf
n 1
sup fm (x) ,
m n
a mensurabilidade de f e F também está garantida.
Corolário 66 Se ffn g é uma seqüência em M (X; F) convergindo para
f em X, então f 2 M (X; F).
Demonstração: Basta ver que f (x) = lim fn (x) = lim inf fn (x).
De…nição 69 Uma função real é simples se assumir apenas um número
…nito de valores.
Uma função simples mensurável ' pode ser representada na forma
' (x) =
n
X
aj
Ej
(x)
j=1
onde aj 2 R e Ej é a função indicadora de um conjunto Ej 2 F.
A proposição a seguir desempenha um papel muito importante no desenvolvimento da integral de Lebesgue. Veremos que a integral de uma função
simples é calculada de maneira bastante natural. A partir disso, usamos
a garantia de existência de uma seqüência de funções simples que aproximam uma função mensurável qualquer para de…nir a integral de Lebesgue
de funções mensuráveis.
65
Proposição 67 (Aproximação de funções mensuráveis por funções simples) Seja (X; F) um espaço mensurável. Se f : X ! R é uma função
F-mensurável não negativa, então existe uma seqüência f'n g de funções
simples mensuráveis tal que
1. 0
'n (x)
'n+1 (x) para x 2 X e n 2 N.
2. f (x) = lim 'n (x) para cada x 2 X.
Demonstração: Considere o conjunto
Akn =
=
x 2 X : (k
1) 2
x 2 X : f (x)
n
(k
f (x) < k2
1) 2
n
n
\ x 2 X : f (x) < k2
n
,
k = 1; 2; :::; n2n e n = 1; 2; :::. É imediato ver que Akn 2 F para todo
n e todo k, pois é a interseção de fx 2 X : f (x) (k 1) 2 n g 2 F e
fx 2 X : f (x) < k2 n g 2 F.
De…na as funções simples por
n
'n (x) =
n2
X
(k
1) 2
n
Akn
(x)
, n = 1; 2; :::
k=1
onde Akn é a função indicadora para Akn . Como cada Akn 2 F 8k; n, então
cada 'n é F-mensurável.
É imediato notar que 'n (x) 'n+1 (x) para x 2 X e n 2 N. Por …m,
note que para todo x 2 X existe Nx tal que
n
Nx ) j'n (x)
f (x)j
2
n
,
logo 'n ! f .
Se f é limitada, então Nx do último passo da demonstração pode ser
escolhido independentemente de x, portanto a convergência nesse caso é
uniforme. Para estender o resultado a todas as funções reais, simplesmente
aplique o argumento anterior separadamente em f + e f e lembre que f =
f+ f .
A proposição anterior continua válida se f 2 M (X; F). Para comprovar,
de…na Cn = fx 2 X : f (x) ng, n = 1; 2; :::; e tome
n
'n (x) =
n2
X
(k
k=1
66
1) 2
n
4.3
Medidas
De…nição 70 Uma medida é uma função
1.
(?) = 0;
2.
(E)
: F !R tal que
0 8 E 2 F;
3. Se fEn g é uma seqüência de subconjuntos disjuntos em F, então
!
1
1
[
X
En =
(En ) .
n=1
n=1
Exemplo 60 Se X = R e F = B, a álgebra de Borel, mostraremos mais
adiante que existe uma única medida de…nida em B. Essa medida é o
comprimento de intervalos abertos (i.e., se E = (a; b) 6= ?, (E) = b a).
Essa medida única é denominada medida de Lebesgue (ou de Borel).
Proposição 68 Seja uma medida de…nida sobre a -álgebra F. Se E; F 2
F, com E
F , então (E)
(F ). Se (E) < +1, então (F nE) =
(F )
(E).
Demonstração: Como F = E [ (F nE) e E \ (F nE) = ?, temos que
(F ) =
pois (F nE)
como
0. Se
(E) + (F nE)
(E) < +1, podemos reescrever a igualdade acima
(F nE) =
Proposição 69 Seja
(E) ,
(F )
(E) .
uma medida de…nida em uma -álgebra F.
1. Se fEn g é uma seqüência crescente em F, então
!
1
[
En = lim (En ) .
n!1
n=1
2. Se fFn g é uma seqüência decrescente em F e se
!
1
\
Fn = lim (Fn ) :
n!1
n=1
67
(11)
(F1 ) < +1, então
(12)
Demonstração: 1.
2.
De…nição 71 Um espaço de medida é uma tripla (X; F; ) consistindo
de um conjunto X, uma -álgebra F de subconjntos de X e uma medida
de…nida em F.
De…nição 72 Dizemos que uma certa proposição vale -quase em toda
parte (ou -qtp ou simplesmente qtp) se existe N 2 F com (N ) = 0
tal que a proposição seja válida no complementar de N .
Assim, dizemos que duas funções são iguais -qtp se f (x) = g (x) para
todo x 2
= N para algum N 2 F tal que (N ) = 0. Similarmente, dizemos
que a seqüência de funções ffn g em X converge -qtp se existe um conjunto
N 2 F com (N ) = 0 tal que f (x) = lim fn (x) para x 2
= N . Nesse caso,
escrevemos
f = lim fn , -qtp.
Caso a medida esteja subentendida, podemos escrever somente qtp em vez
de -qtp6 .
Há funções que se comportam como medidas exceto pelo fato de assumirem tanto valores positivos quanto negativos. Nesses casos, não é conveniente permitir que estas funções assumam valores nos reais estendidos
uma vez que devemos evitar expressões do tipo (+1) + ( 1).
Vamos abusar um pouco da notação e de…nir a seguir uma medida com
sinal7 .
De…nição 73 Se F é uma -álgebra de subconjuntos de um conjnto X,
então a função real f : F ! R é uma medida com sinal se
1.
(?) = 0;
2. Sempre que fEn g for uma seqüência de subconjuntos disjuntos de F,
então
!
1
1
[
X
En =
(En ) .
n=1
n=1
6
Procurei usar a tradução mais comum em português. Contudo, mesmo em livros
escritos em lingua portuguesa é comum observar o uso da exprssão -a.e., indicando almost everywhere.
7
Estritamente falando, as medidas com sinal assumem valores nos reais estendidos. Para evitar esse problema, é comum usar o termo charge para as "medidas com
sinal"de…nidas apenas em R. Usarei aqui a expressão medida com sinal, embora a referida
função esteja de…nida em R. Acredito que esta imprecisão não deve gerar nenhum prejuízo.
68
4.4
A Integral
Em construção
4.5
Funções Integráveis
Em construção
69