Invariância topológica do grupo fundamental

Invariância topológica do grupo fundamental
Caroline de Arruda Signorini, Ermínia de Lourdes Campello Fanti, Campus de São José do Rio Preto,
IBILCE - Matemática, [email protected]. Bolsa: PET/SESu/MEC.
Palavras Chave: Caminhos, Homeomorfismo, Grupo fundamental.
Introdução
Um caminho num espaço métrico X é uma
aplicação contínua α: [0,1]→X. Dois caminhos α e β
(em X, com mesmos pontos iniciais e finais) são
homotópicos (not. α~β) se um pode ser “deformado
continuamente” no outro. Isto nos dá uma relação de
equivalência. Um caminho α:[0,1]→X satisfazendo
α(0) = α(1) = x0 é chamado um laço ou caminho
fechado em X. É usual denotar por Ω(X, x0) o
conjunto de todos os laços em X (baseados em x0) e
a classe de equivalência determinada de um
elemento α ∈ Ω(X, x0) por [α]={ β∈ Ω(X, x0); α~β}.
Figura 1. Dois laços homotópicos α e β
Dados os laços α e β em X, o caminho produto de α
e β é definido por:
 α (2t ), se 0 ≤ t ≤ 1 / 2,
α*β (t) = 
β (2t − 1), se 1 / 2 ≤ t ≤ 1.
Tem-se bem definida uma operação no conjunto
quociente Ω(X,x0)/~ dada por [α].[β ]:= [α*β] e mostra-se que esse conjunto é um grupo (Teorema 1),
tal grupo é denominado grupo fundamental de X.
O grupo fundamental estabelece uma conexão
intrínseca entre a Álgebra e a Topologia. O objetivo
desse trabalho é estabelecer a invariância
topológica do grupo fundamental (Teorema 2).
Material e Métodos
Os materiais utilizados foram: bibliografia específica
e complementar, softwares Winedit para a redação
do trabalho completo e o CorelDraw para as figuras.
A metodologia utilizada baseou-se em pesquisas
bibliográficas, estudos individuais e discussões
semanais entre a orientadora e a aluna.
Resultados e Discussão
Apresentam-se, a seguir, alguns dos resultados,
definições e exemplos que são parte do projeto.
Teorema 1: Dados X um espaço métrico e x0 ∈ X,
o conjunto quociente Ω(X, x0)/~= {[α], α ∈ Ω(X, x0)},
com a operação dada por [α].[β]= [α*β] é um grupo.
XXIV Congresso de Iniciação Científica
Definição 1: Dados um espaço X e o ponto x0 ∈ X,
o grupo Ω(X, x0,)/~ dado no teorema anterior,
denotado por π1(X,x0), é chamado grupo
fundamental de X (com ponto base x0).
Exemplo 1 : Se X é um conjunto unitário, X = {x0} ou
n
X = R com a métrica usual, então π1(X, x0) é o
grupo trivial. Para o último basta ver que todo laço
α ~ cxo (caminho constante), x0∈Rn com “homotopia”
dada, por exemplo, por H(t, s) = (1-s) α(t) +sx0..
Definição 2: Um isomorfismo entre dois grupos (G,.)
e (S,*) é uma função f: G→S, que é homomorfismo
-1
bijetor (a inversa (f) será também hom.). Nesse
caso diz-se que G e S são isomorfos. Not. ≅
Proposição 1: Se X é conexo por caminhos (cpc),
x0 e x1 ∈ X, então π1(X,x0) ≅ π1(X,x1) (grupos
isomorfos). Assim, se X é cpc, denota-se π1(X).
Definição 3:
Um homeomorfismo entre dois
espaços métricos X e Y é uma função f: X → Y,
contínua, bijetora, com inversa contínua.
Exemplo 2: São homeomorfos os espaços:
n
n
n
(a) S - {p} e R , onde p =(0,0,...,1) e S é a n-esfera
n
2
2
x1 +...+xn+1 =1};
unitária,
S ={(x1,...,xn+1);
2
(b) O plano perfurado R - {(0,0)} e o cilindro circular
1
reto S xR.
Teorema 2 (Invariância topológica). Se f: X → Y é
um homeomorfismo entre os espaços cpc X e Y, e
x0∈X, então π1(X,x0) ≅ π1(Y,f(x0)); via f#: [α]→[foα].
Corolário: Se π1(X) e π1(Y) não são isomorfos
então X e Y não são homeomorfos.
Conclusões
O desenvolvimento desse projeto possibilitou uma
boa introdução à Topologia Algébrica. Através do
teorema anterior e Exemplo 2, pode-se concluir, por
n
exemplo, que o grupo π1(S -{p}) é trivial e que são
2
1
isomorfos os grupos π1(R - {(0,0)}) e Y = π1(S xR).
1
n
Ainda, sabendo-se que π1(S ) ≅ Z, segue que R e
1
S não são homeomorfos.
Agradecimentos
PET/SESu/MEC.
Orientadora: Prof.ª Dr.ª Erminia de L. Campello Fanti
____________________
1
Andrade, M.G.C.; Fanti, E.L.C.; Grupo Fundamental - Uma visão
geométrica. Notas de Seminários. SJRP; IBILCE - UNESP, 1996.
2
Croom, F. H. Basic Concepts of Algebraic Topology. Springer Verlag,
NY, 1978
3
Domingues, H. H., Espaços Métricos e introdução à Topologia,
Editora Atual, 1982.
4
Domingues, H. H., Iezzi, G. Álgebra Moderna. Editora Atual, 2003.