Apresentação do PowerPoint

FUNÇÕES
TRIGONOMÉTRICAS
NÉBIA MARA DE SOUZA
Vamos lembrar um pouco o ciclo
trigonométrico?
O eixo y é chamado de eixo das ordenadas e
também conhecido como seno, a função seno é
positiva no 1º e 2º quadrantes e negativa no 3º
e 4º quadrantes.
O eixo x é chamado eixo da abscissas, também
chamado de cosseno, a função cosseno é
positiva no 1º e 4º quadrantes e negativa no 2º
e 3º quadrantes.
PROBLEMATIZAÇÃO
Em uma região, em determinado dia, a diferença
entre os níveis da maré alta e da maré baixa é 1,4
m, e o intervalo de tempo entre duas marés alta
consecutivas, (ou entre duas marés baixas
consecutivas) é 12 horas. Em um plano vertical,
pode-se imaginar uma circunferência acima do nível
do mar e uma haste rígida ligando um ponto P da
circunferência a um ponto do nível do mar, no
prolongamento de Oy, tal que o movimento de
sobe e desce da superfície do mar faça com que o
ponto P gire sobre a circunferência, conforme
mostra a figura.
Como você descreveria o movimento das marés
nessa região em função do horário t, em hora
nesse dia?
HISTORICIZAÇÃO
De acordo com relatos de historiadores, em tempos muito
distantes, anteriores à era cristã, o interesse do homem pelo
movimento dos astros deu origem à Trigonometria, e por
séculos esse vínculo permaneceu.
Em meados do século XVI, François Viète, advogado frânces
dedicado à pesquisa matemática, destacou-se por recorrer
sistematicamente ao círculo trigonométrico e aplicar a
trigonometria na resolução de problemas algébricos,
contribuindo, assim com o desenvolvimento da Matemática.
Todo esse processo culmina com introdução do conceito de
seno, cosseno e tangente como números reais, feita por
Leonhard Euler (século XVIII), quando ele passa a considerar o
círculo de raio unitário.
Leonhard Euler (1707 – 1783), matemático mais
produtivo de todos os tempos. Foi primeiro a tratar
seno e cosseno como funções. Devemos a ele a
notação f(x) para uma função.
A representação das relações trigonométricas no
círculo de raio unitário levou os matemáticos a
estudarem seu comportamento, esboçando-as
graficamente. Assim, foram identificadas funções,
sendo Gilles Roberval (matemático francês do
século XVIII) o primeiro a esboçar a curva do seno.
O estudo das funções trigonométricas teve seu
ápice com Joseph Fourier, no século XIX, no campo
dos movimentos periódicos.
GENERALIZAÇÃO
De modo geral as funções do tipo
trigonométricas são escritas na forma:
f(x) = a + b . trig (cx – d)
Em que a, b, c, d são constantes (b ≠ 0 e c ≠ 0) e
trig indica uma das seis funções trigonométricas
que serão estudadas (seno, cosseno, tangente,
secante, cossecante e cotangente).
FUNÇÃO SENO
Chamamos de função seno a função f(x) = sen x
Vamos conhecer o gráfico dessa função.
Para construir o gráfico da função seno x vamos
construir uma tabela com valores de x da 1ª
volta positiva. O seno, em alguns casos, será
usado com valores aproximados
O Gráfico da f(x) = sen x
Como a função f(x) = sen x é definida no
conjunto dos números reais, ou seja, seu
domínio é IR, a curva pode ser estendida para
valores de x menores do que zero e maiores do
que 2π. Assim, o gráfico da função f: IR → IR,
definida por f(x) = sen x, é a curva chamada
senóide.
Vamos verificar no GeoGebra....
EXEMPLOS
Esboçar o gráfico da função f(x) = 2 + sen x.
X
sen x
y
0
0
2+0=2
π/2
1
2+1=3
Π
0
2+0=2
3π/2
-1
2–1=1
2π
0
2+0=2
D(f) = IR; Im (f) = [ y € IR/ 1 ≤ y ≤ 3 ]; p = 2π
Analisando o que cada parâmetro interfere na
função
Se compararmos o gráfico da função f(x) = sen x
com f(x) = 2 + sen x, veremos que ele sofreu um
deslocamento de duas unidades para cima.
De modo geral, ao considerarmos a função do
tipo f(x) = a + sen x, o gráfico de f(x) = sen x será
transladado para cima (a ˃ 0) ou para baixo
sendo ( a ˂ 0 ) em a unidades.
EXEMPLO 2:
Esboçar o gráfico da função f(x) = 2 sen x.
• Se compararmos o gráfico da função f(x) = sen
x com f(x) 2. sen x, veremos que ele sofreu
uma dilatação vertical ( esticou) duas vezes.
• Considerando a função do tipo f(x) = b . sen x,
o gráfico de f(x) = sen x será dilatado se │b│ ˃
1, ou comprimido se 0 ˂ │b│ ˂ 1 um número b
de vezes.
• Caso b ˂ 0, o gráfico sofre uma rotação em
relação ao eixo x, ficando simétrico ao gráfico
com b ˃ 0.
Exemplo 3:
Esboçar o gráfico da função f(x) = sen 2x
Queremos que os ângulos sejam 0, π/2, π, 3π/2
e 2π; para isso devemos atribuir a x metade
desses valores: segue abaixo a tabela.
X
sen 2x
Y
0
2.0
0
π/4
2 . π/4 = π/2
1
π/2
2 . π/2 = π
0
3π/4
2 . 3π/4 = 3π/2
-1
Π
2 . π = 2π
0
D(fx) = IR; Im (fx) = [ y € IR / -1 ≤ y ≤ 1 ]; p = π
• Ao comparar o gráfico de f(x) = sen x com o
gráfico de f(x) = sen 2x, vemos que ele sofreu
uma compressão horizontal de duas unidades,
enquanto o período foi alterado para π.
• Considerando o gráfico do tipo f(x) = sen c . x,
concluímos que o gráfico de f(x) = sen x será
comprimido horizontalmente em c unidades
se │c│ ˃ 1, porém sofrerá dilatação horizontal
se 0 ˂ │c│ ˂ 1. Além disso, temos que o
período é igual a 2π/│c│.
FUNÇÃO COSSENO
Chamamos de função cosseno a função f(x) =
cos x
Vamos construir o gráfico da função f(x) = cos x,
inicialmente para x € [0, 2π] e depois para x € IR.
Alguns valores de cos x serão aproximados.
Como a função f(x) = cos x é definida no
conjunto dos números reais, ou seja, seu
domínio é IR, a curva pode ser estendida para
valores menores do que zero e maiores do que
2π. Assim, o gráfico da função f: IR → IR definida
por f(x) = cos x é a curva chamada cossenóide.
EXEMPLOS
Esboçar o gráfico da função f(x) = 2cos x.
Vamos construir primeiramente a tabela
atribuindo valores para x.
X
Y
0
2
π/2
0
Π
-2
3π/2
0
2π
2
D(f) = IR; Im (f) = [y € IR / -2 ≤ y ≤ 2]; p = 2π
Se compararmos com o gráfico da função f(x) =
cos x com f(x) = 2 . cos , veremos que ele sofreu
uma dilatação vertical ( esticou) duas vezes.
Exemplo 2:
Esboçar o gráfico da função f(x) = 3 + 2 . cos x.
X
3 + 2 . cos x
Y
0
3 + 2 .1 =
5
π/2
3+2.0=
3
Π
3 + 2 . (-1) =
1
3π/2
3+2.0=
3
2π
3+2.1=
5
Comparando o gráfico obtido com o gráfico de
f(x) = cos x, podemos observar que ele foi
deslocado 3 unidades para cima (a = 3) e
dilatado verticalmente 2 vezes (b = 2).
Período das funções seno e cosseno
• Obtemos o período da função f(x) = a + b . sen
(cx - d) ou da função f(x) = a + b . cos (cx – d),
em que a, b, c e d são números reais, com b ±
0 e c ≠ 0, fazendo a medida (cx - d) assumir
todo os valores reais associados a uma volta
completa da circunferência trigonométrica.
• Para isso adotamos a fórmula p= 2π / │c│.
Exemplos:
Determinar o período das funções.
a)y = 3 sen 2x
Resolução
P = 2π / │2│= π
b) y = 2 + 6cos (-4x)
Resolução
P = 2π / │-4│= 2π / 4 = π/2
Papel das constantes a, b, c e d
As funções do tipo f(x) = a + b . trig (cx – d) têm
características que podem ser relacionadas com as
funções trigonométricas e seus gráficos padrões,
estudados anteriormente.
As constantes a e b alteram a imagem da função
(valores de y), e as constantes c e d alteram as
características relacionadas aos valores de x da
seguinte forma:
→ A constante a translada o gráfico padrão em a
unidades verticais. Se a ˃ 0, então o gráfico “sobe” a
unidades, e, se a ˂ 0, então o gráfico “desce” │a│
unidades.
→ A constante b comprime ou dilata o gráfico
verticalmente. Se │b│˃ 1, então o gráfico dilata, e,
se 0 ˂ │b│ ˂1, o gráfico comprime.
→ A constante c altera o período padrão da função
trig, ou seja, comprime ou dilata o gráfico padrão
na horizontal. Se │c│ ˃1, f(x) será comprimido
horizontalmente em │c│ unidades.
Se 0 ˂ │c│ ˂ 1, f (x) será dilatado horizontalmente
em │c│ unidades.
→ A constante d translada o gráfico padrão │d/c│
unidades horizontais. Se d ˃ 0, o gráfico translada
│d/c│ unidades para a direita, e, se d ˂ 0 o gráfico
translada │d/c│ unidades para a esquerda.
Função Tangente
Definimos função tangente como a função real
de variáveis reais que associa a cada número
real x o valor tg x, desde que x não seja π/2 nem
3π/2 e nenhum de seus respectivos arcos
côngruos, isto é: f(x): D → IR
x → f(x) = tg x
é a curva chamada tangentóide.
Domínio de f(x) = O domínio dessa função são
todos os números reais, exceto os que zeram o
cosseno pois não existe cos x = 0
Imagem de f(x) = tg x; Im (tg x) = R ou .
REVISANDO AS FUNÇÕES SENO;
COSSENO E TANGENTE
Exemplo:
Sabemos que sen π / 6 = 1 / 2, cos π / 6 = √3 / 2
e tg π / 6 = √3 / 3. Podemos então calcular:
Cossec π / 6 = 1 / ½= 2 / 1 = 2
Sec π / 6 = 1 / √3/2 = 2 / √3= 2√3 / 3
Cotg π/6 = √3 / 2 / ½ = 2√3 / 2 = √3 ou cotg π / 6
= 1 / √3 / 3 = 3 / √3 = 3√3 / 3 = √3
As Funções Cossecantes, Secantes e
Cotangentes
A partir das ideias já conhecidas de seno,
cosseno e tangente de x, definem-se cossecante,
secante e cotangente de x, assim:
→ cossec x = 1/ sen x, para sen x ≠ 0
→ sec x = 1 / cos x, para cos x ≠ 0
→ cotg x = cox / sen x , para sen x ≠ 0. Quando
sen x ≠ 0 e cos x ≠ 0, podemos ainda escrever
cotg x = 1 / tg x.
As Funções Cossecantes
Denomina-se função cossecante a função definida
por f(x) = cossec x ou f(x) = 1/sen x, para todo x € IR
tal que sen x ≠ 0.
Sinal da função: Como a função cossecante é a
inversa da função seno, então os sinais da função
cossecante são os mesmos da função seno.
GRÁFICO F(X) = COSSEC X
FUNÇÃO SECANTE
Denomina-se função secante a função definida
por f(x) = sec x ou f(x) = 1/cos x, para todo x € IR tal
que cos x ≠ 0.
Sinal da função: Como a função secante é a inversa
da função cosseno, então os sinais da função
secante são os mesmos da função cosseno.
GRÁFICO f(x) = sec x
FUNÇÃO COTANGENTE
Denomina-se função cotangente a função definida
por f(x) = cotg x ou f(x) = cos x / sen x, para todo x €
IR tal que sen x ≠ 0.
Sinal da função: Como a função cotangente é a
inversa da função tangente, então os sinais da
função cotangente é a razão entre o cosseno e o
seno.
GÁFICO DA f(x) = cotg x
Resolução do problema
Imaginemos, em um plano vertical, uma circunferência
acima do nível do mar e uma haste aguda ligando um
ponto P da circunferência a um ponto do nível do mar,
no prolongamento do eixo Oy, conforme mostra a
figura.
O subir e descer da maré, que lembra o movimento de
um imenso pistão, provoca um movimento circular do
ponto P. Supondo esse movimento com velocidade
constante no sentido anti-horário, vamos calcular a
medida ά do arco AP, em função do tempo t, em hora,
em que t = 0 corresponda a um instante em que P
passou pelo ponto A (0.7; 0):
Medida do arco (rad)
Tempo (h)
2π ______________ 12
ά ______________ t
Logo, ά = πt/6 rad
Assim, podemos descrever o movimento da
maré nesse dia, em função do tempo t, em hora,
(0 ≤ t ≤ 24):
pela ordenada do ponto P; f (t) = 0,7 sen πt/6
rad ou
pela abscissa do ponto P: g (t) = 0,7 cos πt/6 rad
Notas:
1º O período p da função f (t) = 0,7 sen πt/6 ou
da função g (t) = 0,7 cos πt/6 é dado por p = 2π /
π/6 = 12. Esse período, no contexto do
problema, chamado de período das marés, é o
tempo, em hora, transcorrido entre duas marés
altas ( ou duas marés baixas) consecutivas.
2º O gráfico da função f (t) = 0,7 sen πt/6, para 0
≤ t ≤ 24 é:
• Interpretando esse gráfico no contexto do
problema, concluímos, por exemplo:
• - A zero hora, a maré estava em seu nível
médio.
• - Às 3 h e às 15 h, a maré estava em nível
máximo, 0,7 m acima do nível médio.
• - Às 9 h e às 21 h, a maré estava em seu nível
mínimo, 0,7 m abaixo do nível médio.
EXERCICIOS
a) f(x) = 3. sen x
b) f(x) = 1 + cos x
TABELA COM OS VALORES DE ALGUNS
ÂNGULOS NOTÁVEIS DAS FUNÇÕES
TRIGONOMÉTRICAS
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
• GIOVANNI, José Ruy & BONJORNO, José Roberto, Matemática
completa. 2º ano Ensino Médio.2ª Edição renovada, São
Paulo: editora FTD, 2005.
• XAVIER, Cláudio & BARRETO, Benigno. Matemática Aula por
Aula. 2º ano Ensino Médio. 2ª Edição renovada, São Paulo:
editora FTD, 2005.