EQUAÇÕES ALGÉBRICAS Definição: É toda equação redutível na

EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
Definição: É toda equação redutível na forma p(x) = 0, em que p(x) é um polinômio de grau
𝑛 ≥ 1, em que os coeficientes são números complexos e a variável (x) também é complexa,
isto é, x pode ser substituído por um número complexo qualquer. Logo:
𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + 𝑎0
𝑃(𝑥) = 0 ⇒ 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + 𝑎0 = 0
Obs.: Toda equação polinomial de grau n, admite exatamente n raízes (reais ou complexas).
RAIZ DE UMA EQUAÇÃO POLINOMIAL:
Um número complexo será raiz de uma equação polinomial [𝑝(𝑥) = 0 ]quando, ao
substituirmos a variável por este valor, obtivermos 0 = 0.
Exemplo: Verificar se 4 e i são raízes da equação polinomial 𝑥 3 − 6𝑥 2 + 10𝑥 − 8 = 0.
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 4 ⇒ 43 − 6. 42 + 10.4 − 8 = 0
0 = 0 4 é raiz
3
2
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 𝑖 ⇒ 𝑖 − 6. 𝑖 + 10. 𝑖 − 8 = 0
9𝑖 − 2 ≠ 0 i não é raiz
Logo, podemos dizer:
 4 é raiz da equação 𝑃(𝑥) = 0;
 4 é raiz da função polinomial 𝑃(𝑥);
 4 é raiz do polinômio 𝑃.
E pelo teorema de D’Alembert: 𝑷 é divisível por 𝒙 − 𝟒.
Exercícios resolvidos:
2
1. Dada a equação polinomial (𝑥 − 1). (𝑥 3 − 4𝑥 + 𝑎) = (𝑥 2 − 1) ,
a) Coloque-a na forma P(x)=0;
b) Obtenha a para que 2 seja uma das raízes da equação.
Solução:
a) Desenvolvemos os 2 membros:
𝑥 4 − 4𝑥 2 + 𝑎𝑥 − 𝑥 3 + 4𝑥 − 𝑎 = (𝑥 2 − 1). (𝑥 2 − 1)
𝑥 4 − 𝑥 3 − 4𝑥 2 + (4 + 𝑎)𝑥 − 𝑎 = 𝑥 4 − 2𝑥 2 + 1
∴ 𝑃(𝑥) = 𝑥 3 + 2𝑥 2 − (4 + 𝑎)𝑥 + (𝑎 + 1)
𝑆𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑃(𝑥) = 0, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠:
𝑥 3 + 2𝑥 2 − (4 + 𝑎)𝑥 + (𝑎 + 1) = 0
b) Se 2 é raiz, P(2)=0, então:
𝑃(𝑥) = 𝑥 3 + 2𝑥 2 − (4 + 𝑎)𝑥 + (𝑎 + 1)
𝑃(2) = 23 + 2. 22 − (4 + 𝑎). 2 + (𝑎 + 1)
0 = 8 + 8 − 8 − 2𝑎 + 𝑎 + 1
0 = −𝑎 + 9
∴𝒂=𝟗
2) Resolva, em C, a equação 𝑥 4 − 5𝑥 2 − 10𝑥 − 6 = 0, sabendo que duas raízes são – 1 e 3.
Observe que:
 se -1 é raiz da equação, P(-1)=0. Isto implica que: P(x) é divisível por 𝑥 + 1.
 De semelhante modo para a raiz 3.

Então, pelo algoritmo de Briot-Ruffini, temos:
-1
3
1
0
-5
- 10
-6
1
-1
-4
-6
0
1
2
2
0
Sendo assim...
 Podemos concluir que P(x) pode ser escrito como um produto de 3 fatores:
𝑃(𝑥) = (𝑥 + 1). (𝑥 − 3). (𝑥 2 + 2𝑥 + 2)
Isto quer dizer que as demais raízes de P(x) vêm de 𝑥 2 + 2𝑥 + 2. Ao resolver a equação
𝑥 2 + 2𝑥 + 2 = 0, temos:
∆= 4 − 8 ⇒ ∆= −4
−2 ± √−4 −2 ± 2𝑖
𝑥=
⇒
⇒ 𝑥1 = −1 = 𝑖 𝑒 𝑥2 = −1 − 𝑖
2
2
∴ 𝑽 = {−𝟏, 𝟑, − 𝟏 + 𝒊, − 𝟏 − 𝒊}
Multiplicidade de uma raiz
Observe a equação polinomial a seguir:
(𝑥 − 3). (𝑥 − 1)2 . (𝑥 − 4)3 = 0
Ela apresenta 6 raízes, sendo:
 Uma raiz simples igual a 3;
 Uma raiz dupla igual a 1;
 Uma raiz tripla igual a 4.
Podemos também dizer que 3 é raiz uma vez, enquanto que o 1 é raiz duas vezes e 4 é raiz três
vezes. Logo, por exemplo, a multiplicidade da raiz 4 é 3.
Ainda com relação a multiplicidade...
 Se 4 é raiz da equação anterior sabemos que ao dividirmos o polinômio por 𝑥 − 4 o
resto tem que ser zero. Ou seja: 𝑃(4) = 0.
Isto nos permite dizer que, ao dividirmos sucessivamente o polinômio por 𝑥 − 4, obteremos
resto igual a zero 3 vezes, visto que 4 é raiz tripla da equação polinomial.
 De modo semelhante: 𝑃(1) = 0 e P(3) = 0.
Último exercício:
Verificar se a equação polinomial 2𝑥 3 − 5𝑥 2 + 𝑥 + 2 = 0 possui uma raiz igual a 2. Depois
obtenha as demais raízes e por fim coloque o polinômio p(x)na forma fatorada.
1º) Se 2 for raiz, então P(2)=0:
𝑃(𝑥) = 2𝑥 3 − 5𝑥 2 + 𝑥 + 2
𝑃(2) = 2. 23 − 5. 22 + 2 + 2
𝑃(2) = 16 − 20 + 4
𝑃(2) = 0 ∴ 2 é raiz da equação polinomial
2º) Para obter as demais raízes vamos baixar o grau da equação dividindo-a por x – 2, visto que
2 é raiz e isto implica em resto igual a zero.
2
2
5
1
2
2
-1
-1
0
2
Logo, podemos escrever P(x) como:
𝑃(𝑥) = (𝑥 − 2). (2𝑥 2 − 𝑥 − 1)
E para “encontrar” as 2 raízes que faltam, basta resolver a equação 2𝑥 2 − 𝑥−= 0.
Sendo assim: 2𝑥 2 − 𝑥 − 1 = 0
∆= 1 + 8 ⇒ ∆= 9
𝑥=
1±3
⇒ 𝑥1 = 1
4
𝑒
𝑥2 = 1/2
Por fim, P(x) na forma fatorada é igual a:
𝑃(𝑥) = (𝑥 − 𝟐). (𝑥 − 𝟏). (𝑥 − 𝟏/𝟐)
Fonte: Volume 6 da coleção Fundamentos da Matemática Elementar / Autor: Gelson Iezzi