questão 16 - Colégio OBJETIVO

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Colégio
PARA QUEM CURSA A 1.a SÉRIE DO ENSINO MÉDIO EM 2014
Disciplina:
Prova:
MaTeMÁTiCa
desafio
nota:
QUESTÃO 16
Um mecânico de uma equipe de corrida necessita que as seguintes medidas realizadas em um
carro sejam obtidas em metros:
a) distância a entre os eixos dianteiro e traseiro;
b) altura b entre o solo e o encosto do piloto.
Ao optar pelas medidas a e b em metros, obtêm-se, respectivamente:
a) 0,23 e 0,16.
b) 2,3 e 1,6.
c) 23 e 16.
d) 230 e 160.
e) 2 300 e 1 600.
RESOLUÇÃO
a = 2 300 mm = 230 cm = 23 dm = 2,3 m
b = 160 cm = 16 dm = 1,6 m
Resposta: B
OBJETIVO
1
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
QUESTÃO 17
A Escala de Magnitude de Momento (abreviada como MMS e denotada com Mw), introduzida
em 1979 por Thomas Haks e Hiroo Kanamori, substituiu a Escala de Richter para medir a
magnitude dos terremotos em termos de energia liberada. Menos conhecida pelo público, a
MMS é, no entanto, a escala usada para estimar as magnitudes de todos os grandes
terremotos da atualidade. Assim como a escala Richter, a MMS é uma escala logarítmica. Mw
e M0 se relacionam pela fórmula:
2
Mw = –10,7 + ––– log10 (M0)
3
Onde M0 é o momento sísmico (usualmente estimado a partir dos registros de movimento
da superfície, através dos sismogramas), cuja unidade é dina.cm.
O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro de 1995, foi um dos terremotos que
causaram maior impacto no Japão e na comunidade científica internacional. Teve magnitude
Mw = 7,3.
U.S. GEOLOGICAL SURVEY. Historic Earthquakes.
(Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 mai. 2010. Adaptado.)
U.S. GEOLOGICAL SURVEY. USGS Earthquake Magnitude Policy.
(Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 mai. 2010. Adaptado.)
Mostrando que é possível determinar a medida por meio de conhecimentos matemáticos,
qual foi o momento sísmico M0 do terremoto de Kobe (em dina.cm)?
a) 10– 6,10
b) 10– 0,73
c) 1012,00
d) 1021,65
e) 1027,00
RESOLUÇÃO
2
Se MW = – 10,7 + –– . log10(M0) e MW = 7,3, então:
3
2
7,3 = – 10,7 + –– . log10(M0) € log10(M0) = 27 € M0 = 1027
3
Resposta: E
OBJETIVO
2
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
QUESTÃO 18
Em uma festa com n pessoas, em um dado instante, 31 mulheres se retiraram e restaram
convidados na razão de 2 homens para cada mulher.
Um pouco mais tarde, 55 homens se retiraram e restaram, a seguir, convidados na razão de
3 mulheres para cada homem. O número n de pessoas presentes inicialmente na festa era
igual a
a) 100
b) 105
c) 115
d) 130
e) 135
RESOLUÇÃO
Se h era o número inicial de homens e m o de mulheres, então:
h = 2(m – 31)
m – 31 = 3(h – 55)
⇔
h = 2(m – 31)
⇔
h
–– = 3h – 165
2
– 31) ⇔ m = 64 fi
h5h==2(m
h = 66
330
fi m + h = n = 130
Resposta: D
QUESTÃO 19
O número real x, com 0 < x < π, satisfaz a equação log3(1 – cos x) + log3(1 + cos x) = – 2.
Então, cos 2x + sen x vale
10
8
1
7
2
a) –––
b) –––
c) –––
d) –––
e) –––
3
9
9
3
9
RESOLUÇÃO
I)
log3(1 – cos x) + log3(1 + cos x) = – 2
fi
1 – cos x > 0
1 + cos x > 0
fi
(1 –
=–2
log
– 1 < cos x < 1
3
cos2x)
fi
1
1 – cos2x = ––
9
fi
– 1 < cos x < 1
8
cos2x = ––
9
– 1 < cos x < 1
8
II) Lembrando que sen2x + cos2x = 1, "x Œ ⺢ e observando que cos2x = ––– , conclui-se
9
1
que sen x = –– , pois 0 < x < π
3
8
1
10
III) cos(2x) + sen x = 2 cos2x – 1 + sen x = 2 . –– – 1 + –– = ––––
9
3
9
Resposta: E
OBJETIVO
3
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
QUESTÃO 20
4x
Considere a função f(x) = 1 – ––––––––
, a qual está definida para x ⫽ – 1. Então, para todo
(x + 1)2
x ⫽ 1 e x ⫽ – 1, o produto f(x)f(– x) é igual a
a) –1
b) 1
c) x + 1
d) x2 + 1
e) (x – 1)2
RESOLUÇÃO
I) Para x ⫽ – 1, tem-se:
4x
(x + 1)2 – 4x = x2 + 2x + 1 – 4x = x2 – 2x + 1 =
f(x) = 1 – ––––––––
=
––––––––––––
–––––––––––––––
––––––––––––
(x + 1)2
(x + 1)2
(x + 1)2
(x + 1)2
(x – 1)2
= –––––––––
=
(x + 1)2
x–1
––––––
x+1
2
II) Para x ⫽ 1, tem-se:
4(– x)
(1 – x)2 + 4x = 1 – 2x + x2 + 4x = x2 + 2x + 1 =
f(– x) = 1 – –––––––––
=
––––––––––––
–––––––––––––––
––––––––––––
(– x + 1)2
(1 – x)2
(1 – x)2
(1 – x)2
(x + 1)2
= –––––––––
=
(x – 1)2
x+1
––––––
x–1
2
III) Para x ⫽ – 1 e x ⫽ 1, tem-se:
2
x–1
x+1
f(x) . f(– x) = –––––– . ––––––
x–1
x+1
2
=1
Resposta: B
QUESTÃO 21
Uma substância radioativa sofre desintegração ao longo do tempo, de acordo com a relação
m(t) = c . a–kt, em que a é um número real positivo, t é dado em anos, m(t) é a massa da
substância em gramas e c, k são constantes positivas. Sabe-se que m0 gramas dessa
substância foram reduzidos a 20% em 10 anos. A que porcentagem de m0 ficará reduzida a
massa da substância, em 20 anos?
a) 10%
b) 5% c) 4% d) 3% e) 2%
RESOLUÇÃO
Se a substância sofre desintegração ao longo do tempo, de acordo com a relação
m(t) = c . a–kt, então:
I) m(0) = c . a0 = m0 fi c = m0
II) m(10) = m0 . a–10k = 0,2m0 ⇔ a–10k = 0,2
III) m(20) = m0 . a–20k = m0 . (a–10k)2 = m0 . (0,2)2 = 0,04 m0 = 4% . m0
Resposta: C
OBJETIVO
4
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
QUESTÃO 22
Quando se divide o Produto Interno Bruto (PIB) de um país pela sua população, obtém-se a
renda per capita desse país. Suponha que a população de um país cresça à taxa constante de
2% ao ano. Para que sua renda per capita dobre em 20 anos, o PIB deve crescer anualmente
à taxa constante de, aproximadamente,
20
Dado: 2 1,035
a) 4,2%
b) 5,6%
c) 6,4%
d) 7,5%
e) 8,9%
RESOLUÇÃO
Sejam PIB0, P0 e R0 o Produto Interno Bruto, a população e a renda per capita inicial
desse país. Sejam ainda PIB20, P20 e R20 o Produto Interno Bruto, a população e a renda
per capita desse mesmo país, 20 anos após, e seja i a taxa de crescimento anual do PIB
durante esses 20 anos. Temos:
R20 = 2 R0,
PIB20
PIB0
(1 + i%)20 PIB0
e R20 = ––––––
= ––––––––––––––––
=
R0 = ––––––
P20
P0
(1 + 2%)20 P0
1 + i%
–––––––––
1,02
20
. R0 = 2R0 ⇔
20
1 + i%
⇔ ––––––– = 2 ⇔ 1 + i%= 1,02 . 1,035 ⇔ 1 + i% = 1,0557 ⇔ i% = 0,0557 = 5,57% 5,6%
1,02
Resposta: B
QUESTÃO 23
Seja f uma função a valores reais, com domínio D 傺 ⺢, tal que f(x) = log10(log (x2 – x + 1)),
1/3
para todo x ΠD.
O conjunto que pode ser o domínio D é
a) {x Œ ⺢; 0 < x < 1}
1
c) {x Œ ⺢; ––– < x < 10}
3
b) {x Œ ⺢; x ≤ 0 ou x ≥ 1}
1
d) {x Œ ⺢; x ≤ ––– ou x ≥ 10}
3
10
1
e) {x Œ ⺢; ––– < x < ––– }
3
9
OBJETIVO
5
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
RESOLUÇÃO
I) Se f(x) = log10[log (x2 – x + 1)] para todo x Œ D, então os elementos do conjunto D
1/3
são tais que:
x2 – x + 1 > 0
⇔
log1/3(x2 – x + 1) > 0
x2 – x + 1 > 0
x2 – x + 1 < 1
II) x2 – x + 1 > 0, "x, pois o gráfico de g(x) = x2 – x + 1 é do tipo
III) x2 – x + 1 < 1 ⇔ x2 – x < 0 ⇔ 0 < x < 1, pois o gráfico de h(x) = x2 – x é do tipo
IV) D 傺 {x Œ ⺢ 0 < x < 1} e, portanto, o conjunto D pode ser o próprio conjunto
{x Œ ⺢ 0 < x < 1}.
Resposta: A
QUESTÃO 24
Um caminhão sobe uma ladeira com inclinação de 15°. A diferença entre a altura final e a
altura inicial de um ponto determinado do caminhão, depois de percorridos 100 m da ladeira,
será de, aproximadamente,
a) 7 m
b) 26 m
c) 40 m
d) 52 m
e) 67 m
Dados:
3 1,73
q
1 – cos q
sen2 –– = –––––––––
2
2
RESOLUÇÃO
OBJETIVO
6
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
I) Sendo sen2
1 – cos q
q
= ––––––––– e q = 30°, temos:
–––
2
2
3
1 – –––
1
–
cos
30°
2
2 – 3
sen2 15° = ––––––––––– = ––––––– = ––––––
2
2
4
2 – 3
Assim, sen 15° = –––––––––
2
27
3
3
––––
––––
100
0,27
2
–
1,73
2
–
3
33
10
= –––––– = –––– =
II) sen 15° = ––––––––– = –––––––––– = ––––––– = –––––––––
2
2
2
2
20
2
5,19
3 . 1,73
h
= –––––––– = –––– = –––– ⇔ h = 5 . 5,19 = 25,95
20
20
100
Logo, a diferença h entre a altura final e a altura inicial de um ponto determinado do
caminhão é, aproximadamente, 26.
Resposta: B
QUESTÃO 25
O diretor de uma escola convidou os 280 alunos do terceiro ano a participarem de uma
brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos; um
dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa. O objetivo da
brincandeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da
casa o objeto foi escondido.
Todos os alunos decidiram participar. A cada vez, um aluno é sorteado e dá a sua resposta.
As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser
sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor
e a brincadeira é encerrada.
O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há
a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
b) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
c) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
d) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
e) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
OBJETIVO
7
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
RESOLUÇÃO
O número total de possibilidades de uma personagem esconder um dos 5 brinquedos
em um dos 9 cômodos é 6 . 5 . 9 = 270.
Já que as respostas devem ser sempre diferentes, algum aluno acertou a resposta
porque “há 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas”.
Resposta: A
QUESTÃO 26
O dono de uma farmácia resolveu colocar à vista do público o gráfico mostrado a seguir, que
apresenta a evolução do total de vendas (em Reais) de certo medicamento ao longo do ano
de 2011.
De acordo com o gráfico, os meses em que ocorreram, respectivamente, a maior e a menor
venda absolutas, em 2011, foram
a) março e abril.
b) março e agosto.
c) agosto e setembro.
d) junho e setembro.
e) junho e agosto.
RESOLUÇÃO
De acordo com o gráfico, os meses em que ocorreram, respesctivamente, a maior e a
menor venda absolutas, em 2011, foram junho e agosto.
Resposta: E
QUESTÃO 27
Jogar baralho é uma atividade que estimula o raciocínio. Um jogo tradicional é a Paciência,
que utiliza 52 cartas. Inicialmente são formadas sete colunas com as cartas. A primeira coluna
tem uma carta, a segunda tem duas cartas, a terceira tem três cartas, a quarta tem quatro
cartas, e assim sucessivamente até a sétima coluna, a qual tem sete cartas, e o que sobra
forma o monte, que são as cartas não utilizadas nas colunas.
A quantidade de cartas que forma o monte é
a) 21.
b) 24.
c) 26.
OBJETIVO
d) 28
8
e) 31.
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
RESOLUÇÃO
A quantidade de cartas que forma o monte é
52 – (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7) = 52 – 28 = 24
Resposta: B
QUESTÃO 28
Uma pesquisa realizada por estudantes da Faculdade de Estatística mostra, em horas por dia,
como os jovens entre 12 e 18 anos gastam seu tempo, tanto durante a semana (de segundafeira a sexta-feira), como no fim de semana (sábado e domingo). A seguinte tabela ilustra os
resultados da pesquisa.
Rotina Juvenil
Durante a semana
No fim de semana
Assistir à televisão
3
3
Atividades domésticas
1
1
Atividades escolares
5
1
Atividade de lazer
2
4
Descanso, higiene e alimentação
10
12
Outras atividades
3
3
De acordo com esta pesquisa, quantas horas de seu tempo gasta um jovem entre 12 e 18
anos, na semana inteira (de segunda-feira a domingo), nas atividades escolares?
a) 20
b) 21
c) 24
d) 25
e) 27
RESOLUÇÃO
A quantidade de horas semanais, de segunda-feira a domingo, que um jovem de 12 a
18 anos gasta com atividades escolares é 5 . 5 + 2 . 1 = 27
Resposta: E
QUESTÃO 29
Certo vendedor tem seu salário mensal calculado da seguinte maneira: ele ganha um valor
fixo de R$ 750,00, mais uma comissão de R$ 3,00 para cada produto vendido. Caso ele venda
mais de 100 produtos, sua comissão passa a ser de R$ 9,00 para cada produto vendido, a
partir do 101.o produto vendido.
Com essas informações, o gráfico que melhor representa a relação entre salário e o número
de produtos vendidos é
OBJETIVO
9
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
OBJETIVO
10
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE
RESOLUÇÃO
O salário S em função de x, para:
1) 0 ≤ x ≤ 100, é S = 750 + 3 . x
2) x ≥ 101, é S = 1050 + 9 . (x – 100) = 9x + 150
Portanto , o gráfico é do tipo:
Resposta: E
QUESTÃO 30
Nos shopping centers costumam existir parques com vários brinquedos e jogos. Os usuários
colocam créditos em um cartão, que são descontados por cada período de tempo de uso dos
jogos. Dependendo da pontuação da criança no jogo, ela recebe um certo número de tíquetes
para trocar por produtos nas lojas dos parques.
Suponha que o período de uso de um briquedo em certo shopping custe R$ 3,00 e que uma
bicicleta custe 9 200 tíquetes.
Para uma criança que recebe 20 tíquetes por período de tempo que joga, o valor, em reais,
gasto com créditos para obter a quantidade de tíquetes para trocar pela bicicleta é
a) 153.
b) 460.
c) 1 218.
d) 1 380.
e) 3 066.
RESOLUÇÃO
Para que uma criança que recebe 20 tíquetes por período acumule 9200 tíquetes (que
9 200 = 460 períodos.
lhe permitem trocá-los pela bicicleta), ela deverá jogar por –––––
20
Como o preço de cada período é de R$ 3,00, o valor gasto será 460 . R$ 3,00 = R$ 1 380,00.
Resposta: D
OBJETIVO
11
MATEMÁTICA – DESAFIO – 1.a SÉRIE