teoria das falhas

TEORIA DAS FALHAS
1
INTRODUÇÃO
Elementos estruturais e seus componentes são dimensionados e projetados de
acordo com o material corresponde a sua estrutura, sendo caracterizado como dúcteis
ou frágeis. Assim, quando o engenheiro prepara o projeto para um determinado
carregamento, mas já analisando o qual tipo de material empregado na obra
estabilizando dessa forma e estipulando um limite superior para o estado de tensões
definindo a falha do material.
Outro fator contribuinte para o dimensionamento estrutural seriam os modos de
falha que são prontamente definidos se o elemento estiver submetido a um estado de
tensão uniaxial, como no caso de tensão simples. Caso o elemento esteja submetido
a estados de tensão biaxial ou triaxial, o critério para ruptura fica mais difícil de
estabelecer.
Na prática da engenharia estudam-se quatro teorias para prever a ruptura de
um material submetido a um estado multiaxial de tensões. Utilizam-se estas teorias
para se calcular as tensões admissíveis descritas em muitas normas de projeto.
2 REFERENCIAL TEÓRICO
A falha do material varia de acordo com a cada característica de rigidez do
corpo. Temos dois grandes subgrupos para melhor classificação: materiais dúcteis e
frágeis. Se o material for dúctil, geralmente a falha será especificada pelo início do
escoamento; se for frágil, ela será especificada pela fratura. Levando em consideração
as forças externas envolvidas em cada peça (tensões uniaxiais, biaxial, triaxial)
determinando assim as tensões admissíveis.
2.1 MATERIAIS DÚCTEIS
O caso mais comum de escoamento de um material dúctil, como o aço, é o
deslizamento que ocorre ao longo dos planos de contato dos cristais que,
aleatoriamente ordenados, formam o próprio material.
2.1.1
Teoria da Tensão de Cisalhamento Máxima ou Critério do Escoamento
de Tresca
O caso mais comum de escoamento de um material dúctil é o deslizamento
que ocorre ao longo dos planos de contato dos cristais que, aleatoriamente
ordenados, formam o próprio material. Esse deslizamento deve-se a tensão de
cisalhamento.
Essa teoria poderia ser comprovada, por meio de experimentos, se
confeccionarmos um corpo de prova com uma faixa estreita com o alto polimento e
submeter a um teste de tração simples, assim comprovará a tensão provoca pelo
escoamento devido ao material em estudo. Na Figura 1, expõem ilustradamente esse
teste.
Figura 1 - Escoamento do aço
Fonte: (Salete Buffoni, SD)
Geralmente o escoamento de um material dúctil é o aço, e as linhas
apresentadas na Figura 1 demonstram os planos de deslizamento, que ocorrem a
aproximadamente 45º do eixo da faixa altamente polida.
Considerando-se um elemento do material tirado de um corpo de prova para
um ensaio de tração, submetido apenas ao limite de escoamento σE, como apresenta
a Figura 2.a. A tensão de cisalhamento máxima é determinada a partir do círculo de
Mohr apresentado na Figura 2.b.
Assim temos que:
𝜏 𝑚á𝑥 =
𝜎𝐸
2
(1)
Figura 2 - Elemento de um material tirado de um corpo de prova
Fonte: (Salete Buffoni, SD)
Nos planos de tensão principal, a tensão de cisalhamento atua no plano de 45°,
de acordo com a Figura 2.c. Esses planos coincidem com a orientação das linhas de
Lüder, apontando a ruptura decorrente do cisalhamento por consequência da falha
dos materiais dúcteis. Assim, Henri Tresca, em 1868, propõe uma ideia a qual prevê
em um material dúctil sobrecarregado com qualquer tipo de carregamento uma tensão
de falha.
A tensão de cisalhamento máxima absoluta do escoamento do material tem
início quando o valor da tensão de cisalhamento atinge um valor máximo, ocasionando
o escoamento do material submetido a somente uma tensão axial.
Para evitar à ruptura, a tensão de cisalhamento máxima deve ser menor ou
igual à tração simples aplicada na estrutura. Para o estudo, é necessário colocar a
tensão de cisalhamento em função com as principais tensões. Porém, isso é aplicado
nos casos em que a tensão principal fora do plano for zero. No caso de duas tensões
principais no plano possuírem o mesmo sinal, isto é, ambas forem tração ou
compressão, a falha tem como característica acontecer fora da superfície aplicada.
Temos assim:
𝜏 𝑚𝑎𝑥 𝑎𝑏𝑠 =
𝜎 𝑚𝑎𝑥
(2)
2
Caso as tensões principais possuírem sinais opostos, a falha irá acontece no
plano e tem-se que:
τ max =
σ max−σ min
(3)
2
Com a equações (1), (2) e (3), a teoria da tensão de cisalhamento máxima para
o estado plano de tensões expõem para qualquer tensão principal no plano com σ1 e
σ2 de característica de acordo com as seguintes fundamentações:
|𝜎1| = 𝜎𝐸
𝜎1 𝑒 𝜎2 𝑡𝑒𝑚 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑖𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑖𝑠 {
|𝜎2| = 𝜎𝐸
𝜎1 𝑒 𝜎2 𝑡𝑒𝑚 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑖𝑠 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 {|𝜎1 − 𝜎2|
(4)
Um gráfico dessas equações é apresentado na Figura 3.
Figura 3 - Critério de Tresca
Fonte: (Salete Buffoni, SD)
Caso um material esteja sujeito a um estado de plano de tensões e suas
principais tensões no plano exibirem as coordenadas (σ1, σ2) apontada no limite ou
fora a área sombreada hexagonal, o material tende a falha.
2.1.2
Teoria de Energia de Distorção Máxima, Critério de Von Misses e H.
Hencky
Quando um material deformado por um carregamento externo propende a
guardar a energia internamente em todo o conjunto do seu volume, a energia em cada
ponto do volume do material é denominada como densidade de energia de
deformação sujeita a uma tensão uniaxial, σ, descrita como:
1
𝑢 = 2 𝜎𝜀
(5)
Este método de falha apoia-se nas distorções ocasionada pela energia
deformação. Com base na figura 4.a, a densidade de energia de deformação em um
elemento de volume do material subordinado ás três tensões principais σ1, σ2 e σ3.
𝑢=
1
1
𝜎1𝜀1 + 2 𝜎2𝜀2 +
2
1
2
𝜎3𝜀3
(6)
Caso o material se comporte de maneira linear elástica aplica-se a lei de Hooke.
Assim, substituindo a equação:
𝜀𝑥 =
1
[𝜎𝑥 − 𝑣 (𝜎𝑦 + 𝜎𝑥 )]
𝐸
1
𝜀𝑦 = 𝐸 [𝜎𝑦 − 𝑣 (𝜎𝑥 + 𝜎𝑧)]
𝜀𝑧 =
(7)
1
[𝜎𝑧 − 𝑣(𝜎𝑥 − 𝜎𝑦)]
𝐸
Na equação (6) e simplificando obtemos:
1
𝑢 = 2𝐸 [𝜎12 + 𝜎22 + 𝜎32 − 2𝑣(𝜎1𝜎2 + 𝜎1𝜎3 + 𝜎2𝜎3)]
(8)
A densidade de energia de deformação é a soma de duas partes, no qual uma
desempenha a energia mínima para a realização de alguma alteração no volume,
porém sem mudar a forma do elemento. Já a segunda simboliza a energia necessária
para distorcer o elemento.
A energia armazenada tem como característica própria a mudança de volume
do elemento como a mudança de volume provocada pela aplicação da tensão
principal média σmed = (σ1 +σ2 +σ3)/3, uma vez que as deformações principais
provocam tensão na peça, apresentada na Figura 4.b.
A energia de distorção é resultante do restante das tensões (σ1 − σmed), (σ2 −
σmed) e (σ3 − σmed), apresentada na Figura 4.c.
Figura 4 - Deformação de um elemento de volume do material
Fonte: (Salete Buffoni, SD)
Os experimentos demonstram que os materiais quando sujeitado a uma
tensão uniforme (hidrostática) não escoam igual a σmed. Sabendo disso, M. Huber, em
1904, propôs uma teoria, a qual foi definida a energia de distorção por unidade de
volume do material é igual ou maior que a energia de distorção por unidade de volume
do mesmo material quando ele é submetido a escoamento em um teste de tração
simples.
Permutando o σ1, σ2 e σ3 por (σ1 − σmed) , (σ2 − σmed) e (σ3 − σmed), nessa ordem
na equação (8), temos a seguinte função:
𝑢𝑑 =
1+𝑣
6𝐸
[(𝜎1 − 𝜎2)2 + (𝜎2 − 𝜎3)2 + (𝜎3 − 𝜎1)2 ]
(9)
No caso do estado plano de tensões, σ3 = 0 e assim,
𝑢𝑑 =
1+𝑣
3𝐸
[𝜎12 − 𝜎1𝜎2 + (𝜎2)2 ]
(10)
Em um teste de tração uniaxial, σ1 =σE, σ2 =σ3 =0 e assim:
(𝑢𝑑 )𝐸 =
1+𝑣
3𝐸
𝜎𝐸²
(11)
Como a teoria da energia de distorção máxima requer que ud = (ud)E, então
temos que:
𝜎1² − 𝜎1𝜎2 + 𝜎2² = 𝜎𝐸²
(12)
A equação (12) está representada graficamente através da curva da Figura 5.
Figura 5 - Critério de Von Misses
Fonte: (Salete Buffoni, SD)
Se em um local pontual do material estiver tracionado, deixando as
coordenadas da tensão (σ1, σ2) nos pontos de limite ou fora da área sombreada,
significa que houve uma falha no material. Essa comparação pode ser apresentada
na imagem a seguir.
Figura 6 - Comparação entre os métodos
Fonte: (Salete Buffoni, SD)
Embasado nesse teorema deduz que, as duas teorias resultam no mesmo
valor quando as tensões principais em questão são iguais.
2.2 MATERIAIS FRÁGEIS
2.2.1
Teoria da tensão normal máxima – W. Rankine
Nos materiais frágeis a falha tende ocorrer por uma fratura sem escoamento
aparente. Na figura a seguir (Figura 7), apresenta a falha durante a presença da
tração, assim a fratura atinge o limite de resistência (σr).
No ensaio de torção o local no qual a tração máxima ocorre resulta na fratura
do material. O plano de fratura do elemento, geralmente está a 45° da direção do
cisalhamento, demonstrando na Figura 7.b. A superfície da fratura tem como
característica ser helicoidal.
Figura 7 - Falha de materiais frágeis
Fonte: (Salete Buffoni, SD)
No decorrer da experiência conclui-se que a tensão de tração necessária para
a falha de um corpo em um teste de torção é próximo da necessária na fratura de um
corpo de prova sob uma força de tração simples.
Em um material frágil a falha ocorre quando a tensão principal máxima σ1 atingir
o valor correspondente a resistência que o material aguenta submetida a uma tração
simples. Assim, o material esteja submetido ao estado plano de tensões tem-se que:
|𝜎1| = 𝜎𝑟
|𝜎2| = 𝜎𝑟
(13)
A imagem a seguir tem como característica a representação gráfica da equação
13, verificando através da Figura 8, verificando a coordenada da tensão (σ1, σ2) em
um ponto do material fora da área sombreada, supondo que o material ir sofrer a
fratura, ressaltando que essa teoria é valido para materiais frágeis sob uma força de
tração sobre compressão.
Figura 8 - Teoria da tensão máxima
Fonte: (Salete Buffoni, SD)
2.2.2
Critério de Falha de Mohr
O critério de Falha de Mohr prevê a falha do material, no qual as propriedades
de tração e compressão são diferentes. Para se aplicar a falha de Mohr, tem que
obedecer tais critérios.
Assim, realizam-se três ensaios no material, no qual compreende um ensaio
de tração uniaxial, compressão uniaxial utilizadas para determinar os limites de
resistência a tração (σr)t e a compressão (σr)c.
Outro ensaio necessário para execução da análise de torção o limite de
resistência ao cisalhamento do material. O círculo de Mohr é construído para cada
uma dessas situações, representada na figura 9.
Figura 9 - Critério de falha de Mohr
Fonte: (Salete Buffoni, SD)
No círculo A representa a situação de tensão σ1 = σ2 = 0, σ3 = − (σr)c, no círculo
B representa a condição de tensão σ1 = (σr)t, σ2 = σ3 = 0 e o círculo C representa a
condição de cisalhamento puro provocada pelos três círculos contidos em um
envelope de falha indicado pela curva extrapolada desenhada tangencialmente a eles.
Caso o círculo tiver um ponto de tangencia com o plano de tensões ou se estender
por meio dessa superfície não ocorrerá à falha.
Na Figura 10, o gráfico das tensões principais σ1 e σ2 (σ3 = 0). A falha ocorre
quando o valor absoluto de qualquer uma das tensões principais atingem um valor
igual ou maior que (σr)t ou (σr)c. Dessa forma, o estado de tensão em um ponto é
estabelecido pela coordenada da tensão, ou sua localização no entorno dela.
Figura 10 - Critério de falha de Mohr
Fonte: (Salete Buffoni, SD)
Esse critério é bastante limitado, pois a fratura por tração que se sucede do
seu início dependendo das concentrações de tensões com desenvoltura nas
imperfeições do material, como exemplos vazios, superfícies pequenas e micro
trincas, variando de acordo com qual tipologia do corpo para corpo.
3
REFERENCIAL BIBLIOGRÁFICO
BUFFONI, Salete. Critérios de falhas. SD. Disponível
em:<http://www.professores.uff.br/salete/res1/aula141.pdf>. Acesso em: 08 nov.
2015.
AUTOR DESCONHECIDO. Critério de Von Mises e critério de resistência:
exercícios resolvidos. SD. Disponível
em:<http://www.tudoengcivil.com.br/2015/07/criterio-de-von-mises-criterios-de.html>.
Acesso em: 08 nov. 2015.
LIMA, Luciano Rodrigues Ornelas de. Critérios de Resistência:
escoamento/plasticidade e ruptura. SD. Disponível
em:<http://www.labciv.eng.uerj.br/rm4/Cap_2_criterios.pdf>. Acesso em: 08 nov.
2015.