Matemática Discreta Módulo 2 Análise Combinatória: Fatorial de um

Matemática Discreta
Módulo 2
Análise Combinatória: Fatorial de um número.
Permutações e Arranjos
1. Fatorial de um número
Chama-se fatorial de um número o produto deste número por seus antecessores até a
unidade. O fatorial de número n e representado por n! (n fatorial) e é definido para os
números naturais.
n! = n.(n - 1).(n - 2). ... 1
ou
n! = n.(n - 1)!
6! = 6.5.4.3.2.1 = 720
ou
6! = 6.5!
Observação: Zero fatorial é igual a 1 ou 0! =1
Seguindo o exposto acima temos:
1! = 1.0! para a sentença seja verdadeira é necessário que 0! = 1.
Exemplo 1 - módulo 2 - matemática discreta:
6!
Calcule o valor da expressão
4!
Solução: Desenvolvendo 6! podemos simplificar com 4!
6! 6.5.4!

 6.5  30
4!
4!
2. Permutações
É tipo de agrupamento que os grupos são formados utilizado todos os elementos. A
diferença de um grupo para outro é devida a ordem de colocação dos elementos.
Exemplo 2 - módulo 2 - matemática discreta.
Quantos números de 3 algarismos distintos podemos obter usamos os algarismo 1; 2 e
3?
Solução: Trata-se de uma permutação, pois os algarismos podem apenas ser trocados
de posição. Fazendo diagrama de árvore temos:
Fazendo a contagem verificamos que podemos formar 6
números.
Usando o princípio da multiplicação podemos calcular a
quantidade fazendo o seguinte raciocínio: para colocarmos
o 1º algarismo temos 3 opções, para o 2º temos 2 e para o
3º resta apenas 1 opção. Então quantidade de número é:
3x2x1=6
A multiplicação acima equivale ao fatorial de 3! = 3 x 2 x 1 = 6
A quantidade de permutações simples (quando não há repetição de elementos) dos
elementos de um conjunto é dada pelo fatorial da quantidade de elementos deste
conjunto.
Pn  n!
Pn  permutação simples de n elementos
Quando a permutação apresenta elementos repetidos a quantidade de permutações
possíveis é dado por:
Pna;b;c... 
n!
a!.b!.c!...
Pna ;b;c...  permutação de n elementos apresentando elementos
repetidos a vezes; b vezes; c vezes ....
Exemplo 3 - módulo 2 - matemática discreta.
Quantos anagramas possui a palavra “assassino”?
Matemática Discreta – Módulo 2 – pag. 1
Obs.: um anagrama de uma palavra é qualquer reordenação das letras da palavra
original, tenha essa reordenação sentido ou não (a palavra original também é
considerada um anagrama de si própria)
Solução: A quantidade anagramas é então a quantidade de permutações das letras das
palavras. A palavra “assassino” possui 9 letras ( n = 9) mas a letra a apresenta 2
repetições (a = 2) e letra s tem 4 repetições ( b = 4) e as outras letras não repetem.
Pna;b 
n!
a!.b!
2; 4
 P9

9!
9.8.7.6.5.4!

 9.8.7.3.5  7560
2!.4!
2.1.4!
Portanto a palavra “assassino” possui 7560 anagramas.
3. Arranjos
Arranjo é tipo de agrupamento formado pelos elementos de um conjunto em que cada
difere do outro tanto pela posição dos elementos com pela natureza dos elementos. Se
não houver repetições de elementos o arranjo é chamado de arranjo simples.
Exemplo 4 - módulo 2 - matemática discreta:
Quantos números de 3 algarismos distintos (não repetidos) podemos formar com os
algarismos 1; 2; 3; 4 e 5.
Solução: A formação destes agrupamentos de trata de um arranjo simples porque não
usaremos todos os elementos (n = 5) em cada grupo, um grupo se diferem do outro pela
ordem dos elementos (123  321) ou pela natureza de seus elementos (123  124), e
não podemos repetir elementos em cada grupo.
Aplicando o princípio da multiplicação temos:
5 opções para a escolha do 1º algarismo; 4 opções para a escolha do 2ºalgarismo e
3 opções para a escolha do 3º algarismo logo a quantidade total de agrupamentos é
igual a 5 x 4 x 3 = 60 números.
A quantidade de elementos obtida por arranjo simples pode ser determinada pela
seguinte expressão matemática:
Anp 
n!
(n  p)!
ou
An; p 
n!
(n  p)!
Anp ou An; p  arranjos de n p a p.
n  quantidade de elementos disponíveis para formação dos arranjos.
p  quantidade de elementos que pode ser utilizada em cada grupo.
Se aplicarmos esta expressão nos exemplo 4 temos:
5!
5! 5.4.3.2!
A53 
 
 5.4.3  60 números
(5  3)! 2!
2!
Exemplo 5 - módulo 2 - matemática discreta.
Com os algarismos 1; 2 e 3 faça o digrama de árvores para formação de números de 2
algarismos distintos e confira a quantidade de números formadas pela expressão
matemática de arranjo simples.
Solução:
A32 
Matemática Discreta – Módulo 2 – pag. 2
3!
3.2.1

 6 números
(3  2)!
1
Se na formação dos arranjos pudermos repetir elemento no mesmo grupo teremos
arranjos com repetições cuja expressão de cálculo é a seguinte:
ARnp  n p
ARnp
ou
ARn; p  n p
ou ARn; p  arranjos com repetições de n p a p.
n  quantidade de elementos disponíveis para formação dos arranjos.
p  quantidade de elementos que pode ser utilizada em cada grupo.
Exemplo 6 - módulo 2 - matemática discreta.
Com os algarismos 1; 2 e 3 faça o digrama de árvores para formação de números de 2
algarismos e confira a quantidade de números formadas pela expressão matemática de
arranjos com repetições.
Solução:
ARnp  n p ou ARn; p  n p
AR32  3²  9 números
Exercícios propostos
1) A placa de um carro é formada por 3 letras seguidas de 4 algarismos. Quantas placas
existem utilizando as letras P, Q e R e apenas algarismos ímpares?
2) Quantos anagramas possui a palavra “araruta “ ?
3) Quantos números de 3 algarismos distintos (não repetidos) podemos formar com os
algarismos 1; 2; 3; 4; 5; 6 e 7.
4) Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algarismos 1; 2; 3; 4; 5 e 6.
5) A placa de um carro é formada por 3 letras seguidas de 4 algarismos. Quantas placas
existem utilizando as letras P, Q e R distintas (não repetidas) e apenas algarismos
ímpares distintos?
Matemática Discreta – Módulo 2 – pag. 3