O princípio fundamental da contagem

MATEMÁTICA
ÉLISON
ALUNOS:
ANDRÉ
ELICLECIA
ANTÔNIO CARLOS
PROFESSOR: SANDRO MURILO
PRINCIPIO FUNDAMENTAL DA
CONTAGEM E FATORIAL
Fatorial
Considerando n um número natural maior que 1 (um), podemos
definir como fatorial desse número n (n!) o número:
n! = n(n – 1)(n – 2)(n – 3) * ...* 3 * 2 * 1
Lê-se n! como n fatorial ou fatorial de n.
Veja alguns exemplos:
5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120
8! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 40320
6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720
10! = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 3.628.800
Princípio Fundamental da Contagem
Quando um evento é composto por n etapas sucessivas e independentes,
de tal forma que as possibilidades da primeira etapa é m e as
possibilidades da segunda etapa é n, consideramos então que o número
total de possibilidades de o evento ocorrer é dado pelo produto m*n.
Exemplo 1
Ao lançarmos uma moeda e um dado temos as seguintes possibilidades:
Moeda: cara ou coroa (duas possibilidades)
Dado: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (seis possibilidades)
Observando o ocorrido, vemos que o evento tem
duas etapas com 2 possibilidades em uma e 6 em
outra, totalizando 2*6 = 12 possibilidades.
Exemplo 2
Quantos números de 3 algarismos podemos
escrever com os algarismos 2, 4 e 6? E de
algarismos distintos?
Podemos escrever 3 * 3 * 3 = 27 números de 3
algarismos.
Três algarismos distintos: 3 * 2 * 1 = 6 números
de 3 algarismos distintos.
O princípio fundamental da contagem nos diz que sempre
devemos multiplicar os números de opções entre as escolhas
que podemos fazer.
Por exemplo, para montar um computador, temos 3 diferentes
tipos de monitores, 4 tipos de teclados, 2 tipos de impressora e
3 tipos de “CPU”. Para saber o numero de diferentes
possibilidades de computadores que podem ser montados com
essas peças, somente multiplicamos as opções:
3 x 4 x 2 x 3 = 72
Então, têm-se 72 possibilidades de configurações diferentes.
Um problema que ocorre é quando aparece a palavra “ou”, como
na questão:
Quantos pratos diferentes podem ser solicitados por um cliente
de restaurante, tendo disponível 3 tipos de arroz, 2 de feijão, 3 de
macarrão, 2 tipos de cervejas e 3 tipos de refrigerante, sendo que
o cliente não pode pedir cerveja e refrigerante ao mesmo tempo,
e que ele obrigatóriamente tenha de escolher uma opção de cada
alimento?
A resolução é simples: 3 x 2 x 3 = 18 , somente pela comida.
Como o cliente não pode pedir cerveja e refrigerantes juntos, não
podemos multiplicar as opções de refrigerante pelas opções de
cerveja. O que devemos fazer aqui é apenas somar essas
possibilidades:
(3 x 2 x 3) x (2 + 3) = 90
Resposta para o problema: existem 90 possibilidades de pratos
que podem ser montados com as comidas e bebidas disponíveis.
Outro exemplo:
No sistema brasileiro de placas de carro, cada placa é
formada por três letras e quatro algarismos. Quantas placas
onde o número formado pelos algarismos seja par, podem ser
formadas?
Primeiro, temos de saber que existem 26 letras. Segundo,
para que o numero formado seja par, teremos de limitar o
ultimo algarismo à um numero par. Depois, basta multiplicar.
26 x 26 x 26 = 17.576 -> parte das letras
10 x 10 x 10 x 5 = 5.000 -> parte dos algarismos, note que na
última casa temos apenas 5 possibilidades, pois queremos
um número par (0 , 2 , 4 , 6 , 8).
Agora é só multiplicar as partes: 17.576 x 5.000 = 87.880.000
Resposta para a questão: existem 87.880.000 placas onde a
parte dos algarismos formem um número par.
Para entendermos o princípio fundamental
da contagem vamos analisar a seguinte situação:
João possui 4 camisas, 3 calças, 2 pares de meia e
2 pares de sapatos. De quantas maneiras
diferentes ele pode se vestir?
Observe os esquemas a seguir:
Cada esquema representa todas as possíveis
combinações envolvendo os objetos do
vestuário de João. Uma maneira mais
simplificada e eficaz de resolver tal situação
consiste em determinar a multiplicação entre
a quantidade de elementos de cada conjunto.
Observe:
4 * 3 * 2 * 2 = 48 combinações.
Observe outro exemplo:
Numa lanchonete há 8 tipos de sanduíche, 5 tipos de
sucos e 6 tipos de sorvetes. Quantas são as possíveis
combinações de um lanche nessa lanchonete?
Utilizando o princípio fundamental da contagem
temos:
8 * 5 * 6 = 240 maneiras de realizar um lanche.
Fatorial
O fatorial é uma ferramenta matemática utilizada na análise combinatória, na
determinação do produto dos antecessores de um número maior que 1. Por
exemplo:
1! = 1
2! = 2 * 1 = 2
3! = 3 * 2 *1 = 6
4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24
5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120
6! = 6 * 5 *4 * 3 * 2 * 1 = 720
7! = 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5 040
8! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 40 320
9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 362 880
10! = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 3 628 800
E assim sucessivamente.
Um exemplo de utilização de fatorial está presente no cálculo
de anagramas de uma palavra. Lembrando que anagrama é a
quantidade de novas palavras formadas com ou sem sentido,
utilizando as letras de outra palavra. Por exemplo, vamos
determinar os anagramas da palavra AMOR.
A palavra AMOR é formada por quatro letras, portanto:
4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 palavras
Determinando os anagramas da palavra MATEMÁTICA.
10! = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 3 628 800 palavras
formadas.
fim