Simetrias do Temperamento Igual
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6LPHWULDVGR7HPSHUDPHQWR,JXDO MARTA R APOSOa E RUI PACHECOb bU NIVERSIDADE DA B EIRA INTERIOR [email protected] e [email protected]. 44 GAZETA DE MATEMÁTICA r174 T 2 RXYLGR KXPDQR WHP D FDSDFLGDGH GH GLVWLQJXLU GH]H- UDQVSRVLo}HVHLQYHUV}HVVmR QDVGHQRWDVGLIHUHQWHVFRPSUHHQGLGDVQXPWDOLQWHUYDOR'H WUDQVIRUPDo}HVQRFRQMXQWRGHWRGDV as notas musicais recorrentemente utilizadas por músicos e compositores. 1RFRQWH[WRGRVLVWHPDGHDÀQDomR GHWHPSHUDPHQWRLJXDOWUDQVSRVLo}HV HLQYHUV}HVSRGHPVHUQDWXUDOPHQWH LGHQWLÀFDGDVFRPDVWUDQVIRUPDo}HV GH0|ELXVTXHSUHVHUYDPXPFHUWR subconjunto discreto da espiral ORJDUtWPLFD entre essas notas podemos selecionar algumas e organizá-las HP VHTXrQFLDV GD PDLV JUDYH j PDLV DJXGD TXH GHVLJQD- remos por escalas 1D WUDGLomR RFLGHQWDO FRQVLGHUDPVH QRWDVQRLQWHUYDORGHXPDRLWDYD$escala cromáticapSUHFLVD- PHQWHDVHTXrQFLDIRUPDGDSRUHVVDVQRWDV GyGy UpUp , mi, fá, fá , sol, sol , lá, lá , si. 0DVDHVFROKDGRQ~PHURQmRpXQLYHUVDO3RUH[HPSORQD FXOWXUDLQGLDQDpIUHTXHQWHDGLYLVmRGDRLWDYDHPshrutis >@ Estabelecidas 12 notas, coloca-se o problema, diga-se SRXFR SDFtÀFR > @ GH HQFRQWUDU YDORUHV SDUD DV UD]}HV GDV UHVSHWLYDV IUHTXrQFLDV R SUREOHPD GR temperamento da HVFDODFURPiWLFD$PDWHPiWLFDHQYROYLGDQHVWDGLVFXVVmRp ULFDWDQWRHPUHODomRjPRGHODomRGRIHQyPHQRGHHPLVVmR SURSDJDomRHSHUFHomRGRVRP>@FRPRHPUHODomRjFRQV- WUXomRDUWHVDQDOGHLQVWUXPHQWRVPXVLFDLVFRPSDWtYHLVFRP 1. TEMPERAMENTO IGUAL 1mRYDPRVUHSHWLUDTXHODYHOKDKLVWyULDGRSDVVHLRGH3LWi- JRUDVHGRVPDUWHORVQDRÀFLQDGRIHUUHLURPDVUHOHPEUHPRV RVGLIHUHQWHVVLVWHPDVDGRWDGRV>@$GLYLVmRHPLQWHUYDORV iguais, o temperamento igualDGHTXDVHFRPIDFLOLGDGHjFRQV- WUXomRHjH[HFXomRGHLQVWUXPHQWRVGHWHFODVFRPRRSLDQR PR3LWiJRUDVRVVRQVSURGX]LGRVDRSUHVVLRQDUSRQWRVTXH RXRFUDYR1HVWHFDVRDUD]mRHQWUHDVIUHTXrQFLDVGHGXDV √ 12 2 , um número irracioQRWDVFRQVHFXWLYDVpGDGDSRU τ = HVWmRHPH[WUHPDFRQVRQkQFLDQRVHQWLGRGHTXHVmR´DJUD- GDHVFDODFURPiWLFDWHUmRIUHTXrQFLDVGDGDVSRU ωk = τ k ω0, LQWURGX]LGRVSRU-%)RXULHUQRVpFXOR;,;WURX[HUDPXP rica D QRWD DVVRFLDGD j IUHTXrQFLD 32 ω0 ) ocorre para k = 7: DREVHUYDomRIXQGDPHQWDOKDELWXDOPHQWHDWULEXtGDDRPHV- GLYLGHPDFRUGDGHXPPRQRFyUGLRQDVUD]}HVH GiYHLVµDRRXYLGRTXDQGRFRPELQDGRVHQWUHVL2VPpWRGRV HQWHQGLPHQWRPDLVSURIXQGRVREUHRIHQyPHQR8PDFRUGD HVWLFDGDTXDQGRYLEUDSURGX]XPVRPTXHpDVRPDGHYirias ondas sinusoidais (os harmónicos do som produzido) com IUHTXrQFLDVP~OWLSODVLQWHLUDVGDfrequência dominante (ou natural) da corda. 'HQRPLQDPRVSRUnota musical um som associado a uma única onda sinusoidal – H SRUWDQWR D XPD ~QLFD IUHTXrQ- FLD1DUHDOLGDGHWDLVVRQVSXURVQmRH[LVWHPQDQDWXUH]D QDO 6H D QRWD GH UHIHUrQFLD WHP IUHTXrQFLD ω0 , as 12 notas com k = 0, 1, . . . , 11 $ PHOKRU DSUR[LPDomR j quinta pitagóω7 ≈ 1.4983ω0. 6H HVWD GLIHUHQoD SDUHFH QmR SHUWXUEDU PXLWR RV RXYL- GRV GRV P~VLFRV PDLV H[SHULPHQWDGRV RXWURV LQWHUYDORV no temperamento igual podem ser bem mais delicados de FRPSDWLELOL]DU FRP DV FRQVRQkQFLDV ´QDWXUDLVµ REVHUYDGDV SRU3LWiJRUDV>@1mRREVWDQWHRWHPSHUDPHQWRLJXDOpKRMH DPSODPHQWHDGRWDGRQDDÀQDomRGHGLIHUHQWHVLQVWUXPHQWRV musicais, como o piano e a guitarra. 4XDQGRSRUH[HPSORVHUHIHUHDQRWDla , o lá central do pia QR SHQVDPRV QD IUHTXrQFLD GRPLQDQWH GD UHVSHWLYD FRUGD WLSLFDPHQWHDMXVWDGDSDUD+]6HDIUHTXrQFLDGHXPD 2. CONJUNTO DAS NOTAS MUSICAIS NO TEMPERAMENTO IGUAL GHWHUPLQDGDQRWDp ω0 , então a oitava acimapDQRWDFRPIUH- )L[HPRV XPD QRWD GH UHIHUrQFLD GLJDPRV D QRWD do R Gy +RPHQVHPXOKHUHVFDQWDQGRHPXQtVVRQRQDUHDOLGDGHID- notas musicais do temperamento igual, ordenadas de acor- TXrQFLD 2ω0DTXHODTXHFRUUHVSRQGHjUD]mRSLWDJyULFD zem-no (bom, pensemos em cantores minimamente talentoVRVFRPRLQWHUYDORGHXPDRLWDYD(VWHIDFWROHYRXGLIHUHQ- WHVFXOWXUDVDDFHLWDUDRLWDYDFRPRLQWHUYDORGHUHIHUrQFLD FHQWUDOGRSLDQRFRPIUHTXrQFLD ω0 6HMD M o conjunto das GRFRPRYDORUGDVIUHTXrQFLDVFRUUHVSRQGHQWHVωn = τ n ω0 , com n ∈ Z 7HPRV SRUWDQWR XPD ELMHFomR F : M → Z TXH SUHVHUYDDUHODomRGHRUGHPHQWUHRVGRLVFRQMXQWRV SIMETRIAS DO TEMPERAMENTO IGUAL rMarta Raposo e Rui Pacheco 45 . . . , F (si2 ) = −1, F (do3 ) = 0, F (do 3 ) = 1, F (re3 ) = 2, . . . GHDFRUGRFRPDVHJXLQWHÀJXUD SRUH[HPSORpRDFRUGH K = { Z4 , Z7 , Z12 }, ou seja, todas as notas de K são iguais às de KDPHQRVGHXPDRLWDYDPDVD QRWDPDLVJUDYHRbaixo, passou a ser a nota Z4 . 7UDQVSRVLo}HVHLQYHUV}HVVmRUHFXUVRVIUHTXHQWHPHQWHXWL- OL]DGRVSRUP~VLFRVHFRPSRVLWRUHV1DÀJXUDYHPRVXP H[HPSORH[WUDtGRGDREUDGH-6%DFK2Cânone a 2 “Quaeren- do Invenietis”GD2IHUHQGD0XVLFDO%:9TXHFRQVLVWH QXPFkQRQHSRULQYHUVmRjGLVWkQFLDGHVpWLPDPHQRU Figura 1. Escala cromática. Os pares ordenados ( X, Y ) ∈ M × M serão designados por intervalos musicais &RQVLGHUHPRV D DSOLFDomR amplitude J : M × M → Z GHÀQLGD SRU J ( X, Y ) = F ( X ) – F ( Y ). 6HJXLQ- GRDWHUPLQRORJLDXVXDOLQWHUYDORVPXVLFDLVGHum tom são os pares (X, YSDUDRVTXDLV J ( X, Y ) = ±2HLQWHUYDORVGHmeio- -tom são os pares (X, YSDUDRVTXDLV J ( X, Y ) = ±13RUH[HP- plo, J (mi2 , re3 ) = F (mi2 ) − F (re3 ) = −10,RTXHFRUUHVSRQGHD uma sétima menor inferiorPHLRWRQV Figura 2. Cânone por inversão. 3. TRANSPOSIÇÕES E INVERSÕES 'DGR XP LQWHLUR k, a transposição musical por k PHLRWRQV p D $OLQKDPHOyGLFDLQIHULRULQYHUWHRVLQWHUYDORVGDOLQKDVX- WUDQVIRUPDomR Tk : M → MTXH´DGLFLRQDµk meios-tons a to- SHULRU$YR]LQIHULRUpLJXDODI−5 = T−10 ◦ I0 GDYR]VXSHULRU DPSOLWXGHGRVLQWHUYDORV2XVHMDWHPRVTk ( Zn ) = Zn+k , onde 8PDWUDQVSRVLomRSRUk meios-tons, seguida de uma outra GRVDVQRWDVSUHVHUYDQGRGHVWDIRUPDDUHODomRGHRUGHPHD Zn pDQRWDPXVLFDOFRUUHVSRQGHQWHDn : F ( Zn ) = n3RURXWUR lado, as inversões musicaisVmRWUDQVIRUPDo}HVQRFRQMXQWR M 0DLVH[HPSORVSRGHPVHUHQFRQWUDGRVHP>@ WUDQVSRVLomRSRU kPHLRVWRQVUHVXOWDQXPDWUDQVSRVLomRSRU k + k PHLRVWRQVXPDWUDQVSRVLomRVHJXLGDGHXPDLQYHUVmR TXHWDPEpPSUHVHUYDPDDPSOLWXGHGRVLQWHUYDORVPDVTXH pHTXLYDOHQWHDXPDLQYHUVmRXPDLQYHUVmRVHJXLGDGHRXWUD inteiros i e j, com 0 ≤ | j − i | ≤ 1DLQYHUVmRIi,j : M → MpGH- H[SOLFLWDPHQWH LQYHUWHPDUHODomRGHRUGHP0DLVFRQFUHWDPHQWHGDGRVGRLV ÀQLGD SRU Ii,j ( Zn ) = Zi+ j−n &ODUDPHQWH Ii,j = Ij,i 4XDQGR i = j WDPEpPGHQRWDPRVIi = Ii,i , a inversão de M relativamente LQYHUVmR FRUUHVSRQGH D ID]HU XPD ~QLFD WUDQVSRVLomR 0DLV Tk ◦ Tk = Tk+k Tk ◦ Ii,j = Ii+ k/2!,j+"k/2# Ii,j ◦ I p,l = Ti+ j−l − p Ii,j ◦ Tk = Ii−"k/2#,j− k/2! , a Zi. Neste caso, Ii ( Zi ) = Zi . 3RU H[HPSOR D WUDQVSRVLomR SRU VHWH PHLRVWRQV GR VXE- conjunto K = { Z0 , Z4 , Z7 } TXH FRUUHVSRQGH DR DFRUGH KD- onde i ≤ j, k/2 pRPDLRULQWHLURnWDOTXHn ≤ k/2 e k/2 pR menor inteiro mWDOTXH k/2 ≤ m. bitualmente designado por Dó Maior, resulta no conjunto $VVLP R FRQMXQWR GH WRGDV DV LQYHUV}HV H WUDQVSRVLo}HV DG- T7 (K ) = { Z7 , Z11 , Z14 } (acorde de Sol Maior3RURXWURODGRD mite uma estrutura natural de grupo não abeliano5HFRUGDPRV LQYHUVmRGRPHVPRDFRUGHUHODWLYDPHQWHD Z1 = do resulta TXHXPSDU( G, ◦)FRQVWLWXtGRSRUXPFRQMXQWRGQmRYD]LR 3 no acorde I1 (K ) = { Z2 , Z−2 , Z−5 } (acorde de Sol Menor). Observação. Em teoria musical, o termo inversão pode ter diIHUHQWHVVLJQLÀFDGRV2FRQFHLWRGHLQYHUVmRGHXPDFRUGHTXH HVWDPRVDTXLDWUDWDUpGLIHUHQWHGRFRQFHLWRGHLQYHUVmRDVVR- FLDGRjPRGLÀFDomRGDVlinhas de baixo dos acordes. Neste segundo sentido, a primeira inversão do acorde K = { Z0 , Z4 , Z7 }, 46 GAZETA DE MATEMÁTICA r174 HXPDRSHUDomRELQiULD◦ diz-se um grupoTXDQGRYHULÀFDRV VHJXLQWHVD[LRPDV (1) Associatividade. 3DUDTXDLVTXHU x, y, z ∈ G, ( x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z); (2) Existência de identidade. ([LVWH e ∈ G, a identidade GR JUXSR WDO TXH SDUD WRGR x ∈ G, x ◦ e = e ◦ x = x; das polares de a = eiθ0 e z = |z|eiθ, temos az = |z|ei(θ +θ0 ) , XPDURWDomRGHkQJXORθ0 (tomando como sentido positi- YRRVHQWLGRDQWLKRUiULR Existência de inverso. 3DUD FDGD x ∈ G H[LVWH x ∈ G, o inverso de x, WDO TXH x ◦ x = x ◦ x = e. O grupo diz-se abeliano se x ◦ y = y ◦ x para todos os elementos x, y ∈ G (P UHODomR DR JUXSR GDV WUDQVSRVLo}HV H LQYHU- V}HVRLQYHUVRGH Tk p T−k , RLQYHUVRGHTXDOTXHULQYHUVmRp HODSUySULDHDLGHQWLGDGHpDWUDQVSRVLomRT0 . 8PDIRUPDXVXDOGHGHVFUHYHUJHRPHWULFDPHQWHHVWHJUX- SRTXHGHQRWDUHPRVSRUGM ,FRQVLVWHHPLGHQWLÀFDUDVQR- Figura 3. Rotação de ângulo θ0. tas da escala cromática Z0 , Z1 , . . . , Z11FRPRVYpUWLFHVGHXP GRGHFiJRQRUHJXODU$VVLPLQYHUV}HVHWUDQVSRVLo}HVFRUUHV- Homotetia.3DUDTXDOTXHU a ∈ R, z → az representa uma pondem a elementos do grupo de simetria do dodecágono, o homotetia no plano centrada na origem e de razão a. grupo diedral D12 . No entanto, este modelo não distingue notas TXHGLÀUDPSRURLWDYDVQHPUHÁHWHTXDOTXHUSURSULHGDGHGR ,QYHUVmRVHJXLGDGHUHÁH[mR5HFRUGHVHTXHGDGDXPDFLU- tamos um modelo para o conjunto M das notas musicais no rente de ORLQYHUVRP de PUHODWLYDPHQWHD CpR~QLFR WHPSHUDPHQWRXWLOL]DGR1DVGXDVVHFo}HVVHJXLQWHVDSUHVHQ- VLVWHPDWHPSHUDGRTXHUHVROYHHVWDVGLÀFXOGDGHVHDFRUUHVSRQGHQWHGHVFULomRJHRPpWULFDGRJUXSRGM . FXQIHUrQFLD C de raio r centrada em O e um ponto P dife- ponto sobre a semirreta OP TXHVDWLVID]|OP||OP | = r2 . (P QRWDomR FRPSOH[D VH P = z e C p D FLUFXQIHUrQFLD unitária centrada na origem, então P = z . | z |2 4. AS TRANSFORMAÇÕES DE MÖBIUS Uma transformação de Möbius p XPD WUDQVIRUPDomR QR SODQR FRPSOH[RTXHpUHSUHVHQWDGDSRUXPDIUDomRUDFLRQDOGDIRUPD az + b , z → (1) cz + d onde a, b, c e dVmRQ~PHURVFRPSOH[RVTXHVDWLVID]HPDFRQGLomR ad − bc = 03URYDVHTXHDVWUDQVIRUPDo}HVGH0|ELXV FRP D RSHUDomR ELQiULD GHÀQLGD SHOD FRPSRVLomR GH WUDQV- IRUPDo}HVIRUPDPXPJUXSRTXHGHQRWDUHPRVSRUMob, o grupo de Möbius3RUH[HPSORRLQYHUVRGDWUDQVIRUPDomR pGDGRSRU z → Figura 4. Inversão em relação a uma circunferência. 3RU RXWUR ODGR z → z̄ GiQRV D UHÁH[mR HP UHODomR DR dz − b . −cz + a 9HMDPRVDOJXQVH[HPSORVGHWUDQVIRUPDo}HVGH0|ELXV HL[RUHDO (1) Translação. 3DUD TXDOTXHU Q~PHUR FRPSOH[R b = b1 + ib2 , onde pDXQLGDGHLPDJLQiULDDWUDQVIRUPDomR z → z + b UHSUHVHQWDXPDWUDQVODomRQRSODQRSHORYHWRUb = (b1 , b2 ). (2) Rotação.3DUDTXDOTXHU a ∈ C com | a| = 1, a transformaomR z → azUHSUHVHQWDXPDURWDomRQRSODQRHPWRUQRGD RULJHP6HFRQVLGHUDUPRVDUHSUHVHQWDomRHPFRRUGHQD- Figura 5. Reflexão em relação ao eixo real. SIMETRIAS DO TEMPERAMENTO IGUAL rMarta Raposo e Rui Pacheco 47 $VVLP D WUDQVIRUPDomR GH 0|ELXV z → 1 z = z̄ | z |2 repre- VHQWDXPDLQYHUVmRHPUHODomRjFLUFXQIHUrQFLDXQLWiULD FHQWUDGDQDRULJHPVHJXLGDGHXPDUHÁH[mR 4XDOTXHU WUDQVIRUPDomR GH 0|ELXV SRGH VHU REWLGD SRU FRPSRVLomR GH WUDQVODo}HV UHÁH[}HV URWDo}HV LQYHUV}HV H GLODWDo}HV &RP HIHLWR FRQVLGHUHPVH DV VHJXLQWHV WUDQV- IRUPDo}HV g(z) = z + dc WUDQVODomR SHOR YHWRU dc h(z) = 1z LQYHUVmR VHJXLGD GH UHÁH[mR m(z) = − adc−2 bc z URWDomR H KRPRWHWLD s(z) = z + ac WUDQVODomR SHOR YHWRU ac (QWmR p SRVVtYHOSURYDUTXH az + b = s ◦ m ◦ h ◦ g ( z ). cz + d 5. A ESPIRAL LOGARÍTMICA E O TEMPERAMENTO IGUAL $HVSLUDOORJDUtWPLFDpXPWLSRGHHVSLUDOTXHDSDUHFHIUH- TXHQWHPHQWH DVVRFLDGR D GLYHUVRV HOHPHQWRV QD 1DWXUH]D FRQFKDV GH FHUWRV PROXVFRV JDOi[LDV HVSLUDLV RX FLFORQHV WURSLFDLVSRUH[HPSOR)DFHjVVXDVSURSULHGDGHVVLQJXODUHV Jacob Bernoulli designou-a por Spira Mirabilis. $HTXDomRGDHVSLUDOORJDUtWPLFDHPWHUPRVGHFRRUGHQD- das polares (ρ, θ ), pGDGDSRU ρ = ρ0 eθb , com ρ0 > 0 e b constantes reais. Esta espiral pode ainda ser caracterizada pela seguinte propriedade: o ângulo β formado pela tangente à espiral no ponto (ρ, θ )HDFRUUHVSRQGHQWHUHWDUDGLDOpFRQVtante, mais precisamente, β = arctg 1b . Observação. Uma transformação conforme p XPD WUDQVIRU- PDomR TXH SUHVHUYD kQJXORV 2X VHMD GXDV FXUYDV TXH VH intersetam num certo ponto P segundo um ângulo α são WUDQVIRUPDGDVHPRXWUDVGXDVFXUYDVTXHVHLQWHUVHWDPQR transformado de P segundo o mesmo ângulo α.3HODWHRULD GDV IXQo}HV GH YDULiYHLV FRPSOH[DV TXDOTXHU WUDQVIRUPDomRGH0|ELXV z → az+b pFRQIRUPH'HYHPRVREVHUYDUTXH cz+d HPJHUDOHVWDVWUDQVIRUPDo}HVQmRHVWmRGHÀQLGDVHPWRGR R SODQR FRPSOH[R -XQWDQGR D C um ponto ∞ QR ´LQÀQLWRµ SRGHPRVLGHQWLÀFDUDHVIHUDXQLWiULDS2 com o plano completo C ∪ {∞} por meio de uma SURMHomRHVWHUHRJUiÀFDTXHpXPD WUDQVIRUPDomR FRQIRUPH 'HVWD IRUPD XPD WUDQVIRUPDomRGH0|ELXV z → conforme em az+b cz+d FRUUHVSRQGHDXPDWUDQVIRUPDomR S2 , fazendo ∞ → ac e − dc → ∞ 6DEHVHTXHR JUXSRGH0|ELXVpSUHFLVDPHQWHRJUXSRGDVWUDQIRUPDo}HV conformes de S2 TXHSUHVHUYDPDRULHQWDomR>@ Figura 7. Espiral logarítmica. 6HMDP S D HVSLUDO ORJDUtWPLFD ρ = eθ 2π e MS ⊂ Mob o ln 2 VHXVXEJUXSRGHVLPHWULDLVWRp MS = { f ∈ Mob : f (S) = S}. (VWH VXEJUXSR p IRUPDGR SHODV WUDQVIRUPDo}HV z → α0 z e z → β0 z , com α0 , β 0 ∈ S .'HIDFWRVH f (z) = az + b cz + d SUHVHUYDDHVSLUDOS , então fWDPEpPSUHVHUYDRVVHXVSRQWRV OLPLWHVLVWRp f (0) = 0 e f (∞) = ∞ RX f (0) = ∞ e f (∞) = 0. No primeiro caso teremos b = 0 e c = 0; logo, f (z) = da z; XPDYH]TXH1 ∈ S , o seu transformado, f (1),WDPEpPGHYH Figura 6. Projeção estereográfica. a d ∈ S .'RPHVPRPRGRQRVHJXQGR b 1 com β = b ∈ S . 0 c c z, estar em S , logo, α0 = caso, teremos f (z) = 6HMD S0 ⊂ S a imagem de ZSRUPHLRGDDSOLFDomR n n ∈ Z → zn = e 12 ln 2 ei 48 GAZETA DE MATEMÁTICA r174 2πn 12 ∈ S. ELXVTXHSUHVHUYDP S0 . Agradecimentos.2VDXWRUHVJRVWDULDPGHDJUDGHFHUDRUHYLVRU GHVWHDUWLJRSHODOHLWXUDDWHQWDHSHODVPXLWDVVXJHVW}HVTXH DMXGDUDPDPHOKRUDUXPDYHUVmRSUHOLPLQDUHDR+HOGHU9L- ODULQKRSHORLQFHQWLYRTXHGHXSDUDTXHRDUWLJRIRVVHHVFULWR 7. REFERÊNCIAS. >@'-%HQVRQMusic –$0DWKHPDWLFDO2ͿHULQJ&DPEULGJH 8QLYHUVLW\3UHVV Figura 8. Representação em espiral do conjunto M. >@'%ODLUInversion Theory and Conformal Mapping6WXGHQW 7HQGRHPFRQWDDLGHQWLÀFDomRHQWUH Z e o conjunto M esta- 0DWKHPDWLFDO/LEUDU\$PHULFDQ0DWKHPDWLFDO6RFLHW\ belecida por FREWHPRVXPDQRYDUHSUHVHQWDomRSDUDRFRQ- >@5'XQHow Equal Temperament Ruined Harmony (and Why junto das notas musicais do sistema de temperamento igual, You Should Care)::1RUWRQ&RPSDQ\ DTXHODTXHDZn ∈ MDVVRFLDRQ~PHURFRPSOH[R zn .5HSDUH- VH TXH VH DWULEXLUPRV DR Gy FHQWUDO GR SLDQR F (do3 ) = 0, D IUHTXrQFLD ω0 = 1, D IUHTXrQFLD GH Zi , UHODWLYDPHQWH DR VLVWHPD GH WHPSHUDPHQWR LJXDO p GDGD SRU ωi = √ τ = 12 2, ou seja, ωi = |zi |. τi , β0 z for the Great Minds of Western Civilization9LQWDJH com )LQDOPHQWH GHVLJQHPRV SRU MS0 ⊂ MS o subgrupo de simetria de S0 . $V WUDQVIRUPDo}HV z → α0 z e z → >@ 6 ,VDFRͿ Temperament: How Music Became a Battleground >@-3DLYDGH2OLYHLUDTeoria Analítica da Música do Século XX, )XQGDomR&DORXVWH*XOEHQNLDQ estão em MS0 VHHVyVH α0 e β 0 HVWLYHUHPHP S0 . Assim, o sub- grupo MS0 pIRUPDGRSHODVVHJXLQWHVWUDQVIRUPDo}HV z z → zi z; z → i . z >@%6FLPHPL´7KH8VHRI0HFKDQLFDO'HYLFHVDQG1XPHULFDO$OJRULWKPVLQWKHWK&HQWXU\IRUWKH(TXDO7HPSHUDPHQWRIWKH0XVLFDO6FDOHµMathematics and Music: A Diderot Mathematical Forum6SULQJHU9HUODJ $SULPHLUDGHVWDVWUDQVIRUPDo}HVpGDGDSRUXPDURWDomRGH ângulo 2πi 12 em torno da origem seguida de uma homotetia centrada na origem de razão τ i ; transforma zk em zi+k , logo FRUUHVSRQGH j WUDQVSRVLomR Ti . $ VHJXQGD WUDQVIRUPDomR p GDGD SRU XPD LQYHUVmR HP UHODomR j FLUFXQIHUrQFLD XQLWi- ULD FHQWUDGD QD RULJHP VHJXLGD GH XPD WUDQVIRUPDomR GR SULPHLURWLSRWUDQVIRUPD zk em zi−k , correspondendo deste PRGRjLQYHUVmR Ii/2 SOBRE OS AUTORES ,!i/2" . Marta Raposo é licenciada e mestre em Ensino de Matemática pela Universidade da Beira Interior e concluiu o Curso Complementar de Formação Musical no Conservatório da Covilhã. 6. CONCLUSÃO 6HLGHQWLÀFDUPRVRFRQMXQWR M das notas musicais do sistema temperado com o subconjunto discreto n 2πn S0 = {e 12 ln 2 ei 12 : n ∈ N } GD HVSLUDO ORJDUtWPLFD S GHÀQLGD HP FRRUGHQDGDV SRODUHV Rui Pacheco é licenciado em Física e mestre em Matemática pela Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa e doutor em Matemática pela University of Bath, no Reino Unido. Desde 2004, é professor auxiliar no Departamento de Matemática na Universidade da Beira Interior. por ρ = eθ 2π , o grupo GM GDV WUDQVSRVLo}HV H LQYHUV}HV p ln 2 SUHFLVDPHQWHRJUXSRIRUPDGRSHODVWUDQVIRUPDo}HVGH0|- SIMETRIAS DO TEMPERAMENTO IGUAL rMarta Raposo e Rui Pacheco 49
