Simetrias do Temperamento Igual

6LPHWULDVGR7HPSHUDPHQWR,JXDO
MARTA R APOSOa E RUI PACHECOb
bU NIVERSIDADE DA
B EIRA INTERIOR
[email protected] e [email protected].
44
GAZETA DE MATEMÁTICA r174
T
2 RXYLGR KXPDQR WHP D FDSDFLGDGH GH GLVWLQJXLU GH]H-
UDQVSRVLo}HVHLQYHUV}HVVmR
QDVGHQRWDVGLIHUHQWHVFRPSUHHQGLGDVQXPWDOLQWHUYDOR'H
WUDQVIRUPDo}HVQRFRQMXQWRGHWRGDV
as notas musicais recorrentemente
utilizadas por músicos e compositores.
1RFRQWH[WRGRVLVWHPDGHDÀQDomR
GHWHPSHUDPHQWRLJXDOWUDQVSRVLo}HV
HLQYHUV}HVSRGHPVHUQDWXUDOPHQWH
LGHQWLÀFDGDVFRPDVWUDQVIRUPDo}HV
GH0|ELXVTXHSUHVHUYDPXPFHUWR
subconjunto discreto da espiral
ORJDUtWPLFD
entre essas notas podemos selecionar algumas e organizá-las
HP VHTXrQFLDV GD PDLV JUDYH j PDLV DJXGD TXH GHVLJQD-
remos por escalas 1D WUDGLomR RFLGHQWDO FRQVLGHUDPVH QRWDVQRLQWHUYDORGHXPDRLWDYD$escala cromáticapSUHFLVD-
PHQWHDVHTXrQFLDIRUPDGDSRUHVVDVQRWDV
GyGy UpUp , mi, fá, fá , sol, sol , lá, lá , si.
0DVDHVFROKDGRQ~PHURQmRpXQLYHUVDO3RUH[HPSORQD
FXOWXUDLQGLDQDpIUHTXHQWHDGLYLVmRGDRLWDYDHPshrutis >@
Estabelecidas 12 notas, coloca-se o problema, diga-se
SRXFR SDFtÀFR > @ GH HQFRQWUDU YDORUHV SDUD DV UD]}HV
GDV UHVSHWLYDV IUHTXrQFLDV R SUREOHPD GR temperamento da
HVFDODFURPiWLFD$PDWHPiWLFDHQYROYLGDQHVWDGLVFXVVmRp
ULFDWDQWRHPUHODomRjPRGHODomRGRIHQyPHQRGHHPLVVmR
SURSDJDomRHSHUFHomRGRVRP>@FRPRHPUHODomRjFRQV-
WUXomRDUWHVDQDOGHLQVWUXPHQWRVPXVLFDLVFRPSDWtYHLVFRP
1. TEMPERAMENTO IGUAL
1mRYDPRVUHSHWLUDTXHODYHOKDKLVWyULDGRSDVVHLRGH3LWi-
JRUDVHGRVPDUWHORVQDRÀFLQDGRIHUUHLURPDVUHOHPEUHPRV
RVGLIHUHQWHVVLVWHPDVDGRWDGRV>@$GLYLVmRHPLQWHUYDORV
iguais, o temperamento igualDGHTXDVHFRPIDFLOLGDGHjFRQV-
WUXomRHjH[HFXomRGHLQVWUXPHQWRVGHWHFODVFRPRRSLDQR
PR3LWiJRUDVRVVRQVSURGX]LGRVDRSUHVVLRQDUSRQWRVTXH
RXRFUDYR1HVWHFDVRDUD]mRHQWUHDVIUHTXrQFLDVGHGXDV
√
12
2 , um número irracioQRWDVFRQVHFXWLYDVpGDGDSRU τ =
HVWmRHPH[WUHPDFRQVRQkQFLDQRVHQWLGRGHTXHVmR´DJUD-
GDHVFDODFURPiWLFDWHUmRIUHTXrQFLDVGDGDVSRU ωk = τ k ω0,
LQWURGX]LGRVSRU-%)RXULHUQRVpFXOR;,;WURX[HUDPXP
rica D QRWD DVVRFLDGD j IUHTXrQFLD 32 ω0 ) ocorre para k = 7:
DREVHUYDomRIXQGDPHQWDOKDELWXDOPHQWHDWULEXtGDDRPHV-
GLYLGHPDFRUGDGHXPPRQRFyUGLRQDVUD]}HVH
GiYHLVµDRRXYLGRTXDQGRFRPELQDGRVHQWUHVL2VPpWRGRV
HQWHQGLPHQWRPDLVSURIXQGRVREUHRIHQyPHQR8PDFRUGD
HVWLFDGDTXDQGRYLEUDSURGX]XPVRPTXHpDVRPDGHYirias ondas sinusoidais (os harmónicos do som produzido) com
IUHTXrQFLDVP~OWLSODVLQWHLUDVGDfrequência dominante (ou natural) da corda.
'HQRPLQDPRVSRUnota musical um som associado a uma
única onda sinusoidal – H SRUWDQWR D XPD ~QLFD IUHTXrQ-
FLD1DUHDOLGDGHWDLVVRQVSXURVQmRH[LVWHPQDQDWXUH]D
QDO 6H D QRWD GH UHIHUrQFLD WHP IUHTXrQFLD ω0 , as 12 notas
com k = 0, 1, . . . , 11 $ PHOKRU DSUR[LPDomR j quinta pitagóω7 ≈ 1.4983ω0.
6H HVWD GLIHUHQoD SDUHFH QmR SHUWXUEDU PXLWR RV RXYL-
GRV GRV P~VLFRV PDLV H[SHULPHQWDGRV RXWURV LQWHUYDORV
no temperamento igual podem ser bem mais delicados de
FRPSDWLELOL]DU FRP DV FRQVRQkQFLDV ´QDWXUDLVµ REVHUYDGDV
SRU3LWiJRUDV>@1mRREVWDQWHRWHPSHUDPHQWRLJXDOpKRMH
DPSODPHQWHDGRWDGRQDDÀQDomRGHGLIHUHQWHVLQVWUXPHQWRV
musicais, como o piano e a guitarra.
4XDQGRSRUH[HPSORVHUHIHUHDQRWDla , o lá central do pia
QR SHQVDPRV QD IUHTXrQFLD GRPLQDQWH GD UHVSHWLYD FRUGD
WLSLFDPHQWHDMXVWDGDSDUD+]6HDIUHTXrQFLDGHXPD
2. CONJUNTO DAS NOTAS MUSICAIS
NO TEMPERAMENTO IGUAL
GHWHUPLQDGDQRWDp ω0 , então a oitava acimapDQRWDFRPIUH-
)L[HPRV XPD QRWD GH UHIHUrQFLD GLJDPRV D QRWD do R Gy
+RPHQVHPXOKHUHVFDQWDQGRHPXQtVVRQRQDUHDOLGDGHID-
notas musicais do temperamento igual, ordenadas de acor-
TXrQFLD 2ω0DTXHODTXHFRUUHVSRQGHjUD]mRSLWDJyULFD
zem-no (bom, pensemos em cantores minimamente talentoVRVFRPRLQWHUYDORGHXPDRLWDYD(VWHIDFWROHYRXGLIHUHQ-
WHVFXOWXUDVDDFHLWDUDRLWDYDFRPRLQWHUYDORGHUHIHUrQFLD
FHQWUDOGRSLDQRFRPIUHTXrQFLD ω0 6HMD M o conjunto das
GRFRPRYDORUGDVIUHTXrQFLDVFRUUHVSRQGHQWHVωn = τ n ω0 ,
com n ∈ Z 7HPRV SRUWDQWR XPD ELMHFomR F : M → Z TXH
SUHVHUYDDUHODomRGHRUGHPHQWUHRVGRLVFRQMXQWRV
SIMETRIAS DO TEMPERAMENTO IGUAL rMarta Raposo e Rui Pacheco
45
. . . , F (si2 ) = −1, F (do3 ) = 0, F (do 3 ) = 1, F (re3 ) = 2, . . .
GHDFRUGRFRPDVHJXLQWHÀJXUD
SRUH[HPSORpRDFRUGH K  = { Z4 , Z7 , Z12 }, ou seja, todas as
notas de K  são iguais às de KDPHQRVGHXPDRLWDYDPDVD
QRWDPDLVJUDYHRbaixo, passou a ser a nota Z4 .
7UDQVSRVLo}HVHLQYHUV}HVVmRUHFXUVRVIUHTXHQWHPHQWHXWL-
OL]DGRVSRUP~VLFRVHFRPSRVLWRUHV1DÀJXUDYHPRVXP
H[HPSORH[WUDtGRGDREUDGH-6%DFK2Cânone a 2 “Quaeren-
do Invenietis”GD2IHUHQGD0XVLFDO%:9TXHFRQVLVWH
QXPFkQRQHSRULQYHUVmRjGLVWkQFLDGHVpWLPDPHQRU
Figura 1. Escala cromática.
Os pares ordenados ( X, Y ) ∈ M × M serão designados
por intervalos musicais &RQVLGHUHPRV D DSOLFDomR amplitude
J : M × M → Z GHÀQLGD SRU J ( X, Y ) = F ( X ) – F ( Y ). 6HJXLQ-
GRDWHUPLQRORJLDXVXDOLQWHUYDORVPXVLFDLVGHum tom são os
pares (X, YSDUDRVTXDLV J ( X, Y ) = ±2HLQWHUYDORVGHmeio-
-tom são os pares (X, YSDUDRVTXDLV J ( X, Y ) = ±13RUH[HP-
plo, J (mi2 , re3 ) = F (mi2 ) − F (re3 ) = −10,RTXHFRUUHVSRQGHD
uma sétima menor inferiorPHLRWRQV
Figura 2. Cânone por inversão.
3. TRANSPOSIÇÕES E INVERSÕES
'DGR XP LQWHLUR k, a transposição musical por k PHLRWRQV p D
$OLQKDPHOyGLFDLQIHULRULQYHUWHRVLQWHUYDORVGDOLQKDVX-
WUDQVIRUPDomR Tk : M → MTXH´DGLFLRQDµk meios-tons a to-
SHULRU$YR]LQIHULRUpLJXDODI−5 = T−10 ◦ I0 GDYR]VXSHULRU
DPSOLWXGHGRVLQWHUYDORV2XVHMDWHPRVTk ( Zn ) = Zn+k , onde
8PDWUDQVSRVLomRSRUk meios-tons, seguida de uma outra
GRVDVQRWDVSUHVHUYDQGRGHVWDIRUPDDUHODomRGHRUGHPHD
Zn pDQRWDPXVLFDOFRUUHVSRQGHQWHDn : F ( Zn ) = n3RURXWUR
lado, as inversões musicaisVmRWUDQVIRUPDo}HVQRFRQMXQWR M
0DLVH[HPSORVSRGHPVHUHQFRQWUDGRVHP>@
WUDQVSRVLomRSRU kPHLRVWRQVUHVXOWDQXPDWUDQVSRVLomRSRU
k + k PHLRVWRQVXPDWUDQVSRVLomRVHJXLGDGHXPDLQYHUVmR
TXHWDPEpPSUHVHUYDPDDPSOLWXGHGRVLQWHUYDORVPDVTXH
pHTXLYDOHQWHDXPDLQYHUVmRXPDLQYHUVmRVHJXLGDGHRXWUD
inteiros i e j, com 0 ≤ | j − i | ≤ 1DLQYHUVmRIi,j : M → MpGH-
H[SOLFLWDPHQWH
LQYHUWHPDUHODomRGHRUGHP0DLVFRQFUHWDPHQWHGDGRVGRLV
ÀQLGD SRU Ii,j ( Zn ) = Zi+ j−n &ODUDPHQWH Ii,j = Ij,i 4XDQGR
i = j WDPEpPGHQRWDPRVIi = Ii,i , a inversão de M relativamente
LQYHUVmR FRUUHVSRQGH D ID]HU XPD ~QLFD WUDQVSRVLomR 0DLV
Tk ◦ Tk = Tk+k
Tk ◦ Ii,j = Ii+
k/2!,j+"k/2#
Ii,j ◦ I p,l = Ti+ j−l − p
Ii,j ◦ Tk = Ii−"k/2#,j−
k/2! ,
a Zi. Neste caso, Ii ( Zi ) = Zi .
3RU H[HPSOR D WUDQVSRVLomR SRU VHWH PHLRVWRQV GR VXE-
conjunto K = { Z0 , Z4 , Z7 } TXH FRUUHVSRQGH DR DFRUGH KD-
onde i ≤ j, k/2 pRPDLRULQWHLURnWDOTXHn ≤ k/2 e k/2 pR
menor inteiro mWDOTXH k/2 ≤ m.
bitualmente designado por Dó Maior, resulta no conjunto
$VVLP R FRQMXQWR GH WRGDV DV LQYHUV}HV H WUDQVSRVLo}HV DG-
T7 (K ) = { Z7 , Z11 , Z14 } (acorde de Sol Maior3RURXWURODGRD
mite uma estrutura natural de grupo não abeliano5HFRUGDPRV
LQYHUVmRGRPHVPRDFRUGHUHODWLYDPHQWHD Z1 = do  resulta
TXHXPSDU( G, ◦)FRQVWLWXtGRSRUXPFRQMXQWRGQmRYD]LR
3
no acorde I1 (K ) = { Z2 , Z−2 , Z−5 } (acorde de Sol Menor).
Observação. Em teoria musical, o termo inversão pode ter diIHUHQWHVVLJQLÀFDGRV2FRQFHLWRGHLQYHUVmRGHXPDFRUGHTXH
HVWDPRVDTXLDWUDWDUpGLIHUHQWHGRFRQFHLWRGHLQYHUVmRDVVR-
FLDGRjPRGLÀFDomRGDVlinhas de baixo dos acordes. Neste segundo sentido, a primeira inversão do acorde K = { Z0 , Z4 , Z7 },
46
GAZETA DE MATEMÁTICA r174
HXPDRSHUDomRELQiULD◦ diz-se um grupoTXDQGRYHULÀFDRV
VHJXLQWHVD[LRPDV
(1) Associatividade.
3DUDTXDLVTXHU x, y, z ∈ G, ( x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z);
(2) Existência de identidade.
([LVWH e ∈ G, a identidade GR JUXSR WDO TXH SDUD WRGR
x ∈ G, x ◦ e = e ◦ x = x;
das polares de a = eiθ0 e z = |z|eiθ, temos az = |z|ei(θ +θ0 ) ,
XPDURWDomRGHkQJXORθ0 (tomando como sentido positi-
YRRVHQWLGRDQWLKRUiULR
Existência de inverso.
3DUD FDGD x ∈ G H[LVWH x  ∈ G, o inverso de x, WDO TXH
x ◦ x = x ◦ x = e.
O grupo diz-se abeliano se x ◦ y = y ◦ x para todos os elementos x, y ∈ G (P UHODomR DR JUXSR GDV WUDQVSRVLo}HV H LQYHU-
V}HVRLQYHUVRGH Tk p T−k , RLQYHUVRGHTXDOTXHULQYHUVmRp
HODSUySULDHDLGHQWLGDGHpDWUDQVSRVLomRT0 .
8PDIRUPDXVXDOGHGHVFUHYHUJHRPHWULFDPHQWHHVWHJUX-
SRTXHGHQRWDUHPRVSRUGM ,FRQVLVWHHPLGHQWLÀFDUDVQR-
Figura 3. Rotação de ângulo θ0.
tas da escala cromática Z0 , Z1 , . . . , Z11FRPRVYpUWLFHVGHXP
GRGHFiJRQRUHJXODU$VVLPLQYHUV}HVHWUDQVSRVLo}HVFRUUHV-
Homotetia.3DUDTXDOTXHU a ∈ R, z → az representa uma
pondem a elementos do grupo de simetria do dodecágono, o
homotetia no plano centrada na origem e de razão a.
grupo diedral D12 . No entanto, este modelo não distingue notas
TXHGLÀUDPSRURLWDYDVQHPUHÁHWHTXDOTXHUSURSULHGDGHGR
,QYHUVmRVHJXLGDGHUHÁH[mR5HFRUGHVHTXHGDGDXPDFLU-
tamos um modelo para o conjunto M das notas musicais no
rente de ORLQYHUVRP de PUHODWLYDPHQWHD CpR~QLFR
WHPSHUDPHQWRXWLOL]DGR1DVGXDVVHFo}HVVHJXLQWHVDSUHVHQ-
VLVWHPDWHPSHUDGRTXHUHVROYHHVWDVGLÀFXOGDGHVHDFRUUHVSRQGHQWHGHVFULomRJHRPpWULFDGRJUXSRGM .
FXQIHUrQFLD C de raio r centrada em O e um ponto P dife-
ponto sobre a semirreta OP TXHVDWLVID]|OP||OP | = r2 .
(P QRWDomR FRPSOH[D VH P = z e C p D FLUFXQIHUrQFLD
unitária centrada na origem, então P =
z
.
| z |2
4. AS TRANSFORMAÇÕES DE MÖBIUS
Uma transformação de Möbius p XPD WUDQVIRUPDomR QR SODQR
FRPSOH[RTXHpUHSUHVHQWDGDSRUXPDIUDomRUDFLRQDOGDIRUPD
az + b
,
z →
(1)
cz + d
onde a, b, c e dVmRQ~PHURVFRPSOH[RVTXHVDWLVID]HPDFRQGLomR ad − bc = 03URYDVHTXHDVWUDQVIRUPDo}HVGH0|ELXV
FRP D RSHUDomR ELQiULD GHÀQLGD SHOD FRPSRVLomR GH WUDQV-
IRUPDo}HVIRUPDPXPJUXSRTXHGHQRWDUHPRVSRUMob, o
grupo de Möbius3RUH[HPSORRLQYHUVRGDWUDQVIRUPDomR
pGDGRSRU
z →
Figura 4. Inversão em relação a uma circunferência.
3RU RXWUR ODGR z → z̄ GiQRV D UHÁH[mR HP UHODomR DR
dz − b
.
−cz + a
9HMDPRVDOJXQVH[HPSORVGHWUDQVIRUPDo}HVGH0|ELXV
HL[RUHDO
(1) Translação. 3DUD TXDOTXHU Q~PHUR FRPSOH[R b = b1 + ib2 ,
onde pDXQLGDGHLPDJLQiULDDWUDQVIRUPDomR z → z + b
UHSUHVHQWDXPDWUDQVODomRQRSODQRSHORYHWRUb = (b1 , b2 ).
(2) Rotação.3DUDTXDOTXHU a ∈ C com | a| = 1, a transformaomR z → azUHSUHVHQWDXPDURWDomRQRSODQRHPWRUQRGD
RULJHP6HFRQVLGHUDUPRVDUHSUHVHQWDomRHPFRRUGHQD-
Figura 5. Reflexão em relação ao eixo real.
SIMETRIAS DO TEMPERAMENTO IGUAL rMarta Raposo e Rui Pacheco
47
$VVLP D WUDQVIRUPDomR GH 0|ELXV z →
1
z
=
z̄
| z |2
repre-
VHQWDXPDLQYHUVmRHPUHODomRjFLUFXQIHUrQFLDXQLWiULD
FHQWUDGDQDRULJHPVHJXLGDGHXPDUHÁH[mR
4XDOTXHU WUDQVIRUPDomR GH 0|ELXV SRGH VHU REWLGD SRU
FRPSRVLomR GH WUDQVODo}HV UHÁH[}HV URWDo}HV LQYHUV}HV
H GLODWDo}HV &RP HIHLWR FRQVLGHUHPVH DV VHJXLQWHV WUDQV-
IRUPDo}HV g(z) = z + dc WUDQVODomR SHOR YHWRU dc h(z) = 1z
LQYHUVmR VHJXLGD GH UHÁH[mR m(z) = − adc−2 bc z URWDomR H
KRPRWHWLD s(z) = z + ac WUDQVODomR SHOR YHWRU ac (QWmR p
SRVVtYHOSURYDUTXH
az + b
= s ◦ m ◦ h ◦ g ( z ).
cz + d
5. A ESPIRAL LOGARÍTMICA
E O TEMPERAMENTO IGUAL
$HVSLUDOORJDUtWPLFDpXPWLSRGHHVSLUDOTXHDSDUHFHIUH-
TXHQWHPHQWH DVVRFLDGR D GLYHUVRV HOHPHQWRV QD 1DWXUH]D
FRQFKDV GH FHUWRV PROXVFRV JDOi[LDV HVSLUDLV RX FLFORQHV
WURSLFDLVSRUH[HPSOR)DFHjVVXDVSURSULHGDGHVVLQJXODUHV
Jacob Bernoulli designou-a por Spira Mirabilis.
$HTXDomRGDHVSLUDOORJDUtWPLFDHPWHUPRVGHFRRUGHQD-
das polares (ρ, θ ), pGDGDSRU ρ = ρ0 eθb , com ρ0 > 0 e b constantes reais. Esta espiral pode ainda ser caracterizada pela
seguinte propriedade: o ângulo β formado pela tangente à
espiral no ponto (ρ, θ )HDFRUUHVSRQGHQWHUHWDUDGLDOpFRQVtante, mais precisamente, β = arctg 1b .
Observação. Uma transformação conforme p XPD WUDQVIRU-
PDomR TXH SUHVHUYD kQJXORV 2X VHMD GXDV FXUYDV TXH VH
intersetam num certo ponto P segundo um ângulo α são
WUDQVIRUPDGDVHPRXWUDVGXDVFXUYDVTXHVHLQWHUVHWDPQR
transformado de P segundo o mesmo ângulo α.3HODWHRULD
GDV IXQo}HV GH YDULiYHLV FRPSOH[DV TXDOTXHU WUDQVIRUPDomRGH0|ELXV z →
az+b pFRQIRUPH'HYHPRVREVHUYDUTXH
cz+d
HPJHUDOHVWDVWUDQVIRUPDo}HVQmRHVWmRGHÀQLGDVHPWRGR
R SODQR FRPSOH[R -XQWDQGR D C um ponto ∞ QR ´LQÀQLWRµ
SRGHPRVLGHQWLÀFDUDHVIHUDXQLWiULDS2 com o plano completo
C ∪ {∞} por meio de uma SURMHomRHVWHUHRJUiÀFDTXHpXPD
WUDQVIRUPDomR FRQIRUPH 'HVWD IRUPD XPD WUDQVIRUPDomRGH0|ELXV z →
conforme em
az+b
cz+d FRUUHVSRQGHDXPDWUDQVIRUPDomR
S2 , fazendo ∞ → ac e − dc → ∞ 6DEHVHTXHR
JUXSRGH0|ELXVpSUHFLVDPHQWHRJUXSRGDVWUDQIRUPDo}HV
conformes de S2 TXHSUHVHUYDPDRULHQWDomR>@
Figura 7. Espiral logarítmica.
6HMDP S D HVSLUDO ORJDUtWPLFD ρ = eθ 2π e MS ⊂ Mob o
ln 2
VHXVXEJUXSRGHVLPHWULDLVWRp
MS = { f ∈ Mob : f (S) = S}.
(VWH VXEJUXSR p IRUPDGR SHODV WUDQVIRUPDo}HV z → α0 z e
z →
β0
z ,
com α0 , β 0 ∈ S .'HIDFWRVH
f (z) =
az + b
cz + d
SUHVHUYDDHVSLUDOS , então fWDPEpPSUHVHUYDRVVHXVSRQWRV
OLPLWHVLVWRp f (0) = 0 e f (∞) = ∞ RX f (0) = ∞ e f (∞) = 0.
No primeiro caso teremos b = 0 e c = 0; logo,
f (z) = da z;
XPDYH]TXH1 ∈ S , o seu transformado, f (1),WDPEpPGHYH
Figura 6. Projeção estereográfica.
a
d ∈ S .'RPHVPRPRGRQRVHJXQGR
b 1 com β = b ∈ S .
0
c
c z,
estar em S , logo, α0 =
caso, teremos f (z) =
6HMD S0 ⊂ S a imagem de ZSRUPHLRGDDSOLFDomR
n
n ∈ Z → zn = e 12 ln 2 ei
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GAZETA DE MATEMÁTICA r174
2πn
12
∈ S.
ELXVTXHSUHVHUYDP S0 .
Agradecimentos.2VDXWRUHVJRVWDULDPGHDJUDGHFHUDRUHYLVRU
GHVWHDUWLJRSHODOHLWXUDDWHQWDHSHODVPXLWDVVXJHVW}HVTXH
DMXGDUDPDPHOKRUDUXPDYHUVmRSUHOLPLQDUHDR+HOGHU9L-
ODULQKRSHORLQFHQWLYRTXHGHXSDUDTXHRDUWLJRIRVVHHVFULWR
7. REFERÊNCIAS.
>@'-%HQVRQMusic –$0DWKHPDWLFDO2ͿHULQJ&DPEULGJH
8QLYHUVLW\3UHVV
Figura 8. Representação em espiral do conjunto M.
>@'%ODLUInversion Theory and Conformal Mapping6WXGHQW
7HQGRHPFRQWDDLGHQWLÀFDomRHQWUH Z e o conjunto M esta-
0DWKHPDWLFDO/LEUDU\$PHULFDQ0DWKHPDWLFDO6RFLHW\
belecida por FREWHPRVXPDQRYDUHSUHVHQWDomRSDUDRFRQ-
>@5'X΀QHow Equal Temperament Ruined Harmony (and Why
junto das notas musicais do sistema de temperamento igual,
You Should Care)::1RUWRQ&RPSDQ\
DTXHODTXHDZn ∈ MDVVRFLDRQ~PHURFRPSOH[R zn .5HSDUH-
VH TXH VH DWULEXLUPRV DR Gy FHQWUDO GR SLDQR F (do3 ) = 0,
D IUHTXrQFLD ω0 = 1, D IUHTXrQFLD GH Zi , UHODWLYDPHQWH DR
VLVWHPD GH WHPSHUDPHQWR LJXDO p GDGD SRU ωi =
√
τ = 12 2, ou seja, ωi = |zi |.
τi ,
β0
z
for the Great Minds of Western Civilization9LQWDJH
com
)LQDOPHQWH GHVLJQHPRV SRU MS0 ⊂ MS o subgrupo de
simetria de S0 . $V WUDQVIRUPDo}HV z → α0 z e z →
>@ 6 ,VDFRͿ Temperament: How Music Became a Battleground
>@-3DLYDGH2OLYHLUDTeoria Analítica da Música do Século XX,
)XQGDomR&DORXVWH*XOEHQNLDQ
estão
em MS0 VHHVyVH α0 e β 0 HVWLYHUHPHP S0 . Assim, o sub-
grupo MS0 pIRUPDGRSHODVVHJXLQWHVWUDQVIRUPDo}HV
z
z → zi z;
z → i .
z
>@%6FLPHPL´7KH8VHRI0HFKDQLFDO'HYLFHVDQG1XPHULFDO$OJRULWKPVLQWKHWK&HQWXU\IRUWKH(TXDO7HPSHUDPHQWRIWKH0XVLFDO6FDOHµMathematics and Music: A Diderot
Mathematical Forum6SULQJHU9HUODJ
$SULPHLUDGHVWDVWUDQVIRUPDo}HVpGDGDSRUXPDURWDomRGH
ângulo
2πi
12
em torno da origem seguida de uma homotetia
centrada na origem de razão τ i ; transforma zk em zi+k , logo
FRUUHVSRQGH j WUDQVSRVLomR Ti . $ VHJXQGD WUDQVIRUPDomR p
GDGD SRU XPD LQYHUVmR HP UHODomR j FLUFXQIHUrQFLD XQLWi-
ULD FHQWUDGD QD RULJHP VHJXLGD GH XPD WUDQVIRUPDomR GR
SULPHLURWLSRWUDQVIRUPD zk em zi−k , correspondendo deste
PRGRjLQYHUVmR Ii/2
SOBRE OS AUTORES
,!i/2" .
Marta Raposo é licenciada e mestre em Ensino de Matemática pela Universidade da Beira Interior e concluiu o Curso Complementar de Formação Musical no Conservatório da Covilhã.
6. CONCLUSÃO
6HLGHQWLÀFDUPRVRFRQMXQWR M das notas musicais do sistema temperado com o subconjunto discreto
n
2πn
S0 = {e 12 ln 2 ei 12 : n ∈ N }
GD HVSLUDO ORJDUtWPLFD S GHÀQLGD HP FRRUGHQDGDV SRODUHV
Rui Pacheco é licenciado em Física e mestre em Matemática pela Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa e doutor em Matemática pela
University of Bath, no Reino Unido. Desde 2004, é professor auxiliar no
Departamento de Matemática na Universidade da Beira Interior.
por ρ = eθ 2π , o grupo GM GDV WUDQVSRVLo}HV H LQYHUV}HV p
ln 2
SUHFLVDPHQWHRJUXSRIRUPDGRSHODVWUDQVIRUPDo}HVGH0|-
SIMETRIAS DO TEMPERAMENTO IGUAL rMarta Raposo e Rui Pacheco
49