Um cone e uma esfera.
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.::. Um cone e uma esfera. .::. Uma questão que pode ser muito interessante é quando uma esfera de raio R "cai" dentro de um cone reto de altura h e raio da base r. A situação é ilustrada abaixo: .::. Podemos observar que a esfera está a uma distância d do vértice do cone, sendo esta a menor distância. Os pontos M e N são pontos de tangência, e g é a geratriz do cone. Queremos determinar a menor distância que a esfera está do vértice do cone. Para isso, traçamos um segmento de reta do centro O da esfera a cada um dos pontos de tângencia da geratriz do cone com a esfera. .::. Os ângulos OMA e ONA são retos, pois os pontos M e N sãp pontos de tangência. Os ângulos MÂO e NÂO também pertencem aos triângulos retângulos PÂC e PÂB, respectivamente. Temos, portanto, um caso de semelhança de triângulos Ângulo - Ângulo. Publicado por Rodrigo R. Gonçalez – 02/11/2007 .::. O teorema da semelhança de triângulos nos diz que se dois ângulos de um triângulo qualquer são congruentes a dois ângulos de um outro triângulo qualquer, então esses triângulos são semelhantes e seus lados homólogos são proporcionais. .::. Logo, temos: ∆PÂC ∼ ∆MÂO .::. Então: R+d R = g r Rr + dr = Rg dr = Rg − Rr dr = R( g − r ) R( g − r ) d= r .::. Podemos ainda fazer: g ² = h² + r ² g = h² + r ² Logo, d=R ( h² + r ² − r ) r .::. Vemos que quanto maior o raio da esfera R ou quanto menor o raio r da base do cone, maior é d. E também que quanto menor o raio da esfera R ou maior o raio r da base do cone, menor é d. Publicado por Rodrigo R. Gonçalez – 02/11/2007 .::. Observamos de importante que a menor distância do vértice do cone a superfície da esfera depende do raio da esfera, do raio da base do cone e da altura do cone. O ponto mais distante da esfera ao vértice do cone é dado por: ( h² + r ² − r ) r ( h² + r ² − r ) D = R 2 + r 2r + h ² + r ² − r D = R r ( h² + r ² + r ) D = R r D = 2R + R .::. Como queríamos demonstrar. Publicado por Rodrigo R. Gonçalez – 02/11/2007
