Lista 1 - Liceu Franco

COLÉGIO FRANCO-BRASILEIRO
Nome:
Professor:
N.º:
FÁBIO LUÍS
Série:
1ª
Turma:
Data:
/
/ 2014
LISTA DE EXERCÍCIOS – TRIGONOMETRIA
PARTE I
1. Os catetos de um triângulo retângulo medem 24cm e 18cm. Nessas condições determine:
a) a medida "a" da hipotenusa
b) a medida "h" da altura relativa à hipotenusa.
c) as medidas "m" e "n" das projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
2. As projeções dos catetos de um triângulo retângulo sobre a hipotenusa medem 9dm e 16dm. Neste caso os catetos medem:
a) 15dm e 20dm
b) 10dm e 12dm
c) 3dm e 4dm
d) 8dm e 63dm.
3. No triângulo da figura a seguir, calcule o valor de x é:
4. No triângulo
do vértice
ABC , AB = 13 , BC = 14 , CA = 15 , M é ponto médio de AB , e H é o pé da altura do triângulo ABC
A até a base BC . Nessas condições dadas, determine o perímetro do triângulo BMH .
5. Dois pontos A e B estão situados na margem de um rio e distantes 40 metros um do outro. Um ponto C, na outra margem do rio,
está situado de tal modo que o ângulo CAB mede 75º e o ângulo ACB mede 75º. Determine a largura do rio.
6. Patrik Onom Étrico, um jovem curioso, observa da janela do seu quarto (A) uma banca de revistas
(R), bem em frente ao seu prédio, segundo um ângulo de 60º com a vertical. Desejando avaliar a
distância do prédio à banca, Patrik sobe seis andares (aproximadamente 16 metros) até o
apartamento de um amigo seu, e passa a avistar a banca (do ponto B) segundo um ângulo de 30º
com a vertical. Calcule a distância “d”.
7. (FGV) Para levar sua mulher até o alto do pedestal, ou trazê-la até o chão,
o viking usa uma escada medindo 2,4 m. A escada faz um ângulo θ com o
chão e sabe-se que:
senθ = 4/5; cosθ = 3/5 e tgθ = 4/3
Calcule a altura h do pedestal.
8. (UFSM) Um estudante de engenharia vê um prédio do campus da UFSM construído em um terreno plano, sob um ângulo de
30º. Aproximando-se do prédio mais 40m, passa a vê-lo sob um ângulo de 60º. Considerando que a base do prédio está no
mesmo nível dos olhos do estudante, então a altura h, em metros, do prédio é igual a:
a)
30 3
b)
20 3
c) 10
d)
10 3
e) 28
9. Determine o valor de x no triângulo dado:
10. No triângulo ABC, os lados AC e BC medem 8cm e 6cm, respectivamente, e o ângulo A vale 30º. Calcule o seno do ângulo B.
11. No triângulo retângulo determine as medidas x e y indicadas.
(Use: sen65º = 0,91; cos65º = 0,42 e tg65º = 2,14)
12. Considerando o triângulo retângulo ABC, determine as medidas a e b indicadas.
13. Sendo
a)
b)
senx 
3
, calcule:
5
sen(90 º  x )
cos(90º  x )
cos 2 x
d) 1 tgx
c)
14. Nos casos a seguir considere x um ângulo agudo.
a) sendo senx 
b) sendo tgx 
12 obtenha senx  tgx .
13
11 , obtenha cos x .
11
15. Dê o valor da expressão:
cos 45º.tg45º  cos 60º.sen30º
cos 2 30º  cos 2 60º  cos 2 45º
16. O lado do quadrado ABCD, da figura, mede a cm e M é ponto médio do lado CD . Nessas condições, o valor de tan  é:
a) 3
b) 2
c)
3
2
d) 1
e)
1
2
Soluções:
1. Utilizando as relações do triângulo retângulo, temos:
a)
a 2  24   18   a  576  324  900  30 cm .
b)
(30).h  24 
. 18   h 
2
2
(24).(18) ( 4).(18) 72


 14,4 cm .
30
5
5
(18) 2 324

 10,8 cm .
30
30
ii) 30  10,8  n  n  30  10,8  19,2 cm
2
c) i) (18)  (30).m  m 
2. Se as projeções medem 9dm e 16dm, então a hipotenusa mede (9 + 16) = 25dm. Utilizando as relações métricas, temos:
i) (cateto 1) 2  (25).(9)  (cateto 1)  (25).(9)  (5).(3)  15 dm
.
ii) (cateto 2)  (25).(16)  (cateto 2)  (25).(16)  (5).(4)  20 dm
2
3. Escrevendo a relação de Pitágoras para dois triângulos retângulos determinados pela altura, temos:
i) 5 2  h 2  (3,8) 2  h 2  25  14,44  10,56
ii) x 2  h 2  (6,2) 2  x 2  10,56  38,44  x  49  7
.
4. Calculando o valor da medida x através das relações métricas nos triângulos ABH e AHC, temos:
15 2  h 2  (14  x ) 2  h 2  225  196  28 x  x 2

 2
2
2
2
2
13  h  x  h  169  x
 225  196  28 x  x 2  169  x 2  28 x  169  29  x 
.
140
5
28
Propriedade: A mediana relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo vale a metade do valor da
hipotenusa.
Demonstração. Considere o triângulo ABC, retângulo em B, sendo M o ponto médio da hipotenusa
AC. Logo, BM é mediana relativa à hipotenusa. Prolongando BM tal que BM = MD, temos os
triângulos semelhantes AMB e CMD. Logo, AB = CD e BD = AC. Concluímos que AM = BM.
Voltando ao problema, m = 13/2 no triângulo BMH.
Logo o perímetro pedido é: 13/2 + 13/2 + 5 = 18cm.
5. Observe a figura e o ângulo ABC vale 180º - (75º + 75º) = 30º. A largura do rio será a altura do triângulo retângulo
formado. Como os ângulos CÂB e ACB são iguais, o triângulo ABC é isósceles. Logo AB = BC = 40m.
Aplicando a razão trigonométrica envolvendo o seno, temos:
H
H

sen30º  BC  40
H 1
40

 H
 20m .

40
2
2
1
sen30º 

2
6. O triângulo ABR é isósceles, com ângulos de 120º, 30º e 30º. Logo, AR = 16m. Aplicando a razão do seno, temos:
d

sen60º  16
d
3
16 3


d
8 3 m.

16
2
2
sen60º  3

2
7. A altura é o cateto oposto ao ângulo de inclinação da escada e
esta representa a hipotenusa do triângulo retângulo.
Utilizando a razão do seno, temos.

sen 

sen 

h
( 4).(2,4) 9,6
h
4
2,4

 h

 1,92 m .
2,4 5
5
5
4
5
8. Observe a figura representando a situação. No caso o
triângulo obtusângulo é isósceles de ângulos 120º, 30º e 30º.
Aplicando a razão trigonométrica do seno no triângulo
retângulo de cateto h e hipotenusa 40, temos:
 3
h
  h  20 3 m .
 sen60º  h  40.

40
 2 
9. Traçando a altura e utilizando as razões trigonométricas convenientes, temos:
i)
y
 1
 cos 60º  y  6.   y  3 cm
6
2
ii)
 3
h
  h  3 3 cm
 sen60º  h  6.

6
 2 
.
 
iii) x 2  3 3  (8  3) 2  27  25  x  52  2 13 cm
10. Traçando a altura e utilizando as razões trigonométricas convenientes, temos:
h
 1
 sen30º  h  8.   h  4 cm
8
2
.
h
4 2
ii)  senB  senB  
6
6 3
i)
11. Utilizando as razões trigonométricas convenientes, temos:
x
 sen65º  x  9.0,91  x  8,19
9
.
y
ii)  cos 65º  y  9.0,42  y  3,78
9
i)
12. Utilizando as razões trigonométricas convenientes, temos:
i)
12 3
12 3
 tg60º  b 
 b  12
b
3
.
12 3
12 3
2
ii)
 sen60º  a 
 12 3.
 a  24
a
3
3
2
13.Utilizando o fato de que se dois ângulos somam 90º o cosseno de um é igual ao seno do seu complementar, temos:
3

2
9
senx 
3
    cos 2 x  1  cos x  1 

5

a) 
25
5
2
2
sen
x

cos
x

1

Logo, sen90º  x   cos x 
b) cos90º  x   senx 
3.
5
25  9
16 4


25
25 5 .
4
5
2
c) cos 2 x   4   16 .
5
25
3
d) 1  tgx  1  5  1   3 . 5   1  3  4  3  7 .


4
5
5 4
4
4
4
14.Utilizando a relação fundamental, temos:
a)
12

2
144
169  144
25
5
senx 
 12 
i) 
    cos 2 x  1  cos x  1 



13
13
169
169
169
13
sen 2 x  cos 2 x  1  

12
senx 13 12 13 12
ii) tgx 


.

5 13 5
cos x
5
13
12 12 60  156 216
iii) senx  tgx 



13 5
65
65
.
b) Utilizando a relação fundamental, temos:

tgx 
i) 
tgx 

senx
cos x
11
11

senx
11
11. cos x

 senx 
cos x
11
11
2
2
2
 11. cos x 
.
  cos 2 x  1  cos 2 x  1  11. cos x  cos 2 x  11. cos x  1 
ii) sen x  cos x  1  

11
121
121


2

2
121. cos 2 x  11. cos 2 x
121
11
11
33 11 33
 1  132 cos 2 x  121  cos x 


.

121
132 2 33 2 33 33
66
15. Utilizando as relações trigonométricas, temos:
2
2  1
sen45º
2 1 2 2 1
 
 (sen30º ).sen30º

2
2 2
sen45º sen 30º
2 2 1 4 2 2 1.
cos 45º
2
4 
4




. 
2
2
2
2
2
2
42
4
6
6
sen 60º  cos 60º  cos 45º
1  cos 45º
 2
1


1  
4
4

 2 
cos 45º.
16. Observando a figura e os ângulos indicados, temos:
x  2  x  180º  2x  2  180º  x    90º
i) 
y
x  y  90º
.
a
a 1 1
ii) tgy  tg  2  . 
a 2 a 2
PARTE II
17. Determine o valor do
figura:
cos 
de acordo com a seguinte
18. (UERJ) Um triângulo tem lados 3, 7 e 8. A medida de um de
seus ângulos é igual a:
a) 80º
b) 60º
c) 120º
d) 45º
e) 90º
24. (UNESP) Cinco cidades, A, B, C, D e E, são interligadas
por rodovias, conforme mostra a figura. A rodovia AC tem
40km, a rodovia AB tem 50km,
os ângulos x, entre AC e AB, e
y, entre AB e BC, são tais que
senx = 3/4 e seny = 3/7.
Deseja-se construir uma nova
rodovia ligando as cidades D e
E que, dada a disposição
destas cidades, será paralela a
BC.
a) Use a lei dos senos para determinar quantos quilômetros
tem a rodovia BC.
19. (UFPI) Em um triângulo, um dos ângulos mede 60° e os
lados adjacentes a este ângulo medem 1cm e 2cm. O valor do
perímetro deste triângulo, em centímetros, é:
b) Sabendo que AD tem 30 km, determine quantos quilômetros
terá a rodovia DE.
25. A mediana AM de um triangulo ABC mede 6cm, divide o
lado oposto em dois segmentos iguais a 12cm e forma com
esse lado dois ângulos que diferem entre si de 60º. Determine
as medidas dos lados desse triângulo.
a)
3 5
b)
5 3
c)
3 3
d)
3 7
Respostas:
e)
5 7
17)
3;
4
20. Sejam A, B e C pontos de uma circunferência tais que, AB
18) b;
19) c;
= 2km, BC = 1km e a medida do ângulo AB̂C seja de 135°.
20) Raio =
a) Calcule o raio dessa circunferência.
b) Calcule a área do triângulo ABC.
21)
21. (UFRJ) Os ponteiros de um relógio circular medem, do
centro às extremidades, 2 metros, o dos minutos, e 1 metro, o
das horas. Determine a distância entre as extremidades dos
ponteiros quando o relógio marca 4 horas.
22. (FUVEST) A corda comum de
dois círculos que se interceptam
é vista de seus centros sob
ângulos
de
90°
e
60°,
respectivamente,
como
é
mostrado na figura a seguir.
Sabendo-se que a distância entre
seus centros é igual a
3  1,
determine os raios dos
círculos.
23. (Mackenzie) Supondo
figura vale:
a) 1,15
b) 1,25
c) 1,30
d) 1,35
e) 1,45
3  1,7 a área do triângulo da
2
52 2
km2 ;
km ; Área =
2
2
7 m;
22) r  2 e R = 2;
23) D;
24) BC = 70km e DE = 42km;
25) 6 7 cm ; 6 3 cm e 24cm.
PARTE III
26. Um pneu de automóvel, com 0,5m de raio, percorreu uma distância de 6280m. Quantas voltas deu o pneu? (Adote π = 3,14).
27. Um atleta deu 22 voltas numa pista circular de 50m de raio. Que distância percorreu? (Adote π = 3,14).
28. Uma toalha redonda tem 1,5m de raio. Uma mulher pretende colocar renda em todo o perímetro da toalha. Quantos metros de
renda serão necessários? (Adote π = 3,14).
29. Determine, em radianos, a medida do arco AMB (arco ABM = 7cm).
30. Determine, em graus, a medida do arco AMB, da figura.
31. Sabendo que a medida do arco AMB é 4,2rad, determine o comprimento desse arco em centímetros.
32. (UNICAMP) Um relógio foi acertado exatamente ao meio dia. Determine as horas e minutos que estará marcando esse relógio
após o ponteiro menor ter percorrido um ângulo de 42°.
Respostas:
26) 2000 voltas;
27) 6908m;
28) 9,42m;
29) 1,75 rad;
30) 45º;
31) 12,6cm;
32) 13h24min;
ANOTAÇÕES: