Elementos de lógica proposicional Ficheiro

A Lógica é encarada por alguns autores como a base da
racionalidade e o alicerce da Matemática, da Ciência e da
Tecnologia. Em particular das Tecnologias de Informação e
Comunicação.
Lógica Proposicional
Lógica de 1ª Ordem
A Lógica Proposicional é a parte da lógica que lida com os conetivos
lógicos: ¬ ∧ ∨ ⇒ ⇔
A Lógica de 1ª Ordem além dos conetivos lógicos anteriores utiliza
também os quantificadores: ∀ ∃
Segundo Machado (2002) «As expressões que a linguagem Matemática
utiliza não são essencialmente muito diferentes daquelas que utilizamos
no dia a dia (…)».
Termo ou designação é uma expressão cujo papel é nomear, ou
designar alguma entidade.
Proposição é uma expressão que traduz uma afirmação e à qual se
pode associar um dos valores «verdadeiro» ou «falso» ({0,1})
• «Todos os alunos do mestrado de ECM residem em Santarém»
• «Todos os alunos do mestrado de ECM são trabalhadoresestudantes»
• «Pelo menos um dos alunos do mestrado de ECM trabalha na
ESE»
PRINCÍPIO DA NÃO CONTRADIÇÃO:
Uma proposição não pode ser VERDADEIRA e FALSA ao mesmo tempo.
PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO:
Toda proposição ou é VERDADEIRA ou é FALSA, isto é,
verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro.
...EM RESUMO:
Toda proposição tem um, e somente um, dos valores V ou F.
Muitas proposições são construídas a partir de proposições simples
utilizando para isso os conetivos lógicos.
¬
A negação de uma proposição é uma nova proposição que é
verdadeira se a primeira for falsa e é falsa se a primeira for
verdadeira.
A Lei da dupla negação
A Paula XPTO é aluna do mestrado de ECM
¬
A Paula XPTO não é aluna do mestrado de ECM
A Paula XPTO é aluna do mestrado de ECM
¬
∧
A conjunção de duas proposições é uma nova proposição que é
verdadeira se as duas primeiras são verdadeiras e é falsa caso
contrário. Na linguagem corrente aparece através da utilização da
palavra «e».
∨
A disjunção de duas proposições é uma nova proposição que é
verdadeira se pelo menos uma das primeiras é verdadeira. Na
linguagem corrente aparece através da utilização da palavra «ou».
⇒
A implicação entre duas proposições, uma primeira o antecedente e
uma segunda o consequente, é uma nova proposição que é
verdadeira nos casos em que:
• O antecedente é verdadeiro e o consequente é verdadeiro
• O antecedente é falso e o consequente é verdadeiro
• O antecedente é falso e o consequente é falso
e é falsa no caso em que
• O antecedente é verdadeiro e o consequente é falso
Por exemplo: «Se chover então vou ao cinema»
⇔
A equivalência de duas proposições é verdadeira se ambas forem
verdadeiras ou ambas forem falsas.
Por exemplo: «x é um número par se e só se é divisível por 2 »
Propriedades da conjunção e da disjunção
•  comutativas;
•  associativas;
•  elemento neutro;
•  elemento absorvente
•  A conjunção é distributiva relativamente à disjunção
• A disjunção é distributiva relativamente à conjunção
Usam-se parêntesis para indicar a ordem pela qual se realizam as
operações lógicas, sobrepondo-se à seguinte convenção de
prioridade das operações:
•  primeiro a negação;
•  depois a conjunção e disjunção;
•  por último a implicação e a equivalência.
Uma proposição diz-se uma tautologia se o seu valor lógico for sempre
Verdadeiro independentemente dos valores lógicos das proposições
atómicas.
Exemplos:
p∨ ~ p
p ⇒ ( p ∨ q)
Pense em outras…
Uma proposição diz-se uma contradição se o seu valor lógico for
sempre falso independentemente dos valores lógicos das proposições
atómicas.
Exemplo:
p∧ ~ p
Pense noutro exemplo...
1.  Descubra o botão
www.learner.org/teacherslab/math/patterns/buttons/buttonanswered.html
2. Descubra a peça mistério dos blocos lógicos
Um jogo de blocos lógicos contém 48 peças:
- três cores (amarelo, azul e vermelho)
- quatro formas (círculo, quadrado, triângulo e rectângulo)
-  dois tamanhos (grande e pequeno) e duas espessuras (fino e grosso)
Adaptado de Branco, N. (2007)
4. Descubra a peça mistério (X) dos blocos lógicos com base nas
seguintes proposições e nos seus valores de verdade:
4.1
Proposição 1 - Se for triângulo então X é vermelha (falsa)
Proposição 2 - X é circular grossa ou quadrada fina (falsa)
Proposição 3 – X não é amarela nem grande (verdadeira)
4.2
Proposição 1 – A peça é vermelha e não é fina (verdadeira)
Proposição 2 – A peça é pequena se e só se for grossa (verdadeira)
Proposição 3 – Se a peça é vermelha então ou é um triângulo ou não é grossa
(verdadeira)
Adaptado de Branco, N. (2007)
4. Resolução
4.1 Como P1 é uma implicação falsa, a proposição antecedente é
verdadeira e a proposição consequente é falsa:
X é uma peça triangular. X não é vermelha.
Como P2 é uma disjunção falsa, as duas proposições são falsas:
X não é circular grossa. X não é quadrada fina.
Como P3 é uma conjunção verdadeira, as duas proposições são
verdadeiras:
X não é amarela. X não é grande.
Logo, X é uma peça triangular azul, pequena.
Grossa ou fina?
Adaptado de Branco, N. (2007)
4. Resolução
4.2 Como P1 é uma conjunção verdadeira, ambas as proposições
são verdadeiras:
X é uma peça vermelha. X não é fina.
Como P2 é uma equivalência verdadeira, ou ambas as proposições
são verdadeiras ou ambas são falsas. Como a peça é grossa,
ambas têm de ser verdadeiras:
X é uma peça pequena. X é grossa.
Como P3 é uma implicação verdadeira a proposição antecedente é
verdadeira, a proposição consequente é verdadeira. Para a
disjunção ser verdadeira, pelo menos uma é verdadeira. “X não é
grossa” é falsa. Logo, “X é um triângulo é verdadeira”.
X é uma peça vermelha. X é um triângulo. X não é grossa.
X é uma peça triangular vermelha, pequena e grossa.
Adaptado de Branco, N. (2007)
3. Se o António disse a verdade, a Beatriz e o Carlos mentiram. Se o
Carlos mentiu, o Dário falou a verdade. Se o Dário falou verdade, há
um leão feroz nesta sala. Ora, não há um leão feroz nesta sala.
Logo:
•  António e Beatriz disseram a verdade
• António e Dário mentiram
P
• Carlos e Dário mentiram
• Carlos mentiu ou Dário disse a verdade
• Carlos e Beatriz mentiram
Adaptado de Branco, N. (2007)
3. Se o António disse a verdade, a Beatriz e o Carlos mentiram. Se o
Carlos mentiu, o Dário falou a verdade. Se o Dário falou verdade, há
um leão feroz nesta sala. Ora, não há um leão feroz nesta sala.
- Se não há leão feroz na sala, o Dário mentiu.
- Se o Dário mentiu então o Carlos falou verdade.
- Portanto, o António mentiu.
- O António e o Dário mentiram.P
Adaptado de Branco, N. (2007)
4. Onde está o ouro?
A afirmação na etiqueta
de B é verdadeira e o
ouro está na caixa A
A afirmação na etiqueta
de A é falsa e o ouro está
na caixa A
Se a etiqueta da caixa A for verdadeira então a etiqueta da caixa B
também é verdadeira.
Sendo a etiqueta da caixa B verdadeira, a etiqueta da caixa A é falsa.
CONTRADIÇÃO porque a etiqueta da caixa A é verdadeira.
A etiqueta da caixa A tem de ser falsa então pelo menos uma das
proposições é falsa.
A afirmação na etiqueta de B é verdadeira e o ouro está na caixa A
Adaptado de Branco, N. (2007)
A afirmação na etiqueta
de B é verdadeira e o
ouro está na caixa A
A afirmação na etiqueta
de A é falsa e o ouro está
na caixa A
Se a etiqueta na caixa B for verdadeira, a etiqueta da caixa A é falsa.
Como há uma conjunção na caixa A, basta que uma das proposições seja
falsa. Como a etiqueta da caixa B é verdadeira, o “ouro está na caixa A” é
falsa. Logo, o ouro não está na caixa A.
CONTRADIÇÃO porque a etiqueta da caixa B diz que o ouro está na
caixa A.
A etiqueta da caixa B tem de ser falsa, então pelo menos uma das
proposições é falsa.
Verdade
Falso
A afirmação na etiqueta de A é falsa e o ouro está na caixa A
Adaptado de Branco, N. (2007)
As duas afirmações são falsas
e o ouro está na caixa B
Motores de pesquisa na Web
www.google.com
Utilizando a negação “-”, conjunção “AND” e disjunção ”OR” pesquise a seguinte
informação
4.1 Sítios na Web de domínio “*.pt” que referenciam multimédia e educação
4.2 Sítios na Web de domínio “*.pt” que referenciam multimédia ou educação
4.3 Sítios na Web de domínio “*.pt” que referenciam multimédia mas não referenciam
educação
Bases de dados online – O caso da b-on
www.b-on.pt
Bases de dados online – O caso da b-on
www.b-on.pt
1ªiteração - Palavras-chave: education AND multimedia
Em Ciências Sociais
Total de 8611 registos
2ªiteração - Palavras-chave: (education AND multimedia) AND (NOT
health)
Total de 8424 registos
3ªiteração - Palavras-chave: (education AND multimedia) AND (NOT
health) AND (NOT wireless)
Total de 8420 registos
A Folha de Cálculo – O caso do Excel