Matemática

Matemática
Fascículo 02
Manoel Benedito Rodrigues
Índice
Geometria Plana
Resumo Teórico .................................................................................................................................1
Exercícios ...........................................................................................................................................3
Dicas .................................................................................................................................................5
Resoluções ........................................................................................................................................6
Geometria Plana
Resumo Teórico
Principais Fórmulas
Lei dos Senos
g
a
b
b
a
R
a
b
c
=
=
= 2R
sena senb seng
c
Lei dos Cossenos
a2 = b2 + c2 – 2 × b × c ×cos a
g
a
b
b2 = a2 + c2 – 2 × a × c ×cos b
a
c2 = a2 + b2 – 2 × a × b ×cos g
b
c
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
b
c
h
m
h2=m × n
b × c=a × h
b2=a × m
a2=b2 + c2
c2=a × n
n
a
Relações Métricas no Círculo
P
A
B
A
C
B
PA × PB = PC × PD
A
C
D
P
B
D
PA × PB = PC × PD
T
P
(PT)2 = PA × PB
1
Razões Trigonométricas
a
b
b
c
b
sen a = , cos a = e tg a =
a
a
c
a
c
Polígonos Convexos
Sendo
n= número de lados;
d= número de diagonais;
Si= soma dos ângulos internos e
Se= soma dos ângulos externos,
temos:
d=
n(n – 3)
2
Si = (n – 2) × 180º
e
Teorema da Bissetriz Interna
A
c
b
x
y
b c
=
x y
S
Teorema da Bissetriz Externa
A
b
C
c
c
y
B
x
2
S
b c
=
x y
Se = 360º
Semelhança de Triângulos
Sendo k a razão de semelhança entre os DABC e DPQR, temos:
A
c
H
B
P
b
C
a
y
z
h
Q
a b c H
= = = =k
x y z h
x
Área DABC
Área DPQR
R
= k2
Comprimento da Circunferência
R
R
a
l
a
×(2pR)
360º
a em radianos: l = aR
C = 2pR
a em graus: l =
Áreas
Círculo
Setor Circular
R
R
A = p ×R2
R
a
A=
a ×p ×R2
360º
a em graus
R
a
A=
a ×R2
2
l
A=
l ×R
2
a em radianos
Exercícios
01. Na figura, as retas r e s são paralelas, o ângulo 1 mede 45º e o ângulo 2 mede 55º. A medida, em
graus, do ângulo 3 é:
a. 50
b. 55
c. 60
d. 80
e. 100
3
02. Considere um arco AB de 110º numa circunferência de raio 10 cm. Considere, a seguir, um arco A’B’
de 60º numa circunferência de raio 5cm. Dividindo–se o comprimento do arco AB pelo do arco A’B’
(ambos medidos em cm), obtém–se
11
6
b. 2
11
c.
3
22
d.
3
e. 11
a.
$ = 150º, AD = AB = 4 cm, BC = 10 cm, MN = 2 cm, sendo M e
03. No quadrilátero ABCD abaixo, ABC
N, respectivamente, os pontos médios de CD e BC. A medida, em cm2, da área do triângulo BCD é:
a. 10
b. 15
c. 20
d. 30
e. 40
04. O triângulo ABC está inscrito numa circunferência de raio 5cm. Sabe–se que A e B são extremidades
de um diâmetro e que a corda BC mede 6 cm. Então a área do triângulo ABC, em cm2, vale
a. 24
b. 12
5 3
c.
2
d. 6 2
e. 2 3
05. A figura mostra a planta baixa da sala de estar de um apartamento. Sabe–se que duas paredes
contíguas quaisquer incidem uma na outra perpendicularmente e que AB = 2,5m, BC = 1,2m,
EF = 4,0m, FG = 0,8m, HG = 3,5m e AH = 6,0m. Qual a área dessa sala em metros quadrados?
a. 37,2
b. 38,2
c. 40,2
d. 41,2
e. 42,2
4
06. Do quadrilátero ABCD da figura, sabe–se que: os ângulos internos dos vértices A e C são retos; os
ângulos CDB e ADB medem, respectivamente, 45º e 30º; o lado CD mede 2dm.
Então os lados AD e AB medem, respectivamente, em dm:
a.
b.
c.
d.
e.
6e
5e
6e
6e
3e
3
3
2
5
5
07. Na figura ao lado têm-se AB // CD, AB = 6cm, AD = 4 cm e os ângulos internos de vértices A e B têm
as medidas indicadas. A área do quadrilátero ABCD, em centímetros quadrados, é
a. 3
b. 2 3
c. 4 3
d. 6 3
e. 8 3
Dicas
01. Prolongue um dos segmentos entre as paralelas de forma a obter um triângulo.
Use o fato de ângulos alternos entre paralelas serem congruentes.
02. Se para 360º (uma “volta completa”) em torno da circunferência, é percorrida uma distância igual a
2pR, onde R é o raio da circunferência, qual seria a distância percorrida correspondente a 110º?
03. Teorema: O segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro
lado e mede a metade da medida do terceiro lado.
04. Use o fato de que todo triângulo inscrito numa semi-circunferência é retângulo.
05. A seguinte figura pode ajudar:
Área do retângulo = base x altura
5
06. Note que o triângulo BCD é isósceles.
Calcule seus lados e use razões trigonométricas (sen30º, cos30º) no DABD.
07. Considere a seguinte figura:
Resoluções
01. Alternativa e.
$ = D$ = 1$ (alternos internos)
1. DBA
2. DABC: 3$ é ângulo externo, logo:
3$ = 1$ + 2$
3$ = 45º +55º
3$ = 100º
02. Alternativa c.
360º 110º
55p
=
Þ AB =
cm
2p ×10
9
AB
360º 60º
5p
cm
=
Þ A' B'=
3
2p × 5
A' B'
55p
11
= 9 =
5p
3
A' B'
3
AB
03. Alternativa c.
1.
M ponto médio de CD ü
ý Þ MN // BD; BD = 4cm
N ponto médio de BC þ
2.
DADB é equilátero ü
$
ý Þ DBC = 90º
$ = 150º
ABC
þ
3. Sendo ABCD a área do DBCD, tem-se:
(BC) × (BD) 10 × 4
ABCD =
=
Þ ABCD = 20cm2
2
2
6
04. Alternativa a.
1. Se AB é diâmetro, o ângulo C$ é reto.
Logo, pelo teorema de Pitágoras, temos:
AC2 + BC2 = AB2
AC2 + 62 = 102 Þ AC = 8 cm
2. ADABC =
(AC) × (BC) 8 × 6
=
2
2
ADABC = 24 cm2
05. Alternativa e.
1.a resolução:
AI = 6 × 2,5 = 15 m2
AII = 5 × 4,8 = 24 m2
AIII = 4 × 0,8 = 3,2 m2
AT: área total
AT = AI + AII + AIII
AT = 15 + 24 + 3,2 Û AT = 42,2 m2
2.a resolução:
Área A I E J = 7,5 × 6,8 = 51m2
Área B C D I = 1,2 × 5 = 6 m2
Área F G H J = 0,8 × 3,5 = 2,8 m2
Área da sala ABCDEFGH =
51 – 6 – 2,8 = 42,2 m2
06. Alternativa c.
1. DBCD
$ 45º Þ BC = 2 dm
B=
BD2 = 22 + 22 Þ BD = 2 2
2. DBCD
x
3
=
Û x = 6 dm
2
2 2
2 2
y
y
1
sen 30º =
Þ =
Û y = 2 dm
2 2 2
2 2
cos 30º =
x
Þ
7
07. Alternativa e
Consideremos E e F as projeções dos vértices D e C, nesta ordem, sobre a base AB do trapézio ABCD.
Temos:
1. DADE é congruente ao DBCF, pelo caso LAAo.
Logo, ABCD é trapézio isósceles
2. No triângulo ADE:
x
3 x
Þ
= Û x = 2 3 cm
4
2
4
y
1 y
cos 60º = Þ = Û y = 2 cm
4
2 4
sen 60º =
3. AB = 6 Þ 2y + EF = 6 Û 2 × 2 + EF = 6 Û EF = 2 cm = CD
4. Seja A a área do trapézio ABCD
(AB + CD) × DE
(6 + 2) × 2 3
A=
ÞA=
Û A = 8 3 cm 2
2
2
8