Matemática

Questão 1
Questão 3
Na semana passada, (...) o total devido pelo
governo [brasileiro] na forma de títulos públicos (...) ultrapassou a marca simbólica de
1 trilhão de reais.
Uma extensa ponte de concreto tem pequenos
intervalos a cada 50 metros para permitir a
dilatação. Quando um carro passa por um
desses intervalos, o motorista ouve um som
“track-track” produzido pela passagem das
quatro rodas por esses espaços. A velocidade
máxima sobre a ponte é de 90 km/h. A essa
velocidade, o número de “track-tracks” que o
motorista ouvirá, devido à passagem de seu
carro por esses intervalos, é
a) um a cada 3 segundos.
b) um a cada 2 segundos.
c) um a cada segundo.
d) dois a cada segundo.
e) três a cada segundo.
(Veja, 22.03.2006.)
Uma cédula de 50 reais tem 14 cm de comprimento e 6,5 cm de largura, e o comprimento
da circunferência da Terra, na Linha do
Equador, é, aproximadamente, 40 000 km.
Um trilhão de reais em cédulas de 50 reais,
colocadas uma ao lado da outra, formariam
uma fita de 6,5 cm de largura. O número de
voltas que essa fita daria ao redor da Terra
na Linha do Equador é, aproximadamente,
a) 3,5.
b) 7.
c) 35.
d) 70.
e) 350.
alternativa D
1012
notas de 50 reais que
50
12
10
formariam uma fita de
⋅ 14 = 2,8 ⋅ 1011 cm ou
50
2,8 ⋅106 km.
2,8 ⋅ 106
Essa fita daria
= 70 voltas ao redor da
40 000
Terra.
Em 1 trilhão de reais há
Questão 2
Se a, b, c são números inteiros positivos tais
que c = (a + bi)2 − 14i, em que i2 = −1, o valor
de c é
a) 48.
b) 36.
c) 24.
d) 14.
e) 7.
alternativa B
90
150
m/ s =
m/s, o motorista
3,6
6
50 m
ouvirá um "track-track" a cada
= 2 se150
m/s
6
gundos.
Como 90 km/h =
Questão 4
Na figura, ABCD é um retângulo de base
10 cm e altura 6 cm. Os pontos E e F dividem
o lado CD em três partes iguais.
alternativa A
c = (a + bi) 2 − 14i ⇔
⇔ c = a 2 − b 2 + (2ab − 14)i ⇔
c = a2 − b 2
c = a2 − b 2
⇔
0 = 2ab − 14
ab = 7
Como a, b são inteiros positivos, pelo Teorema
Fundamental da Aritmética, (a = 1 e b = 7) ou
(a = 7 e b = 1).
Porém c também é inteiro positivo, ou seja, a = 7
e b = 1 e c = 7 2 − 12 = 48 .
⇔
A área do triângulo AEF é
20
cm2 .
a)
b) 8 cm2 .
3
d) 16 cm2 .
e) 20 cm2 .
c) 10 cm2 .
matemática 2
alternativa C
Como a altura relativa à base EF vale AD = 6 cm
10
cm, a área do triângulo AEF é
e EF =
3
EF ⋅ AD
= 10 cm 2 .
2
Questão 7
Se a, b, c são números reais tais que
ax2 + b(x + 1)2 + c(x + 2)2 = (x + 3)2
para todo x real, então o valor de a − b + c é
a) −5.
b) −1.
c) 1.
d) 3.
e) 7.
Questão 5
Uma função quadrática y = Q(x) = ax2 + bx + c
assume valores negativos (y < 0) somente
para −1 < x < 2. Dado Q(3) = 10, a ordenada
do ponto onde o gráfico da função em um plano cartesiano cruza o eixo Oy é
a) −6.
b) −5.
c) −4.
d) −3.
e) −2.
alternativa B
Como Q(x) < 0 ⇔ −1 < x < 2 , a > 0 e as raízes
de Q(x) são −1 e 2.
Assim, Q(x) = a(x − ( −1))(x − 2) e, sendo Q(3) = 10,
5
a(3 + 1) ⋅ (3 − 2) = 10 ⇔ a = .
2
A ordenada do ponto onde o gráfico de y = Q(x)
5
cruza o eixo Oy é Q(0) =
(0 + 1)(0 − 2) = −5 .
2
Questão 6
Considere os gráficos das funções y = sen(x) e
y = sen(2x) em um mesmo plano cartesiano.
O número de interseções desses gráficos,
para x no intervalo [0, 2π], é
a) 3.
b) 4.
c) 5.
d) 6.
e) 7.
alternativa C
Como cada intersecção entre os gráficos de y =
= sen(x) e y = sen(2x) corresponde a uma raiz da
equação sen(x) = sen(2x), o número de intersecções desses gráficos, no intervalo [0; 2 π], é igual à
quantidade de raízes da equação sen(x) = sen(2x)
no mesmo intervalo.
sen(x) = sen(2x) ⇔ sen(x) = 2 sen(x) cos(x) ⇔
⇔ sen(x)(2 cos(x) − 1) = 0 ⇔
1
⇔ sen(x) = 0 ou cos(x) =
⇔ x = 0 ou x = π ou
2
π
5π
x = 2 π ou x = ou x =
3
3
Assim, os gráficos cortam-se em 5 pontos no intervalo [0; 2 π].
alternativa E
Tomando, respectivamente, x = 0, x = −1, x = −2:
b ⋅ 12 + c ⋅ 2 2 = 3 2
a ⋅ ( −1) 2 + c ⋅ 12 = 2 2
a ⋅ ( −2)
2
+ b ⋅ ( −1)
2
=1
⇔
2
b = 9 − 4c
a =1
⇔ a =4 −c
⇔ b = −3
4(4 − c) + 9 − 4c = 1
c =3
Conseqüentemente, a − b + c = 1 − ( −3) + 3 = 7 .
Questão 8
Dos 6! números formados com as permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos
estão entre 450 000 e 620 000?
a) 96. b) 120.
c) 168.
d) 192.
e) 240.
alternativa D
Dentre as 6! permutações formadas, as que estão
entre 450 000 e 620 000 são as que começam com
45, 46, 51, 52, 53, 54, 56 e 61. Como existem 4!
permutações iniciando com cada uma das 8 possibilidades citadas, então existem 8 ⋅ 4! = 192 números.
Questão 9
2ab
, em que a > b > 0 e
a − b2
0o < x < 90o, então o valor de sen(x) é
b
b
a) .
b)
.
a
a+ b
Se tg (x) =
a− b
.
a+ b
2ab
.
e) 2
a + b2
c)
2
d)
a2 − b2
.
a2 + b2
matemática 3
alternativa E
Como 0o < x < 90o e a > b > 0, o triângulo retângulo de catetos 2ab e a2 − b 2 e hipotenusa
a) 2x2 + 6x − 1.
c) x2 + 3x − 1.
e) x2 + 1.
(2ab) 2 + (a2 − b 2 ) 2 = a4 + 2a2 b 2 + b4 =
b) 2x2 + 6x + 1.
d) x2 + 3x.
alternativa A
= a2 + b 2 tem x como um de seus ângulos.
Como x0 = −2 é raiz do polinômio P(x), então:
−2
1
5
k
1
3
k−6
−1
−2k + 11 = 0
11
1⎞
⎛
e P(x) = (x + 2) ⎜ x 2 + 3x − ⎟ =
⎝
2
2⎠
(x + 2)(2x 2 + 6x − 1)
.
=
2
Logo P(x) é divisível por 2x 2 + 6x − 1.
ou seja, k =
Assim, sen(x) =
2ab
a2 + b 2
.
Questão 10
Questão 12
O sistema de equações
x+β y
⎧2
⎪ α x = 32
⎪ 2
⎨ β x−y
⎪3
= 81
⎪⎩ 3α y
tem solução única (x, y) se e somente se
b) α ≠ β.
a) α = β.
d) α 2 + β2 = 1.
c) α 2 − β2 ≠ 1.
A área do anel entre dois círculos concêntricos é 25π cm2 . O comprimento da corda do
círculo maior, que é tangente ao menor, em
centímetros, é
5
.
b) 5.
c) 5 2 .
d) 10.
e) 10 2 .
a)
2
e) α 2 + β2 ≠ 1.
alternativa D
alternativa C
Consideremos a figura a seguir:
⎧ 2 x + βy
⎪ αx = 32
⎧⎪2 x + βy − αx = 2 5
⎪ 2
O sistema ⎨
⇔⎨
⇔
βx − y
⎪⎩3 βx − y − αy = 3 4
⎪3
⎪⎩ 3 αy = 81
⎧ (1 − α)x + βy = 5
tem solução única para
⇔⎨
⎩ βx − (1 + α)y = 4
1−α
β
≠ 0 ⇔ −(1 − α)(1 + α) − β 2 ≠ 0 ⇔
β
−(1 + α)
⇔ α 2 − β 2 ≠ 1.
Como ΔOMA ≅ ΔOMB, seja AM = BM = x . Temos
do triângulo retângulo OMA que R 2 = x 2 + r 2 ⇔
Questão 11
3
2
Se x0 = −2 é um zero de p(x) = x + 5x +
+ kx − 1, sendo k uma constante, então p(x) é
divisível por
⇔ x 2 = R 2 − r 2 ⇔ πx 2 = π(R 2 − r 2 ) ⇔
⇔ πx 2 = 25 π ⇔ x = 5 ⇔ 2x = 10 cm. Logo o
comprimento da corda do círculo maior, que é
tangente ao menor, é igual a AB = 2x = 10 cm.