MPU 2013 – TÉCNICO RACIOCÍNIO LÓGICO SUMÁRIO

Raciocínio Lógico
Prof. Cláudio da Cunha Kidricki
MPU 2013 – TÉCNICO
RACIOCÍNIO LÓGICO
SUMÁRIO
1. Estruturas Lógicas e Lógica Sentencial, 2
2. Lógica de Argumentação e Lógica de 1ª Ordem, 10
3. Diagramas Lógicos, 18
4. Problemas PMS, 22
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1. ESTRUTURAS LÓGICAS E LÓGICA SENTENCIAL
A lógica matemática, também chamada de lógica simbólica ou lógica formal, é baseada
em dois princípios:
1º) Princípio da Não-Contradição
“Uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa”.
2º) Princípio de Terceiro Excluído
“Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, não havendo uma terceira possibilidade”.
PROPOSIÇÃO E SENTENÇA ABERTA
De acordo com os princípios dados, podemos dizer que uma proposição em lógica, é uma
afirmação que admite um único valor lógico definido: verdadeiro(V) ou falso(F).
Exemplos:
a) Porto Alegre é uma cidade brasileira (V) .
b) A maçã é uma fruta (V) .
c) 2+1= 5 (F) .
Não são consideradas proposições, por não ter um valor lógico definido, por exemplo:
a) Que horror !
b) Será que chove hoje?
c) Ele é um ator.
d) x é um número primo.
Sentenças que apresentam um sujeito indeterminado ou uma variável, como os exemplos c e d
acima, são chamadas de sentenças abertas, funções proposicionais ou predicados, com uma
variável.
Ao atribuirmos um valor para a variável, transformamos a sentença aberta em uma proposição
(que seria uma “sentença fechada”).
Outra maneira de “fechar” uma sentença aberta é utilizar os quantificadores, como veremos
adiante.
Notação: Nos concursos públicos, as proposições são representadas por letras minúsculas p, q, r,
s,... ou por letras maiúsculas P, Q, R, S, ..., dependendo da banca examinadora. As sentenças
abertas com uma variável são representadas por p(x), q(x), r(x),... ou por P(x), Q(x), R(x), ...,
etc.
CONETIVOS
Os conetivos são palavras que ligam proposições simples, originando proposições
compostas. Utilizaremos os cinco conetivos dados a seguir:
e ( ∧ ) : conjunção;
ou ( ∨ ) : disjunção não exclusiva ;
ou...ou (∨
∨ ) : disjunção exclusiva ;
se...então ( → ) : condicional ;
se e somente se ( ↔ ) : bicondicional.
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Exemplos
1) Maçã é uma fruta e 1+2=4
2) 2>1 ou 3<4
3) Ou 2 é par ou 2 é ímpar
4) Se 2+2=5, então 3 = 9
5) Paris é capital da França se e somente se Bagé é um estado.
Observe que o conetivo “ou” pode ter dois significados: não exclusivo e exclusivo. No
exemplo (b) temos o “ou” com significado não exclusivo (ou vale p, ou vale q, ou valem
ambos) e no exemplo (c), com significado exclusivo (ou vale p, ou vale q, mas não ambos).
No português, o significado do “ou” é dado, em geral, pelo contexto.
A partir do significado de cada conetivo, estabelecemos as regras dadas a seguir, que
determinam o valor lógico de proposições compostas. Essas regras são a base para a construção
das estruturas lógicas e, o seu uso, nos assegura uma linguagem mais precisa para nos
expressarmos.
“A proposição p ∧ q só é verdadeira se as proposições p e q forem ambas
verdadeiras”.
“A proposição p ∨ q só é falsa se as proposições p e q forem ambas falsas”.
“A proposição p ∨ q só é verdadeira quando uma e somente uma das proposições p e q
for verdadeira”.
“A proposição p → q só é falsa quando p é verdadeira e q é falsa”.
“A proposição p ↔ q só é verdadeira quando p e q têm valores lógicos iguais”.
Resumimos essas regras no quadro ( tabela-verdade ) abaixo
p
q
p∧q
p∨q
p∨q
p→q
p↔q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
V
V
F
F
V
V
F
V
F
V
V
V
F
F
V
Além dos conetivos temos o “modificador”, indicado pelo símbolo ~ (ou ¬ ). O modificador é
usado para negar uma proposição, trocando o seu valor lógico. Ou seja: se p é verdadeira, ~p é
falsa ; se p é falsa, ~p é verdadeira.
Exemplos
1) 2 é um número par e 2 é primo é uma conjunção V;
2) 3+1=5 ou 1+7=17 é uma disjunção F;
3) ou 4 > 0 ou 4 < 0 é uma disjunção exclusiva V;
4) se 1 > 2, então 3 < 4 é um condicional V;
5) se 6 > 8, então 9 < 8 também é um condicional V;
6) 1+1=3 se e somente se 2+2=5 é um bicondicional V.
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EXERCÍCIOS
1) (CESPE) Na lista de frases apresentadas a seguir, há exatamente três proposições.
“A frase dentro destas aspas é uma mentira”.
A expressão X+Y é positiva.
O valor de 4 + 3 = 7 .
Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira.
( ) Certo
( ) Errado
02. (CESPE) Há duas proposições no seguinte conjunto de sentenças:
(I) O BB foi criado em 1980.
(II) Faça seu trabalho corretamente.
(III) Manuela tem mais de 40 anos.
( ) Certo
( ) Errado
OBSERVAÇÕES
1ª) Número de linhas de uma tabela-verdade:
O número de linhas de uma tabela-verdade com n proposições é igual a 2n.
Por exemplo:
1) Uma proposição ⇒ Tabela com 21 = 2 linhas
2) Duas proposições ⇒ Tabela com 22 = 4 linhas
3) Três proposições ⇒ Tabela com 23 = 8 linhas, etc.
2ª) O condicional p → q corresponde, na linguagem de conjuntos, a A ⊂ B (A está contido
em B) .
De fato, quando A ⊂ B, para todo x, o condicional x∈A → x∈B é verdadeiro.
A
B
3ª) O bicondicional p ↔ q significa p → q e q → p (Temos um condicional “de ida” e um
“condicional de volta”). A partir daí, é fácil entender a regra do bicondicional.
De fato, de acordo com a regra do “e”, p ↔ q será V quando os condicionais de ida e de volta
forem ambos V, o que ocorre somente quando p e q têm o mesmo valor lógico: V e V ou F e
F.
4ª) Outras maneiras de ler um condicional e um bicondicional:
• No condicional p → q , a proposição p é chamada de antecedente, hipótese, premissa ou
ainda condição suficiente (CS) para q . A proposição q é chamada de conseqüente, tese,
conclusão ou ainda condição necessária (CN) para p .
• No bicondicional p ↔ q dizemos que “p é condição necessária e suficiente (CNS) para q”
ou também “q é condição necessária e suficiente (CNS) para p”.
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5ª) Implicação e Equivalência :
1) Quando o condicional p → q é sempre verdadeiro, para quaisquer valores lógicos de p e q ,
dizemos que p implica q e escrevemos p ⇒ q.
2) Quando o bicondicional p ↔ q é sempre verdadeiro, para quaisquer valores lógicos de p e
q, dizemos que p equivale a q e escrevemos p ⇔ q.
EXERCÍCIOS
03. Considerando as proposições p: 1+1=2 e q: 3+4=5, determine o valor lógico das
proposições seguintes:
a) p ∧ q
b) p ∨ q
c) p∨
∨q
d) p → q
e) p ↔ q
f) ~(p ∧ q)
g) ~(p ∨ q)
h) ~(p → q)
i) ~(p ↔ q)
j) ~p ∧ ~q → p
l) p ∨ ~q → ~q
04. Em que casos a proposição ~(p e ~q)
é falsa?
05. Complete:
a) p → q é F; q é...
b) p → q é F; q → p é...
c) p → q é V; q → p é...
d) p ↔ q é V; p → q é... e q → p é...
06. Dadas as proposições p: 5>
>2 , q: 3+4=6, r: 3>
>4 e s, qual o valor lógico da proposição
(p ou ∼q) e r → s ?
07. (VUNESP) Se você se esforçar, então irá vencer. Assim sendo:
a) seu esforço é condição suficiente para vencer;
b) seu esforço é condição necessária para vencer;
c) se você não se esforçar, então não irá vencer;
d) você vencerá só se se esforçar;
e) mesmo que se esforce, você não vencerá.
08. (ESAF) Sabe-se que João estar feliz é condição necessária para Maria sorrir e condição
suficiente para Daniela abraçar Paulo. Sabe-se também, que Daniela abraçar Paulo é
condição necessária e suficiente para Sandra abraçar Sérgio. Assim, quando Sandra não
abraça Sérgio,
a) João está feliz, e Maria não sorri, e Daniela abraça Paulo.
b) João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela não abraça Paulo.
c) João está feliz, e Maria não sorri, e Daniela abraça João está feliz, e Maria sorri, e Daniela
não abraça Paulo.
d) João não está feliz, e Maria não sorri, e Daniela não abraça Paulo.
e) João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela abraça Paulo.
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Solução:
Para abreviar, façamos:
J: João está feliz;
M: Maria sorri;
D: Daniela abraça Paulo;
S: Sandra abraça Sérgio.
Temos aqui os condicionais M→ J, J → D e o bicondicional D ↔ S, que de acordo com o
enunciado, são todos verdadeiros.
V4
V8
V 8
6
47
8 67
67
M →J e J →D e D↔S
Quando S é falso (como é dito na questão), D também é falso (pois o bicondicional D ↔ S é
verdadeiro). Como D é falso, J também é falso (pois o condicional J → D é verdadeiro ).
Como J é falso, M também é falso (pois o condicional M→ J é verdadeiro).
Logo, a alternativa correta é (d).
09. (ESAF) Sabe-se que a ocorrência de B é condição necessária para a ocorrência de C e
condição suficiente para a ocorrência de D. Sabe-se, também, que a ocorrência de D é
condição necessária e suficiente para a ocorrência de A. Assim, quando C ocorre,
a) D ocorre e B não ocorre
b) D não ocorre ou A não ocorre
c) B e A ocorrem
d) nem B nem D ocorrem
e) B não ocorre ou A não ocorre
10. Mostre, usando tabelas-verdade, que são válidas as regras de negação dadas a seguir:
a) Negação da conjunção e da disjunção (Leis de DE MORGAN)
~(p e q) ⇔ ~p ou ~q
~(p ou q) ⇔ ~p e ~q
b) Negação do condicional
~(p→
→ q) ⇔ p e ~q
c) Negação do bicondicional
~(p ↔ q) ⇔ ou p ou q
Solução
Faremos apenas o item b para ilustrar.
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
~q p→ q ~(p → q) p e ~q
F
V
F
F
V
F
V
V
F
V
F
F
V
V
F
F
Como as tabelas de ~(p → q) e p e ~q são iguais, essas proposições são equivalentes .
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11. (VUNESP) Se Rodrigo mentiu, então ele é culpado. Logo:
a) se Rodrigo não é culpado, então ele não mentiu;
b) Rodrigo é culpado;
C
c) se Rodrigo não mentiu, então ele não é culpado;
d) Rodrigo mentiu;
M
e) se Rodrigo é culpado, então ele mentiu.
Solução
No desenho acima, estamos representando por M o conjunto dos mentirosos e por C o conjunto
dos culpados. Basta olhar atentamente o desenho para ver que x∉C → x∉M, pois M está
contido em C. A alternativa (a) é a correta ( É a propriedade contrapositiva).
12. Mostre, novamente usando tabelas-verdade, que é válida a propriedade contrapositiva
p → q ⇔ ~q → ~p
13. (FCC) Um economista deu a seguinte declaração em uma entrevista
“ Se os juros bancários são altos, então a inflação é baixa “.
Uma proposição logicamente equivalente à do economista é:
a) se a inflação não é baixa, então os juros bancários não são altos.
b) se a inflação é alta, então os juros bancários são altos.
c) se os juros bancários não são altos, então a inflação não é baixa.
d) os juros bancários são baixos e a inflação é baixa.
e) ou os juros bancários são baixos, ou a inflação é baixa.
14. (ESAF) X e Y são números tais que: se X ≤ 4, então Y > 7. Sendo assim:
a) Se Y ≤ 7, então X > 4.
b) Se Y > 7, então X ≥ 4.
c) Se X ≥ 4, então Y< 7.
d) Se Y < 7, então X ≥ 4.
e) Se X < 4, então Y ≥ 7.
15. (ESAF) Considere a seguinte proposição: “Se chove ou neva, então o chão fica
molhado”. Sendo assim, pode-se afirmar que:
a) Se o chão está molhado, então choveu ou nevou.
b) Se o chão está molhado, então choveu e nevou.
c) Se o chão está seco, então choveu ou nevou.
d) Se o chão está seco, então não choveu ou não nevou.
e) Se o chão está seco, então não choveu e não nevou.
16. (CESPE) A proposição simbólica (P ∧ Q) ∨ R possui, no máximo, 4 avaliações V.
Solução: Basta fazer a tabela-verdade de (P ∧ Q) ∨ R.
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P
V
V
V
F
V
F
F
F
Q
V
V
F
V
F
V
F
F
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R P ∧ Q (P ∧ Q) ∨ R
V V
V
F
V
V
V
F
V
V
F
V
F
F
F
F
F
F
V
F
V
F
F
F
Vemos na tabela-verdade, que a proposição dada tem 5 avaliações V. Logo, a afirmação feita
está Errada.
17. (CESPE) Uma expressão da forma ~(A ∧ ~B) é uma proposição que tem exatamente
as mesmas valorações V ou F da proposição A → B.
Solução
Fazendo as tabelas-verdade
elas são iguais.
A
V
V
F
F
das proposições ~(A ∧ ~B) e A → B verificamos que
B
V
F
V
F
~B A ∧ ~B ~(A ∧ ~B) A → B
F
F
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
V
F
V
V
Logo, a afirmação está Certa.
18. (CESPE) A proposição simbolizada por (A → B) → (B → A) possui uma única
valoração F.
Solução:
Vamos construir a tabela-verdade de (A → B) → (B → A) :
A
V
V
F
F
B A → B B → A (A → B) → (B → A)
V
V
V
V
F
F
V
V
V
V
F
F
F
V
V
V
De fato, a proposição dada possui uma única valoração F, como mostra a tabela acima. A
resposta é Certo .
19. (ESAF) A negação da afirmação condicional “se estiver chovendo, eu levo o guardachuva” é:
a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva
b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva
c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva
d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva
e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva
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20. (ESAF) A negação de “Ana ou Pedro vão ao cinema e Maria fica em casa “é:
a) Ana e Pedro vão ao cinema ou Maria fica em casa.
b) Ana e Pedro não vão ao cinema ou Maria não fica em casa.
c) Ana ou Pedro vão ao cinema ou Maria não fica em casa.
d) Ana ou Pedro não vão ao cinema e Maria não fica em casa.
e) Ana e Pedro não vão ao cinema e Maria fica em casa.
(CESPE)
Sejam P e Q variáveis proposicionais que podem ter valorações , ou serem julgadas
verdadeiras (V) ou Falsas (F). A partir... . Uma tabela de valorações para uma dada proposição é
um conjunto de possibilidades V ou F associadas a essa proposição.
A partir das informações do texto acima, julgue o item subsequente.
21. O número de tabelas de valorações distintas que podem ser obtidas para as
proposições com exatamente duas variáveis proposicionais é igual a 24.
(CESPE) Proposições são sentenças que podem ser julgadas como verdadeiras ou falsas, mas
não admitem ambos os julgamentos. A esse respeito, considere que A represente a proposição
simples “É dever do servidor apresentar-se ao trabalho com vestimentas adequadas ao exercício
da função”, e que B represente a proposição simples “É permitido ao servidor que presta
atendimento ao público solicitar dos que o procuram ajuda financeira para realizar o
cumprimento de sua missão”.
Considerando as proposições A e B acima, julgue os itens subsequentes, com respeito ao
Código de Ética Profissional do Servidor Público Civil do Poder Executivo Federal e às regras
inerentes ao raciocínio lógico.
22. Sabe-se que uma proposição na forma “Ou A ou B” tem valor lógico falso quando A e B são
ambos falsos; nos demais casos, a proposição é verdadeira. Portanto, a proposição composta
“Ou A ou B”, em que A e B são as proposições referidas acima, é verdadeira.
23. A proposição composta “Se A então B” é necessariamente verdadeira.
24. Represente-se por ¬ A a proposição composta que é a negação da proposição A, isto é,
¬ A é falso quando A é verdadeiro e ¬ A é verdadeiro quando A é falso. Desse modo, as
proposições “Se ¬ A então ¬ B” e “Se A então B” têm valores lógicos iguais.
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GABARITO- ESTRUTURAS LÓGICAS E LÓGICA SENTENCIAL
01. Errado
02. Certo
03. a) F b) V c) V d) F
04. Quando p é V e q é F
05. a) F b) V c) V ou F
06. V
07. a
09. c
13. a
14. a
15. e
19. e
20. b
21. Certo
22. Certo
23. Errado
24. Errado
e) F f ) V
g) F
h) V
I) V
j) V
l) V
d) V e V
2. LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO E LÓGICA DE 1ª ORDEM
Um argumento lógico é uma sequência de proposições onde a última é chamada CONCLUSÃO
e as anteriores PREMISSAS.
Representação: p1, p2, p3, ... pn ├ c
Premissas: p1, p2, p3, ... pn .
Conclusão: c
O símbolo ├ lê-se “logo” ou “portanto” .
VALIDADE DE UM ARGUMENTO
Um argumento é considerado válido quando, sendo verdadeiras todas as premissas, a
conclusão também é verdadeira, ou seja, quando a validade das premissas implica a validade
da conclusão. Se as premissas supostas verdadeiras nos levarem a uma conclusão falsa, teremos
um argumento não válido (também chamado de sofisma ou falácia).
Observe que, de acordo com a definição dada acima, na análise da validade de um argumento,
temos que verificar apenas, se a validade das premissas tem como consequência (ou acarreta) a
validade da conclusão. Ou seja, não pode ocorrer premissas verdadeiras e conclusão falsa. Com
base nisso, veja a “dica” dada a seguir:
Para verificar se um argumento é válido, basta supor que todas as premissas são verdadeiras
e verificar se, como consequência, a conclusão é também verdadeira.
Obs.: o argumento do qual estamos falando, é o argumento utilizado no raciocínio lógico
dedutivo. Existe também o argumento utilizado no raciocínio lógico indutivo, para o qual não
se aplica o conceito de validade dado acima e não será estudado aqui.
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Exemplo
Considere o seguinte argumento: “Todo careca é gordo. Nenhum gordo é alto. Logo, nenhum
careca é alto”.
Premissas: p1: todo careca é gordo; p2: nenhum gordo é alto;
Conclusão: c: nenhum careca é alto.
Escrevendo em linguagem simbólica, teremos: p1 , p2 ├ c
Supondo as premissas p1 e p2 verdadeiras, teremos, como consequência, a conclusão c também
verdadeira. O argumento é válido.
SILOGISMO
É um argumento com apenas duas premissas .
Exemplos de Silogismos
a) Se penso, então existo. Penso. Logo, existo .
Premissas: p1: Se penso, então existo, p2: Penso.
Conclusão: c: Existo.
Em linguagem simbólica, o argumento fica: p1, p2 ├ c.
Supondo as premissas p1 e p2 verdadeiras, concluímos que c também é verdadeira. Argumento
válido.
b) x < 5, x > 0. Logo, x < 5.
Premissas: p1 : x < 5, p2 : x > 0.
Conclusão: c: x < 5 ( que coincide com a premissa p1).
Em linguagem simbólica o argumento fica p1, p2 ├ c .
Supondo as premissas p1 e p2 verdadeiras concluímos que c é verdadeira. Argumento válido.
c) x > 1, x < 5. Logo, x = 2.
Premissas: p1: x > 1, p2: x < 5.
Conclusão: c : x = 2.
Em linguagem simbólica temos p1, p2 ├ c .
Supondo as premissas p1 e p2 verdadeiras não podemos concluir que c é verdadeira. Argumento
não válido.
INFERÊNCIAS E ANALOGIAS
Uma inferência é uma conclusão obtida a partir de um argumento válido .
Regras de Inferência
Indicamos a seguir alguns argumentos válidos que aparecem com muita frequência na lógica. A
partir deles, podemos “inferir” a validade de outros argumentos. Por isso eles são conhecidos
como “regras de inferência”.
1) Simplificação:
peq ├ p
peq ├ q
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2) Adição:
p ├ p ou q
q ├ p ou q
3) Modus Ponens:
p → q, p ├ q
4) Modus Tollens:
p → q, ~q ├ ~p
5) Silogismo Hipotético:
p → q, q → r ├ p → r
Uma analogia é uma conclusão obtida por uma comparação entre duas situações lógicas que
tem algumas propriedades semelhantes.
Para fixar idéias, digamos que dois objetos A e B tenham 3 propriedades semelhantes a, b e c.
Se concluirmos que, como A tem uma quarta propriedade d, B também deve ter a propriedade d,
estamos fazendo uma analogia . É óbvio que uma analogia nem sempre é verdadeira .
Exemplo: Pedro e Ana, um casal de matemáticos, têm um filho Tales, que gosta de matemática.
Então, Tiago e Luciana, um casal de advogados, têm um filho Cassiano, que deve gostar de
direito .
Observe que a conclusão, tirada por analogia, não é necessariamente verdadeira. Pode ser ou
não.
EXERCÍCIOS
01.(ESAF) Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o jardim é florido, então o
passarinho não canta. Ora, o passarinho canta. Logo:
a) o jardim é florido e o gato mia
b) o jardim é florido e o gato não mia
c) o jardim não é florido e o gato mia
d) o jardim não é florido e o gato não mia
e) se o passarinho canta, então o gato não mia
02.(ESAF) Há três suspeitos de um crime: o cozinheiro, a governanta e o mordomo. Sabese que o crime foi efetivamente cometido por um ou por mais de um deles, já que podem
ter agido individualmente ou não. Sabe-se, ainda, que :
A) se o cozinheiro é inocente, então a governanta é culpada; B) ou o mordomo é culpado
ou a governanta é culpada, mas não os dois; C) o mordomo não é inocente. Logo:
a) a governanta e o mordomo são os culpados;
b) o cozinheiro e o mordomo são os culpados;
c) somente a governanta é culpada;
d) somente o cozinheiro é inocente;
e) somente o mordomo é culpado.
03. (ESAF) Maria é magra ou Bernardo é barrigudo. Se Lúcia é linda, então César não é
careca. Se Bernardo é barrigudo, então César é careca. Ora, Lúcia é linda. Logo:
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a) Maria é magra e Bernardo não é barrigudo
b) Bernardo é barrigudo ou César é careca
c) César é careca Maria é magra
d) Maria não é magra e Bernardo é barrigudo
e) Lúcia é linda e César é careca.
04. (ESAF) José quer ir ao cinema assistir ao filme ”Fogo contra fogo”, mas não tem
certeza se o mesmo está sendo exibido. Seus amigos, Maria , Luís e Júlio têm opiniões
discordantes sobre se o filme está ou não em cartaz.
Se Maria estiver certa, então Júlio está enganado. Se Júlio estiver enganado, então Luís
está enganado. Se Luís está enganado, então o filme não está sendo exibido.
Ora, ou o filme “Fogo contra fogo” está sendo exibido, ou José não
irá ao cinema.
Verificou-se que Maria está certa. Logo:
a) o filme “Fogo contra fogo” está sendo exibido
b) Luís e Júlio não estão enganados
c) Júlio está enganado, mas não Luís
d) Luís está enganado, mas não Júlio
e) José não irá ao cinema.
05. (ESAF) Se Carlos é mais velho do que Pedro, então Maria e Júlia têm a mesma idade.
Se Maria e Júlia têm a mesma idade, então João é mais moço do que Pedro. Se João é mais
moço do que Pedro, então Carlos é mais velho o que Maria. Ora, Carlos não é mais velho
do que Maria. Então:
a) Carlos não é mais velho do que Júlia e João é mais moço do que Pedro
b) Carlos é mais velho do que Pedro e Maria e Júlia têm a mesma idade
c) Carlos e João são mais moços do que Pedro
d) Carlos é mais velho do que Pedro e João e mais moço do que Pedro
e) Carlos não é mais velho do que Pedro e Maria e Júlia não têm a mesma idade.
06. (ESAF) Se Beto briga com Glória, então Glória vai ao cinema. Se Glória vai ao cinema,
então Carla fica em casa. Se Carla fica em casa, então Raul briga com Carla. Ora, Raul
não briga com Carla. Logo:
a) Carla não fica em casa e Beto não briga com Glória.
b) Carla fica em casa e Glória vai ao cinema.
c) Carla não fica em casa e Glória vai ao cinema.
d) Glória vai ao cinema e Beto briga com Glória.
e) Glória não vai ao cinema e Beto briga com Glória.
07. (ESAF) Se Fulano é culpado, então Beltrano é culpado. Se Fulano é inocente, então ou
Beltrano é culpado ou Sicrano é culpado, ou ambos são culpados. Se Sicrano é inocente,
então Beltrano é inocente. Se Sicrano é culpado, então Fulano é culpado. Logo,
a) Fulano é inocente, Beltrano é inocente e Sicrano é inocente.
b) Fulano é culpado, Beltrano é culpado e Sicrano é culpado.
c) Fulano é culpado, Beltrano é inocente e Sicrano é inocente.
d) Fulano é culpado, Beltrano é culpado e Sicrano é inocente.
e) Fulano é inocente, Beltrano é culpado e Sicrano é culpado.
08. (ESAF) Ana é artista ou Carlos é carioca. Se Jorge é juiz, então Breno não é bonito. Se
Carlos é carioca, então Breno é bonito. Ora, Jorge é juiz. Logo:
13
Raciocínio Lógico
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a) Jorge é juiz e Breno é bonito
b) Carlos é carioca ou Breno é bonito
c) Breno é bonito e Ana é artista
d) Ana não é artista e Carlos é carioca
e) Ana é artista e Carlos não é carioca
09. (ESAF) Entre os membros de uma família existe o seguinte arranjo: Se Márcio vai ao
shopping, Marta fica em casa. Se Marta fica em casa, Martinho vai ao shopping. Se
Martinho vai ao shopping, Mário fica em casa. Dessa maneira, se Mário foi ao shopping,
pode-se afirmar que:
a) Marta ficou em casa.
b) Martinho foi ao shopping.
c) Márcio não foi ao shopping e Marta não ficou em casa.
d) Márcio e Martinho foram ao shopping.
e) Márcio não foi ao shopping e Martinho foi ao shopping.
(CESPE)- Julgue os itens subsequentes (Certo ou Errado).
10. É correto o raciocínio lógico dado pela seqüência de proposições seguintes:
Se Antônio for bonito ou Maria for alta, então José será aprovado no concurso.
Maria é alta.
Portanto, José será aprovado no concurso .
11. É correto o raciocínio lógico dado pela seqüência de proposições seguintes:
Se Célia tiver um bom currículo, então ela conseguirá um bom emprego.
Ela conseguiu um bom emprego.
Portanto, Célia tem um bom currículo.
12. (CESPE) Considere que as afirmativas “Se Mara acertou na loteria então ela ficou
rica” e “Mara não acertou na loteria” sejam ambas proposições verdadeiras.
Simbolizando adequadamente essas proposições pode-se garantir que a proposição “Ela
não ficou rica” é também verdadeira.
13. (CESPE) Considere que a proposição “Sílvia ama Joaquim ou Sílvia ama Tadeu” seja
verdadeira. Então pode-se garantir que a proposição “Sílvia ama Tadeu” é verdadeira .
14. Examinar a validade dos seguintes argumentos:
a) ~p → ~q , p ├ q
b) p, p → q ├ q
15. Considerando as proposições p e q, decidir se os argumentos a seguir são válidos ou
não:
a) p, q ├ p
b) (p ∨ q) ∧ ~p ├ q
c) (p ∨ q) ∧ p ├ q
d) p → q, ~q ├ ~p
16. Examine a validade dos seguintes argumentos:
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Raciocínio Lógico
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a) Se estudo, passo no concurso . Não passei no concurso. Logo, não estudei.
b) Se x não é par, então y não é primo. Mas x é par. Logo, y é primo.
c) Se a é menor que b, então a não é par. Mas a não é menor que b. Logo, a é par.
d) Se a é um número primo, então a não divide b. Mas a divide b. Logo, a não é um
número primo.
e) Se Porto Alegre está na Itália, então Florianópolis não está no Brasil. Mas Florianópolis
está no Brasil. Logo, Porto Alegre não está na Itália.
QUANTIFICADORES
Os quantificadores são elementos lógicos utilizados para indicar se uma propriedade qualquer
é válida para todos ou para apenas alguns elementos de um determinado conjunto.Temos 2
quantificadores :
-Universal: símbolo ∀ . Significa:
“para qualquer que seja”, “para todo” , “para cada” , ou simplesmente , “todo” .
-Existencial: símbolo ∃ . Significa:
“existe pelo menos um” , “para algum” , ou simplesmente “algum”.
Para transformar uma sentença aberta p(x), com x∈A, em uma proposição, temos duas
maneiras:
1) Atribuir um valor qualquer a x;
2) Quantificar a variável x.
Exemplo: consideremos a sentença aberta p(x): “x é um número par”, com x∈N.
1) Para x=4, p(x) é uma proposição verdadeira; para x=3, é uma proposição falsa;
2) Quantificando a variável com o quantificador universal, teremos:
“Para qualquer que seja x∈
∈N, x é um número par” (ou: “ todo número natural x é par”) , que
é uma proposição falsa;
3) Quantificando a variável com o quantificador existencial, teremos :
“Existe pelo menos um x∈
∈N, tal que x é um número par” (ou: “algum número natural x é
par” ), que é uma proposição verdadeira.
NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES QUANTIFICADAS
Exemplo 1) Todo número natural é primo.
Negação: Nem todo número natural é primo, ou seja, algum número natural não é
primo.
Exemplo 2) Algum gato é preto.
Negação: Nenhum gato é preto, ou seja, todo o gato não é preto.
Analisando com atenção os exemplos acima, podemos estabelecer a seguinte
Regra prática: para negar uma proposição quantificada pelos quantificadores universal e
existencial, troca-se o quantificador e nega-se a sentença aberta.
15
Raciocínio Lógico
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Resumo:
1)Todo A é B ⇒ Negação: Nem todo A é B, ou seja, Algum A não é B
2) Algum A é B ⇒ Negação: Nenhum A é B, ou seja,Todo A não é B.
EXERCÍCIOS
17. Considerando como conjunto universo o conjunto A={1,2,3,4,5} e x um elemento de A,
determine o valor lógico das proposições seguintes:
a) Existe pelo menos um x tal que x+3=9
b) Para qualquer que seja x, x+3< 9
c) Para algum x, x+3 < 5
d) Para todo x, x+3 < 6
(CESPE)- Julgue os itens seguintes.
18. A proposição funcional “Para qualquer x, tem-se que x2 > x” é verdadeira para todos
os valores de x que estão no conjunto
{ 5,
5
3
1
, 3, , 2, }.
2
2
2
19. A proposição funcional “Existem números que são divisíveis por 2 e por 3 “ é
verdadeira para elementos do conjunto {2,3,9,10,15,16}.
20. A negação da sentença “Nenhum pescador é mentiroso” é
a) Algum pescador é mentiroso
b) Nenhum mentiroso é pescador
c) Todo pescador não é mentiroso
d) Algum mentiroso não é pescador
e) Algum pescador não é mentiroso
21. Dê a negação das seguintes proposições:
a) Todos os homens são sérios;
b) Nenhuma mulher é fiel ;
c) Alguns homens são infiéis.
22. Considere as proposições :
1-toda mulher é boa motorista
2-nenhum homem é bom motorista
3-todos os homens são maus motoristas
4-pelo menos um homem é mau motorista
5-todos os homens são bons motoristas .
Qual das alternativas abaixo reúne o par de proposições em que uma é negação da outra?
a) 2 e 5
b) 1 e 3
c) 3 e 5
d) 2 e 4
e) 4 e 5
23. (ESAF) Dizer que a afirmação “todos os economistas são médicos” é falsa, do ponto de
vista lógico, equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira:
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Raciocínio Lógico
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a) pelo menos um economista não é médico;
b) nenhum economista é médico;
c) nenhum médico é economista;
d) pelo menos um médico não é economista;
e) todos os não-médicos são não-economistas.
(CESPE) Algumas sentenças são chamadas abertas porque são passíveis de interpretação para
que possam ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F). Se a sentença aberta for uma
expressão da forma ∀ xP(x), lida como “para todo x, P(x)”, em que x é um elemento qualquer
de um conjunto U, e P(x) é uma propriedade a respeito dos elementos de U, então é preciso
explicitar U e P para que seja possível fazer o julgamento como V ou F.
A partir das definições acima, julgue os itens a seguir.
24. Se U for o conjunto de todos os funcionários públicos e P(x) for a propriedade “x é
funcionário do INSS”, então é falsa a sentença ∀ xP(x).
25. Considere-se que U seja o conjunto dos funcionários do INSS, P(x) seja a propriedade “x é
funcionário do INSS” e Q(x) seja a propriedade “x tem mais de 35 anos de idade”. Desse modo,
é correto afirmar que duas das formas apresentadas na lista abaixo simbolizam a proposição
“Todos os funcionários do INSS têm mais de 35 anos de idade”.
(i) ∀ x (se Q(x) então P(x))
(ii) ∀ x (P(x) ou Q(x))
(iii) ∀ x (se P(x) então Q(x))
GABARITO – LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO E LÓGICA DE 1ª ORDEM
01. c
02. b
03. a
04. e
05. e
06. a
10. Certo
11. Errado
12. Errado
13. Errado
15. a) v
b) v
c) nv
d) v
16. a) v
b) nv
c) nv
d) v e) v
17. a) F
b) V
c) V
d) F
18. Errado
21. a) Alguns homens não são sérios;
b) Algumas mulheres são fiéis;
c) Todos os homens são fiéis.
22. e
23. a
24. Certo
25. Errado
07. b
14. a) nv
08. e
b) v
19. Errado
20. a
09. c
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Raciocínio Lógico
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3. DIAGRAMAS LÓGICOS
São inúmeros os argumentos que envolvem quantificadores. Esses argumentos, na maioria
das vezes silogismos (duas premissas), são facilmente identificados pelas expressões : “Todo
A é B”, “Algum A é B” e “Nenhum A é B” .
A maneira mais simples de resolver problemas com esses argumentos, é usar os chamados
diagramas lógicos , que nada mais são, do que os Diagramas de Venn, da Teoria dos
Conjuntos.
Por exemplo, o argumento:
“Todo careca é gordo. Nenhum gordo é alto. Logo, nenhum careca é alto”, pode ser
representado por diagramas lógicos da seguinte maneira:
C: careca
G: gordo
A: alto
G
A
C
C
Vemos facilmente pelos diagramas, que o argumento é válido.
Observe bem as “dicas” dadas a seguir, para usá-las nos exercícios:
“Todo A é B” : desenhe
A
Algum A é B”: desenhe
B
A
A
B
B
“Nenhum A é B”: desenhe
Exemplos
1) Nenhum estudante é ansioso. João é um músico. Todos os músicos são ansiosos. Logo, João
não é um estudante.
A = conjunto dos ansiosos
E
E= conjunto dos estudantes
M
A
M= conjunto dos músicos.
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Raciocínio Lógico
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Solução
Vemos , analisando os diagramas acima vemos , que a conclusão “João
não é um estudante” é correta e o argumento é válido.
2) Alguns E são P. Todos os H são P. Logo, alguns E são H.
P
E
H
Solução
Vemos pelo diagrama que a conclusão “Alguns E são H” não é necessariamente correta.
Pode ser ou não. Assim, o argumento não é válido.
EXERCÍCIOS
01.(IBGE) Suponha que todos os professores sejam poliglotas e todos os poliglotas sejam
religiosos. Pode-se concluir que, se :
a) Cláudio não é religioso, Cláudio não é poliglota.
b) Antônio não é professor, Antônio não é religioso.
c) Joaquim é religioso, Joaquim é professor.
d) Pedro é poliglota, Pedro é professor.
e) João é religioso, João é poliglota.
Solução:
Prof
Rel
Poli
Basta analisar o desenho acima para ver que a alternativa (a) é a correta.
02. Se toda mulher feia é eficiente, então
a) existem mulheres eficientes
b) existem mulheres feias
c) toda mulher bonita é eficiente
d) toda mulher ineficiente não é feia
e) toda mulher eficiente é feia
E
F
Solução
Basta analisar o diagrama ao lado, para ver
que ~E → ~F é um condicional verdadeiro
(Propriedade contrapositiva novamente).
Resposta.: d
19
Raciocínio Lógico
Prof. Cláudio da Cunha Kidricki
03. (VUNESP) Todo A é B, e todo C não é B, portanto:
a) algum A é C;
b) nenhum A é C;
B
c) nenhum A é B;
A
d) algum B é C;
C
e) nenhum B é A.
Solução
É fácil ver pelo diagrama que a alternativa correta é (b).
04. (ESAF) Todos os jornalistas defendem a liberdade de expressão. Cristina não é
jornalista. Logo,
a) nem todos os jornalistas defendem a liberdade de expressão.
b) não existe jornalista que não defenda a liberdade de expressão.
c) existe jornalista que não defende a liberdade de expressão.
d) Cristina não defende a liberdade de expressão.
e) Cristina defende a liberdade de expressão.
05. Nenhum fanático é inteligente. Tiago é colorado.Todos os colorados são inteligentes.
Logo:
a) Tiago é fanático
b) Tiago não é fanático
c) Tiago não é inteligente
d) Tiago não é colorado
e) Nada se pode concluir
06. (IBGE) Se todo Y é Z e existem X que são Y, pode-se concluir que:
a) todo Z é Y
b) todo Y é X
c) todo X é Y
d) existem X que são Z
e) todo X é Z
Solução
Z
Y
X
Vemos pelo diagrama, que a alternativa correta é (d).
07. Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabe-se , também, que todo B é C. Seguese, portanto, necessariamente que
a) todo C é B
b) todo C é A
c) algum A é C
d) nada que não seja C é A
e) nenhum A não é C
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Raciocínio Lógico
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08. (CESPE) A forma de uma argumentação lógica consiste de uma seqüência finita de
premissas seguida por uma conclusão. Há formas de argumentação lógica consideradas
válidas e há formas consideradas inválidas. No quadro abaixo, são apresentadas duas
formas de argumentação lógica, uma de cada tipo citada, em que ~é o símbolo de negação.
Forma de argumentação
Válida
Inválida
Premissa 1: ∀x, se p(x), então q(x) Premissa 1: ∀x, se p(x), então q(x)
Premissa 2: p(c), para algum c
Premissa 2: ~p(c), para algum c
Conclusão: q(c)
Conclusão: ~q(c)
A respeito dessa classificação, julgue os itens seguintes.
a) A seguinte argumentação é inválida.
Premissa 1:Todo funcionário que sabe lidar com orçamento conhece contabilidade.
Premissa 2: João é funcionário e não conhece contabilidade.
Conclusão: João não sabe lidar com orçamento.
b) A seguinte argumentação é válida.
Premissa 1: Toda pessoa honesta paga os impostos devidos.
Premissa 2: Carlos paga os impostos devidos.
Conclusão: Carlos é uma pessoa honesta.
09. Dadas as premissas :”Todos os gremistas são fanáticos”, ”Existem fanáticos
inteligentes”, pode-se concluir que:
a)”existem gremistas inteligentes”
b)”todo gremista é inteligente”
c)”nenhum gremista é inteligente”
d)”todo inteligente é gremista”
e)”nada se pode concluir”
10. Examine a validade do argumento :
“Algumas mulheres bonitas são competentes. Todas as mulheres competentes são gordas.
Maria é bonita. Logo, Maria é gorda”.
Verifique a validade dos seguintes silogismos:
11. Toda pessoa persistente acaba vencendo. Ora, você certamente vencerá. Logo, você é
persistente.
12. Para vencer no concurso basta ser estudioso. Ora, todos os alunos do Curso Alfa são
estudiosos. Logo, todos os alunos do referido curso vencerão no concurso.
13. Todo alemão é inteligente. Ora, Fritz é alemão. Logo, ele é inteligente.
14. Todo macaco é animal. Ora, homem é animal. Logo, homem é macaco.
15. Todo retângulo é paralelogramo. Todo quadrado é retângulo. Logo, todo quadrado é
paralelogramo.
21
Raciocínio Lógico
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16. Todos os alunos são impacientes. Alguns alunos são heróis. Logo, alguns heróis são
impacientes.
17. Nenhuma criança é má. Todas as borboletas são más. Logo, nenhuma borboleta é
criança.
18. Algum triângulo isósceles é triângulo retângulo. Nenhum triângulo retângulo é
triângulo obtusângulo. Logo, nenhum triângulo isósceles é triângulo obtusângulo.
GABARITO – DIAGRAMAS LÓGICOS
04. b
12. v
05. b
13. v
07. c
14. nv
08. a)Errado; b) Errado
09. e
10. nv
15. v
16. v
17. v
18. nv
11. nv
4. PMS (Para Momentos de Solidão)
01. (ESAF) Três amigas, Tânia, Janete e Angélica, estão sentadas lado a lado em um
teatro.Tânia sempre fala a verdade; Janete às vezes fala a verdade e Angélica nunca fala a
verdade. A que está sentada à esquerda diz: ”Tânia é quem está sentada no meio”. A que
está sentada no meio diz: “Eu sou Janete”. Finalmente, a que está sentada à direita diz:
“Angélica é quem está sentada no meio”. A que está sentada à esquerda, a que está
sentada no meio e a que está sentada à direita, são, respectivamente,
a) Janete,Tânia e Angélica
b) Janete,Angélica e Tânia
c) Angélica, Janete e Tânia
d) Angélica,Tânia e Janete
e) Tânia,Angélica e Janete
Resposta.: b
13.(ESAF) Três amigos –Luís, Marcos e Nestor- são casados com Teresa, Regina e
Sandra(não necessariamente nesta ordem) . Perguntados sobre os nomes das respectivas
esposas, os três fizeram as seguintes declarações:
Nestor: “Marcos é casado com Teresa”
Luís: “Nestor está mentindo, pois a esposa de Marcos é Regina”
Marcos: “Nestor e Luís mentiram, pois a minha esposa é Sandra”
Sabendo-se que o marido de Sandra mentiu e que o marido de Teresa disse a verdade,
segue-se que as esposas de Luís, Marcos e Nestor são, respectivamente:
a)Sandra, Tereza, Regina
b)Sandra, Regina, Teresa
c)Regina, Sandra, Teresa
d)Teresa, Regina, Sandra
e)Teresa, Sandra, Regina
Resposta.: d
22
Raciocínio Lógico
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03. (CESPE) Um crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa de um grupo de cinco
suspeitos: Armando, Celso, Edu, Juarez e Tarso. Perguntados sobre quem era o culpado,
cada um deles respondeu:
Armando: “Sou inocente”
Celso: “Edu é o culpado”
Edu: “Tarso é o culpado”
Juarez: “Armando disse a verdade”
Tarso: “Celso mentiu”
Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os outros disseram a verdade,
pode-se concluir que o culpado é :
a)Armando
b)Celso
c)Edu
d)Juarez
e)Tarso
Resposta.: e
04. (ESAF) Três meninos, Zezé, Zozó e Zuzu, todos vizinhos, moram na mesma rua em
três casas contíguas. Todos os três meninos possuem animais de estimação de raças
diferentes e cores também diferentes. Sabe-se que o cão mora em uma casa contígua à casa
de Zozó; a calopsita é amarela; Zezé tem um animal de duas cores: branco e laranja; a
cobra vive na casa do meio. Assim, os animais de estimação de Zezé, Zozó e Zuzu são,
respectivamente:
a) cão, cobra, calopsita.
b) cão, calopsita , cobra.
c) calopsita, cão, cobra.
d) calopsita, cobra, cão.
e) cobra, cão, calopsita.
Resposta.: a
05. (ESAF)- Maria tem três carros: um Gol, um Corsa e um Fiesta. Um dos carros é
branco, o outro é preto , e o outro é azul. Sabe-se que : 1)ou o Gol é branco, ou o Fiesta é
branco; 2)ou o Gol é preto, ou o Corsa é azul; 3)ou o Fiesta é azul, ou o Corsa é azul; 4)ou
o Corsa é preto, ou o Fiesta é preto.
Portanto, as cores do Gol, do Corsa e do Fiesta são, respectivamente,
a) branco, preto, azul
b) preto, azul, branco
c) azul, branco, preto
d) preto, branco, azul
e) branco, azul, preto
Resposta.: e
06. (ESAF) Ana encontra-se à frente de três salas cujas portas estão pintadas de verde,
azul e rosa. Em cada uma das três salas encontra-se uma e somente uma pessoa. Em uma
delas encontra-se Luís; em outra, encontra-se Carla; em outra, encontra-se Diana. Na
porta de cada uma das salas existe uma inscrição, a saber:
Sala verde: “Luís está na sala de porta rosa”
Sala azul: “Carla está na sala de porta verde”
Sala rosa: “Luís está aqui”.
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Raciocínio Lógico
Prof. Cláudio da Cunha Kidricki
Ana sabe que a inscrição na porta da sala onde Luís se encontra pode ser verdadeira ou
falsa. Sabe, ainda, que a inscrição na porta da sala onde Carla se encontra é falsa, e que a
inscrição na porta da sala em que Diana se encontra é verdadeira. Com tais informações,
Ana conclui corretamente que nas salas de portas verde, azul e rosa encontram-se,
respectivamente,
a) Diana, Luís, Carla
b) Luís, Diana, Carla
c) Diana, Carla, Luís
d) Carla, Diana, Luís
e) Luís, Carla, Diana
Resposta.: c
07. Um matemático aprisionado por canibais na floresta, recebeu destes a seguinte
proposta: se você disser uma mentira, será queimado. Se disser uma verdade, será
afogado. De que maneira você prefere morrer?
A resposta do matemático foi tal, que os canibais foram obrigados a libertá-lo. Qual foi a
resposta do matemático?
a) Jamais morrerei.
b) Morrerei afogado.
c) Morrerei queimado.
d) Morrerei enforcado.
e) Vocês são mesmo uns canibais !
Resposta.: c
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