Teorema das Duas Circunferências

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Teorema das Duas Circunferências
Antes de enunciarmos o Teorema das Duas Circunferências vejamos um
resultado importante que será utilizado.
Lema (Existência de Triângulo): Se a, b e c são números positivos, sendo
que cada um desses números é menor que a soma dos outros dois, então
existe um triângulo cujos lados têm comprimentos a, b e c, respectivamente.
Teorema: Sejam dadas duas circunferências
de raios a e b, respectivamente, onde c é a
distância
entre
seus
centros.
Se
,
então
as
duas
circunferências interseccionam-se em dois
pontos, um em cada lado da reta que contem
os centros.
Demonstração:
Seja C1 a circunferência de centro A e raio a,
e seja C2 a circunferência de centro B e raio b. Seja AB = c.
Pelo lema existe um triângulo ABC cujos
lados tem comprimentos a, b e c.
Em cada lado de AB consideremos uma
semi-reta de origem A tal que os ângulos
formados com AB sejam congruentes a X.
Consideramos os pontos P e Q, um em cada
semi-reta, tais que AP = AQ = a. A
circunferência C1 passa pelos pontos P e Q.
Pelo critério L.A.L. (Lado Ângulo Lado),
obtemos
Portanto, PB = b = QB, e assim a
circunferência C2 passa pelos pontos P e Q.
E estes são os únicos pontos pertencentes
as duas circunferências.
Bibliografia
REZENDE, E. Q. F.; QUEIROZ, M. L. B. Geometria Euclidiana plana e
construções geométricas. Campinas: Editora da Unicamp, 2008.