ensino de noções de lógica matemática josé

PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DA MATEMÁTICA
ENSINO DE NOÇÕES DE
LÓGICA MATEMÁTICA
DOCENTE:
JOSÉ HELDER DE MESQUITA FILHO
Fortaleza-Ceará
2008
ACCESSU EDUCAÇÃO SUPERIOR
FACULDADE ATENEU
COORDENADOR GERAL:
PROF. JOSÉ WILLIAM FORTE
COORDENADORAS PEDAGÓGICAS:
PROF.ª LUCIDALVA BACELAR/PROF.ª SOLANGE MESQUITA
CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO
DISCIPLINA:
ENSINO DE NOÇÕES DE
LÓGICA MATEMÁTICA
DOCENTE:
JOSÉ HELDER DE MESQUITA FILHO
Fortaleza-Ceará
2008
Sumário
A. Objetivo do módulo ........................................................................................... 7 B. Ementa do módulo ............................................................................................. 7 C. Carga horária...................................................................................................... 7 APRESENTAÇÃO ......................................................................................................... 9 INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 11 1. TIRANDO CONCLUSÕES .............................................................................. 13 1.1. Exercícios......................................................................................................... 14 2. PROPOSIÇÕES CONDICIONAIS ................................................................. 15 2.1. Exercícios......................................................................................................... 16 3. PROPOSIÇÕES EQUIVALENTES ................................................................ 19 3.1. Exercícios......................................................................................................... 20 4. DEFINIÇÕES .................................................................................................... 23 4.1. Exercícios......................................................................................................... 24 5. DEDUÇÕES VÁLIDAS E NÃO VÁLIDAS ................................................... 27 5.1. Exercícios......................................................................................................... 28 6. ARGUMENTOS COM DUAS PREMISSAS ................................................. 31 6.1. Exercícios......................................................................................................... 32 7. PROVA DIRETA .............................................................................................. 35 7.1. Exercícios......................................................................................................... 36 8. PROVA INDIRETA .......................................................................................... 39 8.1. Exercícios......................................................................................................... 40 9. UM SISTEMA DEDUTIVO ............................................................................. 43 9.1. Exercícios......................................................................................................... 43 10. A HABILIDADE DE PERCEBER REGULARIDADES .............................. 47 10.1. 11. Exercícios ..................................................................................................... 47 EXPRESSANDO CONCLUSÕES GERAIS .................................................. 51 11.1. Exercícios ..................................................................................................... 52 12. RESOLVENDO PROBLEMAS ....................................................................... 55 13. BIBLIOGRAFIA ............................................................................................... 57 14. ANEXOS ............................................................................................................ 59 14.1. Sudoku.......................................................................................................... 59 14.2. Kakuro .......................................................................................................... 60 Ensino de Noções de Lógica Matemática
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A.
Objetivo do módulo
Fazer com que o professor de Matemática possa ter novas maneiras de inter-relacionar o
conteúdo matemático com os problemas do dia-a-dia e o desenvolvimento do raciocínio
lógico, mostrando sua importância na compreensão do discurso oral e escrito. Para isto,
buscamos, na literatura, alguns textos e procuramos explorar os aspectos matemáticos
que neles estão presentes.
B.
Ementa do módulo
Problemas contextuais, ilustrados com aplicações de situações concretas, relacionadas à
Lógica Matemática abrangendo os seguintes assuntos: Indução e Recursão, Lógica Sentencial, Teoremas Principais, Decidibilidade e Incompletude dos Sistemas Formais.
C.
Carga horária
12 horas-aula
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APRESENTAÇÃO
Quando perguntamos a qualquer professor de Matemática o porquê da inclusão
desta disciplina no currículo das escolas de Ensino Fundamental e Médio, a resposta é
sempre a mesma:
ƒ
Ela é importante em problemas do dia a dia;
ƒ
Ela ajuda a desenvolver o raciocínio lógico do aluno.
O que pretendemos com estas notas é (inter) relacionar estes dois aspectos da
Matemática, mostrando sua importância na compreensão (raciocínio lógico) do discurso
oral e escrito. Para isto, buscamos, na literatura, alguns textos e procuramos explorar os
aspectos matemáticos (raciocínio lógico) que neles estão presentes. Dentre os textos
escolhidos, neste primeiro momento, estão trechos de dois clássicos da literatura infantil, “Alice no país das maravilhas” e “Alice através dos espelhos”, do matemático Lewis
Carrol.
Na Matemática, para a obtenção dos resultados procurados, utilizamos dois tipos
de raciocínio. Um deles, partindo do caso geral para o particular - o raciocínio dedutivo
- e o outro, partindo do caso particular para o geral - o raciocínio indutivo.
Este material é dividido em capítulos. O raciocínio dedutivo será abordado do
capítulo 1 ao 9. Abordaremos o raciocínio indutivo do capítulo 10 ao 12. Ao final de
cada capítulo, encontramos uma lista de exercícios para cada uma das lições. É de fundamental importância que você resolva os exercícios de todas as lições para uma melhor
compreensão e consolidação dos conteúdos abordados. Se você não conseguir resolver a
maior parte dos exercícios ou se resolvê-los com muita dificuldade é aconselhável que
torne a ler o texto.
Não acreditamos que esse material ou esse conteúdo deva ser abordado diretamente com alunos da Educação Básica. Essa não é a melhor maneira de tratar esse assunto com alunos desse nível de ensino. Esperamos, entretanto, que você possa explorar
a sua essência dentro dos conteúdos que estão sendo abordados em suas aulas.
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INTRODUÇÃO
Certamente, ao longo de sua vida, você já utilizou argumentos do tipo abaixo,
para tirar conclusões.
Se todos os amigos de João são meus amigos,
1)
E se todos os meus amigos são agradáveis,
Então, todos os amigos de João são agradáveis.
Se nenhum amigo de João é meu amigo,
2)
E se nenhum amigo de João é agradável,
Então, nenhum de meus amigos é agradável.
Estes dois argumentos apresentam uma grande diferença entre si. Mesmo em
uma análise superficial, pode-se notá-la. Se nós raciocinamos como em (1), nós pensamos corretamente. Se nós raciocinamos como em (2), nós pensamos incorretamente.
Dizemos que, em (1), a conclusão (a sentença começando por “portanto”) segue das
premissas [as sentenças que o argumento usa como base, neste caso, as duas primeiras
sentenças de (1) e (2)]. Quando a conclusão de um argumento segue de suas premissas,
nós dizemos que o raciocínio ou argumento é logicamente válido. É caso do argumento
(1). Em (2), a conclusão pode até ser verdadeira, mas não segue de sua relação com as
premissas. Dizemos, por isso, que o argumento ou raciocínio não é logicamente válido.
Os argumentos apresentados acima não estão relacionados a nenhum fato matemático. Para fazermos esta análise, bastou-nos um pouco de bom senso.
Um dos aspectos mais importantes da Matemática, na Educação Básica, é o desenvolvimento do raciocínio lógico. Como o raciocínio lógico matemático baseia-se
neste mesmo bom senso de que tratamos acima, é de fundamental importância para o
aluno identificar, dentre os argumentos que pretende utilizar, aqueles que são válidos e
os que não o são. Ou melhor, identificar as conclusões (inferências) que podem ser tiradas e as que não podem ser tiradas d proposições que ele vai utilizar como hipóteses.
Como dissemos na apresentação, nas nossas demonstrações em Matemática podemos utilizar dois tipos de raciocínio: o dedutivo, que parte do caso geral para o particular; e o indutivo, que parte do caso particular para o geral.
No raciocínio dedutivo, o aprendiz parte de afirmações conhecidas em geral, para poder tirar certas conclusões particulares, por meio da combinação de resultados, via
raciocínio lógico válido.
Como exemplo de raciocínio dedutivo podemos citar o seguinte:
Se nós soubermos que (1) um homem foi baleado; (2) quem atirou foi Pedro
ou Maria; e que (3) Maria não sabe atirar; nós podemos DEDUZIR que foi Pedro
que atirou.
No raciocínio indutivo, o aluno parte de observações de regularidades que se apresentam nos experimentos para daí tirar uma conclusão geral.
O raciocínio indutivo pode ser caracterizado no seguinte exemplo:
Ao observarmos que 61 = 6; 62 = 36; 63 = 216; 64 = 1296. Podemos INDUZIR
que todas as potencias de 6 têm o algarismo das unidades igual a 6.
É importante percebermos que esse tipo de raciocínio não fornece uma demonstração. Ele simplesmente nos dá uma pista do que deve ocorrer. Essa pista pode ser verdadeira ou não.
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1. TIRANDO CONCLUSÕES
Um dos objetivos para o estudo da Matemática é desenvolver a habilidade de
pensar criticamente, A compreensão dos métodos de raciocínio dedutivo é fundamental,
no desenvolvimento do pensamento crítico, e é a esse assunto que nós nos dedicaremos
primeiramente.
“Sirvam-se do espaguete, gente.
Peg servirá as almôndegas.”
Os mal-entendidos são muito comuns na vida diária, como podemos observar
pelo casal da ilustração anterior que, mesmo tendo sido informados do que vai acontecer, provavelmente terão uma surpresa. Nós freqüentemente tiramos conclusões erradas
ou, pelo menos, questionáveis a respeito de certos assuntos.
Isto ocorre muito freqüentemente com relação à Matemática. É muito comum,
nesta disciplina o aluno resolver um problema, julgando que esteja correto, e sua solução estar totalmente incorreta ou, o que é pior, não ter nada a ver com o problema proposto.
Tirar conclusões corretamente é uma habilidade que, como tantas outras, precisa
ser exercitada. Ler o enunciado de um problema e conseguir distinguir entre o que acreditamos ser verdade e a verdade própria do texto é de fundamental importância na resolução de problemas. Afinal, como resolver corretamente um problema se não compreendemos o que nos é pedido? Como resolvê-lo se não conseguimos perceber a diferença
entre o que nos é dado para resolvê-lo (hipótese) e o que nos é pedido (tese)?
Um exercício bastante interessante, abordando a compreensão de um texto, é apresentado a seguir na lista de exercícios.
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1.1. Exercícios
A seguir, temos um trecho de um livro de James Thurber
que vem seguido de uma série de afirmações que são conclusões
que podem ser retiradas do trecho com base na aceitação de que
toda informação da passagem é literalmente verdadeira. Algumas
dessas afirmações são verdadeiras, algumas são falsas e outras são
questionáveis, isto é, a leitura do trecho r os permite determinar se
elas são verdadeiras ou falsas.
Escreva ao lado de cada afirmação, se ela é verdadeira (V), falsa (F) ou questionável (Q), justificando, por meio do texto, suas respostas.
“Mamãe costumava mandar uma caixa de bombons todo Natal para as pessoas
mordidas de Airedale. A lista por fim continha 40 ou mais nomes. Ninguém podia entender porque nós não nos livrávamos do cachorro. Eu mesmo não conseguia entender
muito bem, mas nós não conseguíamos nos livrar dele. Eu acho que uma ou duas pessoas tentaram envenenar Muggs – ele comportava-se como envenenado de vez em quando
– e o velho Major Moberly atirou nele uma vez, com seu revólver, perto da rua East
Broad – mas Muggs viveu quase onze anos e mesmo quando este mal podia mover-se
ele mordeu um deputado que tinha visitado meu pai, a negócios.”
(James Thurber, My Life and Hard Times - Minha Vida e Tempos Difíceis)
a. ( ) Muggs era um cachorro Airedale,
b. ( ) As pessoas que recebiam caixas de bombons de mamãe no Natal tinham sido
mordidas pelo cachorro.
c. ( ) Pelo menos uma pessoa tentou envenenar Muggs.
d. ( ) O cachorro tinha mordido, pelo menos, 40 pessoas.
e. ( ) Mamãe não podia entender porque nós não nos livrávamos de Muggs.
f. ( ) Muggs tentou morder o Major Moberly.
g. ( ) O major Moberly tentou matar Muggs.
h. ( ) O Major Moberly não acertou Muggs quando atirou nele.
i. ( ) O Hotel Seneca ficava na rua East Broad.
j. ( ) Muggs tinha onze anos quando morreu.
k. ( ) Muggs morreu de velhice.
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2. PROPOSIÇÕES CONDICIONAIS
Os dois anúncios mostrados anteriormente têm algo em comum: cada um tem
uma manchete que começa com a palavra “se” Proposições que consistem em duas sentenças, uma das quais começa com a palavra “se” ou “quando” ou alguma palavra equivalente são chamadas proposições condicionais.
Tais proposições são, freqüentemente, usadas quando o propósito é estabelecer
certas conclusões, e assim elas são muito comuns no campo da publicidade.
Elas também são importantes na Matemática, quando estamos lidando com provas dedutivas.
Uma proposição condicional pode ser representada de forma abreviada por “se
a, então b” ou, simbolicamente, por “ a → b ”.
A letra a representa a “sentença do se”, ou a hipótese, e a letra b representa a
“sentença do então”, ou conclusão.
O símbolo “ a → b ” “é lido como “se a, então b” ou como “a implica b”. Por exemplo, no primeiro anúncio, a representa as palavras “AVIS está sem carros” e b representa as palavras “nós lhe arranjaremos um de nossos concorrentes”. No segundo
anúncio, a substitui a proposição “descobrir vida em Marte” e b substitui “isto será
notícia para você”.
Para compreender a relação que existe entre a hipótese e a conclusão de uma
proposição condicional muitas vezes é útil a representação dessa relação por meio de
diagramas de círculos. Tais diagramas também são conhecidos como diagramas de Euler (ou Euler-Venn), por ter sido o matemático suíço Leonhard Euler, quem primeiro os
utilizou, no século XVIII.
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Para representar uma proposição condicional por meio de um diagrama de EulerVenn, nós desenhamos dois círculos, um dentro do outro. O interior do círculo menor
representa a, a hipótese, e o interior do círculo maior representa b, a conclusão.
Note que, se um ponto está dentro do círculo a, também está dentro do círculo b.
Ou, mais brevemente, “se a, então b”, que é o que o diagrama quer representar.
b
a
2.1.
Exercícios
1.
Como é chamada uma proposição que pode ser representada abreviadamente por
“Se a, então b”?
2.
Na proposição “Se a, então b”, o que representam as letras “a” e “b”?
3.
Em que consiste um diagrama de Euler-Venn?
4.
Os exercícios seguintes se referem a esta proposição:
Se você mora em Fortaleza, então você mora no Ceará.
a) Qual é a hipótese desta proposição?
b) Qual é sua conclusão?
c) Reescreva essa proposição na forma “b se a”.
5.
Os exercícios seguintes se referem a esta proposição:
Está frio lá fora se está nevando.
a) Qual é a hipótese desta proposição?
b) Qual é sua conclusão?
c) Reescreva a proposição na forma “Se a, então b”.
6.
Reescreva cada uma das orações seguintes na forma “se-então”. Tenha cuidado
para não mudar o significado de nenhuma das orações. Por exemplo, se você escreve
uma proposição verdadeira na forma “se-então” e ela se toma falsa, alguma coisa está
errado.
Exemplo:
Nenhum fantasma tem sombra.
Possíveis respostas:
Se uma criatura é um fantasma, ela não tem sombra.
Se você é um fantasma, então você não tem sombra.
a) Todos os anos bissextos têm 366 dias.
b) Ursos Koala comem apenas folhas de eucalipto.
c) Quando o gato está na gaiola, não é para cantar.
d) Sorvete de pistache tem uma cor peculiar.
e) Smokey, o Urso não teria que fazer comercial para viver, se dinheiro crescesse em
árvores.
f) Use a escada em vez do elevador em caso de incêndio.
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g) Nenhum número de telefone genuíno começa com 555.
7.
Escreva a proposição condicional representado por este diagrama de Euler.
Tente novamente
No início você não obteve
sucesso
Eu gostaria de
poder voar
como os
pássaros!
Se Deus
quisesse
que voce
voasse, Ele
teria lhe
dado asas.
Não
concordo!
Por que
não?
Ele também não lhe deu um párabrisas!
8.
Pedro, o cara na roda nesta tirinha, fez uma observação na forma de uma proposição condicional sobre Deus querer que João voasse. Que proposição é essa?
9.
Uma proposição condicional semelhante sobre Pedro andar na roda é feita na
observação de João sobre o pára-brisa. Que proposição é esta?
10.
Que idéia segue logicamente desta proposição e do fato de Deus não ter dado a
Pedro um pára-brisa.
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3. PROPOSIÇÕES EQUIVALENTES
Lewis Carroll, o autor de Alice no País das Maravilhas e Alice Através dos Espelhos, era um professor de matemática que escreveu histórias como um passatempo.
Os livros dele contêm muitos exemplos divertidos de ambos, argumentos lógicos corretos e, deliberadamente, argumentos lógicos incorretos. Por isso, há muito os seus livros
têm sido os favoritos entre os matemáticos.
Considere o seguinte diálogo que aconteceu no chá na casa do Chapeleiro Maluco.
– “Não é a mesma coisa de jeito nenhum!” disse o Chapeleiro. “Assim, você
também poderia dizer que ‘eu vejo o que eu como’ é a mesma coisa que ‘eu como o que
vejo’!”.
– “Você também poderia dizer”, acrescentou a Lebre, “que ‘eu gosto do que eu
tenho’ é o mesmo que ‘eu tenho o que eu gosto’!”.
– “Você também poderia dizer”, acrescentou o Rato Dorminhoco, que poderia
falar dormindo, “que ‘eu respiro enquanto durmo’ é a mesma coisa que ‘eu durmo enquanto respiro’!”.
– “Isto é a mesma coisa para você”, disse o Chapeleiro. E aqui a conversa é interrompida, e a festa silencia por um minuto.
Aqui, Carrol está jogando com pares de proposições relacionadas, e o Chapeleiro, a Lebre e o Rato estão corretos: as sentenças em cada par não dizem a mesma coisa,
de forma alguma.
Consideremos o exemplo do Rato Dorminhoco.
Se nós colocarmos suas duas proposições na forma “se-então”, nós teremos as
proposições condicionais “Se eu durmo, então eu respiro” e “Se eu respiro, então eu
durmo”.
Embora ambas as proposições sejam verdadeiras para o Rato, a primeira é verdadeira e a segunda é falsa, em se tratando de seres vivos comuns.
Note que a hipótese “eu durmo” e a conclusão “eu respiro” na primeira proposição foram permutadas na segunda.
A segunda proposição condicional é chamada recíproca da primeira.
A recíproca de uma proposição condicional é formada trocando- se sua hipótese pela conclusão e vice-versa. Em símbolos, a recíproca de a → b é b → a .
A recíproca de uma proposição verdadeira pode ser falsa. Também é possível
que seja verdadeira, mas em qualquer caso, uma proposição e sua recíproca não têm o
mesmo significado. Em outras palavras, aceitar uma proposição condicional como verdadeira não nos obriga a aceitar sua recíproca como verdadeira.
Os diagramas de Euler-Venn para as proposições do Rato Dorminhoco são mostrados aqui.
Eu respiro
Eu durmo
Eu durmo
Eu respiro
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Note que, se um ponto não está dentro do círculo maior em um destes diagramas, então não está dentro do circulo menor. Por isto, cada diagrama ilustra duas proposições. O primeiro não só representa “Se eu durmo, então eu respiro”, mas também
“Se eu não respiro, então eu não durmo”.
A segunda destas proposições é chamada a contrapositiva da primeira.
A contrapositiva de urna proposição condicional é formada trocando-se sua
hipótese pela conclusão e vice-versa e negando ambas. Em símbolos, a contrapositiva de a → b é (não b ) → (não a ) .
Como dissemos anteriormente, uma proposição e sua contrapositiva são representadas pelo mesmo diagrama. Dizemos por isso que elas são logicamente equivalentes. Uma não pode ser verdadeira e a outra falsa: elas ou são ambas verdadeiras ou ambas falsas.
O segundo diagrama de Euler-Venn não só representa a proposição “Se eu respiro, então eu durmo”, mas também a proposição “Se eu não durmo, então eu não
respiro”.
Porque ambas as proposições são representadas pelo mesmo diagrama, elas são
também logicamente equivalentes.
A primeira é a recíproca da proposição original do Rato Dorminhoco e a segunda é sua inversa.
A inversa de uma proposição condicional é formada negando ambos sua hipótese e sua conclusão. Em símbolos, a inversa de a → b é (não a ) → (não b )
As relações entre proposições consideradas nesta lição encontram-se re no seguinte quadro:
a →b
Proposição:
Logicamente equivalentes
(não b) → (não a )
Contrapositiva:
b→a
Recíproca:
Logicamente equivalentes
(não a ) → (não b)
Inversa:
3.1. Exercícios
1.
Como é formada cada uma das proposições seguintes?
a) A recíproca de uma proposição condicional.
b) A inversa de uma proposição condicional.
c) A contrapositiva de uma proposição condicional.
2.
Quais das proposições seguintes são ilustradas por este diagrama de Euler?
b
a
a) a → b
b) b → a
c)
(não a ) → (não b)
d)
(não b) → (não a )
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3.
Que fato sobre uma proposição condicional e sua contrapositiva o exercício 2
ilustra?
4.
Escreva em símbolos as duas proposições condicionais ilustradas por este diagrama de Euler.
a
b
5.
Que fato sobre a recíproca e a inversa de uma proposição condicional o exercício
4 ilustra?
6.
Considere a proposição:
Se sua temperatura é mais que 38º, então você tem febre.
a) Esta proposição é verdadeira?
b) Se a proposição for representada pelo símbolo a → b , que palavras representam as
proposições “a” e “b”
c) Escreva com palavras a proposição que é representada por (não a ) → (não b ) .
d) Esta proposição é verdadeira?
e) Como é chamada essa proposição, com relação à proposição original?
f) Esta proposição tem o mesmo significado da proposição original?
g) Escreva com palavras a proposição que é representada por b → a .
h) Esta proposição é verdadeira?
i) Como é chamada esta proposição, com relação à proposição original?
j) Esta proposição possui o mesmo significado da proposição original?
7.
A proposição seguinte é verdadeira:
Se você é um astronauta americano, você não tem mais de um metro e oitenta.
a) Escreva a recíproca desta proposição.
b) Esta proposição é verdadeira?
c) Escreva a inversa desta proposição.
d) Esta proposição é verdadeira?
e) Escreva a contrapositiva desta proposição.
f) Ela é verdadeira?
8.
Se uma proposição condicional é verdadeira, pode sua
a) recíproca ser falsa?
b) inversa ser falsa?
c) contrapositiva ser falsa?
9.
Cada uma das proposições escritas abaixo é seguida de algumas outras proposições. Identifique a relação de cada urna delas com a proposição inicial, Escreva “recíproca”, “inversa”, “contrapositiva” ou “proposição original” como apropriado.
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Proposição A:
Se você mora no Rio, então você precisa de um equipamento de mergulho.
Exemplo:
Se você precisa de um equipamento de mergulho, então você mora no Rio.
Resposta: Recíproca.
a) Se você não mora no Rio, então você, não precisa de um equipa mento de mergulho.
b) Se você não precisa de um equipamento de mergulho, então você, não mora no Rio.
c) Você precisa de um equipamento de mergulho se você mora no Rio.
Proposição B:
Todo Cardeal de Saint Louis captura moscas.
a) Se alguém é um Cardeal de Saint Louis Cardinal, ele captura moscas.
b) Se alguém captura moscas, ele é um Cardeal de Saint Louis.
c) Se alguém não é um Cardeal de Saint Louis, ele não pega moscas.
Proposição C:
Senhoras cangurus não precisam de bolsas.
a) Se um canguru não é uma senhora, ele precisa uma bolsa.
b) Se ele precisa de urna bolsa, então não é uma senhora canguru.
10.
Escreva a proposição indicada para cada uma das proposições seguintes.
a) Se a tua está cheia, os vampiros estão passeando. (Recíproca)
b) Se uma girafa está com a garganta inflamada, então um gargarejo não ajuda muito.
(Contrapositiva)
c) Se nós temos recebido sinais de Júpiter, pode não ser sábio ir lá. (Inversa)
d) Você não pode compreender geometria se você não sabe argumentar dedutivamente.
(Recíproca)
11.
O slogan de publicidade: “Quando você está fora da Antártica, você está fora
de cerveja” é bastante incomum. Ele é necessariamente verdadeiro?
12.
Baseando-se na questão anterior, escreva cada uma das proposições seguintes e
diga se ela é verdadeira ou falsa.
a) Sua recíproca.
b) Sua inversa.
c) Sua contrapositiva.
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4. DEFINIÇÕES
A palavra “pato” possui mais de um significado, como podemos perceber pela tirinha abaixo.
PATO
SEMPRE
PATO
Embora uma palavra possa possuir mais de um significado, nós podemos, dependendo do contexto em que ela é empregada, determinar o seu significado preciso.
Mesmo palavras que possuem uma única definição nos dicionários, podem possuir significados diferentes, para diferentes pessoas. Estes diferentes significados dependem das
experiências passadas de cada pessoa e, se os significados diferem muito, podem gerar
confusão ou, até mesmo, desentendimentos.
Variações no significado de palavras causam muita confusão no dia a dia das
pessoas, mas essas confusões são muito mais sérias se nós necessitamos de um significado preciso. Por esta razão, as definições desempenham um papel muito importante na
Matemática.
Quando nós definimos uma palavra na Matemática, a palavra e sua definição possuem exatamente o mesmo significado.
Por exemplo, se nós definirmos a palavra “pato” como “uma ave aquática que
possui bico plano e pés achatados”, nós podemos dizer que “Se um animal é um pato, então ele é uma ave aquática que possui bico plano e pés achatados” como também podemos dizer que “se um animal é uma ave aquática que possui bico plano e
pés achatados, então ele é um pato”.
Note que cada uma dessas proposições é a recíproca da outra.
Nós vimos que, em geral, a recíproca de uma proposição verdadeira não necessariamente é verdadeira.
No caso das definições, tanto é verdadeira a proposição quanto sua recíproca. Isto porque o nome a ser definido (a) e sua definição (b) possuem o mesmo significado, a
e b podem ser permutados entre si. Conseqüentemente, toda definição pode ser representada por “ a → b ” ou “ b → a ”.
Os dois diagramas de Euler mostrados aqui ilustram essas representações.
b
a
a
b
aÆb
bÆ a
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Note que o segundo diagrama também ilustra a proposição “a, se b” porque um
ponto obrigatoriamente estará no círculo “a” se ele estiver no círculo “b”. O primeiro
diagrama também ilustra a proposição “a, somente se b”, pois um ponto está no círculo
“a” somente se ele estiver no circulo “b”.
Estas observações indicam que, se uma proposição e sua recíproca são ambas
verdadeiras, nós podemos escrever “a, se b” e “a, somente se b”, ou mais abreviadamente, “a se, e somente se, b”.
A frase “se, e somente se” é representada simbolicamente por ↔ ; assim o símbolo “ a ↔ b ” significa ambos “ a → b ” e “ b → a ”.
Uma vez que a recíproca de toda definição é verdadeira, nós podemos escrever
definições na forma “a se, e somente se, b”. Por exemplo, a definição de pato, dada nesta lição, pode ser escrita assim:
“Um animal é um pato se, e somente se, ele é uma ave aquática que possui
bico plano e pés achatados”.
Na Matemática nós geralmente não escrevemos assim. A definição de pato seria
dada da seguinte forma:
“Um pato é uma ave aquática que possui bico plano e pés achatados”.
4.1.
Exercícios
1.
Quando definimos o significado de uma palavra na Matemática, o que se pode
dizer sobre a palavra e sua definição?
2.
A recíproca de uma proposição verdadeira é, necessariamente, verdadeira? Em
caso negativo, dê um exemplo de uma proposição condicional verdadeira cuja recíproca
seja verdadeira e de outra cuja recíproca seja falsa.
3.
A recíproca de uma definição é, necessariamente verdadeira?
4.
Escreva, em símbolos, as duas proposições representadas por “ a ↔ b ”.
5.
Decida quais das seguintes sentenças são boas definições dos nomes, determinando quando suas recíprocas são verdadeiras e quando não o são.
Exemplo:
Se é Dia de ano, então é 1º de Janeiro.
Resposta:
É uma boa definição, pois se é 1º de Janeiro, então é Dia de Ano.
a) Se é dia de ano, então é feriado.
b) Uma câmera é um equipamento para tirar retratos.
c) Um gambá é um animal que tem couro preto e branco.
d) Gelo seco é dióxido de carbono congelado.
e) Um objeto é frágil quando é facilmente quebrado ou danificado.
6.
A seguinte afirmação é uma definição de criatura extraterrestre: “uma criatura
extraterrestre é um ser de outro lugar que não a terra”. Quais das seguintes proposições são verdadeiras?
a) Se uma criatura é extraterrestre, então ela é de outro lugar que não a terra.
b) Se uma criatura é um ser de outro lugar que não a terra, então ela é extraterrestre.
c) Se uma criatura não é extraterrestre, então ela não é um ser de outro lugar que não a
terra.
d) Se uma criatura não é um ser de outro lugar que não a terra, então ela não é extraterrestre.
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7.
Compare as duas proposições seguintes:
Se é seu aniversário, então você ganha algum presente.
Somente se for seu aniversário, você ganha algum presente.
a) A primeira proposição é verdadeira, no seu caso?
b) A segunda proposição é verdadeira, no seu caso?
c) As duas proposições dizem a mesma coisa?
8.
As questões seguintes referem-se a esse
diagrama de Euler:
a) Um ponto está dentro do círculo “a” se ele está
b
dentro do círculo “b”?
b) Um ponto está dentro do circulo “a”, somente
se ele estiver dentro do circulo “b”?
a
c) Um ponto está dentro do circulo “b” se ele
estiver dentro do círculo “a”?
d) Um ponto está dentro do círculo “b”, somente
se ele estiver dentro do círculo “a”?
9.
Quais das seguintes proposições são representadas pelo diagrama de Euler anterior?
a) a, se b.
b) a somente se b.
c) b, se a.
d) b somente se a.
10.
A seguinte afirmação é uma regra do jogo de futebol:
A bola está fora de jogo quando ela ultrapassa completamente a linha de fundo.
Quais das seguintes proposições são verdadeiras?
a) Se a bola ultrapassa completamente a linha de fundo, então ela está fora de jogo.
b) A bola está fora de jogo, se ela ultrapassa completamente a linha de fundo.
c) A bola está fora de jogo, somente se ela ultrapassa completamente a linha de fundo.
d) Se a bola esta fora de jogo, então ela ultrapassou completamente a linha de fundo.
11.
A seguinte afirmação é uma definição de brigadeiro:
Brigadeiro é uma bolinha doce feita de chocolate.
Quais das seguintes proposições são verdadeiras.
a) Se algo é um brigadeiro, ele é uma bolinha doce feita de chocolate.
b) Alguma coisa é um brigadeiro, somente se ela é urna bolinha doce feita de chocolate.
12.
Escreva as duas proposições condicionais que são equivalentes à proposição:
Ela é uma história de quem fez isso se, e somente se, ela é uma história policial.
13.
Reescreva as duas proposições seguintes como uma proposição simples. Faça
isso da maneira mais simplificada que você conseguir.
Se um carro é um conversível, então ele possui o teto removível.
Se um carro possui o teto removível, então ele é um conversível.
14.
De acordo com o regulamento do “Clube do Chocolate Bondinho” você pode se
tornar um membro somente se você for louco por chocolate. Karine quer ser um membro do Clube e ela é doida por chocolate. Os membros do Clube nunca desrespeitam o
regimento. Isto significa que eles devem aceitar a Karine como um membro? Justifique
sua resposta.
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5. DEDUÇÕES VÁLIDAS E NÃO VÁLIDAS
Suponha que, durante o julgamento de um assassinato, descobriu-se que o assassino é daltônico e que o senhor Silva e a senhora Branca são os dois principais suspeitos. Se o promotor consegue provas de que o senhor Silva é daltônico, o jurado deve
concluir que ele é o culpado? E se o advogado da senhora Branca prova que ela não é
daltônica, segue deste fato que ela deve ser inocentada?
Uma maneira de conferir estas conclusões é por meio de um diagrama de EulerVenn.
Daltônicos
Sr. Silva
Daltõnicos
Culpado
Culpado
Sr. Silva
Sra. Branca
Sra. Branca
Os diagramas mostrados anteriormente ilustram a proposição condicional “Se a
pessoa é culpada, então ela é daltônica”.
Nós olhamos o diagrama para ver em qual região cada suspeito se encontra: em
ambos os círculos, apenas no círculo maior ou em nenhum dos dois círculos.
Como se pode perceber, não podemos precisar em que região o senhor Silva se
encontra. Assim, nenhuma conclusão a seu respeito pode ser tirada, de forma justificada. Como a senhora Branca está fora do círculo maior, ela não pode estar dentro do menor, e assim ela não é a culpada.
Outro modo de conferirmos as duas conclusões é como segue. O argumento para
o senhor Silva é:
Se uma pessoa é culpada, então ela é daltônica.
O senhor Silva é daltônico.
Então, senhor Silva é culpado.
A primeira proposição neste argumento é uma proposição condicional. A segunda e a terceira podem ser combinadas para formar a seguinte proposição condicional:
“Se uma pessoa é daltônica, então ela é culpada”.
Qual é a relação entre esta proposição e a primeira?
A hipótese e a conclusão da segunda proposição são a conclusão e a hipótese da
primeira, respectivamente. Assim a segunda declaração é a recíproca da primeira.
Como uma proposição e sua recíproca não são logicamente equivalentes, a segunda proposição pode ser falsa embora a primeira seja verdadeira.
A conclusão “senhor Silva é culpado” não segue necessariamente das outras
duas proposições, e assim não é uma dedução válida.
Para a senhora Branca, o argumento é o seguinte:
Se uma pessoa é culpada, então ela é daltônica.
A senhora Branca não é daltônica.
Então, a senhora Branca não é a culpada.
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Combinando a segunda e a terceira proposições para formar a proposição condicional: “Se uma pessoa não é daltônica, então ela não é culpada”, nós vemos que esta
proposição é a contrapositiva da primeira proposição. Se nós aceitarmos a primeira proposição como verdadeira, nós não poderemos deixar de aceitar a segunda como verdadeira, porque uma declaração e sua contrapositiva são logicamente equivalentes.
A dedução “a senhora Branca não é culpada” é válida.
5.1. Exercícios
1.
Quais das proposições seguintes são logicamente equivalentes a uma proposição
condicional?
a) Sua recíproca.
b) Sua inversa.
c) Sua contrapositiva.
2.
Com relação à figura a seguir, dizer quando a terceira proposição, em cada uma
das seguintes deduções, segue logicamente das duas primeiras.
a) Se você escolher um ponto no círculo a, então este
ponto também está no círculo b.
Você escolhe um ponto no círculo a.
b
Logo, este ponto também está no círculo b.
b) Se você escolher um ponto no círculo a, então este
a
ponto também está no círculo b.
Você escolhe um ponto no círculo b.
Logo, este ponto também está no círculo a.
c) Se você escolher um ponto no círculo a, então este
ponto também está no círculo b.
Você escolhe um ponto que não está no círculo a.
Logo, este ponto também não está no círculo b.
d) Se você escolher um ponto no círculo a, então este ponto também está no círculo
b.
Você escolhe um ponto que não está no círculo b.
Logo, este ponto também não está no círculo a.
3.
Expresse os modelos das deduções do exercício anterior por meio de símbolos,
por exemplo, “ a → b ” ou “a, então b”].
4.
A dedução no item “b” do exercício 3 não é válida; comete-se o erro da recíproca. Se a dedução no item “c” também não for válida, diga qual o erro que se comete.
5.
A dedução no item “d” do exercício 2 é válida. Que nome poderia ter esse modelo?
6.
Expresse em símbolos os modelos das seguintes deduções. Analise o modelo
para verificar se as deduções são válidas ou não válidas. Se a dedução não for válida,
diga o nome do erro cometido (erro de recíproca ou erro de inversa).
Exemplo:
Se você gosta de golfe, você gosta de bater ao redor do arbusto.
Oliver não gosta de golfe.
Então, Oliver não gosta de bater ao redor do arbusto.
Resposta:
a →b.
Não a
Então, não b.
Dedução não-válida. Erro da inversa.
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a) Se você vê manchas na frente de seus olhos, você está olhando um leopardo.
Você está olhando um leopardo.
Então, você vê manchas na frente de seus olhos.
b) Se você vê praias na frente de seus olhos, seu cabelo é muito longo.
Você não vê praias na frente de seus olhos.
Então, seu cabelo não é muito longo.
c) Se você esquecer seu lápis, você pode pegar emprestado um dos meus.
Você esqueceu seu lápis.
Então, você pode obter emprestado um dos meus.
d) Se você escova seus dentes com Bylecream, você entendeu mal o comercial.
Você não entendeu mal o comercial.
Então, você não escova seus dentes com Bylecream.
e) Todas as traças são atraídas pelas chamas das velas.
Este inseto não é uma traça.
Então, este inseto não é atraído pelas chamas das velas.
f) Toda bebida suave carbonatada contêm bolhas.
Você está bebendo algo que contêm bolhas.
Então, você está bebendo uma bebida suave carbonatada.
g) Os estudantes deixarão de prestar atenção se a aula for enfadonha.
A aula de Matemática não é enfadonha.
Então, os estudantes prestarão atenção.
7.
Em cada um dos exercícios seguintes, são dadas duas proposições, que devem
ser aceitas como verdadeiras. Se possível, escreva uma terceira proposição que pode ser
deduzida destas duas. Caso contrário, escreva “nenhuma dedução é possível”.
Exemplo:
Se o seu cachorro possui carteira de motorista, então você não precisa dirigir o tempo
todo.
Você não precisa dirigir o tempo todo.
Resposta:
Nenhuma dedução é possível. Para concluirmos que “seu cachorro possui carteira de
motorista” seria necessário cometer o erro da recíproca.
a) Se eu estou falando com quem eu queria, então eu disquei corretamente.
Eu estou falando com a pessoa que eu queria.
b) Se há uma mosca em sua sopa, então você não deveria comer muito rapidamente
cada colherada.
Você pode comer cada colherada depressa.
c) Se eu tivesse um chipanzé como sobrinho, então eu seria tio de um macaco.
Eu sou o tio de um macaco.
8.
Nos exercícios seguintes, escreva a primeira proposição na forma “se-então” e
depois proceda como no exercício anterior.
a) Todas as máquinas fotográficas Polaroid revelam as fotos instantaneamente.
Aquela máquina fotográfica não é uma Polaroid.
b) Todas as corujas piam a noite.
Fred nunca piou.
c) Nenhum disco voador pode viajar mais rapidamente que a velocidade da luz.
Aquele objeto não é um disco voador.
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d) O nome dele termina com “o” se ele é um dos irmãos Marx.
O nome de Groucho termina com “o”.
9.
A primeira oração do anúncio a seguir é uma proposição condicional aceita como verdadeira pela maioria das pessoas. Compare-a com a última oração do anúncio.
Assumindo que “você sabe o que fazer” significa que “você decidirá comprar uma perua Volkswagen”, diga se a lógica do anúncio é ou não válida. Esta conclusão segue
logicamente do que foi dito antes? Explique.
Se o mundo fosse assim, e você quisesse comprar um carro que se sobressaísse um
pouco, você provavelmente não compraria uma Kombi.
Mas, como você sabe, o mundo não é assim.
Então, se você quer comprar um carro que se sobressaia um pouco, você sabe exatamente o que fazer.
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6. ARGUMENTOS COM DUAS PREMISSAS
– “Como você pode falar tão suavemente?”, disse Alice… “Eu estive em muitos
jardins antes, mas em nenhum deles as flores podiam falar.”
– “Bote sua mão no chão e sinta-o”, disse o Lírio. “então você saberá porque.”
Alice assim o fez.
– “É muito duro”, ela disse, “Mas eu não vejo o que tem uma coisa a ver com a
outra.”
– “Em muitos jardins”, disse o Lírio, “Eles fazem o canteiro muito macio - então
as flores estão sempre adormecidas”.
Lewis Carrol, Alice através do espelho.
Talvez as flores não falassem, até mesmo se estivessem acordadas.
O argumento que o Lírio está apresentando à Alice é essencialmente este:
Se o canteiro é muito macio, as flores estão sempre adormecidas.
Se as flores estão adormecidas, elas não falam.
Então, se o canteiro é muito macio, as flores não falam.
Note que este argumento consiste em três proposições condicionais.
Se você aceitasse as duas primeiras proposições como verdadeiras, também deveria aceitar a terceira como verdadeira?
Nós podemos ilustrar as duas primeiras proposições, chamadas premissas do argumento, por meio de diagramas de Euler-Venn.
Flores adormecidas
Flores que não falam
Canteiros
macios
adormecidas
Flores
Se nós combinarmos estes dois diagramas em um só, obteremos o seguinte diagrama:
Flores que não falam
Flores adormecidas
Canteiro
macio
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Omitindo o círculo do meio nós obtemos o diagrama mostrado a seguir, o qual
ilustra a terceira proposição, chamada conclusão do argumento.
Flores que não falam
Canteiro
macio
De maneira mais geral, se nós temos duas proposições condicionais nas quais a
conclusão da primeira é a hipótese da segunda ( a → b , b → c ), então delas nós podemos derivar uma terceira proposição, a → c . Tais argumentos são chamados silogismos.
Um silogismo é um argumento da forma:
a → b (primeira premissa)
b → c (segunda premissa)
Então, a → c (conclusão)
Se ambas as premissas de um silogismo são verdadeiras, então a conclusão também deve ser verdadeira. Se pelo menos uma das premissas for falsa, então a conclusão,
pode ser falsa. Isto não significa, porém, que o raciocínio é incorreto. Em outras palavras; a verdade ou falsidade das proposições usadas não têm nada a ver com a validade
ou não de um argumento. Por exemplo, considere este silogismo:
Se você mora em Fortaleza, então você mora no Ceará.
Se você mora no Ceará, então você mora no Brasil.
Então, se você mora em Fortaleza, você mora no Brasil.
Não é necessário olhar em um mapa para saber que este é um argumento válido.
A conclusão é uma conseqüência lógica das premissas.
6.1.
Exercícios
1.
Um silogismo consiste em três proposições condicionais.
a) Como são chamadas as duas primeiras proposições?
b) Como é chamada a terceira proposição?
c) A que parte da segunda proposição deve a conclusão da primeira ser idêntica?
d) Se as duas primeiras proposições de um silogismo são verdadeiras, o que deve ocorrer com a terceira proposição?
e) O que poderia acarretar a terceira proposição de um silogismo para ser falso?
2.
Diga quando cada um dos pares seguintes de proposições podem ser usados para
formar um silogismo.
b) a → b e b → c
c) a → b e c → b
d) a → b e c → a
a) a → b e a → c
3.
Diga se cada um dos seguintes argumentos é ou não um silogismo.
a) Se um pato voa de cabeça para baixo, ele fica tonto.
Se um pato fica tonto, grasna.
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Então, se um pato voa de cabeça para baixo, ele grasna.
b) Se uma moeda de um centavo tem a cabeça de um índio, ela foi feita antes de
1910.
Se uma moeda de um te centavo tem uma cabeça de índio, ela vale mais de um
centavo.
Então, se uma moeda de um centavo foi feita antes de 1910, ela vale mais de um
centavo.
c) Se você for para Jericoacoara, você verá bonitos pores do sol.
Se você está no Ceará, você verá bonitos pores do sol.
Portanto, se você está em Jericoacoara, você está no Ceará.
4.
Reescreva as proposições em cada um dos seguintes argumentos na forma “seentão”. Então, use símbolos para representar a forma do argumento e diga se ele é válido ou não.
Exemplo:
Todos os filmes dirigidos por Alfred Hitchcock têm enredos de suspense.
O filme “O Norte através do Noroeste” tem um enredo de suspense.
Então, o filme “O Norte através do Noroeste” foi dirigido por Alfred Hitchcock.
Resposta:
Se um filme foi dirigido por Alfred Hitchcock, então ele tem enredo de suspense.
Se o filme é “O Norte através do Noroeste”, ele tem um enredo de suspense.
Então, se o filme é “O Norte através do Noroeste”, ele foi dirigido por Alfred Hitchcock.
A forma deste argumento é:
a →b
c →b
Então, c → a
O argumento é não-válido.
a) Todos os burros possuem orelhas grandes.
Todas as criaturas de orelhas grandes são intrometidas.
Portanto, todos os burros são intrometidos.
b) Pessoas “descuidistas” são desonestas.
Nenhuma pessoa desonesta merece confiança.
Portanto, as pessoas “descuidistas” não merecem confiança.
c) Um relógio vendido com desconto de 25% não marca a hora certa.
Um relógio não marca a hora certa, se ele atrasa 15 minutos a cada hora.
Portanto, um relógio com 25% de desconto atrasa 15 minutos a cada hora.
5.
Se a conclusão de um argumento é verdadeira, então o argumento é válido?
6.
Se a conclusão de um argumento é falsa, então o argumento não é válido?
7.
É possível que as três proposições de um argumento válido sejam falsas?
8.
É possível que as três proposições de um argumento não-válido sejam verdadeiras?
9.
A uma primeira vista, pode parecer que nenhuma conclusão pode ser tirada do
seguinte par de proposições:
Se o seu nome está no “Quem é quem”, então você sabe o que é o que.
Se você não sabe onde é onde, então você não sabe o que é o que.
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a) Escreva a contrapositiva da segunda proposição.
b) Como uma proposição e sua contrapositiva são logicamente equivalentes, a contrapositiva da segunda proposição pode ser combinada com a primeira para obter uma
conclusão. Que conclusão é esta?
10.
As seguintes proposições são pares de premissas das quais pode-se ou não tirar
conclusões. Você talvez precise considerar, em alguns casos, a contrapositiva de alguma
delas antes de poder tirar qualquer conclusão. Dependendo do caso, escreva sua conclusão ou que “não se pode tirar conclusões”.
a) Se é primeiro de Abril, então os soldados não estão cansados.
Se os soldados fizeram uma marcha de 31 dias, então eles estão cansados.
b) Se você é mais rápido que uma bala, então você é mais forte do que uma locomotiva.
Se você é mais forte do que uma locomotiva, então você pode voar.
c) Se você tem medo de terremotos, então você não pode morar na Califórnia.
Se você é maluco, então você não tem medo de terremoto.
11.
Se um argumento é logicamente válido e suas premissas são verdadeiras, então
sua conclusão também é verdadeira Ainda que, superficialmente, o argumento seguinte
pareça contradizer isto.
Migalhas de pão é melhor do que nada.
Nada é melhor do que um bife bem suculento.
Portanto, migalhas de pão é melhor do que um bife bem suculento.
Todas pessoas que concordam com as duas premissas deste argumento, provavelmente não aceitarão sua conclusão. Já que o argumento parece ser um argumento
lógico, você poderia explicar o que está errado? (Sugestão: tente escrever cada proposição na forma “se-então”).
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7. PROVA DIRETA
O artista americano Rube Goldberg ficou tão conhecido, nos Estados Unidos,
por suas invenções ridículas que, de acordo com um dicionário, seu nome aparece para
significar “tendo uma aparência improvisada e fantasticamente complicada” ou “tortuosamente complexa e nada prática”. Uma das invenções de Goldberg, “uma maneira de
refrescar”, é mostrada no desenho a seguir.
O desenho ilustra a seguinte cadeia de eventos:
Se o homem empurra o carrinho de mão, a roda gira o arranjo de chutes.
Se a roda gira o arranjo de chutes, o urso se irrita e morde a boneca.
Se o urso se irrita e morde a boneca, o cordão ligado ao pássaro mecânico é
puxado.
Se o cordão ligado ao pássaro mecânico é puxado, o pássaro diz “voce me
ama?”.
Se o pássaro mecânico diz “você me ama?”, o pássaro apaixonado balança a
cabeça.
Se o pássaro apaixonado balança a cabeça, o leque produz uma brisa suave
no rosto do homem.
Note que a conclusão de cada proposição é a hipótese da proposição seguinte.
Usando letras para representar cada hipótese e cada conclusão, temos o modelo linear
que explicita isso de forma mais evidente:
a → b , b → c , c → d , d → e , e → f , f → g , do qual nós podemos tirar a
conclusão: a → g .
Em palavras, a conclusão é: “Portanto, se o homem empurra o carrinho, então o leque fará brisa suave em seu rosto”. Este argumento é um simples exemplo de
uma prova direta. As seis primeiras proposições são chamadas premissas do argumento.
Elas conduzem à proposição a → g , que é chamada conclusão do argumento e pode ser
considerada um teorema.
Um teorema é uma proposição que pode ser provada a partir de outras
proposições previamente demonstradas ou aceitas como verdadeiras, por meio de
raciocínio dedutivo.
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7.1.
Exercícios
1.
O diagrama de Euler mostrado aqui
ilustra
o
seguinte
argumento:
d
⎧a → b
⎪b → c
c
⎪
b
⎨
a
⎪c → d
⎪⎩ Portanto, a → d
a) Como são chamadas as três primeiras proposições deste argumento?
b) Como é chamada a última proposição deste argumento?
c) Se as três primeiras proposições forem verdadeiras a última também será verdadeira?
2.
Como é chamada uma proposição que pode ser provada a partir de proposições
já provadas ou aceitas como verdadeiras?
3.
Qual teorema está sendo provado pelas seguintes proposições?
Se você vai a um filme 3-D, duas imagens vão aparecer na tela.
Se duas imagens vão aparecer na tela, você deve ver cada imagem com um olho.
Se você vê cada imagem com um olho, você deve usar óculos especiais.
4.
Cada um dos exercícios seguintes consiste em um teorema e sua prova. Desta
prova, uma ou mais proposições foram omitidas. Após estudar as relações entre as proposições dadas. Escreva as que estão faltando.
a) Teorema:
Se faltar eletricidade durante a noite, você chegará atrasado à escola.
Prova:
Se a eletricidade faltar durante a noite, seu relógio ficará maluco.
Se o relógio ficar maluco, você não saberá que horas são.
b) Teorema:
Se houver um eclipse total do sol, a temperatura pode ser determinada sem termômetro.
Prova:
Se houver um eclipse total do sol, o céu ficará escuro.
___________________________________________________________________.
Se os grilos pensam que é noite, eles começam a cantar.
___________________________________________________________________.
Se a temperatura é estimada contando o canto dos grilos, ela pode ser determinada sem um termômetro.
5.
Copie as seguintes proposições, rearranjando-as na ordem lógica.
Se você toma um avião, você irá ao aeroporto.
Se você vai para Brasília, você tomará um avião.
Se você vê todos os táxis enfileirados, você verá táxis de todas as marcas.
Se você vai ao aeroporto, você verá táxis enfileirados.
6.
Que teorema é provado pelas quatro proposições do exercício anterior?
7.
O seguinte exercício de lógica foi escrito por Lewis Carrol. Ele deliberadamente
tornou a prova difícil não colocando suas proposições na forma “se-então” nem na or-
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dem lógica. Torne a prova mais compreensiva, reescrevendo-a e fazendo ambas as mudanças.
Teorema:
Bebês não podem amestrar crocodilos.
Prova:
Bebês não são lógicos.
Ninguém despreza as pessoas que amestram crocodilos.
Pessoas ilógicas são desprezadas.
8.
A seguinte prova parece incorreta mas ela realmente é válida. Mostre que não
existe nada de errado com ela, trocando uma de suas proposições por outra que lhe é
logicamente equivalente.
Teorema:
Se Sherlock Holmes tem que resolver um caso, ele explica suas conclusões a
Watson.
Prova:
Se Sherlock Holmes tem que resolver um caso, ele raciocina dedutivamente.
Se ele não consegue descobrir quem é o assassino, ele não raciocinou dedutivamente.
Se Sherlock Holmes consegue descobrir o assassino, ele explica suas conclusões a Watson.
9.
Reorganize a seguinte prova de maneira que ela se tome mais compreensível.
Teorema:
Se este é o último exercício da lista, ele não é fácil.
Prova:
Se a lista está organizada na ordem lógica, ele não é o último exercício.
Se eu não consigo entender um exercício, eu fico tonto quando tento fazê-lo.
Se um exercício é fácil, ele não me dá trabalho.
Se eu fico tonto quando tento resolver um exercício, ele está me dando trabalho.
Se um exercício não está colocado na ordem lógica, eu consigo entendê-lo.
10.
O seguinte exercício foi retirado do livro “100 Jogos Lógicos”, de Pierre Berloquim (Ed. Gradiva, 1994).
Um motorista exprime as seguintes impressões sobre automóveis:
i.
Tração dianteira dá boa estabilidade na estrada.
ii.
Carros pesados devem ter bons freios.
iii.
Carros com motor muito potentes são caros.
iv.
Carros velozes não têm boa estabilidade.
v.
Carros de motor pouco potente não podem ter bons freios.
Será que esse motorista admite a existência de um automóvel barato com tração
dianteira? Justifique sua resposta.
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8. PROVA INDIRETA
Na história “A Dama ou o Tigre?” de Frank
Stockton, um rapaz é obrigado a escolher entre duas salas, numa das quais está uma bela jovem e na outra, um
tigre. Se ele escolher a sala na qual está a jovem, então
ele se casará com ela. Se, por outro lado, ele escolher a
outra sala, ele encontrará um tigre feroz, que o devorará.
A escolha do rapaz não é revelada na história.
A
Nesta sala existe
uma bela jovem e
na outra sala existe um tigre.
Em uma destas salas existe uma bela
jovem, e na outra
existe um tigre.
B
Muitos quebra-cabeças foram criados com esse tema. Em um deles (The Lady or
the Tigre? and other logic puzzles, Raymond Smullya - Knopf, 1982), o rei coloca avisos nas portas das salas (como na figura anterior), dizendo para o rapaz que um deles é
verdadeiro e o outro é falso. Em qual das salas está a bela jovem?
Se nós assumirmos que o aviso A é verdadeiro, então a jovem está na sala A e o
tigre está na sala B Se for assim, o aviso B também é verdadeiro.
Esta conclusão contradiz o fato que um aviso é verdadeiro e o outro é falso. Isto
significa que o aviso A não é verdadeiro e, conseqüentemente, deve ser falso. Assim, o
tigre está na sala A e a jovem está na sala B.
Nós chegamos a esta conclusão por um raciocínio indireto.
Em uma prova indireta, no início assume-se como verdadeiro algo que conduz a uma contradição. A contradição indica que o que assumimos é falso e a conclusão desejada é verdadeira.
O modelo de uma prova indireta é ilustrado aqui com o quebra-cabeça da dama
ou o tigre.
Teorema
No quebra-cabeça da dama ou o tigre, a dama está na sala B
Prova
Nós assumimos o contrário
Suponha que a jovem não esteja na sala B. Se ela
da conclusão desejada
não está na sala B, então ela está na sala A.
A contradição.
Se ela está na sala A, então ambos os avisos A e B
são verdadeiros. Isto contradiz o fato que um aviso
é verdadeiro e o outro é falso.
Nós finalizamos com a
Portanto, o que supusemos é falso e a jovem está na
conclusão desejada.
sala B.
Ambos os métodos de prova - o direto e o indireto - requerem construir uma cadeia de proposições condicionais.
No método direto, a cadeia é feita começando com a hipótese do teorema
(digamos, a) e terminando com sua conclusão (digamos, b) No método indireto, a
cadeia inicia com o oposto da conclusão do teorema (não b) e termina numa contradição com a.
A contradição nos diz que, se a for verdadeiro, então b não pode ser falso. Isto
significa que a → b .
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8.1. Exercícios
1.
Para provar um teorema indiretamente, nós começamos assumindo que sua conclusão é falsa. Liste a afirmação com a qual uma prova indireta de cada uma das seguintes proposições deve começar.
Exemplo:
Se um alfaiate quisesse fazer um terno completo ele faria as calças primeiro.
Resposta:
Suponha que o alfaiate não faça as calças primeiro.
a) Se uma galinha pudesse falar, ela falaria palavras obscenas.
b) Se um professor está desatento, ele não tem controle sobre seus alunos.
c) Se uma prova é indireta, então ela conduz a uma outra tradição.
2.
As seguintes proposições podem ser rearranjadas para dar uma prova indireta
deste teorema. Copie-as, rearranjando-as na ordem lógica.
Teorema:
Uma mão de “bridge” deve conter mais de três
cartas do mesmo naipe.
a) Se uma mão de bridge não contém mais de três cartas
do mesmo naipe, ela não contém mais de 12 cartas.
b) Portanto, o que nós supusemos é falso e uma mão de
bridge deve conter mais de três cartas do mesmo naipe.
c) Suponha que uma mão de bridge não contenha mais de
três cartas do mesmo naipe.
d) Isto contradiz o fato que uma mão de bridge contém 13 cartas.
3.
Este jogo da velha não terminado apareceu a primeira vez em uma diversão da
IBM. Se assumirmos que os dois jogadores sabem jogar bem, nós podemos provar o
seguinte teorema:
X
O
X
O
Teorema:
O jogador “X” jogou primeiro.
Copie e complete a seguinte prova indireta deste teorema:
Suponha que ??????????
Se ?????????? o jogador “O” jogou primeiro.
Se o jogador “O” jogou primeiro, então ele deve jogar agora.
Se ?????????? então”X” perderá a partida.
Se “X” perder a partida, então “X” não sabe jogar.
Isto contradiz o fato que ?????????
Portanto, o que nós supusemos é falso e o jogador “X” jogou primeiro.
4.
Um aluno fraco em geometria, chamado Riemann, está fazendo um teste de 5
questões do tipo verdadeiro (V) ou falso (F). Baseado nos seguintes fatos complete a
prova de que a última questão é F.
Fato 1: Se a primeira questão é V, a próxima é F.
Fato 2: A última resposta é igual à primeira.
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Fato 3: A segunda resposta é V.
Teorema:
A última resposta do teste é F.
Prova:
Suponha que ??????????
Se ?????????? então ela é V.
Se a última resposta do teste é V, então a primeira resposta ??????????
Se a primeira resposta ??????????, então a segunda ??????????
Isto contradiz o fato que ??????????
Portanto, o que supusemos é falso e ??????????
5.
Embora os tipos sangüíneos não possam ser usados para provar que um determinado homem é o pai de uma criança, eles podem ser usados para mostrar que ele não é o
pai. A tabela a seguir mostra a relação entre os possíveis tipos de sangue dos filhos para
um certo tipo de sangue dos pais.
Pais
Filhos
OeO
O
OeA
O ou A
OeB
O ou B
O e AB
A ou B
Suponha que uma mulher é do tipo O e seu filho também é do tipo O. Complete
a seguinte prova indireta de que um homem tendo sangue do tipo AB não pode ser o pai
da criança.
Teorema:
Um homem tendo sangue do tipo AB não pode ser o pai da criança.
Prova:
Suponha que ??????????
Se ??????????
Então, a criança ou tem sangue do tipo ??????????
Isto contradiz o fato que ??????????
Logo, o que supusemos é falso e ??????????
6.
O namorado de Lorena lhe deu um anel de diamantes de presente, mas ela não
tem certeza que ele seja genuíno.
Considere o seguinte argumento:
Se uma pedra é um diamante, seu índice de refração é maior do que 2.
A pedra no anel de Lorena tem uma refração de 2,4.
Portanto, a pedra no anel de Lorena é um diamante.
a) Assumindo que as duas primeiras proposições no argumento são verdadeiras, segue
daí que a terceira proposição é verdadeira? Justifique sua resposta.
b) As seguintes afirmações verdadeiras podem ser usadas para provar que a pedra no
anel de Lorena é um diamante. Copie-as, rearranjando-as na ordem lógica.
A1: Se o grau de dureza de uma pedra é menor do que 10, ela pode ser arranhada por
corindon.
A2: Portanto, o que supusemos é falso e a pedra no anel de Lorena é um diamante.
A3: Se a pedra não é um diamante, seu grau de c é menor do que 10.
A4: Suponha que a pedra no anel de Lorena não é um diamante.
A5: Isto contradiz o fato que a pedra no anel de Lorena não pode ser arranhada por
coríndon.
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41
c) De que espécie é a prova que você deu.
7.
Enquanto dirigia seu Fusca 1964 para o supermercado, a senhora Marta pensou
ter esquecido suas chaves no apartamento. Use uma ou mais das seguintes afirmações
para tirar uma conclusão sobre isto. Explique seu raciocínio.
A1:
A senhora Marta nunca deixa seu apartamento aberto.
A2:
Ela guarda todas as chaves em um grande chaveiro,
A3:
Ela freqüentemente fica presa em um engarrafamento.
8.
Num torneio de futebol americano, os Ursos estão jogando contra os Búfalos, e o
placar no intervalo do primeiro para o segundo tempo é de 7 a 6 para os Ursos. No segundo tempo, todos os “gols” marcados ou valeram 6 pontos ou 7 pontos. O placar final
foi de 18 a 13. Que time ganhou a partida? Justifique sua resposta.
9.
Zangado, Atchim e Soneca estão discutindo sobre o número de amigos que o
Mestre possui. Zangado afirma que Mestre tem pelo menos 50 amigos. Atchim diz que
Mestre não tem tantos amigos assim, enquanto Soneca afirma que Mestre tem, pelo menos 1 amigo. Se apenas um deles está correto, quantos amigos, precisamente, o Mestre
possui?
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9. UM SISTEMA DEDUTIVO
Procurar o significado de palavras no dicionário ilustra o fato de que é impossível definir tudo sem que fiquemos andando em círculos. Do mesmo modo, também é
impossível provar tudo sem que andemos em círculos.
Para evitar que voltemos sempre ao ponto em que começamos, nós precisamos
deixar, pelo menos, algumas palavras sem definição e algumas proposições sem demonstração.
As palavras deixadas sem definição, chamadas de termos indefinidos ou entes
primitivos, podem ser usadas como base para a construção da definição de outras palavras. Já as proposições deixadas sem prova, os postulados (aquilo que se pode) podem
ser usadas para a construção de provas de outras proposições.
Um postulado é uma proposição que é assumida como verdade sem prova,
Das palavras não definidas, então, nós podemos construir definições de outras
palavras. Dos postulados e definições, nós podemos construir a prova diretamente ou
indiretamente, das proposições que nós chamamos teoremas.
Uma estrutura que é construída deste modo, por meio de lógica, é chamada um
sistema dedutivo.
Um sistema dedutivo é muito parecido com um jogo. Para jogar qualquer
jogo você deve conhecer inicialmente o “significado” dos termos ou peças usados
neles (as definições), e você tem que conhecer também as regras do jogo (os postulados).
Por exemplo, para ser um bom jogador de futebol americano uma pessoa tem
que estar muito familiarizada com muitos termos e regras, O Guia de Futebol dos Estados Unidos lista 197 regras, muitas das quais contêm mais de uma parte. Além disso,
para poder ser bem jogado é importante para o jogo que o conjunto de regras seja suficiente e consistente. Por suficiente, nós queremos dizer que eles contenham o que fazer
em toda situação possível e, por consistente, nós queremos dizer que eles nem contradizem um ao outro nem conduzem a contradições.
Os postulados de um sistema dedutivo também são como as regras de um jogo,
com uma pequena diferença: Enquanto as regras do jogo de futebol, por exemplo, podem ser mudadas (o jogo de futebol é um pouco diferente hoje do que era originalmente, quando foi inventado, pois algumas de suas regras mudaram) os postulados de um
sistema dedutivo não podem ser mudados.
A representação de um sistema dedutivo depende, então, dos postulados dele. A
Geometria é um bom exemplo de um sistema dedutivo em que mudanças nos postulados produzem mudanças interessantes sobre os teoremas que podem ser derivados.
Agora que você está familiarizado com a natureza de um sistema dedutivo você
está pronto aprender a jogar o “jogo” da Matemática.
9.1.
Exercícios
1.
É possível:
a)
Definir tudo sem ficar andando em círculos?
b)
Provar tudo sem ficar andando em círculos?
2.
Qual é a diferença entre um postulado e um teorema?
3.
O que você deve saber quando você quer aprender como jogar um jogo?
4.
O que significa dizer que as regras de um jogo são:
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a) Suficientes?
b) Consistentes?
5.
O diálogo seguinte se passa em uma sala de aula e é de uma cena do filme “Pardon us” (Perdoe-nos), da dupla O Gordo e o Magro:
Professor: O que é um cometa?
Um estudante: Uma estrela com um rabo nela.
Professor: Alguém pode nos dar um exemplo?
Laurel: Rin-Tin-Tin?
a) Que palavras, na resposta do outro estudante, Laurel entendeu mal?
b) Por que ele disse “Rin-Tin-Tin”?
6.
Suponha que você esteja aprendendo Inglês. Alguém lhe deu um dicionário inglês-inglês. Você quer descobrir o significado da palavra above e, quando você procura
no dicionário, encontra overhead. Você não sabe o que significa overhead. Você acha
que pode descobrir o significado de above neste dicionário. Justifique sua resposta.
7.
Explique por que as seguintes regras para um jogo com dois dados e um único
lance não são suficientes para determinar o vencedor.
Regra 1: Se a soma dos números nas faces superiores dos dois dados for 7 ou
11, o jogador que os lançou ganha.
Regra 2: Se a soma dos números nas faces superiores dos dois dados for 2, 3, ou
12, o jogador que os lançou perde.
8.
Explique por que as seguintes regras para um jogo com dois dados e um único
lance não são consistentes.
Regra 1: Se os números na face superior dos dados coincidirem, o jogador que
os lançou ganha.
Regra 2: Se a soma dos números nas faces superiores dos dados for par, o jogador que os jogou perde.
Regra 3: Se a soma dos números nas faces superiores dos dados for ímpar, o jogador joga novamente.
9.
O Banco BMJ, para disponibilizar uma linha de crédito para seus clientes especiais, elaborou um contrato que apresenta, entre outras, as seguintes cláusulas:
Cláusula 1: Uma cobrança de transação financeira é uma taxa cobrada sempre
que o cliente utilizar essa linha de crédito.
Cláusula 2: Se você gastar além do seu limite de crédito, o banco lhe cobrará
uma taxa extra.
Cláusula 3: Um cartão-prêmio é um cartão magnético para ser utilizado sempre
que o cliente quiser usufruir dessa linha de crédito.
Cláusula 4: Qualquer taxa extra que lhe for cobrada, será debitada na sua conta
no primeiro dia útil do mês seguinte.
Cláusula 5: Se o seu cartão for extraviado (perdido ou roubado), você deve informar imediatamente ao banco.
a) Quais destas afirmações são definições?
b) Que palavras elas definem?
c) Quais delas são postulados?
d) Que duas proposições podem ser combinadas para formar um silogismo?
e) Que teorema é demonstrado por este silogismo?
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10.
Considere os seguintes postulados e teorema:
Teorema:
Para viajar para a Austrália, você tem que bater um retrato.
Postulado 1:
Para viajar para a Austrália, você tem que ter um visto de turista.
Postulado 2:
Para ter um passaporte, você tem que tirar um retrato.
a) Para provar o teorema, nós precisamos de um outro postulado, além dos dois listados anteriormente. Que postulado é esse?
b) Use-o, junto com os outros dois postulados, para escrever uma prova direta do teorema.
11.
O senhor Silva foi assassinado.
a) O que você deve assumir para provar indiretamente que o Coronel Mostarda é o
assassino?
b) Use o que você assumiu e os seguintes fatos para provar que o Coronel Mostarda é o
assassino.
Fato 1: Se a senhorita Selma for a assassina, ela usou um revólver.
Fato 2: Nenhuma bala foi disparada.
Fato 3: Se o Coronel Mostarda não é o assassino, então a senhorita Scarlet o é.
Fato 4: Se um revólver foi utilizado, uma bala foi disparada.
12.
Considere as seguintes proposições:
Proposição 1: Se alguém é um criminoso, ele não pode votar.
Proposição 2: Uma pessoa é um criminoso se, e somente se, ele cometeu um
crime sério.
Proposição 3: Pedro cometeu um crime sério.
a) Qual destas declarações é uma definição.
b) Escreva as duas declarações condicionais que são equivalentes a ela.
c) Use essas proposições para escrever uma prova direta de que Pedro não pode votar.
d) Use-as para escrever uma prova indireta que Pedro não pode votar.
13.
O quebra-cabeça seguinte é de Kobon Fujimura, um grande inventor de quebracabeças, japonês. (A Tóquio Puzzles, Scribners, 1978).
Quatro pessoas A, B, C e D, foram juntas para uma loja de departamentos. Uma pessoa comprou um relógio, outra um livro, a outra um par de sapatos, e a outra, uma
máquina fotográfica. Estes produtos encontravam-se no primeiro, segundo, terceiro e
quarto andares, mas não necessariamente nessa ordem.
Com base nas pistas seguintes, determine quem comprou o que e em qual andar.
Explique seu raciocínio.
Pista 1: B foi para o primeiro andar.
Pista 2: Relógios são vendidos no quarto andar.
Pista 3: D foi para o segundo andar.
Pista 4: A comprou um livro.
Pista 5: B não comprou uma máquina fotográfica.
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10. A HABILIDADE DE PERCEBER REGULARIDADES
– “Observando o quadro acima vocês seriam capazes de concluir alguma coisa a
respeito das potências de 9?” Perguntou a professora.
– “Não!” responderam os alunos os alunos.
91 = 9
9 = 81
2
9 = 729
3
94 = 6.561
95 = 59.049
– “E agora?” Perguntou novamente a professora.
– “Sempre termina com 9 ou 1?!” Respondeu Ana.
Um dos principais objetivos para a inclusão da Matemática no Ensino Fundamental é o desenvolvimento do raciocínio lógico. Não queremos dizer com isso que
somente a Matemática pode conseguir esse desenvolvimento. Isso não é verdade. Todas
as disciplinas, se bem trabalhadas, podem levar a esse desenvolvimento. A Matemática
é apenas uma dessas disciplinas.
No sentido do desenvolvimento do raciocínio lógico, o aprimoramento da habilidade que as pessoas possuem de perceber certas regularidades que se apresentam sob
vários aspectos, desempenham um papel muito importante.
De maneira simplista, detectar regularidades envolve perceber, retirar ou abstrair
o que existe de comum, após a observação de um determinado número de exemplos.
Este processo de abstração é freqüentemente chamado de raciocínio indutivo.
O Raciocínio Indutivo consiste em, a partir da observação de vários exemplos particulares, intuir uma conclusão geral.
A presença de regularidades em um determinado experimento implica a existência de algumas regras básicas comuns que, uma vez descobertas, tornam possível ao
aprendiz se comportar de maneira diferente em relação ao mesmo.
Nós podemos descobrir se uma regularidade foi ou não percebida testando o aprendiz com novos exemplos. Se ele responder aos novos exemplos de acordo com a
“regra básica”, podemos dizer que ele detectou a regularidade. Caso contrário, ele ainda
não a detectou.
É importante ressaltarmos que a demonstração por indução não consiste unicamente em observar alguns exemplos e generalizar. Algumas generalizações que nos
parecem evidentes, a partir de certos exemplos, podem não ser verdadeiras sempre. Por
exemplo, se de uma caixa com 1000 botões retirarmos 900 botões vermelhos, isso não
significa que os 1000 botões serão vermelhos. Essa generalização pode ser falsa.
10.1. Exercícios
1.
Os múltiplos de 5 são: 0, 5, 10, 15, etc. Observando-se esses números, que conclusão se pode tirar a respeito de todos os múltiplos de 5.
2.
No diálogo sobre as potências de 9, concluiu-se que todo número que termina
em 1 ou 9 é uma potência de 9. Isso é verdade? Justifique sua resposta.
3.
Observe sua mão. Quantos são os espaços entre os dedos? Se sua mão tivesse 7
dedos, quantos seriam os espaços? E para 100 dedos, quantos seriam os espaços? Que
conclusão geral pode-se tirar?
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4.
Complete com as potências de 5: 51 = ___ , 52 = ___, 53 = ___ , 54 = ___,… O
que se pode concluir sobre o algarismo das unidades nas potências de 5? Justifique sua
resposta.
5.
Complete com as potências de 6: 61 = ___, 62 = ___, 63 = ___, 64 = ___… Que
conclusão se pode tirar sobre o algarismo das unidades? Justifique sua resposta.
6.
Complete com as potências de 4: 41 = ___, 42 = ___, 43 = ___, 44 = ___… Que
conclusão se pode tirar sobre o algarismo das unidades? Justifique sua resposta.
7.
Observe as figuras a seguir e responda:
a) Juntando 3 mesas dessa maneira, quantas pessoas se acomodam?
b) E 5 mesas?
c) E 27 mesas?
d) Qual a relação entre o número de mesas e o número de pessoas acomodadas?
8.
Imagine que você colocou um dado sobre uma mesa. Quantas faces ficaram visíveis? E se você colocar outro dado sobre o primeiro, quantas serão as faces visíveis
agora? E se você colocasse 10 dados, um sobre o outro, quantas seriam as faces visíveis? E para 100 dados?
9.
O número decimal 6,32 somado a outro decimal pode dar um número natural.
a) Dê três exemplos de números decimais que somados com 6,32 resultam em um número natural.
b) O que esses números têm em comum?
c) A que conclusão geral se pode chegar?
10.
Numa rua foram colocados 6 postes de luz. O primeiro, no começo da rua; o
último no fim, com a mesma distância entre um poste e o seguinte.
a) Quantos espaços há entre os postes?
b) E se fossem 10 postes, quantos espaços seriam?
c) Qual a relação entre o número de postes e o de espaços?
11.
Você já sabe que no resultado de 9171, o algarismo das unidades ou é 1 ou é 9.
Descubra qual dos dois é. Justifique sua resposta.
12.
Determine a soma dos 4 primeiros números pares. E dos 10 primeiros. Determine uma relação entre o número de parcelas e a soma. Use essa relação para determinar a
soma dos 100 primeiros números pares.
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13.
Determine a soma dos 4 primeiros números ímpares. E dos 10 primeiros. Determine uma relação entre o número de parcelas e a soma. Use essa relação para determinar a soma dos 100 primeiros números ímpares.
14.
Determine a soma dos 10 primeiros números naturais. E dos 20 primeiros. Determine uma relação entre o número de parcelas e a soma. Use essa relação para determinar a soma dos 100 primeiros números naturais.
15.
Considere a fórmula f (n ) = n 2 + n + 41 . Quando substituímos n por 0, obtemos
o número f (0 ) = 0 2 + 0 + 41 = 41 , que é um número primo. Quando substituímos n por
1, obtemos o número f (1) = 12 + 1 + 41 = 43 , que também é primo. Quando substituímos
por 2, obtemos 47 e por 3, obtemos 53, que são, ambos primos. Será que sempre obteremos um número primo? Justifique sua resposta.
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11. EXPRESSANDO CONCLUSÕES GERAIS
O problema seguinte é urna adaptação de um problema conhecido na Antigüidade e cuja autoria é creditada a Euclides de Alexandria.
O CAVALO E O BURRO
Um cavalo e um burro caminhavam juntos carregando, cada um, pesados sacos.
Como o cavalo reclamava muito de sua pesada carga, o burro disse-lhe:
– “De que te queixas, companheiro? Se me desses um dos sacos que carregas,
minha carga seria o dobro da tua. Mas, se eu te der um saco, tua carga será igual à minha”.
Quantos sacos carregava cada animal?
É claro que podemos resolver esse problema por meio de tentativas.
Atribuindo valores a carga de um dos animais e seguindo as informações do
problema podemos descobrir quantos sacos cada animal carregava.
Para este (e muitos outros) problema esta, talvez, não seja a maneira mais prática. Em geral, para resolver problemas de Matemática, o melhor método é traduzi-los
para o idioma da Álgebra, ou seja, transformar suas informações em equações (equacionar o problema) e tentar resolvê-las segundo as propriedades das igualdades. Os valores
que se deseja encontrar são representados por letras: as incógnitas. Assim, no problema
anterior, as cargas do burro e do cavalo são valores desconhecidos que podem ser representados por letras, são incógnitas.
Na Matemática, uma incógnita é uma letra ou outro símbolo qualquer que
representa um valor desconhecido e que se deseja encontrar.
Um outro uso das letras, na Álgebra, é como variáveis.
Na Matemática, é comum nos depararmos com contas como:
2,5 × 0 = 0
3× 0 = 0
5× 0 = 0
ou ainda,
2,5 × 1 = 2,5
3 ×1 = 3
5 ×1 = 5
e, a partir delas, tirarmos conclusões gerais:
“Qualquer número multiplicado por zero dá zero”.
“Todo número multiplicado por 1 dá ele mesmo”.
Na Matemática, conclusões assim costumam ser escritas de maneira abreviada,
sem usar palavras. As expressões “qualquer número” e “todo número” são trocadas por
“ ∀x ” ou, simplesmente, pela letra “x”. Assim, a conclusão geral pode ser escrita como
“ ∀x, x ⋅ 0 = 0 ” ou, simplesmente, “ x ⋅ 0 = 0 ”.
As sentenças “ ∀x, x ⋅ 0 = 0 ” e “ x ⋅ 0 = 0 ”, estão escritas em linguagem matemática simbólica. Nessa linguagem, o uso de palavras é o menor possível. Procura-se empregar apenas, números, letras, sinais de operações e outros símbolos matemáticos que
foram inventados para substituírem as palavras.
Como esse x representa um número qualquer (pode ser 3, 5 ou qualquer outro
número) ele é chamado de variável.
Na Matemática, uma variável é uma letra ou outro símbolo qualquer que
representa um número qualquer, de um conjunto numérico pré-determinado, o
conjunto Universo.
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Vejamos um outro exemplo de uma conclusão geral escrita na linguagem matemática. Observemos os cubos arrumados no chão:
1 Cubo
2 Cubos
3 Cubos
5 Faces Visíveis
8 Faces Visíveis
11 Faces Visíveis
Para muitos cubos, você pode determinar a quantidade de faces visíveis pensando assim: Em cada cubo do meio há três faces visíveis. Nos cubos dos extremos, além
dessas três faces pode-se ver também uma extremidade de cada cubo. Assim,
“O número de faces visíveis é três vezes o número de cubos mais duas”.
Representando por “F” o número de faces visíveis e por “C” o número de cubos,
chegamos a seguinte fórmula: F = 3.C + 2. As letras F e C são variáveis.
11.1. Exercícios
1.
Qual o perímetro de um quadrado de lado 3? E se o lado medir 5? Vamos tirar
uma conclusão geral. O perímetro de um quadrado é… Como essa conclusão pode ser
abreviada numa fórmula?
2.
Escreva em linguagem matemática simbólica:
a) Qualquer número multiplicado por 0, dá 0;
b) Qualquer número multiplicado por 1, dá ele mesmo;
c) Qualquer número multiplicado por si mesmo, dá ele ao quadrado.
3.
Complete a tabela a seguir:
Número
Metade
Dobro
Triplo
6
9
24
13
X
4.
Escreva uma conclusão geral para o perímetro de um pentágono regular. E de
um hexágono regular. Traduza essas conclusões para a linguagem matemática simbólica.
5.
Use o exercício anterior para encontrar uma fórmula para o cálculo do perímetro
de um polígono regular.
6.
Complete as tabelas abaixo:
Número
3
4,5
12
16,5
X
Terça parte
Número
Consecutivo
3
9
26
113
Número
3
6
11
13
Seu quadrado
7.
Escreva em linguagem matemática simbólica as sentenças abaixo:
a) Zero somado a qualquer número dá o próprio número;
b) Subtraindo qualquer número de si mesmo, o resultado é zero;
N
T
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c) Qualquer número dividido por 1 dá ele mesmo;
d) O dobro do dobro de qualquer número é seu quádruplo.
8.
Traçamos diâmetro de círculos:
a) Em quantas partes fica dividido o círculo quando traçamos 1 diâmetro?
b) E com 3 diâmetros?
c) Escreva uma conclusão geral que relacione o número de diâmetros com o número de
partes.
d) Escreva essa conclusão geral na linguagem matemática simbólica.
9.
Nas sentenças seguintes, a, b e c representam números quaisquer. Diga se cada
sentença é verdadeira ou falsa. Dê exemplos para “justificar” sua resposta.
c) a ⋅ (b + c ) = (a + b ) ⋅ (a + c ) e) a − b = b − a
a) a + b = b + a
f) a × a ÷ a = a
b) a ⋅ b = b ⋅ a
d) a ⋅ a 2 = a 3
10.
Uma calculadora maluca. Digitando um número x e pressionando a tecla igual, a
calculadora faz ( x + 7 ) ⋅ 8 . Diga que resultados ela apresentaria se eu digitasse os números:
a) 1
b) 12
c) 23
d) 125
11.
Considere os números naturais de 20 a 29:
a) Quais deles, divididos por 2, resultam um quociente que não é natural?
b) O que têm em comum esses quocientes não-naturais?
12.
Considere um número natural qualquer, que vamos chamar de N.
a) Se o resultado de N ÷ 2 é do tipo a,5 (por exemplo: 3,5 ou 15,5), que tipo de número é N?
b) Se o resultado de N ÷ 4 é do tipo a,25 (por exemplo: 3,25 ou 15,25), que tipo de
número é N?
13.
Resolva o problema do Cavalo e do Burro, por meio de tentativas. Justifique
cada passagem de sua resposta.
14.
Resolva o problema do Cavalo e do Burro, equacionando as informações. Justifique suas equações.
15.
Qual é o menor número natural que deixa resto 1, ao ser dividido por 2; resto 2,
ao ser dividido por 3; resto 3, ao ser dividido por 4; resto 4, ao ser dividido por 5; resto
5, ao ser dividido por 6; resto 6, ao ser dividido por 7; resto 7, ao ser dividido por 8 e
resto 8, ao ser dividido por 9?
16.
O seguinte problema agradava extremamente o eminente escritor russo Leon
Tolstoi. Tente resolvê-lo por meio de álgebra e depois por meio de aritmética. Uma
turma de ceifeiros devia ceifar duas roças, uma com o dobro da área da outra. Durante
metade do dia, a turma toda trabalhou na roça grande. Depois do almoço, metade da
turma passou para a roça menor e a outra metade continuou na roça grande. Ao final do
dia de trabalho, todo o trabalho estava feito, com exceção de um pequeno pedaço da
roça pequena. A ceifa deste pedaço ocupou todo o dia seguinte de um ceifeiro sozinho.
Quantos ceifeiros havia na turma?
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12. RESOLVENDO PROBLEMAS
Como equacionar um problema?
Responderemos a essa pergunta, analisando o seguinte problema chinês, de 152
a.C. e fazendo um paralelo entre a linguagem coloquial e a linguagem algébrica:
Nove lingotes de ouro pesam tanto quanto doze lingotes de prata. Se trocarmos um lingote de ouro por um lingote de prata, então entre o peso da prata e o
do ouro haverá uma diferença de 4 unidades. Quanto pesa um lingote de ouro e
um de prata?
EM LÍNGUA PORTUGUESA
EM LINGUAGEM ALGÉBRICA
Peso de um lingote de ouro.
x
Peso de um lingote de prata.
y
Nove lingotes de ouro.
9x
Doze lingotes de prata.
12y
Nove lingotes de ouro pesam tanto quanto
9x = 12y
doze lingotes de prata.
Se trocarmos um lingote de ouro por um lin9x – 1x
gote de prata,
12y + 1y
Então entre o peso da prata e o do ouro ha13y – 8x = 7
verá uma diferença de 7 unidades.
?
x
?
y
Equacionando e resolvendo problemas
A seguir, apresentaremos um problema para equacioná-lo e, depois, resolvê-lo.
Problema:
Qual é o número que multiplicando-se por 2, adicionando-se 12 ao produto
e dividindo-se a soma por 6, obtêm-se como resultado a metade do próprio número?
Equacionando o problema:
EM LÍNGUA PORTUGUESA
EM LINGUAGEM ALGÉBRICA
Qual o número.
x
Multiplicado por 2.
2x
Adicionando-se 12 ao produto.
2x + 12
( 2 x + 12 )
Dividindo a soma por 6
6
x
Metade do próprio número.
2
2
x
+
12
(
)=x
Dá igual a…
6
2
Multiplicando os dois membros da igualdade por 6, obtemos a equação:
2 x + 12 = 3x .
Adicionando-se (–2x) a ambos os membros da igualdade, obtemos a equação:
2x + 12 + (–2x) = 3x + (–2x) ou, equivalentemente, 12 = x. Assim, o número
procurado é 12. Quando resolvemos um problema, é importante verificarmos se o número encontrado é mesmo solução do problema. Façamos isso, agora.
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13. BIBLIOGRAFIA
GUELLI, Oscar. Equação: o idioma da álgebra. Coleção Contando a História da Matemática, vol. 2. São Paulo. Ática, 1992.
IMENES & JAKUBO & LELLIS. Álgebra. Coleção Pra que serve Matemática? São
Paulo. Atual, 1992.
IMENES, L.M. & LELLIS, M. Matemática. São Paulo. Scipione, 1997.
JACOBS, H.R. Geometry. USA. Freeman and Company, 1987.
KARLSON, Paul. A magia dos números. Coleção Tapete Mágico. Porto Alegre. Globo, 1961.
PERELMANN, I. Aprenda álgebra brincando. São Paulo. Hemus, sd.
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14. ANEXOS
14.1. Sudoku
Sudoku é um jogo de raciocínio e lógica. Apesar de ser bastante simples, é divertido e viciante. Basta completar cada linha, coluna e quadrado 3x3 com números de 1
a 9. Não há nenhum tipo de matemática envolvida.
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14.2. Kakuro
O objetivo deste jogo é preencher todos os quadros em branco, usando números
de 1 a 9, sendo que a soma de cada linha deve ser igual ao número indicado à esquerda e
a soma de cada coluna igual ao número que está no topo.
Atenção: Nenhum número pode ser usado mais de uma vez na mesma soma.
Nível Fácil
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Nível Intermediário
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Nível Difícil
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