Variável Aleatória

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
Probabilidade e Estatística
Prof. Dr. Narciso Gonçalves da Silva
http://paginapessoal.utfpr.edu.br/ngsilva
Variáveis Aleatórias
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Variável Aleatória
Variável aleatória (VA) é uma função que associa a cada elemento
do espaço amostral de um experimento aleatório um número real.
Exemplo:
Considere o experimento aleatório E = “Lançar uma moeda não viciada duas
vezes e observar os resultados” e a variável aleatória X = “número de caras que
ocorre no experimento aleatório”
k = cara
c = coroa
(k,k)
(k,c)
Ω = {(k,k), (k,c), (c,k), (c,c)}
X = {0, 1, 2}
(c,k)
(c,c)
Ω
0
1
2
2
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Tipos de Variáveis Aleatória
Variável Aleatória Discreta
Variável aleatória X é dita discreta se o conjunto de valores de X
é finito ou infinito enumerável.
Exemplos:
1) E = “Observar aviões que chegam em determinado aeroporto no período de
um mês”
X = “número de aviões que chegam atrasados”
X = {0, 1, 2, 3, ...}
2) E = “Lançar uma moeda 100 vezes”
X = “número de lançamentos até ocorrer a primeira cara”
X = {1, 2, 3, 4, ... , 100}
3) E = “Observar os estudantes de uma determinada escola”
X = “número de estudantes do sexo feminino”
X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
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Tipos de Variáveis Aleatória
Variável Aleatória Contínua
Variável aleatória X é dita contínua se o conjunto de valores de
X é infinito não enumerável.
Exemplos:
1) E = “Observar um determinado carro de fórmula 1 numa corrida”
X = “distância percorrida por este carro de fórmula 1”
X={x/xϵRex≥0}
2) E = “Observar o atendimento de funcionários de uma empresa”
X = “tempo que um funcionário leva para atender clientes num certo dia”
X = { t / t ϵ R e 0 ≤ t ≤ 24 }
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Função de Probabilidade para Variável Aleatória Discreta
Seja X = {x1, x2, ... , xn} uma variável aleatória discreta.
p(x) é uma função de probabilidade da variável aleatória X se
satisfaz as seguintes condições:
(i) p(xi) ≥ 0 , i = 1, 2, ... ,n
n
(ii)
∑
i=1
p(xi) = 1 , i = 1, 2, ... ,n
(iii) p(xi) = P(X = xi), i = 1, 2, ... ,n
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Distribuição de Probabilidade
É o conjunto de todos os pares ordenados ( xi , p(xi) ) e pode ser
expressa em forma de tabelas, gráficos ou fórmulas.
Exemplo 1
Seja o experimento aleatório E = “lançamento de três moedas não viciadas” e
a variável aleatória X = “número de caras que ocorre”. Montar a distribuição de
probabilidade para a variável aleatória X.
Ω = {(c,c,c), (k,c,c), (c,k,c), (c,c,k),(k,k,c),(k,c,k),(c,k,k),(k,k,k)}
X = {0, 1, 2, 3}
X = xi
P(X = xi)
0
1/8
1
3/8
2
3/8
3
1/8
∑
1
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Exemplo 2
Utilizando o experimento aleatório e a variável aleatória do exemplo anterior
determinar a probabilidade de ocorrer:
a) Exatamente uma cara;
P(X = 1) = 3/8
P(X = 1) = 12,5%
b) No máximo uma cara;
P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1)
P(X ≤ 1) = 1/8 + 3/8
P(X ≤ 1) = 4/8 = 50%
c) Pelo menos duas caras.
P(X ≥ 2) = P(X = 2) + P(X = 3) = 1 – [P(X = 0) + P(X = 1)]
P(X ≥ 1) = 3/8 + 1/8
P(X ≤ 2) = 4/8 = 50%
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Exemplo 3
O número de acidentes em um certo trecho de uma rodovia no período da
noite é uma variável aleatória X discreta com função de probabilidade dada
por P(X = x) = k.(3 – x).(4 – x) com x ϵ {0, 1, 2, 3} e k ϵ R. Determine a
probabilidade de ocorrer no máximo um acidente naquele trecho.
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Função de Probabilidade para Variável Aleatória Contínua
A f(x) é uma função densidade de probabilidade (fdp) para a
variável aleatória contínua X, para todo x ϵ R, se satisfaz as
seguintes condições:
(i) f(x) ≥ 0
+∞
(ii) ∫f ( x )dx = 1
-∞
(iii) P(a < X < b) =
b
∫f (x)dx
a
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Observações:
1) f(x) ≥ 0, para todo x real, significa que o gráfico da função não pode estar
abaixo do eixo das abscissas;
+∞
2)
∫f (x)dx = 1
significa que a área abaixo da função f(x) é igual a 1;
-∞
3) P(a < X < b) significa que a probabilidade da variável aleatória X estar
compreendido entre a e b é a área abaixo da função f(x) no intervalo [ a , b ];
a
4) Como P(X = a) =
∫f (x)dx = 0
a
Então P(a < X < b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b) =
b
∫f (x)dx
a
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Exemplos
1) A função densidade de probabilidade da variável aleatória contínua X é
dada por:
a) Determine o valor de k sabendo que é um número real;
b) Determine P(1 < X ≤ 3).
2) As necessidades de matéria prima por dia (em toneladas) de um
supermercado é uma variável aleatória contínua X com função densidade de
probabilidade dada por:
Determine a probabilidade de num determinado dia o supermercado
necessitar mais de uma tonelada de matéria prima.
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Função de Distribuição Acumulada
Chama-se função de distribuição acumulada de uma variável
aleatória X, para qualquer número real k, indica-se FX(k), a soma
das probabilidades de X = xi que são menores ou iguais a k, ou
seja:
• FX(k) = P(X ≤ k) se X é variável aleatória discreta
• FX(k) =
se X é variável aleatória contínua
Exemplos
1) Considerando a variável aleatória X sendo o número de caras que ocorre
no lançamento de três moedas não viciadas determine FX(2).
2) Determine a função de distribuição acumulada para a fdp do exemplo 2 do
slide anterior.
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Esperança Matemática, Expectância ou Média
A esperança matemática E(X) de uma variável aleatória X é uma
medida que posiciona o centro de uma distribuição de
probabilidade definida por:
n
• E( X ) = ∑ xi .p( xi ) se X é uma variável aleatória discreta
i=1
+∞
• E( X ) =
∫ x.f ( x)dx
se X é uma variável aleatória contínua
-∞
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Propriedades da Esperança Matemática
P1) Se a ϵ R então E(a) = a
P2) E(X ± Y) = E(X) ± E(Y)
P3) Se a ϵ R e b ϵ R então E(aX + b) = a.E(X) + b
P4) E(X.Y) = E(X).E(Y) se X e Y são variáveis aleatórias
independentes
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Exemplo 1:
Considere um jogo no qual três moedas não viciadas são
lançadas e o jogador recebe R$ 2,00 por cada cara que ocorrer.
Quanto o jogador espera ganhar após uma jogada?
Número de caras
xi = valor a ser recebido
p(xi )
0
0
1/8
1
2
3/8
2
4
3/8
3
6
1/8
Total
-
1
4
E( X ) = ∑ xi.p( xi )
i=1
E(X) = 0.1/8 + 2.3/8 + 4.3/8 + 6.1/8 = R$ 3,00
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Exemplo 2:
Determinar a esperança matemática da variável aleatória
contínua X com função densidade de probabilidade dada por:
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Variância
Variância V(X) de uma variável aleatória X é definida por:
n
2
• V( X ) = ∑ [ xi - E( X )] .p( xi )
i=1
se X é uma VA discreta
+∞
• V( X ) =
2
[
x
E
(
x
)]
.f ( x )dx se X é uma VA contínua
∫
-∞
Observação:
Raiz quadrada da variância é o desvio-padrão
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Propriedades da Variância
P1) Se a ϵ R então V(a) = 0
P2) Se a ϵ R então V(X + a) = V(X)
P3) Se a ϵ R então V(aX) = a²V(X)
P4) V(X) = E(X²) – [E(X)]²
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Exemplo 1
Uma urna tem 6 bolas brancas e duas verdes. Três bolas são
retiradas sem reposição. Considere a variável aleatória X sendo
o número de bolas verdes retiradas. Determine o desvio-padrão
da variável aleatória X.
Exemplo 2
Determine a variância da variável aleatória contínua X dada pela
função densidade de probabilidade:
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