Geometria Analítica e Álgebra Linear
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Geometria Analítica e Álgebra Linear 1 Geometria Analítica e Álgebra Linear Alex Nogueira Brasil Faculdade de Engenharia Mecânica Universidade de Itaúna http://www.alexbrasil.eng.br [email protected] 01 de fevereiro de 2010 Geometria Analítica e Álgebra Linear Copyright 2010 by Alex Nogueira Brasil Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio sem a prévia autorização do autor. 01 de fevereiro de 2010 Alex N. Brasil Geometria Analítica e Álgebra Linear 2 Conteúdo Prefácio 1. O Plano Coordenado A Reta Real O Plano Coordenado Coeficientes Angulares e Equações de Retas Exercícios Numéricos 2. Matrizes Introdução Definição, Conceitos e Operações Básicas Matrizes Especiais Operações Complementares e Propriedades Notação de Somatório Exercícios Numéricos Exercícios usando o MatLab 3. Sistemas Lineares Método de Gauss-Jordam Matrizes Equivalentes por Linhas Sistemas Lineares Homogêneos Exercícios Numéricos Exercícios usando o MatLab 4. Inversão de Matrizes e Determinantes Matriz Inversa Propriedades da Inversa Método para Inversão de Matrizes Sistemas Lineares e Inversas Exercícios Numéricos Exercícios usando o MatLab Determinantes Propriedades do Determinante Desenvolvimento em Cofatores e Aplicações Exercícios Numéricos Exercícios usando o MatLab 5. Vetores Vetores no Plano e no Espaço Soma de Vetores e Multiplicação por Escalar Produto de Vetores Norma Produto Escalar 01 de fevereiro de 2010 Alex N. Brasil Geometria Analítica e Álgebra Linear 3 Projeção Ortogonal Produto Vetorial Produto Misto Exercícios Numéricos Exercícios usando o MatLab 6. Retas e Planos Equações de Retas e Planos Equações da Reta Equação do Plano Ângulos, Distâncias e Posições Relativas Ângulo entre Retas Ângulo entre Planos Distância entre Dois Pontos Distância de Um Ponto a Um Plano Distância de Um Ponto a Uma Reta Distância entre Dois Planos Distância entre Duas Retas 7. Autovalores e Autovetores Diagonalização Matrizes Semelhantes Diagonalização de Matrizes Simétricas Aplicação na Identificação de Cônicas Elipse Hipérbole Parábola Apêndice I: Introdução ao MatLab Bibliografia Respostas dos Exercícios Índice Alfabético 01 de fevereiro de 2010 Alex N. Brasil Geometria Analítica e Álgebra Linear 4 Prefácio Ao Estudante. “Nos cursos de matemática do 2 grau, a maioria dos estudantes está acostumada a tentar resolver primeiro os exercícios para casa, com impaciência, para terminar toda a tarefa penosa o mais rapidamente possível. Esses estudantes lêem as explicações do texto apenas como último recurso. Este é o oposto grotesco do procedimento razoável e tem tanto sentido quanto tentar pôr os sapatos antes das meias”. Minha sugestão é que vocês leiam primeiro o texto e quando este estiver totalmente assimilado então e só então passem para os exercícios de casa. Este texto cobre o material para um curso de um semestre de Geometria Analítica e Álgebra Linear ministrado nos primeiros semestres para estudantes da área de Ciências Exatas. O texto pode, mas não é necessário, ser acompanhado do programa MATLAB*. O conteúdo é dividido em sete capítulos. O Capítulo I faz uma revisão do segundo grau mostrando o plano coordenado. Os Capítulos II e III tratam das matrizes e sistemas lineares. Aqui todas as propriedades da álgebra matricial são demonstradas. A resolução de sistemas lineares é feita usando somente o método Gauss-Jordam (transformando a matriz até que ela esteja na forma escalonada reduzida). Este método requer mais trabalho do que o método de Gauss (transformando a matriz, apenas, até que ela esteja na forma escalonada). Ele foi o escolhido, por que também é usado no estudo da inversão de matrizes no Capítulo IV. Neste Capítulo é também estudado o determinante, que é definido usando cofatores. O Capítulo V trata de vetores no plano e no espaço. Os vetores são definidos de forma geométrica, assim como a soma e a multiplicação por escalar. São provadas algumas propriedades geometricamente. Depois são introduzidos sistemas de coordenadas de forma natural sem a necessidade da definição de base. Os produtos escalar e vetorial são definidos também geometricamente. O capítulo VI trata de retas e planos no espaço. São estudados ângulos e distâncias entre retas e planos. O Capítulo VII traz um estudo da diagonalização de matrizes em geral e a diagonalização de matrizes simétricas através de uma matriz ortogonal. É feita uma aplicação ao estudo das seções cônicas. O MATLAB é um software destinado a fazer cálculos com matrizes (MATLAB = MATrix LABoratory). Os comandos do MATLAB são muito próximos da forma como escrevemos expressões algébricas, tornando mais simples o seu uso. Podem ser incorporados às rotinas pré-definidas, pacotes para cálculos específicos. Usaremos um pacote chamado gaal com funções que são direcionadas para o estudo de Geometria Analítica e Álgebra Linear. 01 de fevereiro de 2010 Alex N. Brasil Geometria Analítica e Álgebra Linear 5 1. O Plano Coordenado A Reta Real Um número real é ou um número positivo, ou um número negativo ou zero. Qualquer número real pode ser classificado como racional ou irracional. Um número racional é qualquer número que pode ser expresso como a razão de dois inteiros. Isto é, um número racional é um número da forma p q , onde p e q são inteiros e q 0 . Sistema de números reais Inteiros , –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, Racionais 2 7 1 , , 4, 0, –5, 3, 87, 2 3 4 4 Irracionais 13 1,732 , 2 , 3,14159 Obs.: um número real que não é racional é denominado irracional, sendo estes, os decimais infinitos não periódicos. Quadro 1.1 Obs.: Para todo número positivo a, o símbolo a significa sempre a raiz quadrada positiva. Assim, 4 é igual a 2 e não a –2, embora (2) 2 4 . Se desejamos designar ambas as raízes quadradas de 4, devemos escrever 4 . O adjetivo “real” foi originalmente utilizado para distinguir esses números de números tais como 1 , que foram no passado encarados como “irreais” ou “imaginários”. Descrevemos números complexos como todas as expressões formais a bi , onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária para a qual i 2 1 então, 1 0 1 i i . Fig. 1.1 01 de fevereiro de 2010 Alex N. Brasil Geometria Analítica e Álgebra Linear 6 Desigualdades Regras: 1. Se a 0 e b c , então ab ac ; 2. Se a 0 e b c , então ab ac ; 3. Se a b , então a c b c para qualquer número c. Valores Absolutos O valor absoluto de x ou módulo de x, denotado por | x | , é definido por x se x 0 | x | x se x 0 Fig. 1.2 d ( A, B ) | b a | Não precisa preocupar com a ordem da subtração Ex.: 1.1 | 3 | 3 | 5 | (5) 5 É claro que a operação de formar o valor absoluto mantém inalterados os números positivos e troca cada número negativo pelo número positivo correspondente. Em termos geométricos, o valor absoluto de um número x é simplesmente a distância do ponto x à origem. Intervalos Um intervalo é simplesmente um segmento da reta real. Se suas extremidades são os números a e b, então o intervalo consiste em todos os números que estão entre a e b. No entanto, podemos querer incluir ou não as próprias extremidades como parte do intervalo. a xb a xb x a x ou ou ou ou a, b a, b , a , intervalo aberto intervalo fechado Do ponto de vista estrito, as notações a x b e a, b têm significados diferentes – a primeira representa uma restrição imposta sobre x, enquanto que a segunda denota um conjunto –, mas ambas designam o mesmo intervalo. 01 de fevereiro de 2010 Alex N. Brasil Geometria Analítica e Álgebra Linear Ex.: 1.2 Resolver a desigualdade x 3 x x3 x 0 x( x 2 1) 0 x( x 1)( x 1) 0 para para para para Ex.: 1.3 x 1 1 x 0 0 x 1 x 1 x0 x 1 x 1 – + – + somar 2 em todos os membros 3 1, ou R.: 2,4 Resolva para x: | 3x 2 | 5 3 x 2 5 3 x 7 x 7 3 x 1 7 R.: x 3 2 x 1 (4 x 3) 6 x 2 x 2 1 R.: x 3 | 2 x 1 | | 4 x 3 | 2x 1 4x 3 2x 4 Ex.: 1.7 R.: 1,0 1 R.: 3, 3x 2 5 3x 3 x 1 Ex.: 1.6 1 Encontre todos os números reais que satisfazem a desigualdade 4 3 x 2 10 4 3 x 2 10 6 3 x 12 2x4 Ex.: 1.5 Encontre todos os números reais que satisfazem a desigualdade 2 3 x 5 x 8 3x 5 x 6 2x 6 x 3 Ex.: 1.4 7 | 5 x 4 | 3 R.: Desde que o valor absoluto de um número nunca pode ser negativo, esta equação não tem solução. 01 de fevereiro de 2010 Alex N. Brasil Geometria Analítica e Álgebra Linear 8 O Plano Coordenado 2 quadrante (ordenada) Eixo y Assim como os números reais são utilizados como coordenadas para pontos de uma reta, pares de números reais podem ser utilizados como coordenadas para pontos de um plano. Cada par ordenado x, y chama-se um ponto no plano numérico. 1 quadrante Eixo x (abscissa) Origem 3 quadrante 4 quadrante Plano xy ou Plano Coordenado Fig. 1.3 Os eixos dividem o plano em quatro regiões denominadas quadrantes, cuja identificação é feita no sentido anti-horário. Esses quadrantes são caracterizados pelos sinais de x e y. 1 quadrante, 2 quadrante, 3 quadrante, 4 quadrante, x0 x0 x0 x0 e e e e y0 y0 y0 y0 A Fórmula da Distância Utilizaremos o teorema de Pitágoras para demonstrar a fórmula da distância. Teorema de Pitágoras: “Em todo triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa”. Fig. 1.4 01 de fevereiro de 2010 Alex N. Brasil Geometria Analítica e Álgebra Linear 9 Então, a área do quadrado maior é igual a quatro vezes a área do triângulo mais a área do quadrado menor; isto é, a b 2 4 1 a b c 2 a2 b2 c2 2 2 2 a 2ab b 2ab c 2 Pelo Teorema de Pitágoras podemos deduzir a fórmula da distância entre dois pontos quaisquer do plano coordenado. Tomamos como referência os pontos P1 x1 , y1 e P2 x 2 , y 2 . d = hipotenusa | x1 x 2 | = cateto | y1 y 2 | = cateto Fig. 1.5 d P1 , P2 | x | 2 | y | 2 2 d P1 , P2 | x 2 x1 | 2 | y 2 y1 | 2 2 d P1 , P2 x 2 x1 y 2 y1 2 2 2 d P1 , P2 Ex.: 1.8 x 2 x1 2 y 2 y1 2 A distância d entre os pontos 4,3 e 3,2 é: d 3 (4)2 (2 3) 2 01 de fevereiro de 2010 d 74 Alex N. Brasil Geometria Analítica e Álgebra Linear Ex.: 1.9 10 Sabe-se que o ponto Pa,2 é eqüidistante dos pontos A3,1 e B2,4 . Calcular a abscissa do ponto P. d P , A d P , B 3 a 2 1 22 2 a 2 4 22 a 1 9 6a a 2 1 4 4a a 2 4 2 a 2 Ex.: 1.10 Se o ponto P x, y é tal que sua distância do ponto A3,2 é sempre duas vezes a sua distância de B 4,1 , encontre uma equação que deve ser satisfeita pelas coordenadas de P. d P, A 2 d P , B x 32 y 22 2 x 42 y 12 2 2 x 32 y 2 2 2 x 4 2 y 12 2 2 2 2 x 6 x 9 y 4 y 4 4 x 8 x 16 y 2 y 1 3x 3 y 38 x 4 y 55 0 2 2 Ex.: 1.11 Demonstre que o triângulo com vértices P1 1,3 , P2 5,1 e P3 2,10 é isósceles. d P1 , P2 d P1 , P3 d P2 , P3 5 12 1 32 40 2 12 10 32 170 5 22 1 102 170 Portanto, d P1 , P3 d P2 , P3 Conseqüentemente, o triângulo é isósceles. Ex.: 1.12 Demonstre analiticamente que os comprimentos das diagonais de um retângulo são iguais. | OB | a 02 b 02 a2 b2 | AC | a 02 0 b 2 a2 b2 Portanto, | OB | | AC | 01 de fevereiro de 2010 Alex N. Brasil Geometria Analítica e Álgebra Linear 11 As Fórmulas do Ponto Médio x 1 x1 x2 2 y 1 y1 y 2 2 Fig. 1.6 Sendo P x, y o ponto médio, então, x é o ponto médio da projeção do segmento sobre o eixo x. x x1 1 x2 x1 2 x 1 x1 x2 2 y y1 1 y 2 y1 2 y 1 y1 y 2 2 Ex.: 1.13 Uma das extremidades de um segmento é o ponto A13,19 . Sendo M 9,30 o ponto médio do segmento, calcular as coordenadas do ponto B, que é a outra extremidade do segmento. xM x A xB 2 yM y A yB 2 9 13 x B 2 30 19 y B 2 x B 31 y B 41 Ex.: 1.14 Em todo triângulo, o segmento que une os pontos médios de dois lados é paralelo ao terceiro lado e tem a metade de seu comprimento. 01 de fevereiro de 2010 Alex N. Brasil Geometria Analítica e Álgebra Linear 12 ab b a 2 2 2 O comprimento do segmento é simplesmente a diferença ente as coordenadas x de suas extremidades. Coeficientes Angulares e Equações de Retas Inclinação Seja o ângulo que a reta forma com o eixo x, medido no sentido antihorário. A medida do ângulo é chamada inclinação da reta r. Coeficiente Angular ou Declividade Fig. 1.7 A toda reta não-vertical está associado um número que especifica sua direção, denominado coeficiente angular ou declividade; que expressa a tangente trigonométrica de sua inclinação . m tg Coeficiente angular Fig. 1.8 0 90 tg 0 ; m 0 01 de fevereiro de 2010 90 180 tg 0 ; m 0 90 tg não é definida 0 tg 0 ; m 0 Alex N. Brasil Geometria Analítica e Álgebra Linear 13 Cálculo do Coeficiente Angular m tg tg m cat. op. cat. adj. y 2 y1 x 2 x1 Fig. 1.9 Escolhemos dois pontos distintos da reta, digamos P1 ( x1 , y1 ) e P2 ( x 2 , y 2 ) . Então, o coeficiente angular é denotado por m e definido como sendo a razão m y 2 y1 x 2 x1 m permanece inalterado se invertermos a ordem de subtração no numerador e no denominador. Desta forma, torna-se evidente que uma reta vertical não tem coeficiente angular pois, não podemos dividir por zero. De acordo com a figura 1.9 notamos que: se a declividade de uma reta é positiva, então quando a abscissa de um ponto da reta cresce, a ordenada cresce. Para esta reta, se a declividade é negativa, quando a abscissa de um ponto da reta cresce, a ordenada decresce. Equações de uma Reta xa Uma reta vertical caracteriza-se pelo fato de que todos os seus pontos têm a mesma coordenada x. Fig. 1.10 m y 2 y1 x2 x1 (1.1) Sendo P ( x, y ) um ponto qualquer da reta exceto ( x1 , y1 ) , a declividade também é dada por: Fig. 1.11 01 de fevereiro de 2010 m y y1 x x1 (1.2) Alex N. Brasil Geometria Analítica e Álgebra Linear 14 O ponto P está sobre a reta que passa por P1 e P2 se e somente se o valor de m da Eq. (1.1) for o mesmo que o valor de m da Eq. (1.2). y y1 y 2 y1 x x1 x 2 x1 sendo m y y1 y 2 y1 x2 x1 y 2 y1 x x1 x 2 x1 (1.3) y y1 m x x1 (1.4) Equação da reta Equação Reduzida da Reta Se escolhemos o ponto particular (0, b) (isto é, o ponto onde a reta intercepta o eixo dos y) para o ponto ( x1 , y1 ) , temos: y b m x 0 y mx b y mx b forma denominada equação reduzida da reta. (1.5) coeficiente linear coeficiente angular Equação Geral da Reta Toda reta possui uma equação da forma Ax By C 0 , onde A e B não são ambos nulos, que é chamada equação geral da reta. Ax By C 0 A e B não são ambos nulos. (1.6) Se B 0 , então A 0 , e a equação pode ser escrita como x C A que é, equivalente, a equação de uma reta vertical. y Por outro lado, se B 0 , então: y mx b , onde: m A B A C x B B e b e essa equação tem a forma C B Ex.: 1.15 Dada a reta que tem a equação 3 x 4 y 7 , encontre a declividade da reta. Resolvendo para y temos: 01 de fevereiro de 2010 4 y 7 3x 3 7 y x 4 4 m 3 4 b7 4 Alex N. Brasil Geometria Analítica e Álgebra Linear 15 Ex.: 1.16 O ponto (2,3) divide ao meio aquela porção de uma reta que é delimitada pelos eixos coordenados. Encontre a equação da reta. Pelas fórmulas do ponto médio temos: 0a 2 a4 x y 1 (12) 4 6 2 ; b0 2 b2 3 3 x 2 y 12 Ex.: 1.17 Dadas as retas r1 com a equação 2 x 3 y 12 , e r2 com a equação 4 x 3 y 6 , trace um esboço de cada uma das retas. Encontre as coordenadas do ponto de intersecção de r1 e r2 . 1 - Encontramos os interceptos a e b, ou seja, substituímos y por 0 e obtemos b. substituímos x por 0 e obtemos a. 3 y 2 x 12 2 y x4 3 3y 6 4x 4 y x2 3 Para encontrarmos as coordenadas do ponto de intersecção de r1 e r2 , resolvemos as duas equações simultaneamente. Suas coordenadas devem satisfazer ambas as equações, pois, o ponto pertence às duas retas. 2 4 x 4 x 2 3 3 x3 2x 6 Então, o ponto de intersecção é: 2 x 3 y 12 y 4 x6 01 de fevereiro de 2010 3 y 2 3 12 y 2 3 y 6 12 3,2 4x 3 y 6 y2 x3 2 x0 y0 Alex N. Brasil Geometria Analítica e Álgebra Linear 16 Ex.: 1.18 Demonstre por meio de declividades que os quatro pontos A6,2 , B8,6 , C 4,8 e D2,4 são os vértices de um retângulo. m1 = declividade de AB 62 86 m1 2 m2 = declividade de BC 86 48 m2 m3 = declividade de DC 84 42 m3 2 m4 = declividade de AD 42 26 m4 Uma vez que: 1 2 1 2 m1 m3 AB // DC m2 m4 BC // AD m1 m2 1 AB BC Ex.: 1.19 Dada a reta r com a equação 2 x 3 y 5 0 , encontre a equação da reta perpendicular a r e que passa pelo ponto A 1,3 . 3 y 2 x 5 2 5 y x 3 3 Perpendicularidade: y mx b m1 m2 1 1 m1 m2 m 2 3 m1 3 2 3 x 1 2 2 y 6 3x 3 3x 2 y 9 0 y 3 y y1 m x x1 01 de fevereiro de 2010 Alex N. Brasil Geometria Analítica e Álgebra Linear 17 Exercícios Numéricos 1.1. Encontre todos os números reais que satisfazem a desigualdade. Dê o intervalosolução e ilustre a solução sobre a reta numérica. (a) x 2 4 (b) 1 x 2 x 2 0 (c) 3x 4 2 1.2. Resolva para x: 7x 4 x R.: ,2 e 2, R.: 1,1 2 R.: 2 3 ,2 R.: x 1 2 , x 2 3 1.3. Encontre todos os valores de x para os quais o número é real: x 2 5x 4 R.: ,1 e 4, 1.4. Demonstre que o triângulo com vértices A(3,-6), B(8,-2) e C(-1,-1) é um triângulo retângulo. Encontre a área do triângulo. (Sugestão: Use a recíproca do Teorema de Pitágoras). 1.5. Os pontos (2,-2) e (-6,5) são as extremidades do diâmetro de um círculo. Ache o centro e o raio do círculo. R.: c 2, 3 2 , r 1 2 113 1.6. Prove que o triângulo cujos vértices são os pontos A(0,5), B(3,2) e C(-3,2) é isósceles e calcule o seu perímetro. 1.7. Assinale cada um dos seguintes pares de pontos, desenhe a reta que eles determinam e calcule seu coeficiente angular: (a) (-3,1), (4,-1); (b) (-5,2), (7,2); (c) (2,7), (-1,-1). R.: m 2 7 R.: m 0 R.: m 8 3 1.8. Assinale cada um dos seguintes conjuntos de três pontos e utilize os coeficientes angulares para determinar, em cada caso, se os pontos formam um triângulo retângulo: (a) (2,-3), (5,2), (0,5); (b) (8,2), (-1,-1), (2,-7). R.: sim R.: não 1.9. Ache a equação da reta: (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) Que passa por (2,-3) e tem coeficiente angular – 4; Que passa por (-4,2) e (3,-1); Que tem coeficiente angular 2/3 e coeficiente linear – 4; Que passa por (2,-4) e é paralela ao eixo x; Que passa por (1,6) e é paralela ao eixo y; Que passa por (4,-2) e é paralela a x 3 y 7 ; Que passa por (-4,3) e é paralela à reta determinada por (-2,-2) e (1,0); Que passa por (-2,3) e tem inclinação 135º. 01 de fevereiro de 2010 Alex N. Brasil
