Resumo de Geometria Analítica – Parte I О Sistema cartesiano

Resumo de Geometria Analítica – Parte I
Pré/3º Ano
 Sistema cartesiano ortogonal
É constituído por duas retas, x e y, perpendiculares entre si.
Em que:
- A reta x é chamada eixo das abscissas;
- A reta y é a chamada eixo das ordenadas;
- O ponto O é chamado origem;
- O número a é denominado abscissa de P;
- O número real b é denominado ordenada de P;
- O par ordenado (a, b) representa as coordenadas de P.
 Distância entre dois pontos
A distância entre dois pontos A e B de coordenadas a e b, respectivamente é dado por:
d(A,B)  b  a
Em que d(A, B) é a distância entre A e B. O número real não-negativo d(A,B) é denominado, também,
comprimento do segmento AB.
 Distância entre dois pontos no plano
A distância entre os pontos A  x A , y A  e B  xB , yB  é dada por:
d(A,B) 
[email protected]
 xB  x A 
2
  yB  y A 
2
1
Resumo de Geometria Analítica – Parte I
Pré/3º Ano
 Ponto Médio de um segmento
O ponto médio do segmento AB, sendo A  x A , y A  e B  xB , yB  é dado por:
 x  xB y A  yB 
M  xM , y M   M  A
,

2
2


 Coordenadas do baricentro de um triângulo
O baricentro de um triângulo ABC de coordenadas A  x A , y A  , B  xB , yB  e C  xC , yC  é dado por:
 x  xB  x C y A  y A  y A 
G  xG , yG   G  A
,

3
3


 Alinhamento de três pontos
Sejam os pontos da figura:
A  x A , y A 
xA


B  xB , yB   D  xB

xC

C  xC , y C 
-D=0
-D 0
yA
yB
yC
1
1
1
A, B e C são colineares, isto é, estão alinhados.
A, B e C são os vértices de um triângulo.
[email protected]
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Resumo de Geometria Analítica – Parte I
Pré/3º Ano
 Estudo da reta
(i) Equação geral
x
xA
xB
y
yA
yB
1
1  ax  by  c  0
1
Em que:
a  y A  yB

b  x A  xB
c  x y  x y
A A
B B

Observações:
c

a  0  y   b reta horizontal

c

reta vertical
`
b  0  y  
a

c  0  ax  by  0 reta passa pela origem


O coeficiente angular ou declividade m da reta é dado por:
tg  m  m 
(ii)
yB  y A
a

xB  x A
b
Reta que passa por um ponto dado e a declividade conhecida
Seja a reta r que passa por A  x A , y A  e com declividade m; então:
y  yA  m  x  xA 
(iii)
Equação reduzida
A equação reduzida da reta r da figura é dada por:
y  mx  b
b é o chamado coeficiente linear.
[email protected]
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Resumo de Geometria Analítica – Parte I
Pré/3º Ano
(iv) Equação segmentária
A equação segmetária da reta r que passa pelos pontos A(a, 0) e B(0, b) da figura é dada por:
x y
 1
a b
(v) Equação paramétrica
São equações que não relacionam diretamente entre si as coordenadas x e y. Essas equações são
dadas em função de uma terceira variável t, chamada parâmetro.
 Posição relativas entre duas retas
reta r : yr  mr x  br
Sejam as retas : 
reta s : y s  ms x  bs
mr  ms  r e s são concorrentes.
mr  ms e br  bs  r e s são paralelas e dist int as.
mr  ms e br  bs  r e s são paralelas e coincidentes.
mr  
[email protected]
1
 r e s são perpendiculares.
ms
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Resumo de Geometria Analítica – Parte I
Pré/3º Ano
 Ângulos entre duas retas
Sejam as retas r1 e r2 indicadas nas figuras seguintes. O ângulo agudo  entre elas é tal que:
tg 
tg 
m2  m1
1  m1  m2
1
m1
 Distância entre ponto e reta
Dados um ponto P(xP, yP) e uma reta r de equação ax + by + c = 0, a distância entre P e r é dada por:
d P,r  
axP  byP  c
a2  b2
 Área de um triângulo
1
S D
2
[email protected]
com
xA
D  xB
xC
yA
yB
yC
1
1
1
5