TRIÂNGULOS PROFESSOR: JARBAS

TRIÂNGULOS
PROFESSOR: JARBAS
Definição [ Triângulos ]
Dados três pontos A, B e C, não
colineares, chamamos triângulo ABC e
indicamos por
ABC, à reunião dos
segmentos AB, BC e AC.
A
b
c
B
a
C
[ Classificação dos triângulos ]
Essa classificação é feita observando-se
dois critérios:
(1 ) Lados:
(2 ) Ângulos:
* Escaleno
* Retângulo
* Isósceles
* Acutângulo
* Equilátero
* Obtusângulo
[ Classificação dos triângulos ]
[ Escaleno ]
Todos os
diferentes.
lados
possuem
x
y, x
z, y
A
z
x
B
y
medidas
C
z
[ Classificação dos triângulos ]
[ Isósceles ]
Possui dois lados com medidas iguais
(consequentemente, os ângulos da base
BC são iguais).
A
x
B
x
y
C
[ Exemplo ]
Se o
ABC é isósceles de base BC,
determine x e y.
A
x 45
y
2 x 40
B
C
[ Solução ]
Sabemos que os ângulos da base são
iguais, logo,
A
y
2 x 40
B
x 45
y
C
[ Solução ]
Assim y + x + 45
y + x = 135 (1)
= 180
e obtemos
Da mesma forma y + 2x - 40 = 180 ,
obtemos então y + 2x = 220 (2)
Resolvendo o sistema formado pelas
equações (1) e (2) encontramos;
x = 85 e y = 50
[ Classificação dos triângulos ]
[ Equilátero ]
Todos os lados possuem a mesma medida
(consequentemente, os ângulos também):
A
60
B
x
x
60
60
x
C
[ Classificação dos triângulos ]
[ Observação ]
No triângulo equilátero a altura divide a
base BC em duas partes iguais:
A
x
B
x
h
x
2
.
H
60
x
C
2
De fato observando o triângulo AHC e
utilizando
uma
das
relações
trigonométricas temos:
A
cos 60
x
x
h
.
B
y
x
H
1
2
60
y
C
y
y
x
x
2
Podemos deduzir também a fórmula da
altura deste triângulo:
No AHC :
A
x
B
x
h
x
2
h
.
H
60
C
x
2
x
2
2
2
x2
h2
x2
h2
3x 2
4
h
x 3
2
x2
4
[ Exemplo ]
Num triângulo isósceles, de perímetro 32
cm, a altura relativa à base vale 8 cm.
Calcule
as
medidas
dos
lados
congruentes.
A
8
.
B
H
C
A
x
x
8
.
B
H
C
[ Solução ]
Fazendo AB = AC = x, vem:
BC = 32 − 2x
Como H é o ponto médio de BC, temos:
BH = HC = 16 − x
A
No
x
B
x
8
x H
16 x
2
x
2
32 x 320
.
16
8
2
AHC :
16
x
C
Portanto, AB = AC = 10 cm.
x 10
[ Classificação dos triângulos ]
[ Retângulo ]
Possui um ângulo reto.
A
B
.
C
[ Classificação dos triângulos ]
[ Acutângulo ]
Possui todos os ângulos agudos.
A
0
B
C
,
,
90
[ Classificação dos triângulos ]
[ Obtusângulo ]
Possui um ângulo obtuso.
A
B
C
90
180
[ Definições Importantes ]
Mediana de um triângulo − é um
segmento que une um vértice ao ponto
médio do lado oposto.
A
AM 1 mediana do lado BC
AM1 mediana do vertice A
B
M1
C
[ Definições Importantes ]
Bissetriz interna de um triângulo − é o
segmento que une um vértice ao lado
oposto e que divide o ângulo desse vértice
em dois ângulos congruentes.
AS1 bissetriz do lado BC
A
AS1 bissetriz do vertice A
B
S1
C
BAS1
C AS1
[ Teorema Importante ]
Teorema do ângulo externo − Dado um
ABC um ângulo externo deste triângulo
é sempre maior que qualquer um dos
ângulos internos não adjacentes.
A
B
C
Em particular temos que
A
180
B
Agora como
180
C
180
Exemplo:
(UFMG) Na figura, AC = CB = BD e A = 25o. O ângulo x mede:
a) 50o
b) 60o
c) 70o
o
d)
75
X
e) 80o
[ Observação ]
(1) Ao maior lado opõe-se o maior ângulo,
(2) Em todo triângulo, cada lado é menor
que
a
soma
dos
outros
dois
(desigualdade triangular), ou seja:
a b c
A
b a c
b
c
c a b
B
a
C
[ Exemplo ]
Na figura abaixo, r é a bissetriz do ângulo
AÔC. Se α = 40 e β = 30 , qual o valor de
γ?
O
.
A
H
r
C
O
.
A
H
r
C
[ Solução ]
Como α + β = 70 , temos AÔC=110 e,
como r é bissetriz, m(rÔC) = m(rÔA)=55 .
Por outro lado observando o AOH temos
que AÔH = 50 , mas como AÔH + γ = 55 ,
logo temos γ = 5 .
[Congruência de Triângulos]
A idéia de congruência: duas figuras
planas são congruentes quando têm a
mesma forma e as mesmas dimensões
(isto é, o mesmo tamanho).
Para escrever que dois triângulos ABC e
DEF são congruentes, usaremos a
notação:
ABC
DEF
Consideremos os triângulos abaixo:
C
A
B
T
R
S
Existe congruência entre os lados:
AB e RS, BC e ST, CA e TR
e entre os ângulos:
AeR,BeS,CeT
Daí, o triângulo ABC é congruente ao
triângulo RST. Escrevemos:
ABC
RST
Dois triângulos são congruentes, se os
seus
elementos
correspondentes
são
ordenadamente congruentes, isto é, os
lados
correspondentes
e
os
ângulos
correspondentes dos triângulos têm as
mesmas medidas.
Para verificar se dois triângulos são
congruentes, não é necessário conhecer a
medida de todos os elementos. Basta
conhecer três elementos, entre os quais
esteja presente pelo menos um lado.
[ LLL (Lado, Lado, Lado) ] Os três lados
são conhecidos.
Se dois triângulos têm, ordenadamente,
os três lados congruentes, então eles são
congruentes. Observe que os elementos
congruentes têm a mesma marca.
T
R
C
S
A
B
[ LAL (Lado, Ângulo, Lado) ] Dados dois
lados e um ângulo.
Se dois triângulos têm ordenadamente
congruentes
dois
compreendido,
congruentes.
lados
então
e
o
ângulo
eles
são
T
R
C
S
A
B
[ ALA (Ângulo, Lado, Ângulo) ] Dados
dois ângulos e um lado.
Se dois triângulos têm ordenadamente
congruentes um lado e os dois ângulos a
ele
adjacentes,
congruentes.
então
eles
são
T
R
C
S A
B
[ LAAo (Lado, Ângulo, Ângulo oposto) ]:
Conhecido um lado, um ângulo e um
ângulo oposto ao lado.
Se dois triângulos têm ordenadamente
congruentes
um
lado,
um
ângulo
adjacente e o ângulo oposto a esse lado
então eles são congruentes.
T
R
C
S
A
B
[ Exemplo 1 ]:
Na figura, o triângulo ABC é congruente
ao triângulo DEC. Determine o valor de x
E
e y.
2x + 10
5y
A
3x
y + 48
.
.
C
B
D
[Solução]:
E
2x + 10
5y
A
3x
y + 48
..
D
C
B
Como os triângulos ABC e
DEC são congruentes (nessa
ordem de elementos),
Temos que 3x = 2x + 10 e
5y = y + 48 , logo,
x = 10 e y = 12 .
[Proposição 1] A soma das medidas de
quaisquer dois ângulos internos de um
triângulo é menor que 180 .
[Demonstração]
Sabemos
que
a
soma
dos
ângulos
internos de um triângulo é 180 , logo, a
soma de dois deles é menor que 180 .
[Corolário 1]
Todo triângulo possui pelo menos dois
ângulos internos agudos.
Dois triângulos que têm os mesmos
ângulos NÃO são, necessariamente
congruentes.
CONTEÚDOS
• Triângulos
Definição
Critérios de semelhança
Exemplos
Definição [ Semelhança de Triângulos ]
Dois triângulos são semelhantes se, e
somente se, possuem os três ângulos
ordenadamente congruentes e os lados
correspondentes
(homólogos)
proporcionais.
A
A'
B'
c
b'
c'
a'
b
C'
B
a
C
A
A'
b
c
B
a
c'
A' B 'C '
B'
C
A
ABC
b'
C'
a'
A'
a
B B' e
a'
b
b'
C C'
onde k é a razão de semelhança.
c
c'
k
[ Exemplo 1 ]
Os triângulos ABC e A’B’C’ da figura
abaixo são semelhantes. Se a razão de
semelhança do 1 para o 2 é 3/2,
determine:
(1) Os lados do
ABC,
(2) A razão entre seus perímetros.
A
A'
b
c
B
a
12
10
C
B'
14
C'
[ Solução ]
Utilizando a razão de semelhança temos
a
14
b
12
c
10
3
2
a
14
3
2
b 3
12 2
c 3
10 2
a
21
b 18
c 15
[ Solução ]
Dessa forma o perímetro do
ABC é
54 u.c. Verificando a razão entre os
perímetros desses triângulos temos:
2 p ABC
2 p A' B 'C '
54
36
3
2
A razão entre os perímetros é igual à razão
de semelhança entre eles.
[ Teorema Fundamental ]
Se uma reta é paralela a um dos lados de
um triângulo e intercepta os outros dois
em pontos distintos, então o triângulo que
ela determina é semelhante ao primeiro.
A
DE // BC
D
B
E
C
ADE
ABC
[ Exemplo 2 ]
Se as retas DE e BC são paralelas,
determine o valor de x.
A
6
D
3
B
E
8
x
C
[ Solução ]
Já sabemos (pelo teorema anterior) que
os triângulos ABC e ADE são
semelhantes. Vamos então:
(1) separar as figuras
(2) escrever a proporção entre os lados
conhecidos.
A
[ Solução ]
6
D
3
B
E
8
C
x
A
A
9
6
B
x
C
D
8
E
[ Solução ]
A
A
9
6
B
x
C
D
8
E
Escrevendo a proporção entre os lados
correspondentes temos
6
9
8
x
6 x 72
x 12
[ Critérios de Semelhança ]
Em resposta à pergunta anterior temos:
[1º caso] Dois triângulos com dois ângulos
ordenadamente congruentes são
semelhantes.
A
D
B
B D
A e´ angulo comum
E
C
ADE
ABC
[ Critérios de Semelhança ]
[2º caso] Dois triângulos que possuem
dois lados proporcionais e com ângulos
compreendidos
congruentes
são
semelhantes.
A A'
A
A'
c
c'
b
B'
B
C
b'
b
b'
c
c'
k
C'
ABC
A' B 'C '
[ Critérios de Semelhança ]
[3º caso] Dois triângulos que possuem os
lados correspondentes proporcionais são
semelhantes.
a
a'
A
c
c'
B
B'
b
a
C'
C
c
c'
k
A'
b'
a'
b
b'
ABC
A' B 'C '
[ Exemplo 3 ]
Na figura abaixo, obtenha x:
A
.
15
8
E
x
B
5
.
D
17
C
[ Solução ]
Inicialmente separamos os triângulos e
verificamos em qual caso de semelhança
eles se enquadram
A
.
15
B
E
8
17
x
C
B
5
.D
A
.
15
E
8
x
B
17
C
B
5
.D
[ Solução ]
Estão
envolvidos
dois
triângulos
retângulos com o ângulo do vértice B
comum aos dois. Portanto se enquadram
no 1 caso.
A
.
15
E
8
x
B
Portanto
17
8
x
C
B
[ Solução ]
15
15 x 40
5
40
x
15
8
x
3
5
.D
[ Exemplo 4 ]
Determine a medida do lado do quadrado
na figura abaixo:
C
4
E.
A
.
.D
.
B
6
[ Solução ]
Observamos que os triângulos EDC e
ABC são semelhantes pelo 1 caso.
Chamemos o lado do quadrado de x,
assim
4 x
C
4
E.
x
A
.
D
.
x
x
.
x
B
6
[ Solução ]
4 x
C
4
D
.
x
E.
x
A
.
x
.
x
B
6
Portanto: 4 x
4
x
6
4x
10 x
x
24 6 x
24
2, 4
Crescer é
Ser cada dia um pouco mais nós mesmos.
Dar espontaneamente sem cobrar
inconscientemente. ...
Aprender a ser feliz de dentro para fora. ...
Sentir a vida na natureza. ...
Reconhecer nossos erros e valorizar
nossas virtudes. ...
Entender que temos o espaço de uma vida
inteira para crescer. ...
Assumir que nunca seremos grandes, que
o importante é estar sempre crescendo.