Relações Trigonométricas nos Triângulos

Relações Trigonométricas nos
Triângulos
Introdução - Triângulos
Um triângulo é uma figura geométric a plana, constituída por três lados e três
ângulos internos. Esses ângulos, tradicionalmente, são medidos numa unidade
de medida, denominada grau e, cada um deles tem medida entre 0° e 180°.
Figura 1
Classificação dos triângulos quanto aos lados
•
Equilátero: 3 lados de mesmo comprimento
Figura 2
•
Isósceles: 2 lados de mesmo comprimento
Figura 3
26
•
Escaleno: 3 lados de comprimentos diferentes
Figura 4
Classificação dos triângulos quanto aos ângulos internos
•
Acutângulo: 3 ângulos agudos (menores que 90º)
Figura 5
•
Obtusângulo: 1 ângulo obtuso (maior que 90º)
Figura 6
27
•
Retângulo: 1 ângulo reto (90º)
Figura 7
Observação: Utilize o aplicativo “Classificações dos Triângulos” e aprenda
ainda mais, de forma interativa!!!
Especificidades dos triângulos
A soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é SEMPRE igual a 180°.
Figura 8 – Aplicativo “Soma dos ângulos”.
Utilize o aplicativo mostrado na figura 8 e aprenda ainda mais!
Triângulos Retângulos
Num triângulo retângulo definimos as chamadas razões trigonométricas que
são relações entre os lados do triângulo e que têm a propriedade de determinar
a medida dos ângulos do triângulo, uma vez que seus lados sejam conhecidos.
Um triângulo é dito retângulo quando um de seus ângulos é reto, isto é, tem
medida igual a 90°. Os outros dois ângulos, evidentemente, são agudos.
Conforme pode ser observado na Figura 9.
28
Ângulo reto (90°)
Figura 9
Os lados dos triângulos retângulos possuem nomes específicos, conforme se
pode observar na Figura 10.
Figura 10
Para facilitar as relações entre os lados, adoraremos uma variável para cada
um deles, conforme a Figura 11.
Atribuindo uma variável para cada lado, tem-se:
Figura 11
A partir das variáveis, estabeleceremos algumas relações entre os lados e os
ângulos do triângulo retângulo.
Teorema de Pitágoras:
A hipotenusa ao quadrado é igual à soma dos quadrados dos catetos.
29
𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐
Figura 12
Relação Seno
Seno de β é a razão entre o comprimento do cateto oposto ao ângulo β e o
comprimento da hipotenusa do triângulo.
𝑠𝑒𝑛 𝛽 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑎 𝛽
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
⇒
𝑠𝑒𝑛 𝛽 =
𝑏
𝑎
Figura 13
Relação Cosseno
Cosseno de β é a razão entre o comprimento do cateto adjacente ao ângulo β
e o comprimento da hipotenusa do triângulo.
𝑐𝑜𝑠 𝛽 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝛽
h𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑜𝑠 𝛽 =
Figura 14
Relação Tangente
Tangente de β é a razão entre os comprimentos do cateto oposto e do cateto
adjacente ao ângulo β.
30
𝑐
𝑎
𝑡𝑔 𝛽 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑡𝑔 𝛽 =
𝑏
𝑐
O ângulo β pode assumir diversos valores, porém, existem alguns desses
valores, em graus, que são conhecidos como ângulos notáveis. Na tabela
abaixo podemos observar os valores dos senos, cossenos e tangentes desses
ângulos.
0°
30°
45°
60°
90°
√
√
1
Sen
0
Cos
1
√
√
Tg
0
√
1
0
√
Não
Existe
Identidade Trigonométrica
Obtendo uma identidade a partir do teorema de Pitágoras:
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐 2 → 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑎2
⇒
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐 2
𝑎2
⇒
𝑏
𝑎
2
+
𝑐
𝑎
Analisando o triângulo mostrado na figura 16 e a equação encontrada
anteriormente, tem-se:
𝑠𝑒𝑛2 𝛽 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛽 =
Figura 16
31
2
=
RELAÇÕES PARA TRIÂNGULOS QUAISQUER
As relações trigonométricas estudadas até agora foram utilizadas em triângulos
retângulos. Vamos conhecer outras relações que valem para quaisquer
triângulos.
Lei dos Senos
Em qualquer triângulo, as medidas de seus lados são proporcionais aos senos
dos ângulos opostos.
𝑎
𝑏
𝑐
=
=
𝑠𝑒𝑛 𝛽
𝑠𝑒𝑛 𝛼
𝑠𝑒𝑛 𝛾
Figura 17
Lei dos Cossenos
Em todo triângulo, o quadrado da medida de um dos lados é igual à soma dos
quadrados das medidas dos outros dois lados menos duas vezes o produto das
medidas desses dois lados pelo cosseno do ângulo oposto ao primeiro lado.
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐 2 − . 𝑏. 𝑐. cos 𝛽
𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐 2 − . 𝑎. 𝑐. cos 𝛼
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏2 − . 𝑎. 𝑏. cos 𝛾
Figura 18
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BONJORNO, J. R.; BONJORNO, R. A.; OLIVARES, Ayrton. Matemática:
Fazendo a diferença. São Paulo: FTD, 2006.
DANTE, L. R. Matemática. Vol. Único. São Paulo: Ática, 2005.
32