Exercícios de Revisão.NÚMEROS COMPLEXOS

EXERCÍCIOS DE REVISÃO - MATEMÁTICA
3a SÉRIE – ENSINO MÉDIO
ASSUNTO : NÚMEROS COMPLEXOS
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1) Resolva cada equação seguinte no universo dos números complexos:
a) x2 – 2x + 8 = 0
b) 2x2 – 5x + 7 = 0
c) –x2 + x = 8
d) x4 + 3x2 - 4 = 0
e) x4 + 13x2 = 36
f) (x2 + 4)(x – 5) = 0
g) ( 2 + x2)(-4x2 – 1) = 0
h) 4x – 3x3 = 0
i) 4x3 + 12x2 + x = -3
2) Em cada caso seguinte, determine o real k de modo que o complexo dado seja da forma
indicada:
a) z1 = k2 – 6k + 5 + ki – i seja um imaginário puro;
b) z2 = (2k + 3)(1 – k) + (k2 – 1)i seja um real;
c) z3 = k3 + k2(3 + i) + 3k(k – i) seja um imaginário puro;
d) z4 = k2(k – 3 + i) = 2k(1 + i) seja um complexo com afixo fora dos eixos do plano
complexo.
e) z5 = k2(k + 3) + 3k( 1 + i) + k(k + 3) tenha seu afixo nos dois eixos do plano complexo.
3) Considere os complexos z1 = 2 + 5i, z2 = -1 + 3i, z3 = 5 - 2i, z4 = -3 + 5i, z5 = -3 -3i e
.
z6 =
Calcule o complexo equivalente a
a) z1 – 2z2 + z3
b) z2 +32z3 - 2z4
c) -2z3 + z4 - 3z5
5
d) + z6
e) z1.z2 + z3.z4
f) z2.z3 – 3z4.z5
g) (z1 + z2).(z3 – z4)
h) 2z2 – 3(z3 –z4)(z5 – z6)
i)
j)
+
+
k)
+
4) Determine o complexo z = x + yi tal que
a) (2 –i1)z = -1 -2i
b) 3z + 2 = -3i
c) (z + i) + 2 = -i
d) 3z – 2iz = 1 – 3i
e) (z + 2)( i + i) = 2z
f) (1 – z)(2 – 3i) = 3 – 2i
5) Calcule o valor de cada expressão complexa a seguir:
a) (2i56 – i12)/(3i99 – i50)
b) (i602 + i121)/(2i909 –2i502)
c) i0 + i1 + i2 + ... + i190
d) i + i3 + i5 + i7 + i9 + ....+ i243 + i245 + i246
e) i90 + i91 + i92 + ... + i193
f) 1 + i2 + i4 + i6 + i8 + ....+ i242 + i244 + i245
6) Um complexo z é tal que seu módulo é √13 e sua parte real tem 1 unidade a menos que
sua parte imaginária. Determine z.
7) Dois complexos z1 e z2 são tais que Re(z2) = 2.Im(z1) e Im(z2) = 3. Re(z1). Se os
módulos de z1 e z2 são, respectivamente, √5 e 5, determine a distância entre seus afixos,
situados no 1o quadrante.
8) A soma de dois complexos z1 e z2 é o complexo 1 + i . Sabe-se que a parte real de z1
tem 5 unidade a mais que a de z2 e a parte imaginária de z1 tem 3 unidades a mais que a
de z2 . Escreva z2 na forma trigonométrica.
9) Calcule as raízes quadradas do complexo
a) z1 = 8i
b) z2 = 8 + 6i
c) z3 = -3 – 4i
d) z4 = -5 – 24i
10) Escreva na forma trigonométrica cada complexo a seguir:
a) z1 = 8i
b) z2 = 8 + 8i
c) z3 = -3 + i√3
d) z4 = -5 – 5i√3
e) z5 = -5
f) z2 = 3 – 3i
g) z3 = -3i
h) z4 = -1 + i√3
i) z5 = 2 - 2i
j) z6 = - 2√3 + 2i
k) z7 = -1 - i√3
l) z8 = 5 – 5i√3
11) escreva na forma algébrica x + yi cada complexo a seguir:
a) z1 = 2( cos135o + isen135o)
b) z2 = √2( cos225o + isen225o)
c) z3 = √3( cos330o + isen330o)
d) z4 = 5( cos1200o + isen1200o)
e) z5 = 4[ cos(-135o) + isen(-135o)]
f) z2 = 2√3[ cós(-90o + isen(-90o)]
g) z3 = 3√3( cos930o + isen930o)
h) z4 = 32[ cos(7π/4) + isen(7π/4)]
i) z5 = 25[ cos(5π/2) + isen(5π/2)]
j) z6 = [ cos(5π/4) + isen(5π/4)]
k) z7 = 9√3[ cos(5π/6) + isen(5π/)]
l) z8 = 900[ cos(25π/3) + isen(25π/3)]
12) Usando os números do exercício 9, calcule cada complexo a seguir e, se possível, dê a
resposta na forma algébrica:
a) z1.z2
b) z1.z3
c) z3.z4
d) z1.z2. z3
e) z3/z4
f) z3/z5
g) z5/z7
h) z6/z8
i) (z1)5
j) (z5)10
k) (z7)8
l) (z2.z5)9
m) (z5)12/(z8)6
n) Raízes cúbicas de z7
o) Raízes quartas de z8
p) Raízes quintas de z4
q) Raízes cúbicas de z6
r) Raízes quintas de z1
s) Raízes quadradas de z2
13) (UFMG) - Observe esta figura:
Nessa figura, OP = 2 e OQ = 4. Sejam z e w, respectivamente, os números complexos representados
z 11
geometricamente pelos pontos P e Q. Considerando esses dados, ESCREVA o número complexo
i.w 5
na forma a + bi, em que a e b são números reais.
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 z = 4
14)(UFMG) - Seja z um número complexo. Considere este sistema: 
.DETERMINE β para
 z − i = β
que esse sistema tenha solução única.
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15) (UFMG) – DETERMINE todos os números complexos z que satisfazem estas condições:
−
• z + 3 − 2 z = 3 + 6i e
• z < 4.
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16) (UFMG) – Seja z =(a + i)3 um número complexo, sendo a um número real.
1. ESCREVA z na forma x + yi, sendo x e y números reais;
2. DETERMINE os valores de a para que z seja um número imaginário puro.
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17) (UFMG) - Seja S o conjunto de números complexos z tais que | z – (2 + 4i) | = 2 .
1. No plano complexo, FAÇA o esboço de S, sendo z = x + iy, com x e y números reais.
2. DETERMINE o ponto de S mais próximo da origem.
18) (UFMG) – Constituída de dois itens:
1. ESCREVA na forma trigonométrica os números complexos ( 3 + i ) e 2 2 (1 + i ) em que i2 = = -1;
2. CALCULE os menores inteiros positivos m e n tais que ( 3 + i ) m = [ 2 2 (1 + i )] n .
19) (UFMG) – Constituída de dois itens:
1. Seja z = x + yi um número complexo, em que x e y são números reais. DETERMINE as partes real e
z +1
em função de x e y;
imaginária de w =
z −1
z +1
2. Seja S o conjunto dos números complexos z da forma w =
tais que z = 2. DETERMINE o
z −1
elemento de S de maior módulo.
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20) (UFMG) – Seja n um número inteiro positivo e z um número complexo tal que z = 1 e 1 +
zn
+ z ≠ 0. CALCULE a parte imaginária de
.
1 + z 2n
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21) (UFMG) – Constituída de dois itens:
3π
3π 

1. Dado o número complexo na forma trigonométrica z = 2  cos
+ i sen
 , ESCREVA os números
8
8 

−
10
complexos z , z2 e
na forma trigonométrica;
z
−
10
2. No plano complexo, MARQUE e IDENTIFIQUE os números z, z , z2 e
do item acima.
z
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22) (CEFET-MG)- Os vértices de um polígono são os afixos dos números complexos z = x + yi, no
plano complexo, tais que z = 2 e a parte real de z2 é -2. Calcule a área desse polígono.
2n
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−
23) (CEFET-MG)- Determine o número complexo z, tal que (5 z + z )(2 + i ) = 60.
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