a) x 2 - Webnode

EXERCÍCIOS DE REVISÃO - MATEMÁTICA
3a SÉRIE – ENSINO MÉDIO
ASSUNTO : NÚMEROS COMPLEXOS
=========================================================================
1) Resolva cada equação seguinte no universo dos números complexos:
a) x2 – 2x + 8 = 0
b) 2x2 – 5x + 7 = 0
c) –x2 + x = 8
d) x4 + 3x2 - 4 = 0
e) x4 + 13x2 = 36
f) (x2 + 4)(x – 5) = 0
g) ( 2 + x2)(-4x2 – 1) = 0
h) 4x – 3x3 = 0
i) 4x3 + 12x2 + x = -3
j) x2 + 2x – 4 = 0
2) Em cada caso seguinte, determine o real k de modo que o complexo dado seja da forma
indicada:
a) z1 = k2 – 6k + 5 + ki – i seja um imaginário puro;
b) z2 = (2k + 3)(1 – k) + (k2 – 1)i seja um real;
c) z3 = k3 + k2(3 + i) + 3k(k – i) seja um imaginário puro;
d) z4 = k2(k – 3 + i) = 2k(1 + i) seja um complexo com afixo fora dos eixos do plano
complexo.
e) z5 = k2(k + 3) + 3k( 1 + i) + k(k + 3) tenha seu afixo nos dois eixos do plano complexo.
f) z6 = -m2(1 + i) + 11m – 10 – i é um imaginário puro. Determine Z6.
3) 1º) Considere os complexos z1 = 2 + 5i, z2 = -1 + 3i, z3 = 5 - 2i, z4 = -3 + 5i, z5 = -3 .
3i e z6 =
Calcule o complexo equivalente a
a) z1 – 2z2 + z3
b) z2 +32z3 - 2z4
c) -2z3 + z4 - 3z5
d)
+ z6
e) z1.z2 + z3.z4
f) z2.z3 – 3z4.z5
g) (z1 + z2).(z3 – z4)
h) 2z2 – 3(z3 –z4)(z5 – z6)
i)
+
1
j)
+
k)
+
2o) Calcule O valor da expressão E = i150 + i151 + ... + i190 .
3o) Sendo f(z) = z12 – z10, para z = 1 + i, calcule f(z).
4) Determine o complexo z = x + yi tal que
a) (2 –i1)z = -1 -2i
b) 3z + 2 = -3i
c) (z + i) + 2 = -i
d) 3z – 2iz = 1 – 3i
e) (z + 2)( i + i) = 2z
f) (1 – z)(2 – 3i) = 3 – 2i
5) Calcule o valor de cada expressão complexa a seguir:
a) (2i56 – i12)/(3i99 – i50)
b) (i602 + i121)/(2i909 –2i502)
c) i0 + i1 + i2 + ... + i190
d) i + i3 + i5 + i7 + i9 + ....+ i243 + i245 + i246
e) i90 + i91 + i92 + ... + i193
f) 1 + i2 + i4 + i6 + i8 + ....+ i242 + i244 + i245
6) Um complexo z é tal que seu módulo é
sua parte imaginária. Determine z.
e sua parte real tem 1 unidade a menos que
7) Dois complexos z1 e z2 são tais que Re(z2) = 2.Im(z1) e Im(z2) = 3. Re(z1). Se os
módulos de z1 e z2 são, respectivamente,
e 5, determine a distância entre seus afixos,
o
situados no 1 quadrante.
8) A soma de dois complexos z1 e z2 é o complexo 1 + i . Sabe-se que a parte real de z1
tem 5 unidade a mais que a de z2 e a parte imaginária de z1 tem 3 unidades a mais que a
de z2 . Escreva z2 na forma trigonométrica.
9) Calcule as raízes quadradas do complexo
a) z1 = 8i
b) z2 = 8 + 6i
c) z3 = -3 – 4i
2
d) z4 = -5 – 24i
10) Escreva na forma trigonométrica cada complexo a seguir:
a) z1 = 8i
b) z2 = 8 + 8i
c) z3 = -3 + i
d) z4 = -5 – 5i
e) z5 = -5
f) z2 = 3 – 3i
g) z3 = -3i
h) z4 = -1 + i
i) z5 = 2 - 2i
j) z6 = - 2 + 2i
k) z7 = -1 - i
l) z8 = 5 – 5i
11) escreva na forma algébrica x + yi cada complexo a seguir:
a) z1 = 2( cos135o + isen135o)
b) z2 = ( cos225o + isen225o)
c) z3 = ( cos330o + isen330o)
d) z4 = 5( cos1200o + isen1200o)
e) z5 = 4[ cos(-135o) + isen(-135o)]
f) z2 =
[ cós(-90o + isen(-90o)]
g) z3 = 3 ( cos930o + isen930o)
h) z4 = 32[ cos(7/4) + isen(7/4)]
i) z5 = 25[ cos(5/2) + isen(5/2)]
j) z6 = [ cos(5/4) + isen(5/4)]
k) z7 = 9 [ cos(5/6) + isen(5/)]
l) z8 = 900[ cos(25/3) + isen(25/3)]
12) Usando os números do exercício 9, calcule cada complexo a seguir e, se possível, dê a
resposta na forma algébrica:
a) z1.z2
b) z1.z3
c) z3.z4
d) z1.z2. z3
e) z3/z4
f) z3/z5
g) z5/z7
h) z6/z8
n) Raízes cúbicas de z7
o) Raízes quartas de z8
p) Raízes quintas de z4
q) Raízes cúbicas de z6
r) Raízes quintas de z1
s) Raízes quadradas de z2
3
i) (z1)5
j) (z5)10
k) (z7)8
l) (z2.z5)9
m) (z5)12/(z8)6
13) (UFMG) - Observe esta figura:
Nessa figura, OP = 2 e OQ = 4. Sejam z e w, respectivamente, os números complexos representados
z 11
geometricamente pelos pontos P e Q. Considerando esses dados, ESCREVA o número complexo
i.w 5
na forma a + bi, em que a e b são números reais.
................................................................................................................................................................2)
 z  4
14)(UFMG) - Seja z um número complexo. Considere este sistema: 
.DETERMINE  para
 z  i  
que esse sistema tenha solução única.
................................................................................................................................................................
15) (UFMG) – DETERMINE todos os números complexos z que satisfazem estas condições:

 z  3  2 z  3  6i e
 z < 4.
................................................................................................................................................................
16) (UFMG) – Seja z =(a + i)3 um número complexo, sendo a um número real.
1. ESCREVA z na forma x + yi, sendo x e y números reais;
2. DETERMINE os valores de a para que z seja um número imaginário puro.
................................................................................................................................................................
17) (UFMG) - Seja S o conjunto de números complexos z tais que | z – (2 + 4i) | = 2 .
1. No plano complexo, FAÇA o esboço de S, sendo z = x + iy, com x e y números reais.
2. DETERMINE o ponto de S mais próximo da origem.
4
18) (UFMG) – Constituída de dois itens:
1. ESCREVA na forma trigonométrica os números complexos ( 3  i ) e 2 2 (1  i ) em que i2 = = -1;
2. CALCULE os menores inteiros positivos m e n tais que ( 3  i ) m  [ 2 2 (1  i )]n .
19) (UFMG) – Constituída de dois itens:
1. Seja z = x + yi um número complexo, em que x e y são números reais. DETERMINE as partes real e
z 1
imaginária de w =
em função de x e y;
z 1
z 1
2. Seja S o conjunto dos números complexos z da forma w =
tais que z  2. DETERMINE o
z 1
elemento de S de maior módulo.
................................................................................................................................................................
20) (UFMG) – Seja n um número inteiro positivo e z um número complexo tal que z  1 e 1 +
zn
.
1  z 2n
................................................................................................................................................................
21) (UFMG) – Constituída de dois itens:
3
3 

1. Dado o número complexo na forma trigonométrica z = 2  cos
 i sen
 , ESCREVA os números
8
8 


10
complexos z , z2 e
na forma trigonométrica;
z

10
2. No plano complexo, MARQUE e IDENTIFIQUE os números z, z , z2 e
do item acima.
z
................................................................................................................................................................
22) (CEFET-MG)- Os vértices de um polígono são os afixos dos números complexos z = x + yi, no
plano complexo, tais que z  2 e a parte real de z2 é -2. Calcule a área desse polígono.
................................................................................................................................................................
+ z2n  0. CALCULE a parte imaginária de

23) (CEFET-MG)- Determine o número complexo z, tal que (5 z  z )(2  i)  60.
................................................................................................................................................................
5
6