Matrizes e Determinantes

MATRIZES
DEFINIÇÃO:
Matriz é uma tabela de números formada por m linhas e
n colunas. Dizemos que essa matriz tem ordem m x n (lê-se: m
por n) , com m, n  N*
Geralmente dispomos os elementos de uma matriz entre
parênteses ou entre colchetes.
 a 11 a 12

 a 21 a 22
 a 31 a 32


 
a
 m1 a m2
 m x n
A  a ij
a 13

a 23

a 33



a m3 
com
a1n 

a 2n 
a 3n 

com m, n  N*
 
a mn 
mxn
ou
i  1, 2, 3,  , m e
j  1, 2, 3,  , n
O elemento ai j é afetado de dois índices onde o primeiro, i ,
indica a linha e o segundo, j , indica a coluna, às quais o elemento
ai j pertence. ( 1  i  m e 1  j  n )
Exemplo:
o elemento a13 (lê-se: a um três) ocupa a primeira linha e a terceira
coluna.
o elemento a42 (lê-se: a quatro dois) ocupa a quarta linha e a
segunda coluna.
CLASSIFICASSÃO DAS MATRIZES:
Matriz linha: É a matriz que possui uma única linha, ou seja, tem
ordem 1 x n.
(m = 1)
Matriz coluna: É a matriz que possui uma única coluna, ou seja,
tem ordem m x 1.
(n = 1)
Matriz nula: É a matriz onde todos os seus elementos são iguais a
zero.
Matriz quadrada: É a matriz que possui o número de linhas igual
ao número de colunas. Nesse caso, dizemos que a matriz é
quadrada de ordem n.
(m = n)
Matriz retangular: É a matriz que possui o número de linhas
diferente do número de colunas. ( m  n )
Matriz identidade ou matriz unidade: Chama-se matriz identidade
a matriz quadrada em que cada elemento da diagonal principal
tem o valor 1 e os demais têm o valor zero.
Representa-se: In ( n representa a ordem da matriz
identidade ).
1 0
I2  

0 1 
1 0 0
I 3  0 1 0
0 0 1
Matriz ortogonal: é a matriz quadrada em que a transposta dessa
matriz é igual à sua inversa. ( At = A- 1 )
Matriz diagonal: é toda matriz quadrada, onde seus
elementos posicionados acima e abaixo da diagonal principal
são iguais a zero.
Matriz triangular: é toda matriz quadrada, onde seus
elementos posicionados acima ou abaixo da diagonal principal
são iguais a zero.
Matriz simétrica: é a matriz quadrada tal que A = At
IGUALDADE DE MATRIZES:
Duas matrizes, A e B , de mesma ordem serão iguais (A = B)
se, e somente se, os seus elementos de mesma posição forem
iguais, ou seja:
A = (ai j )m x n e
B = ( bi j )m x n se
i  1, 2, 3,  , m
A  B  a i j  bi j 
 j  1, 2, 3,  , n 
MATRIZ TRANSPOSTA:
Dada uma matriz A de ordem m x n , chama-se matriz transposta de A, indica-se por At, a matriz cuja ordem é n x m, sendo
as suas linhas ordenadamente iguais às colunas da matriz A.
Exemplo:
 3 4
A

7 8 
 3 7
At  

 4 8
MATRIZ OPOSTA:
Denomina-se matriz oposta de uma matriz A a matriz cujos
elementos são simétricos dos elementos correspondentes de A.
Matriz oposta de uma matriz A = ( ai j ) é a matriz B = ( bi j )
tal que
bi j = - ai j
Exemplo:
 1  3
A

 4 2 
 1 3 
A  

 4  2
OPERAÇÕES COM MATRIZES:
Adição: A soma de duas matrizes A e B de mesma ordem é a
matriz, também de mesma ordem, obtida com a adição dos
elementos de mesma posição das matrizes A e B.
Sejam A = (ai j )m x n , B = ( bi j )m x n
se C = A + B  c i j  a i j  b i j
com
e
C = (ci j )m x n
 i  1, 2, 3, , m

 j  1, 2, 3, , n 
EXEMPLO
 1 2 2  5 6 7   6 8 9

 
 

  3 4 6    1 2  3    2 6 3
 3 4  4 3 4 7   6 8 3
Subtração:
A diferença entre duas matrizes A e B , de mesma ordem, é a
matriz obtida pela adição da matriz A com a oposta da matriz B ,
ou seja:
A  B  A  (B)
EXEMPLO
 1 2 2  5 6 7   4  4  5 

 
 

9 
  3 4 6    1 2  3   4 2
 3 4  4 3 4 7   0
0  11
Multiplicação de um número real por uma matriz:
O produto de um número real k por uma matriz A é obtido pela multiplicação de cada elemento da matriz A por esse número real k.
Se A = (ai j )m x n
e
k.A = ( bi j )m x n , então
i  1, 2, 3,  , m
b i j  k .a i j com 
 j  1, 2, 3,  , n 
Multiplicação de matrizes:
Dadas as matrizes A = (ai j )m x n e B = ( bi j )n x p .
Define-se como produto de A por B a matriz C = (ci j )m x p tal
que o elemento ci j é a soma dos produtos da i-ésima linha de A
pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna de B.
Am x n
x
Bn
x p
 Cm x p
Devem ser iguais
Dimensão do resultado m x p
OBS: Só é possível multiplicar duas matrizes quando o número de
colunas da 1a for igual ao número de linhas da 2a.
“A matriz produto A x B terá as linhas de A e a colunas de B”.
a 1
b
 1
a2
b2
a3 
b 3 
2x3
 x1
. x 2

 x 3
y1 
y2 

y 3 
 a . x  a 2 .x 2  a 3 . x 3
 1 1
 b 1 .x 1  b 2 . x 2  b 3 . x 3
a 1 . y1  a 2 . y 2  a 3 . y 3 
b1 .y1  b 2 .y 2  b 3 .y 3 
2x 2
3x 2
EXEMPLO:
  2  3
 2 3 2
  2 .2  3 .1  2 . 2  2 .3  3 .2  2 .4 
 3 8 


x 1 2 






 3.2  1.2  1.2  3.3  2.2  1.4  2 x 2   6  1 2 x 2
3 2 1 2 x 3
 2
4  3 x 2 
MATRIZ INVERSA:
Seja uma matriz A de ordem n. A matriz B, da mesma
ordem que A, denominamos inversa de A se o produto delas for
a matriz identidade.
A.B = B.A = In
A matriz B que é a inversa de A é indicada por A-1.
A . A-1 = A-1 . A = In
Observações:
1a) Sendo A e In de ordem n, a inversa A-1 será também
de ordem n.
2a) Se não existir a inversa, dizemos que a matriz A não é
inversível ou uma matriz singular.
EXERCÍCIOS
01) UFAL - Se M = (m i j )3 x 2 é uma matriz, tal que:
1 2
1 8

R: 
1 2
j1
i , para i  j
mi j 
 j , para i  j
Calcule M.
02) UFRN - Resolva a equação matricial
2 
 x  1 x  4
 1
 x x 2  2 = 3x  4
2 



R: - 2
03) FCMSC-SP - Dadas as matrizes
1 3
A  1 4
3 0
e
 0 1 2
B

  1 2 0
1 1 1
R:  4 2 0


Se At é a matriz transposta de A, então calcule (At - B )
04) UFGO - Sejam as matrizes:
1 16

a2
A
 e
  27 log 3 (1 81)
2 b
B 3
a
9

c
Calcule a, b e c para A = B.
R: a = 3 ; b = - 4
e
c =-4
05) UFPA - Sendo
  1
A   2 
 3 
e
0
B    2
 1 
Calcule o valor de 2.A - B.
  2
 6 
R:  
 5 
06) FGV-SP - Considere as matrizes
2 3 1
A

1  1 7
e
1 3
B   0 4


2 2
Calcule a soma dos elementos da primeira linha de A.B.
R: 24
07) UFPR - Resolvendo a equação
x
x 2
 4
y 
 13
.  x 2   3
 y 1  x  y 2
2 x  4
8 
Que valores encontraremos para x e y respectivamente?
R:  5 ;  2
08) UFGO - Considere as matrizes:
4  3x 7  x 
A 0
 10 


  5
 4 
 3  4
B  5 0 
2 2 
x
C
1
x  1
x  1
e
 0 10
D  10 5 
 1 4 
Calcule o valor de x para que se tenha A + B.C = D.
R: 2
09) UFSC - Calcule a soma dos valores de x e y que satisfazem
à equação matricial:
1 3  x 2 2 5
2 5   y 1   3 9

 
 

R: 0
10) UF-Uberl. MG - Se a matriz A é igual a
  1 2
  2 3 Calcule a matriz ( At )2


  3  4
R:  4
5 

11) F.C.C. - Calcule 2.A.B + B2 , sabendo que:
0 1 1
A  1 1 0
1 1 1
e
 0 3 0
 2  9 4

R: 
 6  5 2
 0  2 1
B   2  1 0


0 1 0
2 1 
A

 3  1 ,
12) PUC - SP - Se


  1 2
B

 1 0
XA BX

C
calcule a matriz X tal que
2
3
e
4
C
2
 28
R:  23

 1
1  ,
1
3
13) Determine x, y e z , sabendo que A é uma matriz diagonal.
0
3z  12 
 x
A 0
2 y  1 x 2  4 x  4


R: -2 ; 1/2 ; - 4
 y  1 2

0
z
14) Dadas
3 5
B
4 b
as matrizes A = (ai j )2 x 3 com ai j = i + 2j e
7
2
R: 4
a  , calcule (a - b) , sabendo que A = B.
15) Sendo A = (ai j )2 x 3 , com ai j = 2i + 3j , e B = ( bi j )2 x 3 , com
2 , se i = j

3i , se i < j
bi j =  2 2
, determine ( A + B )
i

j
,
se
i
>
j

1 3 
 3  2
A

B

5  1 ,
4 1 
16) Dados




1
a matriz X, de modo que X  2C  B 2 A
 7 12


R: 11 12
14 19
0  3
C
 , calcule
e
1  2 
 5 2 5 2
R:   1 2 11 2


5
1 1 0
0
3  2 0
 . X =  
17) Determine a matriz X, tal que 
8
5 0 1
 2 
 
X 3 
R:
  2
 x  y 3
2
 1
A 0
2
B



 x  y 4
18) FAAP - SP - Dadas as matrizes
,


 2
4
10 14 
C6 8

 , determine os valores de x e y para que A.B = C.
e
14 20
R: x = 2 e y = - 1
1 b
 a 0
B

 b 1 ,
19) Fuvest-SP - Dadas as matrizes A  0 a  e




determine a e b de modo que A .B = I , onde I é a matriz
identidade.
R: a = 1 e b = 0
20) Na matriz B = ( bi j )3 x 3 , onde bi j =
  2 , se i < j

5.i , se i = j
3.i. j , se i > j

b11 . b12 . b32 .
R: - 180
, calcule
DETERMINANTES
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ QUADRADA DE 2a ORDEM
a
a 
11
12

Seja a matriz quadrada de 2a ordem A  a
 21 a 22 
Denomina-se determinante associado à matriz A o número
obtido pela diferença entre os produtos dos elementos da diagonal principal e da diagonal secundária.
Representa-se um determinante de 2a ordem por:
a 11
a 21
diagonal
secundária
det A 
a 12
 a 11 . a 22  a 21 . a 12
a 22
diagonal
principal
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ
ORDEM - REGRA DE SARRUS
Seja a matriz
a 11
A  a 21
a 12
a 22
a 13
a 23
a 31
a 32
a 33
QUADRADA
DE
3a
Anota-se a matriz dada e repete-se, a direita, a 1a e a 2a
colunas, conforme o esquema
a 11
a 12
a 13
a 11
a 12
a 21
a 22
a 23
a 21
a 22
a 31
a 32
a 33
a 31
a 32
TROCAR OS SINAIS
CONSERVAR OS SINAIS
Multiplicando os elementos segundo cada
associando aos produtos o sinal indicado, temos:
diagonal
e
det A  a 11 . a 22 . a 33  a 12 . a 23 . a 31  a 13 . a 21 . a 32  a 13 . a 22 . a 31  a 11 . a 23 . a 32  a 12 . a 21 . a 33
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ QUADRADA DE 3a ORDEM
Seja a matriz
a11 a12
a 21 a 22
a13
a 23
a 31
a 33
a 32
Anota-se a matriz dada e repete-se, abaixo da 3a linha, a 1a e
a 2a linhas, conforme o esquema:
a11
a12
a13
a 21
a 22
a 23
a 31
a 32
a 33
a11
a 21
a12
a 22
a13
a 23
INVERTE-SE OS SINAIS
CONSERVA-SE OS SINAIS
Multiplicando os elementos segundo cada
associando aos produtos o sinal indicado, temos:
diagonal
e
det A = a11.a22.a33 + a21.a32.a13 + a31.a12.a23 - a13.a22.a31 - a23.a32.a11 - a33.a12.a21
OBS: Estas regras práticas muito simples só se aplica a
determinantes de 3a ordem.
EXERCÍCIOS
01) Resolva as equações:
4
a) x  2
3
 8
x
x2 x
b)  7 2  4
R: a) 2
x 1
2
c) 3x  5 x  3
b) -4 ou 1/2

 3 1
2
c) 2  7
4
02) Resolva as seguintes equações no conjunto universo dos
números reais:
x x x
x x 4 0
a)
x
b)
4 2
x 1 1
x 1 3
c)
x  2 3x  1 4
1
0
 1  1
d)
2 2
R: a) 0 ou 4
2
1
2
0
3  11
1
x
3
3
x 1
x
2 1
2
x2
1
b) 20/17
c) 3
d) 5
03) Resolva as inequações no conjunto universo dos números
reais:
3x 2x  3
a)
2
4x x  1 3
1
1
 3  8
2
2
2
b) 1
2
3
2
1 0
2
R: a) {x  Rx < - 1/5}
04) Determine os valores inteiros de
gualdade:
x
b) x > 3/4
que verificam a desi-
x 1 2  2
5
x
1 0
1
0
2
05) Calcule o valor de
x y 1
2 0 4 0
e
1 2 1
R: {- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3}
x
x
4
3
e
1
0
2
y, sabendo que
2
3  21
y
R: x = 2
e
y = -2
1
1
sen x
sen x cos 2 x 1
 é:
06) O determinante da matriz 
sen x cos x 0
a) cos2 x b) sen x
07) Se
c) sen2 x
a 2
1 b

3 y
x 4
d) sen3 x
a
A

,
x
b
y
e) sen 2x
R: d
e B = At , calcule det (AB).
R: 4
08) Seja a matriz quadrada A = ( ai j ) , de ordem 2, tal que
ai j


cos 2i  j se i = j


sen  se i  j

i+j
, calcule o determinante de A.
R: - 3/4
09) Calcule o determinante da matriz A = ( ai j ), de ordem 3, onde
i  j , se i  j
ai j  
i  j , se i  j
R: - 26
10) Qual o conjunto verdade da equação:
1 2 1
0 1 x 1
1 x 1
R: 1
11) Determine o polinômio que representa o determinante:
x
0
0
3
1
x
0
0
0
1
x
1
0
0
1  2
R: - 2x3 + x2 + 3
12) FUVEST - Calcule o determinante da inversa da matriz
0 1
 1
 1  2 0 

.
R: - 5/48
 1 / 5 4 3 
a b
13) FUVEST - Calcule o determinante da matriz  b a  , onde


2a = e x + e - x e 2b = e x - e - x .
R: 1
14) Calcule o determinantes:
a)
1
1
a
2a
3a
2
2
9a 2
a
4a
1
b)
1 1
2 5
4 125
1
3
9
1
4
16
8 625 27 64
R: 2a3 ;
432
15) Resolver a equação
x
0
3 x 1
4
5
1
8
0
0
0
0
x 1
0
4
x2
0
R: 0 ; 1 ; - 1 ; 2
16) Obter x , 0 < x < 2 , tal que:
1
cos x 0
sen x
0
1
= 0
sen x
0
1
R: /2 ;  ; 3/2