Aula 4 - Moodle UFSC

ÁLGEBRA LINEAR
Base e Dimensão de um Espaço
Vetorial
Prof. Susie C. Keller
Base de um Espaço Vetorial
 Um conjunto B = {v1, ..., vn}  V é uma base do
espaço vetorial V se:
I) B é LI
II) B gera V
Base de um Espaço Vetorial
 Exemplos:
Base de um Espaço Vetorial
II) B gera IR2
Base de um Espaço Vetorial
Exemplos:
Base de um Espaço Vetorial
Base de um Espaço Vetorial
 Observação:
“Todo conjunto LI de um espaço vetorial V é
base do subespaço por ele gerado.”
 Por exemplo, o conjunto B={(1, 2, 1), (-1, -3, 0)} 
IR3 é LI e gera o subespaço:
S = {(x, y, z)  IR3/ 3x – y – z = 0}
 Então, B é base de S, pois B é LI e gera S.
Base de um Espaço Vetorial
 Teorema:
Se B = {v1, v2, ..., vn} for uma base de um espaço
vetorial V, então todo conjunto com mais de n vetores
será linearmente dependente.
De fato:
Seja B’ = {w1, w2, ..., wm} um conjunto qualquer
de m vetores de V, com m > n. Pretende-se mostrar
que B’ é LD. Para tanto, basta mostrar que existem
escalares x1, x2, ..., xm não todos nulos tais que:
x1w1 + x2w2 + ... + xmwm = 0
(1)
Base de um Espaço Vetorial
Como B é uma base de V, cada vetor wi  B’ é
uma combinação linear dos vetores de B, isto é,
existem números i, i, ..., i tais que:
w1 = 1v1 + 2v2 + ... + nvn
w2 = 1v1 +  2v2 + ... +  nvn
(2)
.
.
.
.
.
.
wm = 1v1 +  2v2 + ... +  nvn
Substituindo (2) em (1), obtemos:
Base de um Espaço Vetorial
x1(1v1 + 2v2 + ... + nvn)
+ x2(1v1 + 2v2 + ... +  nvn)
+ ..............................................
+ xm(1v1 +  2v2 + ... +  nvn) = 0
ou reordenando os termos:
(1 x1 + 1 x2 + ... + 1 xm) v1
+ (2 x1 + 2 x2 + ... + 2 xm) v2
+ ...........................................
+ (n x1 + n x2 + ... + n xm) vn = 0
Base de um Espaço Vetorial
Tendo em vista que v1, v2, ..., vn são LI, os
coeficientes dessa combinação linear são nulos:
 1 x1  1 x2  ...  1 xm  0
 x   x  ...   x  0
 2 1
2 2
2 m

...

 n x1   n x2  ...   n xm  0
Esse sistema linear homogêneo possui m
variáveis x1, x2, ..., xm e n equações. Como m > n,
existem soluções não-triviais, isto é xi ≠ 0.
Logo, B’ = {w1, w2, ..., wm} é LD.
Base de um Espaço Vetorial
 Corolário:
Duas bases quaisquer de um espaço vetorial têm
o mesmo número de vetores.
De fato:
Sejam A ={v1, v2, ...., vn} e B ={w1, w2, ...., wm}
duas bases de um espaço vetorial V.
Pelo teorema anterior, m = n.
Base de um Espaço Vetorial
 Exemplos:
 A base canônica do IR3 tem três vetores, logo
qualquer outra base do IR3 terá também três
vetores.
 A base canônica de M(2,2) tem quatro vetores,
logo toda a base de M(2,2) terá quatro vetores.
Dimensão de um Espaço
Vetorial
 Seja V um espaço vetorial:
 Se V possui uma base com n vetores, então V
tem dimensão n e anota-se dim V = n.
 Se V não possui base, dim V = 0.
 Se V tem uma base com infinitos vetores, então
a dimensão de V é infinita e dim V = .
Dimensão de um Espaço
Vetorial
 Exemplos:
1. dim IR2 = 2, pois toda base de IR2 tem dois
vetores.
2. dim IRn = n.
3. dim M(2,2) = 4.
4. dim M(m,n) = m x n.
5. dim Pn = n + 1.
6. dim {0} = 0
Dimensão de um Espaço
Vetorial
 Observações:
I.
Seja V um espaço vetorial com dim V = n. Se S é um
subespaço de V então dim S ≤ dim V.
 Se considerarmos, por exemplo, o espaço vetorial
V = IR3, dim V = 3. A dimensão de qualquer subespaço
do IR3 só poderá ser 0, 1, 2 ou 3. Portanto temos:
1. dim S = 0, então S = {0} é a origem.
2. dim S = 1, então S é uma reta que passa pela origem.
3. dim S = 2, então S é um plano que passa pela origem.
4. dim S = 3, então S é o próprio IR3.
Dimensão de um Espaço
Vetorial
II. Seja V um espaço vetorial de dimensão n. Então
qualquer subconjunto de V com mais de n vetores é LD.
III. Sabemos que um conjunto B é base de um espaço
vetorial V se B for LI e se B gera V.
No entanto, se dim V = n, para obtermos uma base de V
basta que apenas uma das condições seja satisfeita, pois
a outra ocorrerá automaticamente. Assim:
 Se dim V = n, qualquer subconjunto de V com n
vetores LI é uma base de V.
 Se dim V = n, qualquer subconjunto de V com n
vetores geradores de V é uma base de V.
Dimensão de um Espaço
Vetorial
 Exemplo:
 O conjunto B = {(2, 1), (-1, 3)} é uma base do
IR2.
De fato:
Como dim IR2 = 2 e os dois vetores dados são
LI, eles formam um base do IR2.
Dimensão de um Espaço
Vetorial
 Teorema:
Seja V um espaço vetorial de dimensão n.
Qualquer conjunto de vetores LI em V é parte de
uma base, isto é, pode ser completado até formar uma
base de V.
 Exemplo:
 Sejam os vetores v1 = (1,-1,1,2) e v2 = (-1,1,-1,0).
Completar o conjunto {v1, v2} de modo a formar
uma base do IR4.
Dimensão de um Espaço
Vetorial
 Como dim IR4 = 4, uma base terá quatro vetores LI.
 Já temos dois vetores v1 e v2 que são LI.
 Precisamos, primeiramente escolher um vetor v3 que
não seja combinação linear de v1 e v2, para que o
conjunto {v1,v2,v3} seja LI.
 Para completar, escolhemos um vetor v4 que não seja
combinação linear de v1, v2 e v3.
 Assim o conjunto {v1,v2,v3,v4} é LI e, é uma base de
IR4.
 Por exemplo:
{(1,-1,1,2), (-1,1,-1,0), (1,1,0,0), (1,0,0,0) é uma
base do IR4.
Dimensão de um Espaço
Vetorial
 Teorema:
Seja B = {v1, v2, ..., vn} uma base do espaço vetorial
V. Então, todo vetor v V se exprime de maneira
única como combinação linear de B.
De fato:
Tendo em vista que B é uma base de V, para v V
pode-se escrever:
v = a1v1 + a2v2 + ... + anvn
(1)
Dimensão de um Espaço
Vetorial
Supondo que o vetor v pudesse ser expresso como
outra combinação linear dos vetores, ter-se-ia:
v = b1v1 + b2v2 + ... + bnvn
(2)
Subtraindo, membro a membro, a eq. (2) da eq.
(1), temos:
0 = (a1 – b1)v1 + (a2 – b2)v2 + ... + (an – bn)vn
Tendo em vista que os vetores da base são LI:
a1 – b1 = 0, a2 – b2 = 0, an – bn = 0
Dimensão de um Espaço
Vetorial
Isto é:
a1 = b1, a2 = b2 ,..., an = bn
Os números a1, a2, ..., an são, pois, univocamente
determinados pelo vetor v e pela base {v1, v2, ..., vn}.
Componentes de um vetor
 Seja B = {v1, v2, ..., vn} uma base de V.
Tomemos v  V sendo:
v = a1v1 + a2v2 + ... + anvn
Os números a1, a2, ..., an são chamados
componentes ou coordenadas de v em relação à base
B e representados por:
vB = (a1, a2, ..., an) => vetor-coordenada
Componentes de um vetor
ou
 a1 
a 
 2
.

vB 
.
 
.
a n 
=> matriz-coordenada
Componentes de um vetor
 Exemplo:
No IR2, consideremos as bases:
A={(1,0), (0,1)}, B={(2,0),(1,3)} e C={(1,-3), (2,4)}
Dado o vetor v = (8,6), tem-se:
(8,6) = 8(1,0) + 6(0,1)
(8,6) = 3(2,0) + 2(1,3)
(8,6) = 2(1,-3) + 3(2,4)
vA = (8,6)
vB = (3,2)
vC = (2,3)
Componentes de um vetor
 Gráfico:
Base B={(2,0),(1,3)}
(8,6) = 3(2,0) + 2(1,3)
vB = (3,2)
Espaços Vetoriais Isomorfos
 Consideremos o espaço vetorial
V = P3 = {at3 + bt2 + ct + d/a, b, c, d  IR}
e seja B = {v1, v2, v3, v4} uma base de P3. Fixada uma
base, para cada vetor v  P3, existe uma só quádrupla
(a1, a2, a3, a4)  IR4 tal que:
v = a1v1 + a2v2 + a3v3 + a4v4
Espaços Vetoriais Isomorfos
 Reciprocamente dada uma quádrupla (a1, a2, a3, a4) 
IR4, existe um só vetor em P3 da forma
a1v1 + a2v2 + a3v3 + a4v4
Assim sendo, a base B = {v1, v2, v3, v4} determina
uma correspondência biunívoca entre os vetores de P3
e as quádruplas (a1, a2, a3, a4) em IR4.
Espaços Vetoriais Isomorfos
 A correspondência biunívoca em P3 e IR4 preserva as
operações de adição de vetores e multiplicação por
escalar e, nesse caso, dizemos que os espaços P3 e IR4
são isomorfos. De forma análoga:
 M(2,2) é isomorfo a IR4
 P2 é isomorfo a IR3
e assim por diante.
 “Se V é um espaço vetorial sobre IR e dim V = n,
então V e IRn são isomorfos.”