apostila tecnica de contagem(14/06/11)

Análise Combinatória
Um motivo tão mundano quanto os jogos de azar é que acabou levando ao
desenvolvimento da Análise Combinatória. A necessidade de calcular o número de
possibilidades existentes nos jogos gerou o estudo dos métodos de contagem. Grandes
matemáticos se ocuparam com o assunto: o italiano Niccollo Fontana (1500-1557),
conhecido como Tartaglia, e os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal
(1623-1662). A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar - de
uma forma indireta - o número de elementos de um conjunto, estando esses elementos
agrupados sob certas condições.
A Análise Combinatória é um conjunto de procedimentos que possibilita a construção, sob
certas circunstâncias, de grupos diferentes formados por um número finito de elementos de
um conjunto.
Dois conceitos são fundamentais para a análise combinatória: Fatorial de um número e o
Princípio Fundamental da Contagem (árvore de possibilidades).
Os três tipos principais de agrupamentos são as Permutações, os Arranjos e as
Combinações. Estes agrupamentos podem ser simples, com repetição ou circulares.
Princípio fundamental da contagem - PFC
Se determinado acontecimento ocorre em etapas independentes, e se a
primeira etapa pode ocorrer de k1 maneiras diferentes, a segunda de k2
maneiras diferentes, e assim sucessivamente, então o número total T de
maneiras de ocorrer o acontecimento, composto por n etapas, é dado por:
T = k1. k2.k3....kn
Exemplo1 O princípio fundamental da contagem nos diz que sempre devemos multiplicar os
números de opções entre as escolhas que podemos fazer. Por exemplo, para montar um
computador, temos 3 diferentes tipos de monitores, 4 tipos de teclados e 3 tipos de "CPU". Para
saber o numero de diferentes possibilidades de computadores que podem ser montados com
essas peças, somente multiplicamos as opções:
monitores
3
x
teclados
4
CPU
x
3 = 36
Então, têm-se 36 possibilidades de configurações diferentes.
Exemplo2 ( FGV - SP ) Um restaurante oferece no cardápio 2 saladas distintas, 4 tipos de
pratos de carne, 5 variedades de bebidas e 3 sobremesas diferentes. Uma pessoa deseja
uma salada, um prato de carne, uma bebida e uma sobremesa. De quantas maneiras a
pessoa poderá fazer seu pedido ? a)90 b)100 c)110 d)130 e)120
Saladas
2 x
carne bebidas sobremesas
4 x 5
x 3 = 120
Árvore das possibilidades: digrama que tem por objetivo visualizar as diversas opções da
contagem de um acontecimento, é um método direto de contagem
Exemplo1: Um restaurante oferece no cardápio 2 saladas distintas, 4 tipos de pratos de
carne. Uma pessoa deseja uma salada, um prato de carne,. De quantas maneiras a pessoa
poderá fazer seu pedido ?
Escolha da salada
Salada de alface
Escolha da Carne
peixe
franco
Salada de tomate
8 possibilidades diferentes
carne cozida
Lingüiça
Exemplo 2 João e Paulo disputam entre si um campeonato de xadrez com as
seguintes regras:
I - vence a disputa quem ganhar duas partidas seguidas ou três em qualquer
ordem.
II - em caso de empate, o vencedor será declarado através sorteio.
O número de resultados possíveis nesta competição é:
A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 15
Solução:
Seja J a vitória de João e P a vitória de Paulo. Verificamos que são dez os
resultados possíveis.
Os três tipos principais de agrupamentos
1-Arranjos simples :Temos um Arranjo quando os agrupamentos
conseguidos ficam diferentes ao se inverter a posição dos seus
elementos(a ordem que os elementos ocupam dentro do grupo tem
importância ). Perceba que, se quisermos formar centenas de algarismos
distintos, utilizando apenas os 5 primeiros números ímpares (1; 3. 5;7; 9)
teremos as seguintes centenas:135; 137;139; 153, 157, e assim
sucessivamente.
Se invertermos a posição dos elementos de qualquer uma destas centenas
conseguiremos outra centena diferente: 135 ≠ 351. Temos então um
ARRANJO de 5 números (1; 3;5;7;9) em grupos de três (centenas).
Representando o número total de arranjos de n elementos tomados k a k
(taxa k) por An,k , teremos a seguinte fórmula:
Resolvendo o problema das centenas temos: A5,3 = 5!/(5-3)!
A5,3 = 5!/2!
A5,3 = 5.4.3.2!/2! A5,3 = 5.4.3 = 60
Logo, utilizando apenas os cinco primeiros números impares, podemos
formar 60 centenas de algarismos diferentes.
2-Permutação Simples: É um caso particular de arranjo simples. É o tipo de
agrupamento ordenado onde entram todos os elementos.
Pn  n!
Exemplo 1 Calcule o número de formas distintas de 5 pessoas ocuparem
os lugares de um banco retangular de cinco lugares.
P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120
Exemplo2 Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras
de uma palavra, que podem ter ou não significado na linguagem comum.
Os possíveis anagramas da palavra REI são: REI, RIE, ERI, EIR, IRE e
IER. Calcule o número de anagramas da palavra MUNDIAL.
A Palavra MUNDIAL tem 7 letras então o seu anagrama é:
P7 = 7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5040
2-1 Permutação com elementos repetidos
a, b, c,... etc representam a quantidade de repetição de
uma letra
Exemplo1 Quantos anagramas podem ser formados com as letras da
palavra MARIA? Neste problema temos n = 5 (cinco letras) e a = 2 (a letra
A se repete duas vezes)
P = 5!/2! = 5.4.3 = 60
Exemplo2:
Determine o número de anagramas da palavra MATEMÁTICA.
(não considere o acento)
Temos 10 elementos, com repetição. Observe que a letra M está repetida duas
vezes, a letra A três , a letra T, duas vezes. Na fórmula anterior, teremos:
n=10, a=2, b=3 e c=2. Sendo P o número de anagramas, podemos escrever:
P= 10! / (2!.3!.2!) = 151200 Resposta: 151200 anagramas.
Exemplo3 Quantos são os anagramas da palavra CANDIDATA ?
Solução : Já sabemos que um anagrama corresponde a uma permutação das
letras da palavra. CANDIDATA- 9 letras, sendo 3 A, 2 D, 1 C, 1 N, 1 I , 1 T
O número de anagramas é : P9 3 , 2 =
=
= 30.240
Exemplo4. Quantos anagramas podem ser formados com as letras da
palavra ARARA? Neste problema temos n = 5 (cinco letras), a = 2 (a letra
R se repete duas vezes) e b = 3 (a letra A se repete três vezes).
P = 5!/(3!.2!) = 5.4.3!/(3!.2) = 10
3 - Combinações simples :
Temos uma combinação quando os agrupamentos conseguidos
permanecem iguais ao se inverter a posição dos seus elementos(a ordem
em que os elementos ocupam no grupo não tem importância).
Perceba que se houver cinco pessoas(João, Pedro, Luís, Gilberto e Ana) ,
entre as quais desejamos formar grupos de três, o grupo formado por João,
Pedro e Luís é o mesmo grupo formado por Luís, Pedro e João. Temos,
então, uma COMBINAÇÃO de cinco elementos em grupos de três.
Representando por Cn,k o número total de combinações de n elementos
tomados k a k (taxa k) , temos a seguinte fórmula:
Resolvendo o problema dos grupos de 5 pessoas para escolher 3, temos:
C5,3 = 5!/[(5-3)!.3!] => C5,3 = 5!/[(2!.3!]
C5,3 = 5.4.3!/[2.3!] C5,3 = 20/2 = 10 Podem ser formados 10 grupos
Exemplo2:Uma prova consta de 15 questões das quais o aluno deve
resolver 10. De quantas formas ele poderá escolher as 10 questões?
Observe que a ordem das questões não muda o teste. Logo, podemos
concluir que trata-se de um problema de combinação de 15 elementos com
taxa 10.
C15,10 = 15! / [(15-10)! . 10!] = 15! / (5! . 10!) = 15.14.13.12.11.10! /
5.4.3.2.1.10! = 3003 formas diferentes.
Exemplo3. Um coquetel é preparado com três bebidas distintas. Se existem
7 bebidas distintas, quantos coquetéis diferentes podem ser preparados?
C7,3 = 7! / [(7-3)! . 3!] = 7! / (4! . 3!) = 7.6.5.4! / 4!.3.2.1 = 35
Exemplo4. Sobre uma circunferência são marcados 9 pontos, dois a dois
distintos. Quantas retas podem ser construídas passando por estes 9
pontos?
C9,2 = 9! / [(9-2)! . 2!] = 9! / (7! . 2!) = 9.8.7! / 7!.2.1 = 36 retas
Exercícios técnica de agrupamento
Grupo das Permutações
1- Seja um conjunto com 10 cientistas. De quantos modos distintos estes cientistas
podem sentar-se junto a uma mesa circular para realizar uma experiência sem que haja
repetição das posições? a)
456749 b) 2348695 c)362880
2- Quantos são os anagramas da palavra CANDIDATA? a)30240 b)35678 c)23.8345
3- Quantos anagramas podemos fazer com a palavra ASTRIDE, que:
a) começam com vogal; b)T e R aparecem juntas nessa ordem; c) começam com DE
4) Considere os números obtidos do número 2341 efetuando-se todas as permutações de seus
algarismos. Quantos números maiores que 2000 podemos escrever?
5) Considere os números obtidos do número 302403 efetuando-se todas as permutações
de seus algarismos. Quantos números distintos podemos escrever?
Grupo dos arranjos
1-O quadrangular final de um torneio de Vôlei é disputado por 4 seleções:Brasil,
Canadá, Cuba e EUA. De quantas maneiras distintas podemos ter os três primeiros
colocados(1º,2º e 3º) a)12 b)24 c)16 d) 8 e) 16
2- Considere os números obtidos do número 2,3,4,1; Quantos números de 3 algarismos
distintos podemos escrever; Quantos desses números são maiores que 200?
3- Com oito pessoas que sabem dirigir, de quantas maneiras distintas conseguimos
colocar 5 delas em um fusca?
Grupo das combinações
1-Num colégio, há 5 bons esportistas. O prof. De Educação física vai escolher 2 de deles para
representar a escola. Quantas são as possibilidades dessa escolha. a)10 b) 20 c) 15
2- Um coquetel é preparado com três bebidas distintas. Se existem 7 bebidas
distintas, quantos coquetéis diferentes podem ser preparados? a)21 b)35 c)40
3-Sobre uma circunferência são marcados 9 pontos, dois a dois distintos. Quantas
retas podem ser construídas passando por estes 9 pontos?a)36 b) 18 c)29 d)40
4- Uma prova consta de 15 questões das quais o aluno deve resolver 10. De
quantas formas ele poderá escolher as 10 questões? a) 3450 b) 3003 c)3045
5- Quantas são as diagonais de um decágono
6- São dados 8 pontos em um plano, dos quais não existem mais do que 2 que estão
alinhados. Quantos triângulos distintos podem ser formados .
7-Uma organização dispõe de 8 economistas e 5 engenheiros. De quantos modos podemos
formar uma comissão com 7 membros, sendo 3 economista e 4 engenheiros?
Exercícios
1. ( ITA - SP ) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar
empregando os caracteres 1, 3, 5, 6, 8 e 9 ? a)60 b)120 c)240 d)40 e)80
2- Do quantos modos pode vestir-se um homem que tem 2 pares de sapatos, 4 paletós
e 6 calças diferentes, usando sempre uma calca, uma paletó e um par de sapatos ?
a)52 b)86 c)24 d)32 e)48
3) Num colégio, há 5 bons esportistas. O prof. De Educação física vai escolher 2 de deles para
representar a escola. Quantas são as possibilidades dessa escolha.
a) 10 b) 20 c) 15 d) 7
4) O quadrangular final de um torneio de Vôlei é disputado por 4 seleções:Brasil,
Canadá, Cuba e EUA. De quantas maneiras distintas podemos ter os três primeiros
colocados(1º,2º e 3º) a)12 b)24 c)16 d) 8 e) 16
Atividade para avaliação técnica de contagem
1-Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar empregando os
caracteres 1, 3, 5 e 9 ?
2- Há 4 meios de transportes entre as cidades A e B e três meios de transportes entre B e C. Calcule
o n° de modos de fazer o percurso de A até C , passando por B.
3-O
vagão de um trem possui 7 portas. De quantas maneiras distintas um passageiro pode
entrar no trem e sair dele por uma porta diferente da que entrou ?
4- Numa festa há 7 moças e 5 rapazes. Quantos casais podem ser formados?
5-Um artista tem 3 cartolas, 4casacos e 2 bengalas, todos diferentes.Quantas apresentações ele pode
fazer sem repetir as três mesmas peças.
6- Quantos são os anagramas da palavra “PATO”, escreva 6 desses anagramas
7-Uma moeda é lançada 4 vezes. Qual o número de seqüências possíveis de cara e coroa?
8- Com 4 pontos distintos num plano, não tendo mais do que dois numa mesma reta,
quantas retas podemos traçar por esses 4 pontos
9-Com 4 pontos distintos num plano, não tendo mais do que dois numa mesma reta,
quantos triângulos podemos traçar por esses 4 pontos
10-Uma determinada viagem pode ser feita de avião, ônibus, navio ou trem. De quantos
modos pode-se escolher o meio de transporte se não for usado na volta o mesmos meio de
transporte da ida ?
11- Deseja-se pintar uma bandeira, com 3 faixas verticais, dispondo de 3 corres, sem que se
tenha 2 faixas consecutivas da mesma cor. De quantas maneiras isto é possível.
12- Um torneio de Vôlei é disputado por 4 seleções:Brasil,Canadá,Cuba e EUA. De quantas
maneiras distintas podemos ter os três primeiros colocados(1º,2º e 3º).
13-Um restaurante oferece no cardápio 2 tipos pratos de entrada e 4 tipos de saladas. De
quantas maneiras distintas uma pessoa pode fazer o seu pedido, contendo um prato de
entrada e um tipo de salada?
14- Numa urna estão 4 bolas de cores diferentes.Uma pessoa deve retirar duas dessas bolas,
uma após a outra, sem reposição. De quantas formas diferentes isso é possível?
14- Quantas são as diagonais de um Quadrado
Exercício 1
1-Em uma biblioteca existem 5 portas. Calcule o n° de modos que uma pessoa pode entrar e sair
dessa biblioteca, por porta diferente da que entrou?
2- Quantos n° ímpares de 2 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1,2,3,4,5,
3- Quantas são as diagonais de um pentágono
4- Do quantos modos pode vestir-se um homem que tem 2 pares de sapatos, 3
paletós e 2 calças diferentes, usando sempre uma calca, uma paletó e um par de
sapatos ?
Exercicio2
1-Em uma biblioteca existem 6 portas. Calcule o n° de modos que uma pessoa pode entrar e sair
dessa biblioteca, por porta diferente da que entrou?
2- Quantos n° ímpares de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1,2,3,4,5,
3-Numa urna estão 4 bolas de cores diferentes.Uma pessoa deve retirar duas dessas bolas,
uma após a outra, sem reposição. De quantas formas diferentes isso é possível?
4-Com 4 pontos distintos num plano, não tendo mais do que dois numa mesma reta,
quantos triângulos podemos traçar por esses 4 pontos
5- Um torneio de Vôlei é disputado por 5 seleções:Brasil,Canadá, Chile,Cuba e EUA. De
quantas maneiras distintas podemos ter os dois primeiros colocados(1º,2º)
6- Quantos são os anagramas da palavra “GATO
7- Há 4 meios de transportes entre as cidades A e B e três meios de transportes entre B e C.
Calcule o n° de modos de fazer o percurso de A até C , passando por B.
8 Quantas peças tem um jogo de dominó comum 0 a 6)
9- Numa confeitaria há 5 sabores de picolés e 3 tipos de salgados. Supondo que Maria só
tenha permissão para chupar um picolé e comer um salgado. Quantas são os possíveis
pedidos que Maria possa fazer .
10- Se quantas formas diferentes podemos dispor numa fila 4 bolas; Uma vermelha ,uma
verde , uma branca e uma azul.
04. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
1. PAIVA, Manoel. MATEMÁTICA , vol. único. Editora Moderna,
2. http://www.terra.com.br/matematica/arq3-1.htm
3. http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/conline/progs/fatorial.htm
4. http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/205/mod205.htm
5. http://tatooine.fortunecity.com/stephenson/51/matematica/ancomb.html
6. Matemática CIÊNCIAS e Aplicações, vol 2 Editora Atual Iezzi,Gelson
Exercícios de arranjo e combinação para o 2A e 2C
Entregar na quarta-feira 16/09 02 alunos * usar as fórmulas
1. ( ITA - SP ) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar
empregando os caracteres 1, 3, 5, 6, 8 e 9 ? a)60 b)120 c)240 d)40 e)80
2- Um torneio de Vôlei é disputado por 5 seleções:Brasil,Canadá, Chile,Cuba e EUA.
de quantas maneiras distintas podemos ter os dois primeiros colocados(1º,2º)
3) Num colégio, há 5 bons esportistas. O prof. De Educação física vai escolher 2 de deles para
representar a escola. Quantas são as possibilidades dessa escolha.
a) 10 b) 20 c) 15 d) 7
4-- Um coquetel é preparado com três bebidas distintas. Se existem 7 bebidas
distintas, quantos coquetéis diferentes podem ser preparados? a)21 b)35 c)40
5-Sobre uma circunferência são marcados 9 pontos, dois a dois distintos. Quantas
retas podem ser construídas passando por estes 9 pontos?
a)36 b) 18 c)29 d)40
6- Uma prova consta de 15 questões das quais o aluno deve resolver 10. De
quantas formas ele poderá escolher as 10 questões? a) 3450 b) 3003 c)3045
7- Quantas são as diagonais de um decágono
8- São dados 8 pontos em um plano, dos quais não existem mais do que 2 que estão
alinhados. Quantos triângulos distintos podem ser formados .
9-Uma organização dispõe de 8 economistas e 5 engenheiros. De quantos modos podemos
formar uma comissão com 7 membros, sendo 3 economista e 4 engenheiros?
10- Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar empregando os caracteres
0, 1, 3, 5, 6, e 9
11-Com 7 pessoas que sabem dirigir, de quantas maneiras distintas conseguimos colocar
4 delas em um veículo ?
12-Com um grupo de 7 homens e 5mulheres, quantas comissões de 5 pessoas
podemos formar se em cada uma deve haver 2 homens e 3 mulheres?
13- Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos
2,3,6,7,9, de modo que sejam pares
14- Considere os números obtidos do número 2,3,4,5,1; Quantos números de 3
algarismos distintos, maiores que 300 podemos escrever ?
15- A senha de um cartão é formada por duas letras distintas acompanhadas de 3
números distintos. Quantas senhas podem ser formadas com 10 letras e 7números ?
16--Sobre uma circunferência são marcados 7 pontos distintos. Quantas retas podem ser
construídas passando por dois desses 7 pontos?
17- Num galpão estão 8 lâmpadas, apenas 3 devem ficar acesas. Quantos grupos
diferentes de 3 lâmpadas acesas podemos ter?