A Completude de S

Resumos - Lógica - Prof. Ricardo P. Tassinari - Departamento de Filosofia - Unesp/Marília – 2012
A COMPLETUDE
DE
S
Vamos, nesta lição, mostrar que o sistema de dedução natural S definido anteriormente
é completo (cf. a lição As Noções de Correção e Completude de um Sistema Formal).
Antes, precisamos mostrar a seguinte proposição que nos ajudará a mostrar a completude e a completude inferencial.
Proposição (Dedução da linha da tabela-verdade). Dada uma linha da tabela-verdade
de uma fórmula Z, com letras sentenciais X1, X2, …, Xn temos que:
X1*, X2*, …, Xn* ˫ Z*
em que
Xi* = Xi se Xi é V
e
Xi* = ~Xi se Xi é F
Z* = Z se Z é V
Z* = ~Z se Z é F
Exemplo. Temos as seguintes deduções, para cada linha da tabela-verdade abaixo:
X1 X2
Z
A B ~A → B
X1*, X2* ˫ Z*
V V
V
A, B ˫ ~A → B
V F
V
A, ~B ˫ ~A → B
F V
V
~A, B ˫ ~A → B
F F
F
~A, ~B ˫ ~(~A → B)
Vamos mostrar a X1*, X2*, …, Xn* ˫ Z* acima, por indução no número de conectivos de Z,
isto é, vamos mostrar que:
(I) X1*, X2*, …, Xn* ˫ Z* vale, se Z não tem conectivos (Z tem zero conectivos); e que,
(II) se X1*, X2*, …, Xn* ˫ Z* vale para fórmulas com menos que n conectivos,
então X1*, X2*, …, Xn* ˫ Z* vale para uma fórmula Z com n conectivos.
Com isso mostramos que X1*, X2*, …, Xn* ˫ Z* vale para todas as fórmulas.
(I) Z tem zero conectivos. Se Z não tem conectivos, então Z é a letra sentencial X.
Como X ˫ X e ~X ˫ ~X e Z é X, temos que X ˫ Z e ~X ˫ ~Z; logo:
X* ˫ Z*
(II) Z com n conectivos. Suponhamos que Z tem n conectivos e que a Proposição acima
vale para fórmulas com menos que n conectivos (hipótese de indução).
O último conectivo na construção de Z é ~ ou →, ou seja, temos dois casos possíveis:
(1) Z é da forma ~Y (que indicaremos por Z = ~Y); ou
(2) Z é da forma Y → W (que indicaremos por Z = Y → W).
Para cada um desses casos, temos dois subcasos:
(a) Z é V; ou
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(b) Z é F.
Analisando os quatros subcasos possíveis, temos o seguinte.
(1.a) Z = ~Y e Z é V.
X1*, X2*, …, Xn* ˫ Y* (por hipótese de indução, pois Y tem menos que n conectivos)
X1*, X2*, …, Xn* ˫ ~Y (Y* = ~Y, pois Y é F, já que Z é V e Z = ~Y)
X1*, X2*, …, Xn* ˫ Z (Z = ~Y)
X1*, X2*, …, Xn* ˫ Z* (Z* = Z, pois Z é V)
(1.b) Z = ~Y e Z é F.
X1*, X2*, …, Xn* ˫ Y* (por hipótese de indução, pois Y tem menos que n conectivos)
X1*, X2*, …, Xn* ˫ Y (Y* = Y, pois Y é V, já que Z é F e Z = ~Y)
X1*, X2*, …, Xn* ˫ ~~Y (Pela regra DN aplicada a Y)
X1*, X2*, …, Xn* ˫ ~Z (Z = ~Y)
X1*, X2*, …, Xn* ˫ Z* (Z* = ~Z, pois Z é F)
(2.a) Z = Y → W e Z é V. Se Z é V e Z = Y → W, então (i) Y é F ou (ii) W é V.
(i)
X1*, X2*, …, Xn* ˫ Y* (por hipótese de indução, pois Y tem menos que n conectivos)
X1*, X2*, …, Xn* ˫ ~Y (Y* = ~Y, pois Y é F, neste caso(i))
X1*, X2*, …, Xn* ˫ Y → W (Pela regra DS aplicada a ~Y)
X1*, X2*, …, Xn* ˫ Z (Z = Y → W)
X1*, X2*, …, Xn* ˫ Z* (Z* = Z, pois Z é V)
(ii)
X1*, X2*, …, Xn* ˫ W*(por hipótese de indução, pois W tem menos que n conectivos)
X1*, X2*, …, Xn* ˫ W (W* = W, pois W é V, neste caso(ii))
X1*, X2*, …, Xn* ˫ Y → W (Pela regra P aplicada a W)
X1*, X2*, …, Xn* ˫ Z (Z = Y → W)
X1*, X2*, …, Xn* ˫ Z* (Z* = Z, pois Z é V)
(2.b) Z = Y → W e Z é F. Neste caso, como Z é F e Z = Y → W, Y é V e W é F.
X1*, X2*, …, Xn* ˫ W*(por hipótese de indução, pois W tem menos que n conectivos)
X1*, X2*, …, Xn* ˫ ~W (W* = ~W, pois W é F)
X1*, X2*, …, Xn* ˫ Y* (por hipótese de indução, pois Y tem menos que n conectivos)
X1*, X2*, …, Xn* ˫ Y (Y* = Y, pois Y é V)
X1*, X2*, …, Xn* ˫ ~(Y → W) (Pela regra NC aplicada a Y e ~W acima)
X1*, X2*, …, Xn* ˫ ~Z (Z = Y → W)
X1*, X2*, …, Xn* ˫ Z* (Z* = ~Z, pois Z é F)
Ou seja, em todos os casos possíveis, temos que, se X 1*, X2*, …, Xn* ˫ Z* vale para fórmulas Z com menos que n conectivos, então X 1*, X2*, …, Xn* ˫ Z* vale para uma fórmula Z
com n conectivos. Com isso, e com o resultado anterior de que X 1*, X2*, …, Xn* ˫ Z* vale
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quando Z tem zero conectivos, mostramos que X 1*, X2*, …, Xn* ˫ Z* vale para todas as fórmulas.
Podemos agora mostrar o resultado central desta lição.
Completude.
Se a fórmula Z é uma tautologia, então Z é teorema de S, ou seja,
se a fórmula Z é uma tautologia, então existe uma demonstração de Z em S.
Com efeito, seja Z uma tautologia e X1, X2, …, Xn as letras sentenciais de Z. Neste caso:
X1*, X2*, …, Xn* ˫ Z (Z* = Z, pois Z é sempre V).
Quando Xn é V, temos
X1*, X2*, …, Xn ˫ Z
e pela Demonstração Condicional (veja a lição O Sistema S e a Regra de Demonstração
Condicional) temos
X1*, X2*, …, Xn-1* ˫ Xn → Z.
E quando Xn é F, temos
X1*, X2*, …, ~Xn ˫ Z
e pela Demonstração Condicional (idem acima) temos
X1*, X2*, …, Xn-1 ˫ ~Xn → Z.
Assim, a partir das premissas X 1*, X2*, …, Xn-1* temos uma dedução de X n → Z e uma
dedução de ~Xn → Z e (juntado as duas deduções, que são uma sequência de fórmulas, em
uma única uma sequência de fórmulas), temos uma dedução de X n → Z e ~ Xn → Z , e, pela
regra Segue do Terceiro Excluído (veja a lição Alguns Esquemas de Dedução do Sistema S),
temos que existe uma dedução de Z a partir das premissas X1*, X2*, …, Xn-1*, ou seja,
X1*, X2*, …, Xn-1* ˫ Z
Se repetirmos o procedimento n-1 vezes para cada uma das premissas chegamos à:
˫ Z.
Ou seja, Z é teorema de S.
Temos então, que se Z é uma tautologia, então Z é teorema de S, ou seja, se Z é uma
tautologia, então existe uma demonstração de Z em S.
Uma das formas que se abrevia a Completude na literatura especializada é:
⊧Z ⇒ ˫Z
E com a Correção mostrada na lição A Correção de S, temos:
˫Z ⇔ ⊧Z
Chegamos então a um importante resultado de que, na nossa conceitografia (o sistema
S), toda fórmula que demonstramos é sempre verdadeira (tautologia), mais ainda, demonstramos toda fórmula que é sempre verdadeira (tautologia).