Polinômios

Exercícios sobre Polinômios
1) Sobre as raízes da equação 2x3 – x2 – 2x + 1 = 0, é verdade que:
a) nenhuma delas é real.
b) exatamente duas delas são negativas.
c) somente uma delas é irracional.
d) as três são números inteiros.
e) pertencem ao intervalo [-1, 1].
2) As três raízes de 9x3 – 31x – 10 = 0 são p, q e 2. Determine o valor de p2 + q2.
3) Uma das raízes da equação x3 – 2x2 + ax + 6 = 0 é 1. Calcule as outras raízes.
4) Sabe-se que 5 e raiz da equação x3 – 5x2 + x + m = 0.
a) Determine o valor de m.
b) resolva a equação.
5) O polinômio P(x) = x3 – x2 + x + a admite 1 como raiz.
a) determine o valor de a.
b) resolva a equação.
6) Considere a equação 3x3 – 2x2 + 12x – 8 = 0, que admite uma raiz igual a 2i. Então, podemos afirmar
que a equação dada admite:
a) uma raiz racional no intervalo [1/2, 3/4].
b) duas raízes reais no intervalo [1/2, 3/4].
c) uma raiz real irracional no intervalo [1/2, 3/4].
d) duas raízes reais irracionais no intervalo [1/2, 3/4].
e) uma raiz real irracional no intervalo [3/4, 1].
7) Sabe-se que –1 é raiz do polinômio f = x3 + x2 – 2x – 2. As demais raízes desse polinômio são
números:
a) irracionais.
b) não reais.
c) racionais não inteiros.
d) inteiros positivos.
e) inteiros e opostos entre si.
8) Sobre a equação x3 + x2 + x – 1, é correto afirmar que:
a) Possui três raízes imaginárias puras.
b) Possui três raízes reais cuja soma é 1.
c) Possui três raízes reais cuja soma é 3.
d) Possui duas raízes reais e uma imaginária pura.
e) Possui uma raiz real e duas imaginárias puras.
9) (PUCC-SP) Dado o polinômio P(x) = xn + xn-1 + ... + x2 + x + 3, se n for ímpar, então p( l) vale:
a)  l
b) 0
c) 2
d) l
e) 3
10) (F.C.Chagas-BA) Dado o polinômio P(x) = x3  2x2 + mx 1, onde m  . Seja P(a) o valor de P
para x = a, Se P(2) = 3.P(0), então P(m) é igual a:
a)  5
b)  3
c)  l
d) 1
e) 14
11) (PUC-SP) O polinômio na variável x, dado por f(x) = (2a2 + a  3)x3 + (a2  l)x2 + (a + 1)x  3, a 
, tem grau:
a) 3 para todo a   b) 2 se a = 1 c) 3 se a   3/2 d) 1 se a = 1
12) (UFPA) O polinômio P(x) = ax3 + bx2 + cx + d é idêntico a Q(x) = 5x2  3x + 4. Então podemos dizer
que a + b + c + d é igual a:
a) 6
b) 5
c) 4
d) 0
e) 3
13) (Osec-SP) Se os polinômios ax3 + bx2 + cx + d e x(x  l)(x  2) são idênticos, então:
a) a = 0
b) b = 1
c) c = 2
d) d = 3
14) (Uece-CE) Na divisão do polinômio f = (x2 + 2)2 por g = x2  x  1, obtêm-se quociente e resto,
respectivamente:
a) x2  x  6 e 7x + 10
b) x2 + x  6 e 7x  l0
c) x2 + x  6 e 7x + l0
d) x2 + x + 6 e 7x  l0
e) x2 + x + 6 e 7x + l0
15) (UFMG) O quociente da divisão de P(x) = 4x4  4x3 + x  1 por Q(x) = 4x3 + 1 é:
a) x  5
b) x  1
c) x + 5
d) 4x  5
e) 4x + 8
16) (FGV-SP) Seja Q(x) o quociente da divisão do polinômio P(x) = x6  1 pelo polinômio d(x) = x
 1, Então:
a) Q(0) = 0
b) Q(0) < 0
c)Q(l) = 0
d) Q( 1) = 1
e) Q(1) = 6
17) (UFMG) O quociente do polinômio P(x) = x4 + a2x2 + a4 pelo polinômio Q(x) = x2 – ax + a2,  a 
, é:
a) x2 + ax + a2
b) x2 – ax + a
c) x2 – ax + a2
d) x2 + ax + a
18) (PUC-RS) Se 3 e 4 são raízes do polinômio P(x) = x2 – (2a – b)x + 2a + 4b, então a – b é igual a:
a) 7
b) 6
c) 3
d) 2
e) 1
19) (UE - Maringá) Seja P(x) = ax2 + bx + c, em que a, b e c são números reais. Sabendo que P(0) = 9,
P(1) = 10 e P(2) = 7, calcule P(3).
20) O polinômio f(x) = 2x3  6x2 + mx + n tem uma raiz igual a 2 e f(1) =  6. Calcule m e n.
21) Seja o polinômio P(x) = 4x2 + 8x  5. Calcule a de modo que P(a + l) = P(a).
Resp.: a = 3/2
22) Considere os polinômios: P(x) = (m + n + p)x4  (p + l)x3 + mx2 + (n  p)x + n e
Q(x) = 2mx3 + (2p + 7)x2 + 5mx + 2m. Determine m, n e p de modo que P(x) e Q(x) sejam idênticos.
23) Dados os polinômios P1(x) = x3 + 1, P2(x) = x + 1 e P3(x) = ax2 + bx + c, determine a, b e c para que
P1(x) = P2(x).P3(x).
24) (FGV-SP) Seja Q(x) o quociente da divisão do polinômio P(x) = x6  1 pelo polinômio d(x) = x
 1, Então:
a) Q(0) = 0
b) Q(0) < 0
c)Q(l) = 0
d) Q( 1) = 1
e) Q(1) = 6
25) (PUC-RS) Se 3 e 4 são raízes do polinômio P(x) = x2 – (2a – b)x + 2a + 4b, então a – b é igual a:
a) 3
b) 2
c) 1
d) 0
e) –1
26) (Osec-SP) Se os polinômios ax3 + bx2 + cx + d e x(x  l)(x  2) são idênticos, então:
a) a = 0
b) b = 1
c) c = 2
d) d = 3
27) (Uece-CE) Na divisão do polinômio f = (x2 + 2)2 por g = x2  x  1, obtêm-se quociente e resto,
respectivamente:
a) x2  x  6 e 7x + 10
b) x2 + x  6 e 7x  l0
c) x2 + x  6 e 7x + l0
d) x2 + x + 6 e 7x  l0
e) x2 + x + 6 e 7x + l0
28) (UFMG) O quociente da divisão de P(x) = 4x4  4x3 + x  1 por Q(x) = 4x3 + 1 é:
a) x  5
b) x  1
c) x + 5
d) 4x  5
e) 4x + 8
29) (PUCC-SP) Dado o polinômio P(x) = xn + xn-1 + ... + x2 + x + 3, se n for ímpar, então p( l) vale:
a)  l
b) 0
c) 2
d) l
e) 3
30) (F.C.Chagas-BA) Dado o polinômio P(x) = x3  2x2 + mx 1, onde m  . Seja P(a) o valor de P
para x = a, Se P(2) = 3.P(0), então P(m) é igual a:
a)  5
b)  3
c)  l
d) 1
e) 14
31) (PUC-SP) O polinômio na variável x, dado por f(x) = (2a2 + a  3)x3 + (a2  l)x2 + (a + 1)x  3, a 
, tem grau:
a) 3 para todo a   b) 2 se a = 1 c) 3 se a   3/2 d) 1 se a = 1
32) (Vunesp-SP) Consideremos a equação x2 + ax + b = 0. Sabendo que 4 e – 5 são raízes dessa equação,
então:
a) a = 1, b = 7
b) a = 1, b = – 20
c) a = 3, b = – 20
d) a = – 20, b = – 20
33) (PUC-SP) Sendo x3 + 1 = (x + 1)(x2 + ax + b) para todo x real, os valores de a e b são,
respectivamente:
a) – 1 e – 1
b) 0 e 0
c) 1 e 1
d) – 1 e 1
e) 1 e – 1
34) (PUC-MG) O polinômio P(x) = ax3 + bx2 + cx + d é idêntico ao polinômio Q(x) = x3 – 2x + 4. O
valor de a + b + c + d é:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 7
35) (Unifor-CE) Sejam os polinômios f = (3a + 2)x + 2 e g = 2ax – 3a + 1 nos quais a é uma constante. O
polinômio f.g terá grau 2 se, e somente se:
a) a  0 e a  1/3
b) a  1/3 e a  -2/3
c) a  0 e a  -2/3
d) a  0
e) a  1/3
36) (Fatec-SP) Dividindo-se o polinômio M(x) = (2x – 1)(x2 + 9) pelo polinômio N(x) = x2 – 3x + 1,
obtêm-se quociente Q(x) e resto R(x). É verdade que:
a) Q(1) = 8
b)Q(– 1) = 3
c) Q(0) = 4
d) R(– 2) = – 70
e) R(2) = 40
37) (Fafi-MG) Sendo p(x) = x2 – 2x + 1, pode-se dizer que p(x + 1) – p(x) vale:
a) 1
b) 2x
c) x – 1
d) 2x + 1
e) 2x – 1
38) (Fuvest-SP) Um polinômio P(x) = x3 + ax2 + bx + c satisfaz as seguintes condições: P(1) = 0, P(– x) +
P(x) = 0, qualquer que seja x real. Qual o valor de P(2)?
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
39) (Osec-SP) Sejam os polinômios f(x) = ax2 – 2x + 1, g(x) = x + 2 e h(x) = x3 + bx2 – 3x + c, os valores
de a, b e c, tais que f.g = h são, respectivamente:
a) – 1; 2 e 0
b) 0; 1 e 2
c) 1; – 1 e 2
d) 1; 0 e 2
e) 2; – 1 e 0
Gabarito
1) E
2) 26/9
3) –2 e 3
4) a) m = –5 b) S = {5 – i; i}
5) a) faz que você acha!!! b) S = {1, –i, i}
6) A
7) A
8) E
9) C
10) B
11) D
12) A
13) C
14) E
15) B
16) E
17) A
18) C
19) Zero
20) m = 2 e n = 4
21) a = -3/2
22) m = 1; n = 2 e p = -3
23) a = c = 1 e b = -1
24) E
25) A
26) C
27) E
28) B
29) C
30) B
31) D
32) B
33) D
34) A
35) C
36) B
37) E
38) E
39) D