Raciocínio Lógico - Universo de Estudos

Raciocínio Lógico sem segredos – Professor Sormany Barreto – Turma uma vaga é minha!
RACIOCÍNIO LÓGICO
PARA O CONCURSO
DO INSS
APOSTILA 1
Sormany Barreto
Licenciado em Matemática e pós-graduado em Metodologia do Ensino da Matemática e Didática
do Ensino Superior, é professor de Raciocínio Matemático, Quantitativo, Numérico, Analítico e
Crítico, Equações Diferenciais, Álgebra 1 e 2 , Álgebra Linear, Estatística Básica e Avançada,
Matemática Básica e Financeira, Cálculo Diferencial e Integral 1,2 e 3, Autor do livro Matemática
para o Enem e lança em 2016 o livro Raciocínio Lógico para Todos.
Professor concursado do Estado e de Diversos Cursos preparatórios para Concursos.
Primeira edição – Janeiro/2016
Copyrigth ©sormany 2016
[email protected] tel:88093929/99437475
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Raciocínio Lógico sem segredos – Professor Sormany Barreto – Turma uma vaga é minha!
RACIOCÍNIO LÓGICO
(banca CESPE, 2015/16):
1 Conceitos básicos de raciocínio lógico:
proposições; valores lógicos das proposições;
sentenças abertas; número de linhas da tabela
verdade; conectivos; proposições simples;
proposições compostas.
2 Tautologia.
3 Operação com conjuntos.
4 Cálculos com porcentagens.
1.0. CONCEITO DE PROPOSIÇÃO
Proposição é toda oração declarativa que pode ser
classificada como verdadeira ou falsa, ou seja, é todo
encadeamento de termos, palavras ou símbolos que
expressam um pensamento de sentido completo.
Normalmente as proposições são representadas por letras
maiúsculas ou minúsculas, sendo as mais usuais: p, q, r, A
ou B.
Exemplos:
p : Uma Constituição é a organização jurídica fundamental
Meu material de RACIOCÍNIO LÓGICO foi desenvolvido
para auxiliar a sua preparação para o próximo concurso de
Técnico do Seguro Social do INSS, cujo edital foi publicado
em 23/12/2015 pela temida banca CESPE, e as
provas serão realizadas em 15 de Maio de 2016.
de um Estado.
ANÁLISE DO EDITAL
Os temas exigidos no seu edital podem ser separados
assim:
- lógica de proposições: itens 1 e 2 do edital
- conjuntos: item 3
- porcentagem: item 4
ainda não conseguirmos classificá-la, possui um valor lógico V ou
F, sendo, portanto, uma proposição.
q : 2 x 3 = 11 (dois vezes três é igual a 11).
r : Existe vida após a morte.
A proposição p é verdadeira(V); a proposição q é Falsa(F); e
não sabemos o valor lógico da proposição r , mas ela, apesar de
Após uma angustiante espera, foi publicado nesta data o edital do
concurso INSS 2015/2016 com 800 vagas para o cargo de Técnico
e 150 para o cargo de Analista do Seguro Social.
Trata-se do MESMO CONTEÚDO exigido nos dois últimos
concursos de Técnico do INSS, tanto o de 2012 da banca FCC
como o de 2008 da banca CESPE. Portanto, qual é a minha
primeira dica? RESOLVA ESSAS DUAS PROVAS!
As duas estão em meu módulo.
Use-as para fazer uma autoavaliação e sentir bem o que pode
ser cobrado, qual é o nível de profundidade exigido, e como você
se encontra atualmente nessa disciplina.
Repare que o edital de Raciocínio Lógico é bastante legal,
podendo ser resumido em apenas 3 temas principais (lógica de
proposições, conjuntos e porcentagens). Considerando ainda que
a prova só ocorrerá em 15 de Maio, Tio Sormany pode te afirmar:
dá tempo de sobra para você começar a se preparar na minha
disciplina(a mais gostosa de todas) e chegar na data da prova
em condições de obter um excelente desempenho!
Saiba ainda que existem muitas questões do CESPE sobre
todos os assuntos do edital. Assim, você terá muita “matéria
prima” para basear os seus estudos.
Eu não deixo passar uma prova. Todas de 2008 até 2015 estão
aqui no meu material.
O CESPE gosta de misturar disciplinas em uma mesma
questão, e você precisa estar atento a isso.
No último concurso do INSS a banca misturou Lógica de
Proposições e conhecimentos do Código de Ética.
Dois elementos são essenciais numa proposição lógica
Veja os exemplos de algumas proposições:
11  6 
 sujeito: onze;
 predicado:é diferente de seis;
 é declarativa;
 valor lógico: verdadeira(V).
a)Onze é diferente de seis.
b)O Acre é a capital do Brasil.
 sujeito: o Acre;
 predicado:é a capital do Brasil
 é declarativa
 valor lógico: falsa(F).
Vamos gabaritar a prova de Raciocínio Lógico.
Agora, estudar e estudar!
Pensa no salário, na estabilidade e no empréstimo
consignado.
Não são proposições:
 Frases que se dizem, a si próprias, falsas ou mentirosas.
 Ordens, determinações; ;(sentenças imperativas)
 Perguntas, questionamentos;(sentenças interrogativas)
 Sentenças sem verbo.
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APOSTILA 1
Caro aluno,
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 Desejos, aspirações;
 Sentenças exclamativas
 Sentenças Abertas: são aquelas que possuem uma
1.2. PARADOXOS
indeterminação.
Nas sentenças abertas (o valor lógico da sentença depende
do valor (do nome) atribuído a variável).
Exemplos:
 Estude bastante.(imperativa)
 Em que ano o homem foi à lua?(interrogativa)
 8  2 (falta o verbo e o predicado)
 Os alunos do professor Sormany.
 Que vidão!(exclamativa)
 A expressão x  y é positiva.(sentença aberta)
 Ele é funcionário do INSS.(sentença aberta)
1.1. SENTENÇAS FECHADAS E ABERTAS
As sentenças podem ser abertas ou fechadas.
Sentenças abertas ou Funções Proposicionais
ou Proposições Abertas.
São aquelas que possuem uma indeterminação.
Nas sentenças abertas (o valor lógico da sentença depende
do valor (do nome) atribuído a variável):
x 68
Se
x
valer
Exemplos:
1. O cidadão português afirma que todos os portugueses
são mentirosos.
2. “Esta sentença é falsa”
3. Nunca diga não.
4.Tudo que eu digo é mentira.
5.Toda regra tem uma exceção.
Paradoxo da exceção: "toda regra tem uma exceção". Se
x.
2 , de fato, x  6  8 .
x for diferente de 2 , a igualdade acima
considerarmos isso uma regra, então ela deve ter uma exceção.
Se ela tem exceção então haverá regra sem exceção.
1.2. PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA LÓGICA
 Uma proposição qualquer "p" é igual a si mesma (princípio da
identidade)
" x" é uma variável, pode assumir inúmeros valores.
 Uma proposição "p" não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo
tempo (princípio da não contradição)
Vejamos outro exemplo de sentença aberta:
 Uma proposição "p" é V ou F, não havendo uma terceira opção
“Ele foi o campeão de Roland Garros em 2014”.
(princípio do terceiro excluído)
Os alunos costumam confundir o princípio da não-contradição com
o do terceiro excluído.
Tio Sormany vai dar exemplos para deixar mais clara a
diferença.
1) Suponha que João vai ao estádio do Pacaembu assistir a
Neste caso, não sabemos quem é “ele”, o que não nos deixa
Palmeiras x Corinthians.
classificar a
Ele não pode ir com bandeira do Palmeiras e camisa do
frase em V ou F. Caso “ele” seja Rafael Nadal, então a frase é
Corinthians. Ele não pode ser "contraditório", usando cores dos
Verdadeira.
dois clubes ao mesmo tempo. Do contrário, corre sério risco de
Caso contrário, a frase será falsa.
A palavra “ele” dá o teor de indefinição. Não sabemos quem é ele. apanhar, qualquer que seja o lado da arquibancada que escolher
para sentar. Se alguém se junta à torcida do Palmeiras vestindo
Ou seja, temos uma variável
Sentenças fechadas são aquelas que não possuem camisa do Corinthians, vai apanhar. Se alguém se junta à torcida
Corinthians com bandeira do Palmeiras, apanha também.
indeterminação.
Nas sentenças fechadas é possível afirmar o valor lógico da Ou seja, ele não pode ser corintiano e palmeirense ao mesmo
proposição.
tempo. Princípio da não-contradição.
I. Pablo é um grande cantor.
Caso contrário, se
está errada.
II.
5 1 8(5
mais
1 é menor que 8 )
Mas veja que nada impede João de, na verdade, ser torcedor do
Vila Nova Futebol Clube, time da capital goiana. João na verdade
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APOSTILA 1
I.
Não dá para julgar esta frase em verdadeira ou falsa,
simplesmente por que não é possível descobrir o valor de
“Paradoxo” quer dizer algo surpreendente,
estranho, chocante, extraordinário, contrário ao
comum ou mesmo algo incrível.
Podemos dizer que há um paradoxo quando temos
uma conclusão contraditória de um raciocínio que
está aparentemente correto e que tenha premissas
aparentemente corretas.
Raciocínio Lógico sem segredos – Professor Sormany Barreto – Turma uma vaga é minha!
está visitando São Paulo, e apenas quis ir assistir a um clássico
paulista, sem na verdade torcer por nenhum dos dois. Ele torce
para um terceiro time. Logo, João irá com a camisa vermelha do
Vila Nova.
Aqui temos os dois princípios juntos:
 terceiro excluído: ou você é Atlético ou é Cruzeiro, sem terceira
opção (sem torcedor do Vila Nova)
 não contradição: nem pense em ir para o estádio com camisa
do Atlético e bandeira do Cruzeiro
1.3. CONECTIVOS LÓGICOS OU OPERADORES LÓGICOS.
Chamamos conectivos lógicos ou simplesmente conectivos as
palavras ou símbolos que se usam para formar novas proposições
a partir de outras proposições dadas.
Os conectivos usuais da lógica matemática são as seguintes
contradição (é proibido ir de bandeira do Palmeiras + camiseta do
Corinthians), mas não tivemos um caso do terceiro excluído (pois
havia um terceiro clube - Vila Nova).
2) Suponha agora que Mário vai ao Maracanã, assistir a
Flamengo x Santos.
Considere ainda que se trata da última rodada do campeonato
brasileiro, que o Flamengo já está bem posicionado na tabela, não
corre risco de rebaixamento, e não briga mais por vagas na Taça
Libertadores. Contudo, o Santos briga para não ser rebaixado.
Caso o Santos vença, se mantém na primeira divisão e, com isso,
rebaixa o Fluminense (estamos descartando a hipótese de
tapetão, evidentemente).
Neste caso, certamente todo o estádio estará numa torcida só.
Santistas e flamenguistas estarão juntos, assistindo ao Flamengo
fazer corpo mole para ser derrotado. Não será absurdo ver
pessoas com camisas do Flamengo, agitando bandeiras do
Santos, e vice-versa. Ou seja, neste caso, um torcedor pode usar
camisa de um time, mas bandeira do outro. Não se aplica o
princípio da "não contradição".
Considere ainda que só foi permitida a entrada de santistas e
flamenguistas. Nada de torcedores do Vila Nova Futebol Clube.
Agora sim, temos o princípio do terceiro excluído. Não há
torcedores de um terceiro time dentro do estádio.
3) Considere agora que Alberto vai o Mineirão, assistir ao clássico
Cruzeiro x Atlético.
Suponha ainda que ele seja natural de BH, e que em BH a
rivalidade chegou a tal ponto que, ou você é amigo, ou é inimigo.
Se não é atleticano, é cruzeirense. Nada de ficar em cima do
muro.
palavras:
e () , ou () , “ou... ou”,   
“se..., então () ,
se e somente se
() ”.
1.4. CLASSIFICAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES LÓGICAS
Proposição Simples (Proposição atômica)
São aquelas que vêm desacompanhadas de conectivos, de
elementos de ligação. As proposições simples expressam
apenas um pensamento.
Exemplos:
p : Sormany Barreto é médico.(F).
q : 3  2  4 (V)
r : Marcel e Robério são analistas do INSS.
 As bancas examinadoras(especialmente o CESPE)
buscam induzir o candidato a erro quando colocam no
enunciado uma proposição simples,mas de tamanho muito
grande,afirmando ser uma proposição composta.
 Para você não cair nessa cilada, basta procurar na frase a
presença de um conectivo.Caso não encontre o
conectivo,trata-se de uma proposição simples , não importa o
tamanho da frase.
Proposição Composta (Proposição molecular)
São aquelas que formadas por duas ou mais proposições
simples(duas ou mais orações) que vêm conectadas entre si.
As proposições compostas expressam mais de um
pensamento.
Ao fazermos uso da linguagem combinamos ideias simples
através de conectivos como “e”, “ou”, “se..., então”, “se, e
somente se” obtendo, então, proposições compostas.
O valor lógico de uma proposição composta é totalmente
determinado pelos valores lógicos das proposições simples que a
constituem e pela forma como elas estão ligadas através do
conectivo.
Exemplos:
Marcel é analista do INSS e Robério é analista do INSS.
Se Sormany é recifense, então Sormany é pernambucano.
Lógica é fácil ou Sócrates era filósofo.
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APOSTILA 1
Ou seja, tivemos um caso de aplicação do princípio da não
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2.0. TABELA VERDADE
Definição: É uma maneira prática de organizar os valores lógicos
de uma proposição simples ou composta.
O número de linhas(número de valorações possíveis) de
uma tabela verdade é fornecido pela expressão
TABELA VERDADE
2n , onde n é o
número de proposições simples(distintas) componentes e o
2 representa o número de valores lógicos possíveis(V ou F).
n
A fórmula 2 será usada para descobrir o total de linhas ou
saber a quantidade de valorações de uma proposição lógica.
Para a construção das tabelas lógicas iremos adotar
p, q : 2  4 linhas
Exemplo:
p : 21  2 linhas
p
Observação: Existe apenas uma situação em que a conjunção é
verdadeira: quando todas as suas “parcelas” são verdadeiras (ou
ainda, quando todas as proposições simples são verdadeiras)
Nota: A expressão
q
também pode ser escrita nas
seguintes formas:
p
V
V
p
V
V
F
p , apesar de q .
F
F
V
F
F
q
p
mas
q
p
Tanto
como
q
Quando duas proposições simples são ligadas pelo conectivo ou, a
proposição composta resultante é chamada disjunção das
proposições simples iniciais.
3.1. Conectivo “e”
Quando duas proposições simples são ligadas pelo conectivo e, a
proposição composta é chamada conjunção das proposições
simples iniciais.
Símbolo: 
Exemplos:
p : Neymar é brasileiro.
q : Maradona é argentino.
p  q : Neymar é brasileiro e Maradona é argentino .
1)
pe q
e
3.2. Conectivo “ou” (Disjunção inclusiva)
RESUMO: Divida o total de linhas por 2 e repita o mesmo
processo com o resultado obtido da coluna anterior, até chegar a
última coluna, o resultado de cada divisão será a repetição da
valoração(V e F), começando pelo V e iniciando pela primeira
linha.
3.0. (CONECTIVOS LÓGICOS)
Observação: Se as proposições
pq
Símbolo: 
Exemplo: Dadas as proposições simples:
p : Todo ser vivo é mortal.
q: 37.
A disjunção inclusiva p ou q pode ser escrita como:
p  q : Todo ser vivo é mortal ou 3  7
Observação: Se as proposições
pe q
forem representadas
pq.
pq”
q,
como conjuntos através de um diagrama, a disjunção “
corresponderá à união do conjunto
p com o conjunto
pq.
forem representadas
pq”
p com o conjunto q ,
como conjuntos através de um diagrama, a conjunção “
corresponderá à intersecção do conjunto
APOSTILA 1
a“IDÉIA DE METADES”.
2
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TABELA VERDADE.
Nota: Existe apenas uma situação em que a disjunção é falsa:
quando todas as suas “parcelas” são falsas (ou ainda, quando
todas as proposições simples são falsas)
3.3. Conectivo “ou... ou...”(Disjunção exclusiva)
Duas proposições quaisquer podem ser combinadas pela palavra
“ou” para formar uma proposição chamada de disjunção
exclusiva das proposições originais. Simbolicamente a disjunção
exclusiva das proposições
”se” ou
p
ou
p
e
q
é designada por
pq
(lê-
q ”).
Exemplos: Dadas as proposições simples:
p : Max é paulista.
Cuidado!!!!!!
Já apareceu em prova. A proposição “ Ou jogo bola ou nado
“ é do ponto de vista lógico equivalente à proposição “ Jogo
bola ou nado, mas não ambos”.
DICA DO TIO
O “OU EXCLUSIVO” deve ser reconhecido pelo contexto.
De não ser assim, deve ser informado
“OU A, OU B, MAS NAO AMBOS”
Alguns autores alegam que basta dizer “OU A OU B” para ser
Exclusivo. Mas isso não é aceito por muitas bancas.
Por outro lado, há bancas que entendem que “ou A, ou B” já
identifica o “OU EXCLUSIVO”.
Portanto: CUIDADO!
Trabalharemos esse problema ao longo das questões.
3.4. Conectivo “se..., então“
As sentenças que têm a forma “se
p , então q ”, são
q : Max é pernambucano.
chamadas de proposições condicionais e representadas
A disjunção exclusiva “ou p ou q” pode ser escrita como:
simbolicamente por
p  q : Ou Max é paulista ou Max é pernambucano.
Queridos alunos, a expressão “ou” tem função de inclusão,
enquanto a expressão “ou... ou...” tem uma função de exclusão.
Mas essa relação é do ponto de vista lógico deixemos bem claro
isso!
NOTA: Ou hoje é sexta-feira ou sábado, mas não ambos.
Nesse caso, as duas proposições
“Hoje é sexta-feira e “Hoje é sábado” não podem ser
simultaneamente verdadeiras.


Observação: Se as proposições
pe q

forem representadas
como conjuntos através de um diagrama, a disjunção exclusiva
“
p  q ” corresponderá à ( p  q )  ( q  p ) .
A proposição
pq.
p , que é anunciada pelo uso da conjunção “se”,
é denominada condição ou antecedente enquanto a
proposição
q , apontada pelo advérbio “então” é denominada
conclusão ou conseqüente.
Exemplo: Dadas as proposições simples:
p : Sormany é recifense.
q : Sormany é pernambucano.
Observação: A condicional “Se
p , então q ” pode ser
escrita como:
p  q : Se Sormany é recifense , então Sormany é
pernambucano.
Observação: O condicional também pode ser lido:
 p implica q
 Quando p , q
 Sempre que p , q .
 p somente se q
 Todo p é q
 p é condição suficiente para
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APOSTILA 1
TABELA VERDADE.
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q (basta p acontecer para que q aconteça) isto é, se p é
q é verdadeiro.
 q é condição necessária para p (se q não
acontecer, p não aconteça) isto é, se q é falso, p é falso.
MUITOS COPIAM O MACETE DO TIO SORMANY.
verdadeiro,
Vera Fischer é falso e
o restante é V.
Exemplo:
Daí, a proposição condicional: “Se chove, então faz frio”
poderá também ser dita das seguintes maneiras:
 Se chove, faz frio.
 Faz frio, se chove.
 Quando chove, faz frio.
 Chover implica fazer frio.
 Chover é condição suficiente para fazer frio.
 Fazer frio é condição necessária para chover.
 Chove somente se faz frio.
 Toda vez que chove, faz frio
Observação:
Se as proposições
 Queridos alunos irão decorar a tabela assim: Vera Fischer
é falso e o restante é V.
DICA:
causa( p)  q(efeito)
3.5. Conectivo “se, e somente se” (bijunção ou dupla
implicação)
As sentenças que têm a forma “
pe q
forem representadas como conjuntos
através de um diagrama, a condicional “
À inclusão do conjunto
p
no conjunto
p  q ” corresponderá
p
se, e somente se,
q ” são
chamadas de proposições bicondicionais e são representadas por
pq.
Exemplos:
Dada as proposições simples:
q, pq.
p : O céu é azul.
q : A água do mar é salgada.
A proposição bicondicional (bijunção) “
p
se e somente se
q ”.
p  q : O céu é azul se e somente se a água do mar é
salgada.
Observações:
 A bicondicional p  q equipara-se à conjunção de dois
condicionais p  q e q  p
TABELA VERDADE
Por exemplo, a proposição composta “Hoje é Natal se e
somente se hoje é 25 de dezembro” significa que “Se hoje é
Natal, então hoje é 25 de dezembro; e se hoje é 25 de
dezembro, então hoje é Natal”.
 A proposição composta p  q
chamada de bicondicional
pode ser lida das seguintes maneiras:
Nota: Na condicional
p  q o resultado, é falso quando for VF
nessa ordem, (VF) é falso
Nota: Existe apenas uma situação em que o condicional é falso:
quando a primeira proposição for verdadeira e a segunda, falsa.
p se, e só se q . Todo p é q e todo q é p .
p se e somente se q q se somente se p .
p
é condição suficiente e necessária para
q.
q
é condição suficiente e necessária para
p.
Se
p , então q , e reciprocamente
Observação:
Se as proposições
p
e
q
forem representadas como conjuntos,
por meio de um diagrama, a proposição bicondicional "
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p
se e
APOSTILA 1
Pode ser escrita como:
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somente se
q " corresponderá à igualdade dos conjuntos p
e
q.
Exemplos:
p : Aracaju tem praia.
 p :Aracaju não tem praia.
Outras formas de negar essa mesma proposição è:
-Não é verdade que Aracaju tem praia.
-É falso que Aracaju tem praia.
CASO 2
A frase possui o advérbio não, nesse caso, é só retirar o advérbio
não.
Exemplos:
TABELA VERDADE.
q : O Brasil não é um país do continente Americano
 q : O Brasil é um país do continente Americano
Outras formas de negar essa mesma proposição è:
-Não é verdade que o Brasil não é um país do continente
Americano
-É falso que o Brasil não é um país do continente Americano.
Nesse caso, utilizamos a dupla negação, ou seja, negando
duas vezes, você está afirmando.
Nota: Na Bicondicional: Conjunção de duas condicionais (p se, e
somente se q).
SÍMBOLOS IGUAIS (VV ou FF) = V
4.0. MODIFICADOR
p é representada por p ou
~ p ,que é verdadeira quando p é falsa e é falsa quando p é
A negação de uma proposição
verdadeira.
A negação de uma proposição deve ter sempre um valor lógico
oposto, contraditório, com a proposição dada.
p
V
F
Exemplos:
1)Dizer que Fagner não viu nada é o mesmo que dizer que
Fagner viu algo.
2)Se o avesso do preto é branco, então qual a cor do avesso do
avesso do preto? A resposta é: preto
Note que, a negação da negação da negação de uma
proposição é uma negação:
Exemplos:
1)Dizer que César não viu nada não é o mesmo que dizer que
César não viu algo.
2)Se o avesso do preto é branco, então qual a cor do avesso do
avesso do avesso do preto?
A resposta é: branco
DICA DO TIO SORMANY
p
F
V
Como saberemos se uma questão qualquer
se refere à negação? De três maneiras.
1) A questão explicitamente pede a negação de uma proposição
dada
2)A questão fornece uma proposição verdadeira e pede uma
falsa.
3)A questão fornece uma proposição falsa e pede uma
verdadeira.
4.1. NEGAÇÃO DE UMA PROPOSIÇÃO SIMPLES
CASO 1
A frase não possui o advérbio não, logo colocamos o advérbio
antes do verbo de ligação.
CASO 3
Utilização de antônimos.
Com o objetivo de negar uma proposição, é comum em algumas
provas a substituição de palavras ou expressões da sentença por
antônimos ou expressões de sentido oposto
Proposição
Negação da Proposição
p : Lógica é fácil
~ p : Lógica é difícil
r : Sormany é culpado
~ r : Sormany é inocente
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APOSTILA 1
(p)  p
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CASO 4
Negação dos símbolos matemáticos.
Sejam x , y números reais.
1º)¬
2º)∨ou∧
NEGAÇÃO
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x  y


5º) 
3º)
4º)
Observação: Caso aconteça, assim como na
Aritmética,deveremos resolver primeiro a fórmula de dentro dos
parênteses,em seguida a dos colchetes e assim por diante.
Exemplo:
" ~ p  q  r " é o mesmo que "  ~ p   q   r "
 x  y ou x  y
Exemplo:
p :5  2  7
~ p :5  2  7
VALE A PENA RESSALTAR:
Ex1: A negação de “ Sormany é mais velho que
Tássio é” Sormany é mais novo ou da mesma idade
que Tássio.”
Ex2: A negação de “ O flamengo ganhou o jogo” é
O Flamengo não ganhou o jogo”, o que significa que o
Flamengo pode ter perdido ou empatado o jogo.
Ex3: A negação de “Andrezza ganha mais de 30 mil reais” é
“Andrezza ganha 30 mil reais ou menos”
Negar não é tornar uma sentença falsa, e sim trocar a
valoração, isto é, se ela for verdadeira, quando negar
passará a ser falsa, e, se for falsa, passará a ser
verdadeira.
Exemplo:
p : Paris está na Inglaterrra
Está é uma proposição falsa.
Ao aplicarmos o modificador, temos uma proposição
verdadeira.
 p : Paris não está na Inglaterrra.
4.2. NEGAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS
As maiores armadilhas são as questões envolvendo
negação das proposições compostas.
As leis de De Morgan ensinam como negar proposições
compostas pelos conectivos “e”(conjunção) e
“ou”(disjunção inclusiva).
Negação da conjunção:
  P e Q   P ou Q
Negar a primeira proposição(simples ou composta),
depois colocar o conectivo”ou” e negar a segunda
proposição(simples ou composta).
Exemplo:
A negação de: “A mulher é fiel e o homem é
ingênuo” é “A mulher não é fiel ou o homem
não é ingênuo”
 Negação da disjunção inclusiva:
  P ou Q   P e Q
Negar a primeira proposição(simples ou composta),
depois colocar o conectivo”e” e negar a segunda
proposição(simples ou composta).
Ordem de resolução de proposições sem parênteses
Quando uma proposição tem parênteses, a ordem de resolução é
clara.
Por exemplo, para resolvermos a proposição composta
 p  q    p  q  começamos pelo que está dentro dos
parênteses.
Exemplo:
A negação de: “O pássaro não voa ou não está
doente” e o:“O pássaro voa e está doente”
 Negação da condicional
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APOSTILA 1
AFIRMAÇÃO
Quando houver vários símbolos sem parênteses, convenciona-se
que a ordem de sua aplicação é a seguinte:
Raciocínio Lógico sem segredos – Professor Sormany Barreto – Turma uma vaga é minha!
( P  Q)  P  Q
Conservamos a primeira proposição(simples ou
composta), colocar o conectivo”e” e depois negar
somente a segunda proposição(simples ou composta).
Exemplo:Determine a negação da proposição abaixo:
“Se loiras são lindas, então o homem é objeto
Negação: As loiras são lindas e o homem não é objeto”
Mantemos as duas partes e trocamos o
conectivo“ou...ou...”pelo conectivo“se e somente se”
Exemplo:
Proposição: Ou Marcel canta ou Melissa dança.
Negação: Marcel canta se e somente se Melissa dança.
Segunda Possibilidade:
(ou P ou Q)  P  Q
Negamos as duas partes e trocamos o
conectivo“ou...ou...”pelo conectivo“se e somente se”
Exemplo:
Proposição: Ou Marcel canta ou Melissa dança.
Negação: Marcel não canta se e somente se Melissa não
dança.
 Negação da bicondicional
Primeira maneira:
( P  Q)   P e Q  ou  Q e P 
4.3.NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS
Exemplo:
A negação de “João é culpado se, e somente se, não fugiu” é
“João é culpado e fugiu ou João não fugiu e é inocente”.
Segunda maneira:
( P  Q)  ou P ou Q
Proposição
Negação direta
Equivalente da
Negação
Algum P é Q
Não (Algum P é
Q)
Nenhum P é Q
Algum P não
éQ
Não (algum P não
é q)
Nenhum P não é Q
Não(Nenhum P é
Q)
Algum P é Q
Não (Todo P é Q)
Algum P não é Q
(ou pelo menos
um P não é Q)
( P  Q)  P  Q
Exemplos:
Quarta Maneira:
Nega apenas a primeira parte e mantenha o conectivo.
( P  Q)  P  Q
p : Todo concurseiro é persistente.
~ p : Algum (Pelo menos um) concurseiro não é persistente.
~ p : Existe concurseiro que não é persistente
~ p : Nem todo concurseiro é persistente.
1)
 Negação da Disjunção Exclusiva
q : Algum político é honesto.
q : Existe político honesto.
~ q : Nenhum político é honesto.
~ q : Todo político não é honesto.
3) r : Algum recifense não é pernambucano.
r : Existe recifense que não é pernambucano
~ r : Todo recifense é pernambucano
Primeira Possibilidade:
4)
Exemplo:
Proposição: 5 é primo se e somente se 7 é ímpar.
Negação: 5 é primo se e somente se 7 não é ímpar.
Negação: 5 não é primo se e somente se 7 é ímpar.
(ou P ou Q)  P  Q
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2)
t : Nenhum brasileiro é europeu.
t : Todo brasileiro não é europeu.
~ t : Algum brasileiro é europeu.
~ t : Existe brasileiro que é europeu.
5)A negação de Alguém ganhou a aposta é Ninguém
aposta.
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ganhou a
APOSTILA 1
(ou Todo P é Q)
Exemplo:
A negação de “Maria fica feliz se, e somente se Pedro está Nenhum P é
Q
presente” é “Ou Maria fica feliz ou Pedro está presente”.
Terceira Maneira:
Todo P é Q
Nega apenas a segunda parte e mantenha o conectivo.
Raciocínio Lógico sem segredos – Professor Sormany Barreto – Turma uma vaga é minha!
A expressão
P Q
também pode ser escrita nas
seguintes formas:
 Nem 
 Sem 
Cuidado para não confundir negação com contradição.
Exemplo:
p : O lápis é preto
1) Sempre que P, Q. 2) Q, pois P. 3)Enquanto P, Q.
4)Todo P é Q 5)P é antecedente de Q.
6) Q é consequente de P. 7)Se P, é porque Q
8)Quando P, Q 9)Caso P, Q.
 p : O lápis não é preto
IMPORTANTE(DICAS DO TIO SORMANY): Saiba que “e”, “ou”,
“ou, ... ou...”, “se..., então...”, “se e somente se” são as formas
básicas dos conectivos conjunção, disjunção, disjunção exclusiva,
condicional e bicondicional. Entretanto, várias questões exploram
formas
“alternativas” de se expressar cada uma dessas proposições
compostas. Você aprenderá a lidar com estas alternativas. Veja
os casos que considero mais importantes:
Conectivo “ou” precedido por vírgula, com
idéia de “ou exclusivo”.
Ex.:Chove, ou vou à escola. Aqui a pausa criada pela vírgula nos
permite depreender que apenas uma coisa ocorre: ou chove, ou
vou à escola. Assim, temos uma forma alternativa de representar
o “ou ..., ou...” que estudamos na disjunção exclusiva
- Condicional utilizando “Quando...” ou “Toda
vez que...”.
Exemplos:
1)Quando chove, vou à escola.
2) Toda vez que chove vou à escola.
Veja que nos dois casos acima temos formas alternativas de
apresentar uma
condição (“chove”) que leva a uma consequência (“vou à escola”).
Portanto, estas
são formas alternativas ao clássico “se ..., então ...” da
condicional.
Uso do “...ou..., mas não ambos” com idéia de
disjunção exclusiva.
Ex.: “Jogo bola ou corro, mas não ambos”. Repare que a primeira
parte dessa frase é uma disjunção comum (inclusiva), mas a
expressão “mas não ambos” exclui o caso onde “jogo bola” é V e
“corro” também é V. Isto é, passamos a ter uma disjunção
exclusiva. Alguns autores entendem que só temos disjunção
exclusiva se a expressão “mas não ambos” estiver presente
(ainda que tenhamos “ou..., ou ...”), mas isso não pode ser
considerado uma verdade absoluta. Trabalharemos esse
problema ao longo das questões.
O Cespe aborda o “se e somente se”
1)(STJ-CESPE-27/09/2015)
Mariana é uma estudante que tem grande apreço pela
matemática, apesar de achar essa uma área muito difícil. Sempre
que tem tempo suficiente para estudar, Mariana é aprovada nas
disciplinas de matemática que cursa na faculdade. Neste
semestre, Mariana está cursando a disciplina chamada Introdução
à Matemática Aplicada. No entanto, ela não tem tempo suficiente
para estudar e não será aprovada nessa disciplina.
A partir das informações apresentadas nessa situação hipotética,
julgue os itens a seguir, acerca das estruturas lógicas.
( )Considerando-se como p a proposição “Mariana acha a
matemática uma área muito difícil” de valor lógico verdadeiro e
como q a proposição“Mariana tem grande apreço pela
matemática” de valor lógico falso, então o valor lógico
de p  ~ q é falso.
( )Designando por p e q as proposições “Mariana tem tempo
suficiente para estudar” e “Mariana será aprovada nessa
disciplina”, respectivamente, então a proposição “Mariana não
tem tempo suficiente para estudar e não será aprovada nesta
disciplina” é equivalente a ~ p  ~ q .
2)(MP-ENAP-CESPE-30/08/2015)
Considerando a proposição P: “Se João se esforçar o bastante,
então João conseguirá o que desejar”, julgue os itens a seguir.
( )Se a proposição “João desejava ir à Lua, mas não conseguiu”
for verdadeira, então a proposição P será necessariamente falsa.
( )A negação da proposição P pode ser corretamente expressa
por “João não se esforçou o bastante, mas, mesmo assim,
conseguiu o que desejava”.
3)(MP-ENAP-CESPE-30/08/2015)
  como:
Anota em sala para concorrência não colar!!!!!
1)
4)
2)
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APOSTILA 1
Veja que poderia haver uma confusão do tipo” O lápis é
branco” que não é uma forma negativa e sim uma
proposição que contradiz a proposição” O lápis é preto”.
Raciocínio Lógico sem segredos – Professor Sormany Barreto – Turma uma vaga é minha!
A partir dos argumentos apresentados pelo personagem Calvin na
tirinha acima mostrada, julgue os seguintes itens.
( )Considerando o sentido da proposição “Os ignorantes é que
são felizes”, utilizada por Calvin no segundo quadrinho, é correto
afirmar que a negação dessa proposição pode ser
expressa por “Não só os ignorantes são felizes”.
3.1)(CESPE - 2015 – MEC)
Considerando que as proposições lógicas sejam representadas por
letras maiúsculas e utilizando os conectivos lógicos usuais, julgue
os itens a seguir a respeito de lógica proposicional.
( )A sentença “A aprovação em um concurso é consequência
de um planejamento adequado de estudos” pode ser
simbolicamente representada pela expressão lógica
P Q,
em que P e Q são proposições adequadamente escolhidas.
( )A sentença “A vida é curta e a morte é certa” pode ser
simbolicamente representada pela expressão lógica
P  Q , em
que P e Q são proposições adequadamente escolhidas.
( )A sentença “Somente por meio da educação, o homem pode
crescer, amadurecer e desenvolver um sentimento de
cidadania” pode ser simbolicamente representada pela
expressão lógica P  Q  R , em que P, Q e R são proposições
adequadamente escolhidas.
4)(SBC-2015)
Julgue o item seguinte em certo (C) ou errado (E).
( )A negação da afirmação ”Todos os colombianos são felizes” é
”Existem colombianos que não são felizes”.
A figura acima apresenta as colunas iniciais de uma tabelaverdade, em que P, Q e R representam proposições lógicas, e V e
F correspondem, respectivamente, aos valores lógicos verdadeiro
e falso.Com base nessas informações e utilizando os conectivos
lógicos usuais, julgue os itens subsecutivos.
( )A última coluna da tabela-verdade referente à
proposição lógica P  (Q↔R) quando representada na posição
horizontal é igual a
P P2 , P3 e P4 , apresentadas a seguir.
proposições 1 ,
P1 : Se as ações de um empresário contribuírem para a
manutenção de certos empregos da estrutura social, então tal
empresário merece receber a gratidão da sociedade.
P2 : Se um empresário tem atuação antieconômica ou antiética,
( ) A última coluna da tabela-verdade referente à
proposição lógica P→(Q  R) quando representada na
posição horizontal é igual a
então ocorre um escândalo no mundo empresarial.
P3 : Se ocorre um escândalo no mundo empresarial, as ações do
empresário contribuíram para a manutenção de certos empregos
da estrutura social.
P4 : Se um empresário tem atuação antieconômica ou antiética,
ele merece receber a gratidão da sociedade.
Tendo como referência essas proposições, julgue os itens
seguintes.
( )Caso sejam falsas as proposições “Um empresário tem
atuação antieconômica ou antiética” e “Ele merece receber a
gratidão da sociedade”, então a proposição
P4
também será
falsa.
( )A negação da proposição “Um empresário tem atuação
antieconômica ou antiética” pode ser expressa por “Um
empresário não tem atuação antieconômica ou não tem atuação
antiética”.
7)(TC-DF 2014/CESPE-UnB)
( )A negação da proposição “O tribunal entende que o réu tem
culpa” pode ser expressa por “O tribunal entende que o réu não
tem culpa”.
8)(SBC-SE-2015)Com relação à lógica formal, julgue os itens
subsequentes.
(
)A negação da proposição “10+3=23” é a proposição”
10+3=13”.
( )Dizer que não é verdade que é falso que não é o caso que não
sou baiano é logicamente equivalente a dizer que é verdade que
sou baiano.
( )A tabela verdade da proposição abaixo apresenta
exatamente 16 linhas.
[~P  (Q  R)]  [(~R)  ~(P  Q)].
6)(CESPE - 2015 – MEC)
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5) (TCDF/ANAP-CESPE-04/05/2014)Considere as
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