C - Liceu Albert Sabin

MATEMÁTICA III
Pág 404
© 2015 EFMN
Prof. Eloy Machado
ESTRUTURAS NÃO TRIANGULARES
ESTRUTURAS NÃO TRIANGULARES
ESTRUTURAS NÃO TRIANGULARES
TRIÂNGULOS
ESTRUTURAS TRIANGULARES
O QUE SÃO TRIÂNGULOS CONGRUENTES?
Informalmente:
São triângulos “iguais”.
Ou seja...
São triângulos distintos, porém de mesmo tamanho e mesma forma.
O QUE SÃO TRIÂNGULOS CONGRUENTES?
Formalmente:
Dois triângulos são congruentes se os seus lados e ângulos forem
respectivamente congruentes.
AB  DE
ABC  DEF
BC  EF
AC  DF
∢A  ∢D
e
∢B  ∢E
∢C  ∢F
RESUMINDO
Os triângulos são
congruentes!
Existem 6 congruências
entre eles!
(3 entre lados e 3 entre ângulos).
Só conheço 3
congruências...
6 congruências conhecidas
(critérios de congruência)
(lucro = 3 congruências “novas” !)
CRITÉRIOS DE CONGRUÊNCIA
Para que servem os critérios de congruência:
N
Conhecemos pelo menos
3 das 6 congruências? S
Temos um critério válido
de congruência?
S
Os triângulos são
congruentes!
N
“lucro”
Podemos deduzir as 3
congruências que faltavam.
Não podemos
concluir nada.
CRITÉRIOS DE CONGRUÊNCIA
Os critérios válidos de congruência são 5:
LAL (lado, ângulo, lado)
2 lados e o ângulo entre eles são congruentes.
CRITÉRIOS DE CONGRUÊNCIA
ALA (ângulo, lado, ângulo)
2 ângulos e o lado entre eles são congruentes.
CRITÉRIOS DE CONGRUÊNCIA
LLL (lado, lado, lado)
3 lados são congruentes.
CRITÉRIOS DE CONGRUÊNCIA
LAAo (lado, ângulo, ângulo oposto)
1 lado e 2 ângulos (um deles oposto ao lado) são congruentes.
CRITÉRIOS DE CONGRUÊNCIA
LLAr (lado, lado, ângulo reto)
(ou: caso especial Hipotenusa-Cateto)
um cateto e a hipotenusa são congruentes.
CRITÉRIOS DE CONGRUÊNCIA
Resumindo:
1. L.A.L.
5 critérios de
congruência
2. A.L.A.
3. L.L.L.
4. L.A.Ao.
5. L.L.Ar. (ou H.C.)
 Se ABM  ACM

B =C
(“Lucro”)
Logo, os ângulos da base
do triângulo isósceles são
congruentes.
Os triângulos ABM e ACM são congruentes
por LLL, pois:
AB = AC (L) (definição de triângulo isósceles)
CM = BM (L) (por hipótese)
AM = AM (L)
Outras consequências:
BAM = CAM
ABM  ACM
(então, AM é bissetriz...)
BMA = CMA
90º 90º
importante: como eles são
suplementares, cada um é reto.
(então, AM é altura...)
Conclusão: No triângulo isósceles, mediana, bissetriz e altura relativos à
base coincidem
P
A
M
Os triângulos PMA e PMB são congruentes por LAL, pois:
(L) (pela definição de mediatriz)
PMA = PMB (A) (retos, pela definição de mediatriz)
PM = PM (L)
 PMA  PMB  PA = PB
(“Lucro”)
Assim, qualquer ponto P da
mediatriz equidista de A e B
AM = BM
B
 se POA  POB
POA = POB (“Lucro”)
Então, OP é bissetriz do
ângulo AOB.
Os triângulos PAO e PBO são congruentes por LLAr, pois:
OP = OP
PA = PB
(L)
(L) (por hipótese)
PAO = PBO (Ar) (retos, pela definição de distância de ponto a reta)
CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS
Quanto aos lados:
Escaleno
Isósceles
Equilátero
Não possui lados
congruentes
Possui 2 lados
congruentes
Possui 3 lados
congruentes
60o

(e não possui
ângulos congruentes)

60o
60o
base
(ângulos da base
são congruentes)
(todos os ângulos
internos medem 60º)
CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS
Quanto aos ângulos:
Acutângulo
Retângulo
Obtusângulo
possui três ângulos
internos agudos
Possui um ângulo
interno reto
Possui um
ângulo interno
obtuso
cat 
Hip

cat
 +  = 90º
CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS
escalenos
Conjunto dos Triângulos
equiláteros
isósceles
a) B = 2C
b)  escaleno
A = 3C
(não possui ângulos
congruentes)
A + B + C = 180º
3C + 2C + C = 180º
B = 60º
(possui um ângulo reto)
6C = 180º  C = 30º
A = 90º
A = 90º, B = 60º e C = 30º
 retângulo
 Isósceles:
 ABD (AB = AD)
65º
65º
 Isósceles:
 ABD (AB = AD)
 ACD (AC = AD)
75º
65º
65º
75º
 Isósceles:
 ABD (AB = AD)
 ACD (AC = AD)
 ABC (AC = AB)
50º
65º
50º
65º
75º
75º
 Isósceles:
 ABD (AB = AD)
 ACD (AC = AD)
 ABC (AC = AB)
 ABE
50º
65º
50º
65º
75º
(BAE = ABE = 50º)
75º
TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO
A
1º modo:
A
B
B
 + C = 180º
A + B + C = 180º

C

C
 +C = A + B + C
=A+B
TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO
2º modo:
A
r
A
B
B
C
Y
Por C, traçamos a
reta r, paralela à AB.
X
C
 =X +Y
X = B (correspondentes)
Y = A (alternos internos)

=A+B
TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO
A
A
B
B
=A+B
C

C
“A medida de ângulo externo equivale à soma das
medidas dos 2 ângulos internos não adjacentes a ele!”
TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO
TREINAMENTO: Determine o valor de x
x = 50 + 60
50º
60º
x
x = 110º
140º
3x + 4x = 140
7x = 140º
x = 20º
3x
4x
ângulo externo
(AED)
3
3
ângulo externo
(ABD)
3
3
5
5
3
5
8
3
ABC: 2 + 8 + 8 = 180º
18 = 180º
5
  = 10º
8
CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS
Quanto aos lados:
Conjunto dos Triângulos
escalenos
equiláteros
isósceles
Os triângulos ABM e ACM são
congruentes por LLL, pois:
AB = AC
CM = BM
AM = AM
(L)
(L)
(L)
 Se ABM  ACM

B =C
Logo, os ângulos da base do triângulo
isósceles são congruentes.
(“Lucro”)