C - Liceu Albert Sabin
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MATEMÁTICA III Pág 404 © 2015 EFMN Prof. Eloy Machado ESTRUTURAS NÃO TRIANGULARES ESTRUTURAS NÃO TRIANGULARES ESTRUTURAS NÃO TRIANGULARES TRIÂNGULOS ESTRUTURAS TRIANGULARES O QUE SÃO TRIÂNGULOS CONGRUENTES? Informalmente: São triângulos “iguais”. Ou seja... São triângulos distintos, porém de mesmo tamanho e mesma forma. O QUE SÃO TRIÂNGULOS CONGRUENTES? Formalmente: Dois triângulos são congruentes se os seus lados e ângulos forem respectivamente congruentes. AB DE ABC DEF BC EF AC DF ∢A ∢D e ∢B ∢E ∢C ∢F RESUMINDO Os triângulos são congruentes! Existem 6 congruências entre eles! (3 entre lados e 3 entre ângulos). Só conheço 3 congruências... 6 congruências conhecidas (critérios de congruência) (lucro = 3 congruências “novas” !) CRITÉRIOS DE CONGRUÊNCIA Para que servem os critérios de congruência: N Conhecemos pelo menos 3 das 6 congruências? S Temos um critério válido de congruência? S Os triângulos são congruentes! N “lucro” Podemos deduzir as 3 congruências que faltavam. Não podemos concluir nada. CRITÉRIOS DE CONGRUÊNCIA Os critérios válidos de congruência são 5: LAL (lado, ângulo, lado) 2 lados e o ângulo entre eles são congruentes. CRITÉRIOS DE CONGRUÊNCIA ALA (ângulo, lado, ângulo) 2 ângulos e o lado entre eles são congruentes. CRITÉRIOS DE CONGRUÊNCIA LLL (lado, lado, lado) 3 lados são congruentes. CRITÉRIOS DE CONGRUÊNCIA LAAo (lado, ângulo, ângulo oposto) 1 lado e 2 ângulos (um deles oposto ao lado) são congruentes. CRITÉRIOS DE CONGRUÊNCIA LLAr (lado, lado, ângulo reto) (ou: caso especial Hipotenusa-Cateto) um cateto e a hipotenusa são congruentes. CRITÉRIOS DE CONGRUÊNCIA Resumindo: 1. L.A.L. 5 critérios de congruência 2. A.L.A. 3. L.L.L. 4. L.A.Ao. 5. L.L.Ar. (ou H.C.) Se ABM ACM B =C (“Lucro”) Logo, os ângulos da base do triângulo isósceles são congruentes. Os triângulos ABM e ACM são congruentes por LLL, pois: AB = AC (L) (definição de triângulo isósceles) CM = BM (L) (por hipótese) AM = AM (L) Outras consequências: BAM = CAM ABM ACM (então, AM é bissetriz...) BMA = CMA 90º 90º importante: como eles são suplementares, cada um é reto. (então, AM é altura...) Conclusão: No triângulo isósceles, mediana, bissetriz e altura relativos à base coincidem P A M Os triângulos PMA e PMB são congruentes por LAL, pois: (L) (pela definição de mediatriz) PMA = PMB (A) (retos, pela definição de mediatriz) PM = PM (L) PMA PMB PA = PB (“Lucro”) Assim, qualquer ponto P da mediatriz equidista de A e B AM = BM B se POA POB POA = POB (“Lucro”) Então, OP é bissetriz do ângulo AOB. Os triângulos PAO e PBO são congruentes por LLAr, pois: OP = OP PA = PB (L) (L) (por hipótese) PAO = PBO (Ar) (retos, pela definição de distância de ponto a reta) CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS Quanto aos lados: Escaleno Isósceles Equilátero Não possui lados congruentes Possui 2 lados congruentes Possui 3 lados congruentes 60o (e não possui ângulos congruentes) 60o 60o base (ângulos da base são congruentes) (todos os ângulos internos medem 60º) CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS Quanto aos ângulos: Acutângulo Retângulo Obtusângulo possui três ângulos internos agudos Possui um ângulo interno reto Possui um ângulo interno obtuso cat Hip cat + = 90º CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS escalenos Conjunto dos Triângulos equiláteros isósceles a) B = 2C b) escaleno A = 3C (não possui ângulos congruentes) A + B + C = 180º 3C + 2C + C = 180º B = 60º (possui um ângulo reto) 6C = 180º C = 30º A = 90º A = 90º, B = 60º e C = 30º retângulo Isósceles: ABD (AB = AD) 65º 65º Isósceles: ABD (AB = AD) ACD (AC = AD) 75º 65º 65º 75º Isósceles: ABD (AB = AD) ACD (AC = AD) ABC (AC = AB) 50º 65º 50º 65º 75º 75º Isósceles: ABD (AB = AD) ACD (AC = AD) ABC (AC = AB) ABE 50º 65º 50º 65º 75º (BAE = ABE = 50º) 75º TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO A 1º modo: A B B + C = 180º A + B + C = 180º C C +C = A + B + C =A+B TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO 2º modo: A r A B B C Y Por C, traçamos a reta r, paralela à AB. X C =X +Y X = B (correspondentes) Y = A (alternos internos) =A+B TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO A A B B =A+B C C “A medida de ângulo externo equivale à soma das medidas dos 2 ângulos internos não adjacentes a ele!” TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO TREINAMENTO: Determine o valor de x x = 50 + 60 50º 60º x x = 110º 140º 3x + 4x = 140 7x = 140º x = 20º 3x 4x ângulo externo (AED) 3 3 ângulo externo (ABD) 3 3 5 5 3 5 8 3 ABC: 2 + 8 + 8 = 180º 18 = 180º 5 = 10º 8 CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS Quanto aos lados: Conjunto dos Triângulos escalenos equiláteros isósceles Os triângulos ABM e ACM são congruentes por LLL, pois: AB = AC CM = BM AM = AM (L) (L) (L) Se ABM ACM B =C Logo, os ângulos da base do triângulo isósceles são congruentes. (“Lucro”)
