Lista 1 - Alessandro Santos

Lista 1 - Física II
Professor: Reginaldo de Jesus Napolitano – [email protected]
Monitor: Ricardo N. Santos – [email protected]
Gravitação
1. Considere um satélite em órbita circular próxima da superfície de um planeta.
(a) Mostre que o período T desta órbita só depende da densidade média do planeta, e não de
sua massa total.
(b) Calcule o valor de T para a Terra, para a qual ρ = 5,52 g/cm3, desprezando os efeitos da
atmosfera sobre a órbita.
(c) Calcule a velocidade do satélite nesta órbita.
2. Considere um satélite em órbita circular próxima da superfície de um planeta de raio Rp, onde a
aceleração da gravidade vale gp.
(a) Calcule a velocidade de escape do satélite partindo desta órbita.
(b) Aplique este resultado à Terra, desprezando os efeitos da atmosfera.
(c) Encontre o ponto de retorno (altura máxima) de um corpo lançado da Terra com velocidade
menor que a velocidade de escape (Etotal < 0). Não se esqueça de que a gravidade varia para
alturas consideráveis.
3. O diâmetro angular aparente do Sol visto da Terra (ângulo subtendido pelo disco solar) é de 0,55 o. A
constante gravitacional é G = 6,67 x 10-11 N.m2/kg2. Utilizando apenas estes dados, juntamente com o
período da órbita da Terra em torno do Sol, aproximado por um círculo, calcule a densidade média do
Sol.
4. Supondo que a atração gravitacional da nossa galáxia, de massa total Mg e raio Rg, atua como se toda
a massa estivesse concentrada em seu centro, e comparando a órbita circular de uma estrela situada na
beirada da galáxia, de velocidade vg , com a órbita da Terra em torno do Sol, de raio médio R:
(a) Mostre que Mg / Ms = (Rgvg2)/(Rv2) onde Ms é a massa do Sol e v é a velocidade orbital da
Terra em torno do Sol.
(b) A velocidade orbital do sistema solar em torno do centro da galáxia é de aproximadamente
200 km/s e o raio de sua órbita é de aproximadamente (3/5)Rg. Mostre que a velocidade de um
corpo em órbita circular é inversamente proporcional à raiz quadrada do raio da órbita e use
este resultado para estimar vg.
(c) Estime Mg/Ms, sabendo que Rg é de aproximadamente 5 x 104 anos-luz e que o raio da órbita
da Terra ao redor do sol é de 1,49 x 1011 m (unidade astronômica – 1 U.A.)
5. Considere uma estrela binária cujos componentes, de massas m1 e m2, separados por uma distância r,
descrevem órbitas circulares de período T em torno do centro de massa do par. Seja Ts o período de
orbita da Terra, de raio médio R, em torno do Sol, de massa Ms:
(a) Mostre que (T / Ts)2 = [Ms / (m1 + m2)] x (r / R)3
(b) Aplique este resultado para calcular o período da estrela dupla Sirius A – Sirius B, sabendo
que a massa de Sirius A é de 2,2 Ms e a de Sirius B é de 0,9 Ms. A separação do par é de 19,9 U.A
(considere as órbitas como circulares).
(c) Calcule os raios rA e rB das órbitas de Sirius A e de Sirius B.
6. Duas partículas de massas m1 e m2 são soltas em repouso, separadas de uma distância inicial r0,
movendo-se apenas sob o efeito da atração gravitacional mútua. Calcule as velocidades das duas
partículas ao se aproximarem a uma distância r (< r0).
7. Calcule a altura necessária, em relação à superfície da Terra, para que um satélite entre em órbita
geoestacionária (em que a rotação acompanha exatamente a rotação da Terra).
8. Calcule o campo gravitacional (força por unidade de massa) produzido por uma camada esférica
homogênea de densidade ρ, raio interno a e raio externo b, num ponto situado dentro da camada, à
distância r do centro (a < r < b). Esboce a curva de dependência do campo gravitacional (em módulo) em
função de r. Mostre que, para uma camada delgada, o campo varia linearmente (com boa aproximação)
entre as superfícies interna e externa.
9. Dentro de uma esfera de raio R e de densidade ρ (figura abaixo) existe uma cavidade esférica de raio
a. A distância entre os centros O e O’ da esfera e da cavidade é d.
(a) Para um ponto P externo, alinhado
com os centros O e O’ e à distância r de O,
calcule a razão entre o campo
gravitacional (força por unidade de
massa) da esfera com a cavidade e aquele
que existiria se a esfera fosse maciça
(b) Calcule o campo gravitacional em um
ponto p’ qualquer dentro da cavidade.
10. Calcule a energia potencial gravitacional total associada a uma esfera homogênea de raio R e massa
M. Para isto, considere a variação de energia potencial pela adição de camadas consecutivas de
espessuras infinitesimais a uma esfera de raio r.
11. Um fio homogêneo de massa M tem a forma de um anel circular de raio a. Calcule a força de atração
gravitacional exercida pelo fio sobre uma partícula de massa m situada a uma distância D do centro do
anel, sobre seu eixo (figura abaixo). Este sistema pode ser utilizado como um modelo para os anéis de
Saturno (constituídos por uma mistura de gelo, poeira e pequenas rochas), já que estes apresentam
diâmetros da ordem de milhares de km e espessuras da ordem de alguns km.
12. Planetas de massa muito elevada (como Júpiter, com uma massa 318 vezes maior que a da Terra)
orbitando estrelas distantes podem ser descobertos observando-se o movimento da própria estrela.
Como a estrela e o planeta orbitam ao redor do centro de massa do sistema planeta-estrela,
observamos da Terra um movimento de afastamento e aproximação da estrela. A observação da estrela
14 Herculis, com massa igual a 0,9 da massa do Sol, levou ao gráfico de velocidade em função do tempo
apresentado na figura abaixo. Supondo que a Terra se encontre no plano da órbita desse sistema e que
este possua apenas um único planeta. Determine aproximadamente a massa do planeta e seu raio de
órbita, sabendo que a massa do Sol é de aproximadamente 2 x 1030 kg.
13. Mostre que, no fundo de um poço vertical de uma mina cavada até a profundidade D, a aceleração
gravitacional ag = ags (1 – D/R), onde ags é a gravidade na superfície da Terra. Suponha que a Terra é uma
esfera uniforme de raio R.
14. Na história fictícia O Pequeno Príncipe, o visitante na Terra diz ter vindo de um planeta que
“dificilmente era maior do que uma casa”. Suponha que seu planeta tenha um raio de 10 m. Qual seria a
densidade média do material que compõe o planeta para que a gravidade no mesmo fosse igual à
gravidade na Terra (suponha g = 10 m/s2), permitindo que o visitante se adaptasse perfeitamente ao
nosso planeta. Quantas vezes essa densidade é maior que a da Terra (ρTerra = 5,52 g/cm3)?