Estática Aula 01

MECÂNICA GERAL 1
Marcel Merlin dos Santos
TÓPICOS DE HOJE
Revisão de álgebra vetorial
Lei dos cossenos
Lei dos senos
Exercícios
Componentes cartesianas de uma força
Exercícios
Equilíbrio de uma partícula
Diagrama do corpo livre
Exercícios
REVISÃO DE ÁLGEBRA VETORIAL
Deslocamentos, velocidades, acelerações, forças,
momentos de força são exemplo de grandezas
físicas que possuem intensidade, direção e
sentido, e podem ser representadas por vetores.
Para somarmos 2 vetores basta unirmos a origem
do segundo vetor com a extremidade do primeiro
vetor, como mostrado na figura abaixo.
P+Q
P
Q
LEI DOS COSSENOS
Considere um triângulo ABC qualquer de lados a,
b e c:
Para esses triângulos podemos escrever:
Em qualquer triângulo, o quadrado de um lado é
igual à soma dos quadrados dos outros dois,
menos duas vezes o produto desses dois lados
pelo cosseno do ângulo formado por eles.
LEI DOS SENOS
A lei dos senos estabelece a relação entra a
medida de um lado e o seno do ângulo oposto a
esse lado. Para um triângulo ABC de lados a, b, c,
podemos escrever.
A lei dos senos determina que a razão entre a
medida de um lado e o seno do ângulo oposto é
constante em um mesmo triângulo.
EXERCÍCIO
Uma barcaça é puxada por dois rebocadores. Se a
resultante das forças exercidas pelos rebocadores
é de 5 kN e tem a direção do eixo da barcaça,
determine:
a) a tração em cada corda sabendo que α = 45o.
b) O valor de α para T2 mínimo
EXERCÍCIO
Determine a intensidade da resultante das duas
forças ilustradas
Resposta: R=707N, α=50,8o
EXERCÍCIO
Duas peças B e C estão rebitadas em um suporte
A. Ambas sofrem compressão por forças de 8kN,
em B, e 12 kN em C. Determine a força
resultante em A.
Resposta: R=17kN, α=84,8o
EXERCÍCIO
Um carro avariado é puxado por duas cordas, como mostrado na
figura abaixo. A tração em AB é de 400 N, e o ângulo α é de 20º.
Sabendo que a resultante das duas forças aplicadas em A tem a
direção do eixo do carro, utilizando trigonometria determine:
a) a tração na corda AC
b) a intensidade da resultante das duas forças aplicadas em A
Resposta: R=896N, TAC=585N
COMPONENTES CARTESIANAS
DE UMA
FORÇA
Em muitos problemas haverá a necessidade de decompor as forças
em duas componentes normais à outra. Normalmente usamos os
eixos y e x seguindo as direções vertical e horizontal, embora
possamos tomar duas direções perpendiculares quaisquer.
Fy
F
j
α
i
Fx
Podemos decompor a força F em função dos vetores unitários e
das componentes cartesianas, da seguinte maneira:
COMPONENTES CARTESIANAS
DE UMA
FORÇA
Fy
F
j
α
i
Fx
Com base no modelo da figura, podemos calcular as componentes
escalares de x e y da seguinte maneira:
EXERCÍCIO
A haste CB exerce no bloco B uma força P dirigida ao longo da
reta CB. Sabendo que P tem uma componente horizontal de 200N,
determine:
a) a intensidade da força P
b) A componente vertical
Resposta: P=261N, Py=-168N
EXERCÍCIO
A tração no cabo AC é de 370N. Determine as componentes
horizontal e vertical da força exercida em C.
Resposta: TACy=350N, TACx=-120N
ADIÇÃO DE FORÇAS PELA SOMA DAS
DECOMPOSIÇÃO DAS FORÇAS EM X E Y
Quando há três ou mais forças é difícil obter uma solução
trigonométrica para o cálculo da resultante dessas forças. Uma
alternativa para encontrar a resultante é decompor cada uma das
forças em componentes cartesianas. Considere três forças P, Q e
S atuantes em um ponto. Sua resultante R será:
R=P+Q+S
Decompondo cada força em suas componentes cartesianas, podese escrever a resultante da seguinte maneira:
Decompondo cada força em suas componentes cartesianas, podese escrever a resultante da seguinte maneira:
Ou, de forma compacta,
EXERCÍCIO
Quatro forças atuam no parafuso A da figura. Determine a
resultante das forças que agem no parafuso.
Resposta: Rx=199,1N, Ry=14,3N, R=199,6N, α=4,11º
EXERCÍCIO
Dois cabos sujeitos a trações conhecidas estão presos ao ponto A.
Um terceiro cabo, AC, é usado para sustentação. Determine a
tração em AC sabendo que a resultante das três forças aplicadas
em A seja vertical.
Resposta: TAC=25,6kN
EXERCÍCIO
O carrinho da figura é solicitado por três forças. Determine:
a) o valor do ângulo α para o qual a resultante das três forças seja
vertical
b) a intensidade da resultante
Resposta: α=36,9º; R=-80N
EQUILÍBRIO DE UMA PARTÍCULA
Equilíbrio: Substantivo masculino que significa
harmonia, estabilidade, solidez. É o estado que se
distribui de maneira proporcional.
Primeira lei de Newton: quando a resultante (R)
de todas as forças (F) que atuam sobre um ponto
material for zero, este ponto estará em equilíbrio
(repouso ou movimento retilíneo uniforme).
R = ∑F = 0
EQUILÍBRIO DE UMA PARTÍCULA
y
R = ∑F = 0
F4=2000N
Ou seja:
30o
30o
F3=1000N
F1=?
x
∑F
∑F
F2=?
Supondo que para a direita e para cima o sinal seja positivo:
∑F
= F1 − 2000 ⋅ sen(30) − 1000.sen(30) = 0
F1 − 1000 − 500 = 0
x
F1 = 1500 N
∑ Fy = − F2 − 1000 ⋅ cos(30) + 2000 ⋅ cos(30) = 0
− F2 + 1000 ⋅ cos(30)
F2 = 866 N
x
=0
y
=0
DIAGRAMA DE CORPO LIVRE
No esquema do exemplo anterior, todas as forças
exercidas sobre o ponto foram representadas em
um diagrama. Este diagrama é conhecido como
Diagrama de corpo livre.
y
F4=2000N
30o
30o
F3=1000N
F1=?
F2=?
x
EXERCÍCIO
Um caixote de 75 kg é sustentado
por um cabo vertical unido em A
a duas cordas que passam por
roldanas fixas nos prédios (B e C).
Determinar a tração em cada
corda.
∑F
x
TAB.sen(50) TAC.sen(30)
TAC=?
TAB=?
50o
30o
TAC.cos(30)
TAB.cos(50) A
P=m.g=75.9,8=736N
= T AC ⋅ cos(30) − TAB ⋅ cos(50) = 0
cos(50)
= 0,742T AB
cos(30)
∑ Fy = TAC ⋅ sen(30) + TAB ⋅ sen(50) − P = 0
T AC = T AB
0,742 ⋅ T AB ⋅ 0,5 + T AB ⋅ 0,766 − 736 = 0
1,137 ⋅ T AB = 736
T AB =
736
= 647 N ; T AC = 0,742 ⋅ T AB = 480 N
1,137
EXERCÍCIO
A manga A pode deslizar livremente sobre o eixo horizontal, sem
atrito. A mola presa à manga tem constante 1751 N/m e elongação
nula quando a manga está diretamente embaixo do suporte B.
Determine a intensidade da força P necessária para manter o
equilíbrio quando c=228 mm.
Resposta: R=80N
EXERCÍCIO
A manga A com 7,5 kg desliza sem atrito em um eixo vertical. Ela
está presa por um fio, através de uma polia sem atrito e a um peso
de 8,5 kg. Determine a altura h para que o sistema esteja em
equilíbrio.
Resposta: h=0,75m
EXERCÍCIO
Determine o ângulo α da Figura para o qual a tração seja a menor
possível no cabo BC. Calcule também as trações nos cabos BC e
AC.
Resposta: α=35º, TAC = 410N, TBC= 287N