Apostila Desenho Geométrico - Teoria - SOL

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA
DISCIPLINA: Expressão Gráfica Básica
Conceitos geométricos
A Geometria espacial (euclidiana) funciona como uma ampliação da Geometria plana (euclidiana) e trata dos métodos apropriados
para o estudo de objetos espaciais assim como a relação entre esses elementos. Os objetos primitivos do ponto de vista espacial,
são: pontos, retas, segmentos de retas, planos, curvas, ângulos e superfícies. Os principais tipos de cálculos que podemos realizar
são: comprimentos de curvas, áreas de superfícies e volumes de regiões sólidas. Tomaremos ponto, reta e plano como conceitos
primitivos, os quais serão aceitos sem definição
1. Ponto- É o conceito geométrico primitivo fundamental. Euclides o definiu como "aquilo que não tem parte". Ou seja, para
Euclides é o conceito de "parte", e não de"ponto", que é primitivo.Imagine o ponto o menor que você puder.
Diz-se que o ponto não tem dimensão, ou seja, ele é tão ínfimo quanto quisermos, e não faz sentido
mensionar qualquer coisa sobre tamanho ou dimensão do ponto. A única propriedade do ponto é a
localização. Representa-se o ponto por uma letra maiúscula qualquer do alfabeto latino.O ponto é uma
entidade geométrica que não tem altura, nem comprimento e nem largura, ou seja, não tem dimensões, por
isso, é chamado de adimensional.
2. Linha- Imagine um pedaço de barbante sobre uma mesa, formando curvas ou nós sobre si mesmo: este é um exemplo de linha.
3. Reta- Uma reta é composta por um conjunto infinito de pontos. É uma entidade que tem apenas comprimento, ou apenas altura
ou apenas largura, ou seja, tem apenas uma dimensão, considerada como unidimensional.
Para traçar uma reta, dois pontos apenas são necessários. Por um ponto, passam infinitas
retas.
A reta é uma entidade geométrica caracterizada pela projeção linear de um ponto no
espaço. A reta também pode ser descrita como um arco de circunferência cujo raio é
infinito. A reta é representada por letras minúsculas do nosso alfabeto ou por dois pontos
com uma seta apontando para os dois lados em cima.Enfim, é uma linha infinita que tem uma única direção. É também o caminho
mais curto entre dois pontos quaisquer.
4. Plano- Você pode imaginá-lo como uma folha de papel infinita. Um plano é uma superfície plana que se estende infinitamente em
todas as direções.
Um plano é uma entidade geométrica formada por infinitas retas e infinitos pontos.
Para traçar um plano, três pontos não-alinhados são necessários. O plano tem
duas dimensões, ou seja tem altura e largura ou altura e comprimento ou largura e
comprimento, por isso, é chamado de bidimensional.
Um plano é representado por uma letra minúscula do alfabeto grego, geralmente α
ou β ou por três pontos distintos do plano.
Planos e retas
Retas paralelas: Duas retas são paralelas se elas não possuem interseção e estão em um mesmo plano. Possuem coeficientes
angulares iguais, porém se interceptam no infinito.
Retas concorrentes: Duas retas são concorrentes se elas têm um ponto em comum. As retas perpendiculares são retas
concorrentes que formam entre si um ângulo reto.
Ex: retas s, r e t.
Apostila produzida pela Profª. Ninfa de Melo Canedo
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Retas perpendiculares: Possuem inclinação de 90° entre si; Se interceptam em apenas um ponto P definido na solução do sistema
composto pelas equações das duas retas. Ex: reta s.
Retas reversas: Duas retas são ditas reversas quando uma não tem interseção com a outra e elas não são paralelas. Isto significa
que elas estão em planos diferentes. Pode-se pensar de uma reta r desenhada no chão de uma casa e uma reta s, não paralela a r,
desenhada no teto dessa mesma casa.
Posição de uma reta no plano: Uma reta pode estar na posição Vertical,
Horizontal ou Inclinada(Diagonal).
r=vertical / s=horizontal / t=inclinada
Semi-reta:
Semi reta é uma parte da reta que tem começo, mas
não tem fim. O ponto onde a semi-reta tem início é
chamado Ponto de origem.
Ângulos
O ângulo é a medida que expressa o quanto dois segmentos de reta estão não-paralelos.
Apostila produzida pela Profª. Ninfa de Melo Canedo
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Figuras geométricas
Polígono: É uma figura plana formada por três ou mais segmentos chamados lados de modo que cada lado tem interseção com
somente outros dois lados próximos, sendo que tais interseções são denominadas vértices do polígono e os lados próximos não
são paralelos. A região interior ao polígono é muitas vezes tratada como se fosse o próprio polígono.
Elementos de um polígono: Um polígono possui os seguintes elementos:
Lados: Cada um dos segmentos de reta que une vértices cosecutivos:
,
,
,
,
.
Vértices: Ponto de encontro de dois lados consecutivos: A, B, C, D, E.
Diagonais: Segmentos que unem dois vértices não consecutivos:
,
,
,
,
.
Ângulos internos: Ângulos formados por dois lados consecutivos:
,
, ,
,
Ângulos externos: Ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado a ele
consecutivo:
,
,
,
,
.
*Segmentos congruentes: Dois segmentos ou ângulos são congruentes quando têm as
mesmas medidas.
Tipos de Polígonos
Polígono
Triângulo
Pentágono
Heptágono
Eneágono
Undecágono
No. de lados
3
5
7
9
11
Polígono
Quadrilátero
Hexágono
Octógono
Decágono
Dodecágono
No. de lados
4
6
8
10
12
Tipo de quadriláteros:
Paralelogramo: É um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos. Pode-se mostrar que num paralelogramo:
Os lados opostos são congruentes;
Os ângulos opostos são congruentes;
A soma de dois ângulos consecutivos vale 180 .
As diagonais cortam-se ao meio.
Retângulo
Losango
Quadrado
Paralelogramo
Losango: Paralelogramo que tem todos os quatro lados congruentes. As diagonais de um losango formam um ângulo de 90o.
Retângulo: É um paralelogramo com quatro ângulos retos e dois pares de lados paralelos.
Quadrado: É um paralelogramo que é ao mesmo tempo um losango e um retângulo. O quadrado possui quatro lados com a
mesma medida e também quatro ângulos retos.
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Trapézio: Quadrilátero que só possui dois lados opostos paralelos com
comprimentos distintos, denominados base menor e base maior. Pode-se
mostrar que o segmento que liga os pontos médios dos lados não
paralelos de um trapézio é paralelo às bases e o seu comprimento é a
média aritmética das somas das medidas das bases maior e menor do
trapézio. Considerando o Trapézio abaixo, podemos destacar:
* MN é a base maior, cuja medida vamos representar por B.
* PQ é a base menor, cuja medida vamos representar por b.
* A distância entre as bases é a altura do trapézio, cuja medida
indicaremos por h.
Trapézio isósceles: Trapézio cujos lados não paralelos são congruentes. Neste caso, existem dois ângulos congruentes e dois
lados congruentes.
Trapézio retângulo: Trapézio cujo um dos lados não paralelos forma com um dos lados remanescentes um ângulo reto.
Trapézio escaleno: Trapézio cujo os lados não opostos não são congruentes.
Isósceles
Retangular
Escaleno
Tipos de triângulos: Um triângulo pode ser classificado de acordo com as medidas relativas de seus lados:

Um triângulo equilátero possui todos os lados congruentes. Um triângulo equilátero é também equiângulo:todos os seus
ângulos internos são congruentes (medem 60°), sendo, portanto, classificado como um polígono regular.

Um triângulo isósceles possui somente
dois lados congruentes. Num triângulo
isósceles, o ângulo formado pelos lados
congruentes é chamado ângulo do vértice.
Os demais ângulos denominam-se ângulos
da base e são congruentes.

Em um triângulo escaleno, as medidas dos
Eqüilátero
três lados são diferentes. Os ângulos
internos de um triângulo escaleno também possuem medidas diferentes.
Isósceles
Escaleno
Denomina-se base o lado sobre qual apóia-se o triângulo. No triângulo isósceles, considera-se base o lado de medida diferente. Um
triângulo também pode ser classificado de acordo com seus ângulos internos:

Retângulo

Obtusângulo
Acutângulo

Um triângulo retângulo possui um ângulo
reto. Num triângulo retângulo, denomina-se
hipotenusa o lado oposto ao ângulo reto. Os
demais lados chamam-se catetos. Os
catetos de um triângulo retângulo são
complementares.
Um triângulo obtusângulo possui uma
ângulo obtuso e dois ângulos agudos.
Em um triângulo acutângulo, todos os três ângulos são agudos.
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Circunferência e Círculo
Circunferência: A circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que estão localizados a uma mesma
distância r de um ponto fixo denominado o centro da circunferência. Esta talvez seja a curva mais importante no contexto das
aplicações.
Círculo: (ou disco) é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo O é menor ou igual que uma
distância r dada. Quando a distância é nula, o círculo se reduz a um ponto. O círculo é a reunião da circunferência com o conjunto
de pontos localizados dentro da mesma. No gráfico acima, a circunferência é a linha de cor verde-escuro que envolve a região
verde, enquanto o círculo é toda a região pintada de verde reunida com a circunferência.
Raio, corda e diâmetro
Raio: Raio de uma circunferência (ou de um círculo) é um segmento de reta com uma extremidade no centro da circunferência e a
outra extremidade num ponto qualquer da circunferência. Na figura, os segmentos de reta OA, OB e OC são raios.
Corda: Corda de uma circunferência é um segmento de reta cujas extremidades pertencem à circunferência. Na figura, os
segmentos de reta AC e DE são cordas.
Diâmetro: Diâmetro de uma circunferência (ou de um círculo) é uma corda que passa pelo centro da circunferência. Observamos
que o diâmetro é a maior corda da circunferência. Na figura, o segmento de reta AC é um diâmetro.
Posições relativas de uma reta e uma circunferência
Reta secante: Uma reta é secante a uma circunferência se essa reta intercepta a circunferência em dois pontos quaisquer,
podemos dizer também que é a reta que contém uma corda.
Apostila produzida pela Profª. Ninfa de Melo Canedo
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Reta tangente: Uma reta tangente a uma circunferência é uma reta que intercepta a circunferência em um único ponto P. Este ponto
é conhecido como ponto de tangência ou ponto de contato. Na figura ao lado, o ponto P é o ponto de tangência e a reta que passa
pelos pontos E e F é uma reta tangente à circunferência.Observações:
1.
Raios e diâmetros são nomes de segmentos de retas mas às vezes são também usados como os comprimentos desses
segmentos. Por exemplo, podemos dizer que ON é o raio da circunferência, mas é usual dizer que o raio ON da circunferência
mede 10cm ou que o raio ON tem 10cm.
2.
Tangentes e secantes são nomes de retas, mas também são usados para denotar segmentos de retas ou semi-retas. Por
exemplo, "A tangente PQ" pode significar a reta tangente à circunferência que passa pelos pontos P e Q mas também pode ser o
segmento de reta tangente à circunferência que liga os pontos P e Q. Do mesmo modo, a "secante AC" pode significar a reta que
contém a corda BC e também pode ser o segmento de reta ligando o ponto A ao ponto C.
Posições relativas de duas circunferências
Reta tangente comum: Uma reta que é tangente a duas circunferências ao mesmo tempo é denominada uma tangente comum. Há
duas possíveis retas tangentes comuns: a interna e a externa.
Tangente comum interna
Tangente comum externa
Ao traçar uma reta ligando os centros de duas circunferências no plano, esta reta separa o plano em dois semi-planos. Se os
pontos de tangência, um em cada circunferência, estão no mesmo semi-plano, temos uma reta tangente comum externa. Se os
pontos de tangência, um em cada circunferência, estão em semi-planos diferentes, temos uma reta tangente comum interna.
Circunferências internas: Uma circunferência C1 é interna a uma circunferência C2, se todos os pontos do círculo C1 estão contidos
no círculo C2. Uma circunferência é externa à outra se todos os seus pontos são pontos externos à outra. Circunferências
concêntricas: Duas ou mais circunferências com o mesmo centro mas com raios diferentes são circunferências concêntricas.
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Circunferências tangentes: Duas circunferências que estão no mesmo plano, são tangentes uma à outra, se elas são tangentes à
mesma reta no mesmo ponto de tangência.
Circunf. tangentes externas
Circunf. tangentes internas
As circunferências são tangentes externas uma à outra se os seus centros estão em lados opostos da reta tangente comum e elas
são tangentes internas uma à outra se os seus centros estão do mesmo lado da reta tangente comum.Circunferências secantes:
são aquelas que possuem somente dois pontos distintos em comum.
Segmentos tangentes: Se AP e BP são segmentos de reta tangentes à circunferência nos ponto A e B, então esses segmentos AP
e BP são congruentes.
Polígonos circunscritos
Polígono circunscrito a uma circunferência é o que possui seus lados tangentes à circunferência. Ao mesmo tempo, dizemos que
esta circunferência está inscrita no polígono.
Quadrilátero circunscrito
Triângulo circunscrito
Propriedade dos quadriláteros circunscritos: Se um quadrilátero é circunscrito a uma circunferência, a soma de dois lados opostos é
igual a soma dos outros dois lados.
GLOSSÁRIO
Altura: nome dado a alguns comprimentos. Em alguns triângulos, paralelogramos ou trapézios, altura é um segmento de reta
desenhado a partir de um vértice, perpendicularmente ao lado oposto a ele. Esse lado oposto chama-se base
Base: no retângulo, base é o lado que não é
considerado altura.
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