LCE 112 – Fundadmentos de Matemática e Estatística

LCE 0212 – Estatística Aplicada às Ciências dos Alimentos
5a Lista de Exercícios
Prof. Edwin Ortega
Nos seguintes exercícios identifique qual é a variável aleatória para cada experimento assim
como os valores que pode assumir, a distribuição de probabilidade associada cada variável
para depois no final calcular as probabilidades.
Distribuição Binomial
1. Um aluno se apresenta a uma prova que contêm 8 perguntas, cada pergunta com 3
respostas opcionais. Se o aluno esta respondendo adivinhando e, além disso, sabe-se
que para aprovar deve responder corretamente 6 ou mais perguntas. Qual é a
probabilidade do aluno passar na prova?
2. Os registros de uma pequena empresa indicam que 30% das faturas expedidas são
pagas após o vencimento. De 10 faturas emitidas qual a probabilidade de
exatamente três serem pagas com atraso?
3.
Ontem 80% das ações mais negociadas na bolsa de valores Alpha Betha caíram de
preço. Suponha que você tenha uma carteira com 20 dessas ações e que as ações que
perderam valor possuam distribuição binomial.
Pede-se calcular
3.1) A probabilidade de que tenha caído de preço exatamente 15 dessas ações.
3.2) Calcular a média e a variância das ações que tem na carteira.
4. Você esta caçando a baleia Moby Dick. Diariamente você despacha de seu navio
um barco com arpoadores. Há uma probabilidade de 2/3 de um desses barcos
naufragar em um dia qualquer. Você planeja caçar Moby Dick por 4 dias. Qual é a
probabilidade de perder três ou mais barcos?
5. Quantas vezes devemos jogar uma moeda para que a probabilidade de aparecerem
ao menos duas caras seja superior a 1/2?
6.
Qual é a probabilidade de dois dos próximos três presidentes do Brasil, terem
nascido em um domingo?
7. As máquinas A e B produzem, em média 5% e 10% de peças defeituosas
respectivamente. Escolhe-se aleatoriamente 4 peças da produção de cada máquina
independentemente. Qual é a probabilidade que a amostra obtida da produção da
máquina A tenha exatamente uma peça defeituosa e amostra correspondente a
máquina B contenha duas peças defeituosas.
1
8. Seja a variável aleatória discreta X com distribuição Binomial de parâmetros “n” e
“p”. Pede-se mostrar que o valor esperado da variável aleatória X é “np”. Dica use o
n
n
n
fato que a  b     a k b nk
k 0  k 
9. O AIDS é uma doença que afeta a 1% de uma população grande. Suponha que
escolhemos n pessoas aleatoriamente dessa população.
8.1)
8.2)
Qual é a probabilidade que nenhuma das n pessoas sejam portadores do
vírus HIV?
Que tamanho deve ter a amostra n, para que esta probabilidade seja menor
ou igual a 10%?
Distribuição Poisson
10. Numa linha adutora de água de 60 km de extensão, o número de vazamentos no
período de um mês segue uma distribuição Poisson de parâmetro =4. Qual a
probabilidade de ocorrer, durante o mês, pelo menos um vazamento em certo setor
de 3 km de extensão.
11. Supondo que o número de carros que chegam a uma fila de guichê de um pedágio
possua distribuição de Poisson, a uma taxa de três carros por minuto, determine a
probabilidade de chegarem quatro carros nos próximos dois minutos?
12. Se a variável aleatória Y possui distribuição Poisson com média >0, mostre que:
  
PY  k  1  
 P y  k 
 k 1
onde k  0,1,2, n
13. Seja a variável aleatória discreta Y com distribuição Poisson de parâmetros “”.
Pede-se mostrar que a esperança matemática é igual a variância da variável aleatória

 x 
Y. Dica usa o fato que     e  .
x 0  x! 
14. Sabe-se que em certo supermercado vende-se cerveja skol em média de 10 caixas
por hora durante o período de maior venda. Qual a probabilidade de que se venda
pelo menos 1 caixa durante os primeiros seis minutos no período de maior venda?
15. Uma indústria de tintas recebe pedidos de seus vendedores através de fax, telefone e
internet. O número de pedidos que chegam por qualquer meio (no horário
comercial) é uma variável aleatória discreta com distribuição Poisson com taxa de 5
pedidos por hora.
15.1) Calcula a probabilidade de mais de 2 pedidos por hora.
2
15.2) Em um dia de trabalho (8 horas), qual seria a probabilidade de haver 50
pedidos?
Distribuição Normal
16. Seja a variável aleatória X ~ N 4,1 determine
16.1) P(X<4)
16.2) P(4<X<5)
16.3) P(X  1)
17. Seja a variável aleatória X ~ N 90,100 determine
16.4) P(X  115)
16.5) P(85<X<110)
16.6) P(|X-90|  102)
16.7) O valor de a tal que P(90-a  X  90+a)=0.95.
18. A fábrica de pneus Good Year produz um tipo de pneus que tem em média uma
vida útil de 80000 km. E um desvio padrão de 8000 km. Supondo que esta vida útil
possui uma distribuição Normal, pede-se calcular:
18.1) Qual é a probabilidade que um pneu dure mais de 96000 km?
18.2) O 50% dos pneus duram entre x1 e x2 km. Achar os valores de x1 e x2
sabendo que x1 e x2 são simétricos em relação a média.
18.3) O fabricante garante que vai substituir qualquer pneu gratuitamente cuja
duração seja inferior a x. Determinar o valor de x de modo que tenha que
substituir somente o 1% dos pneus.
19. Seja X uma variável aleatória com distribuição Normal. Somente conhecemos os
seguintes dados:
P X  64  0.08
P X  45  0.31
Pede-se calcular o valor esperado e o desvio padrão da variável aleatória X.
20. Doentes sofrendo de certa moléstia, são submetidos a um tratamento intensivo cujo
tempo de cura foi modelado por uma densidade Normal de média 15 e desvio
padrão 2 (em dias).
Pede-se calcular:
20.1) Que proporção desses pacientes demora mais de 17 dias para se recuperar.
20.2) A probabilidade de um paciente, escolhido ao acaso apresentar tempo de
cura inferior a 20 dias.
20.3) Calcular o tempo máximo necessário para a recuperação de 25% dos
pacientes. (A proporção de cura para o conjunto de pacientes é interpretada
como a probabilidade para um único paciente genericamente escolhido).
21. As alturas de 10000 alunos de colégio têm distribuição aproximadamente Normal
com média 1709 cm. E desvio padrão 5cm.
3
21.1) Qual o número esperado de alunos com altura superior a 1.65 cm?
21.2) Qual o intervalo simétrico em torno da média, que conterá 75% das alturas
dos alunos?
22. Na distribuição X ~ N , 2  encontre:
22.1) P X    2 
22.2) P X     
22.3) o número a, tal que P  a  X    a   0.99
22.4) o número a, tal que P X  a  0.90
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