1 Funç˜oes de várias variáveis a valores vetoriais
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1 Funções de várias variáveis a valores vetoriais Uma Funções de várias variáveis a valores vetoriais é uma função f : D → Rk : x 7→ f (x) onde D ⊆ Rn . Podemos interpretar de diferentes maneiras: por exemplo • Transformações: o conjunto D ⊆ Rn é transformado no novo conjunto f (D) ⊆ Rk . • Mudança de variáveis: (se n = k e f é bijetora) o ponto x de coordenadas (x1 , .., xn ) é representado pelo ponto y de coordenadas (y1 , .., yn ) onde y = f (x). • Campos vetoriais: a cada ponto x ∈ D a função associa um vetor f (x) ∈ Rk . Valem as mesmas definições do caso de funções reais (domı́nio, domı́nio natural, contradomı́nio, imagem, sobrejetora, injetora, bijetora, operações, composição, inversa, gráfico...) veja material SMA353: Funções aqui Como é feito para funções reais a valores vetoriais, podemos considerar as funções componentes fi : D 7→ R : x 7→ fi (x) (i = 1, .., k) tais que f : D → Rk : x 7→ f (x) = ( f1 (x), f2 (x), .., fk (x) ) e aplicar a elas a teoria das funções a valores reais: limites, continuidade, diferenciabilidade, regras de cálculo, ecc. veja material SMA354: funções de várias variaveis 1,2,3 aqui 1 Cálculo III, 22 de Março de 2017 2 Definição: Se f é derivável em p ∈ D definimos a Matriz Jacobiana de f em p: a matriz k × n ∂f1 ∂x 1 ∂f2 ∂x1 Jf (p) = : ∂fk ∂x1 ∂f1 ∂x2 .. ∂f2 ∂x2 .. .. ∂fk ∂x2 .. ∂f1 ∂xn ∂f2 ∂xn i = 1, .., k, ∂fi = (p) : ∂xj : j = 1, .., n ∂fk ∂xn Observe: ∂f (p) : j = 1, .., n • As colunas de J são as derivadas parciais (vetoriais) de f : ∂xj • as linhas de J são os gradientes das componentes de f : ∇fi (p) : i = 1, .., k Regra da cadeia para funções a valores vetoriais Sejam f : Rn → Rk , g : Rk → Rt deriváveis, então faz sentido g ◦ f : Rn → Rt : x 7→ g(f (x)) e vale Jg◦f (x) = Jg (f (x)) · Jf (x) Cálculo III, 22 de Março de 2017 1.1 3 Outros operadores de derivação Para campos vetoriais (F : D → Rn , D ⊆ Rn ), denotamos F (x) = ( F1 (x), F2 (x), .., Fn (x) ), x = (x1 , x2 , .., xn ) podemos definir: o divergente do campo: divF (x) := n X ∂Fi 1=1 ∂xi (x) (outras notações: divF = ∇ · F ). Para campos vetoriais (F : D → Rn , D ⊆ Rn ) com n = 3, denotamos F (x) = ( F1 (x), F2 (x), F3 (x) ), x = (x1 , x2 , x3 ) podemos definir o rotacional do campo: b b b i j k ∂ ∂ ∂ rotF := ∂x ∂x ∂x 2 3 1 F1 F 2 F3 (outras notações: rotF = ∇ ∧ F ). (se n = 2 podemos definir rotF = ∂F2 ∂x1 − ∂F1 ∂x2 ) Lembrete: Produto vetorial: No caso n = vetorial de dois vetores: b b i j x ∧ y = x1 x2 y1 y 2 Onde usa isso? Eq. de Maxwell 3 (e n = 2) definimos o produto b k x3 y3 Cálculo III, 22 de Março de 2017 2 4 Exemplos importantes de transformações 2.1 Coordenadas polares no plano Transformação T : [0, ∞) × R → R2 : (ρ, θ) 7→ ( ρ cos(θ), ρ sin(θ) ) : Representamos o ponto (x, y) ∈ R2 como ( x = ρ cos(θ) y = ρ sin(θ) . A matriz Jacobiana é cos(θ) −ρ sin(θ) JT (ρ, θ) = sin(θ) ρ cos(θ) det(JT (ρ, θ)) = ρ Cálculo de ρ e θ: ρ= arctg(y/x) arctg(y/x) + π θ = 2kπ + π/2 3π/2 q.q.c. p x2 + y 2 , para para para para x>0 x<0 x = 0, y > 0 x = 0, y < 0 para x = 0, y = 0 (k ∈ Z) . Cálculo III, 22 de Março de 2017 2.2 5 Coordenadas cilı́ndricas Transformação T : [0, ∞) × R2 → R3 : (ρ, θ, τ ) 7→ ( ρ cos(θ), ρ sin(θ), τ ) : Representamos o ponto (x, y, z) ∈ R3 como x = ρ cos(θ) y = ρ sin(θ) z=τ A matriz Jacobiana é cos(θ) −ρ sin(θ) 0 JT (ρ, θ, τ ) = sin(θ) ρ cos(θ) 0 0 0 1 det(JT (ρ, θ, τ )) = ρ Cálculo de ρ, θ e τ : τ = z, ρ e θ como antes. Cálculo III, 22 de Março de 2017 2.3 6 Coordenadas polares no espaço (esféricas) Transformação T : [0, ∞)×R×[0, π] → R3 : (ρ, θ, φ) 7→ ( ρ cos(θ) sin(φ), ρ sin(θ) sin(φ), ρ cos(φ) ) : Representamos o ponto (x, y, z) ∈ R3 como x = ρ cos(θ) sin(φ) y = ρ sin(θ) sin(φ) z = ρ cos(φ) A matriz Jacobiana é cos(θ) sin(φ) −ρ sin(θ) sin(φ) ρ cos(θ) cos(φ) JT (ρ, θ, φ) = sin(θ) sin(φ) ρ cos(θ) sin(φ) ρ sin(θ) cos(φ) cos(φ) 0 −ρ sin(φ) det(JT (ρ, θ, φ)) = −ρ2 sin(φ) Cálculo de ρ, θ e φ: ρ= p x2 + y 2 + z 2 , θ como antes, p 2 2 2 φ = arccos z/ x + y + z .
