gabarito - Walter Tadeu

COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III
2ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROFº WALTER TADEU
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LISTA DE PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS - GABARITO
1) Numa PG a1 + a2 = 3 e a4 + a5 = 24, a razão da PG é :
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
Solução. Escrevendo em cada adição o termo maior em função do menor, temos:
a1  a2  3
a  a q  3
a (1  q)  3
a (1  q)
a
3
1
 1 1
 1
 1

 1 

a4 (1  q) 24
a4 8
a4  a5  24 a4  a4 q  24 a4 (1  q)  24
Escrevendo o numerador e denominador pelo mesmo processo, descobre-se a razão pedida.
a1 1
a
1
1 1
  1 3   3   q3  8  q  3 8  2
a4 8
8
8
a1q
q
2) A soma de três números em PG é 26 e o produto é 216. Então, o termo médio é igual a:
a) 2
b) 6
c) 18
d) 5
e) nda.
x
; x; xq (q a razão).
q
Solução. Três termos consecutivos de uma PG podem ser representados como
 x
. xq  216  x 3  6 3  x  6
Utilizando a informação do produto, temos:  .x 
q
 
3) Calcule x, sendo: 5 x 
a) 45
x x x
   ...  60
2 4 8
b) 50
c) 10
d) 9
e) 4
Solução. A expressão é uma soma de PG infinita, mas a partir do 2º termo. Repare nas razões:
x
1
i) 2 
5 x 10
x
x 4 1 
1
iii) 8  . 
 razão  
x 8 x 2 
2
4
x
x 2 1
ii) 4  . 
x 4 x 2
2
 x 


x x x
x


Temos: 5 x      ...  60  5 x   2   60  5 x   .2   60  5 x  x  60  x  10
1 1 
2 4 8

2 


2

4) O produto dos 25 primeiros termos da PG : ( 2, 4, 8, 16, 32, ...) é melhor representado pela alternativa:
a) 2325
b) 225
c) 250
d) 2105
e) nda


Solução. Considere a PG da forma a1 ; a1q; a1q 2 ; a1q 3 ; a1q 4 ;...a1q n1 . O produto dos termos pode ser
representado como:

P  a1 .a1q.a1q .a1q .a1q ....a1q
2
3
4
n 1
 a q
n
1
1 23...  ( n 1)
a q
n
1
1( n 1) ( n 1)
2
a q
n
1
n ( n 1)
2
.
Repare que a potência da razão representa uma soma de PA com razão 1. Utilizando esse resultado na PG
n  25
25( 24)
25

25
2
q

2

(
produto
:
PG
)

2
.
2
 2 25.2 ( 25)(12)  2 25.2 300  2 325
mostrada, temos: 

1
a  2
 1
5) A seqüência ( 1, a, ...) é uma progressão geométrica. O 9º termo é 256. Encontre um possível valor para a.
Solução. Observe que é possível encontrar a razão, pois foi dito que a seqüência é uma PG. Logo dividindo
o 2º termo pelo 1º temos a razão q = a/1 = a. Aplicando a fórmula do termo geral para o 9º termo, vem:
i) n = 9
ii) a1 = 1
iii) q = a
iv) a9 = 256
a9  a1 .q 8  256  1.a 9  2 9  a 9  a  2
6) (FUVEST) – Numa progressão geométrica de 4 termos positivos, a soma dos dois primeiros vale 1 e a soma
dos dois últimos vale 9. Calcule a razão da progressão.
Solução. Representando as informações e resolvendo o sistema, vem:
a1  a2  1
a1  a1q  1
a1 (1  q)  1
q  3
a
a
1
1
1 1


 1   12   2   

a3 9
9
9
a1q
q
q  3
a3  a4  9 a3  a3 q  9 a3 (1  q)  9
Como os termos são positivos, o valor da razão deve ser positivo. Logo, q = 3.
7) (MACK-2000) – O sétimo termo da P.G. de números reais e positivos dada por ( x  2, x 2  11,2 x  2,...)
vale:
a) 96
b) 192
c) 484
d) 252
Solução. Dividindo o 2º termo pelo 1º ou o 3º termo pelo 2º encontra-se a razão.
e) 384
x  5
x 2  11
2x  2

 x 2  11  2 x 2  4 x  2 x  4  x 2  2 x  15  0  ( x  5)( x  3)  0  
x2
 x  3
x 2  11
Como os valores são positivos, x = 5. A PG então será (5  2, 5 2  11,2(5)  2,...)  (3,6,12,...) . O sétimo
6
6
termo é calculado sabendo que a razão é q = 2: a 7  a1 q  3.(2)  3(64)  192
8) Uma P.G. tem primeiro termo igual a 1 e a razão vale
termos é:
a) 12
b) 13
2 . Se o produto desses termos é
c) 14
d) 15
n
Solução. A fórmula do produto de n termos de uma PG é P  a1 q
n ( n 1)
2
n ( n 1)
2
1  n ( n 1) 
.

2 2 
n ( n 1)
2
239, o número de
e) 16
. Substituindo os valores, temos:
n2  n
 n 2  n  156  0 
4
1  25

n  2  13
 (1)  1  4(1)( 156) 1  1  624 1  625 1  25
n




2
2
2
2
n  1  25  12  0  IN

2
Pa q
n
1
2
39
 1 .( 2 )
n
2
39
 (2)
 39 
9) Obtenha a fração geratriz da dízima periódica 0,13232323232....
Solução. Escrevendo na forma de fração, temos: 0,132323... 
13
1
1 
 1
 23 4  6  8 ...  . O termo
100
10
10 
 10
1
1 
1 / 10 4
1
 1

em parênteses é uma soma infinita. Logo,  4  6  8 ... 
. Substituindo
2
9900
 10 10 10  1  1 / 10
na dízima, vem: 0,132323... 
13
 1  131
 23

100
 9900  990
10) (MACK) – Se f(n), n   é uma seqüência definida por:  f (0)  1

 f (n  1)  f (n)  3
a) 597
b) 600
c) 601
d) 604
, então f(200) é:
e) 607
Solução. Expressando o valor f(200) em função das informações, temos:
f (1)  f (0  1)  f (0)  3  4
f (2)  f (1  1)  f (1)  3  4  3  7
f (3)  f (2  1)  f (2)  3  7  3  10
Observe que a definição f(n + 1) = f(n) + 3 indica que o termo seguinte da seqüência é calculado pelo
anterior somado com 3. Logo expressa uma progressão aritmética de razão 3, confirmada nos três
primeiros termos calculados.
O termo f(200) = a200 = 4 + (200 – 1).3 = 4 + 199(3) = 4 + 597 = 601.
11) (FUVEST) – Na figura, A1B1 = 3, B1A2 = 2 e os triângulos formados são retângulos. Calcule a soma dos
infinitos segmentos: A1B1 + B1A2 + A2B2 + B2A3 + ....
Solução. Os triângulos são semelhantes. As razões de acordo com os
lados opostos aos mesmos ângulos são:
i)
ii)
3
2
4

 3( A2 B2 )  4  A2 B2 
2 A2 B2
3
AB
2
2
4/3
16 / 9 8
 2 2 

 A3 B2 

A2 B2 A3 B2
4 / 3 A3 B2
2
9
A soma infinita de razão
2
é S   3  2  4  8  ... 
3
3 9
3
1
2
3

3
9
1
3
12) (ITA-SP) Se a soma dos termos da progressão geométrica dada por 0,3: 0,03: 0,003:... é igual ao termo
médio de uma progressão aritmética de três termos, então a soma dos termos da progressão aritmética vale:
a) 1/3
b) 2/3
c) 1
d) 2
e) ½
Solução. A soma da PG é infinita e os termos da PA podem ser expressos por (x – r, x, x + r).
 1 


i) S   0,3  0,03  0,003  ...  3  3  3  ...  3 1  1  1  ...   3 10   3 1   1
10 100 1000
 10 100 1000
 1  1   9  3


 10 
Termocentral  x
1

1
 1 1
 3
ii) 
1  x   S PA    r      r    1
3
Termocentral  S 
3
 3 3
 3

3
